第二章 流体静力学基础第二章 流体静力学基础

作用在流体上的力作用在流体上的力 流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程 静平衡微分方程的应用静平衡微分方程的应用 静止流体的作用力 静止流体的作用力 流体压强的测量流体压强的测量

作用力

作用力

质量力质量力

表面力表面力

2.1 2.1 作用在流体上的力作用在流体上的力

作用力的分类：作用力的分类：

①① 作用于每一个流体质点；作用于每一个流体质点；②② 与流体体积或质量成正比；与流体体积或质量成正比；③③ 与体积以外的流体的存在无关。与体积以外的流体的存在无关。 如重力、惯性力和哥氏力。如重力、惯性力和哥氏力。

一、质量力一、质量力 ::

R Xi Yj Zk

用 表示作用在单位质量流体上的质量力，用 表示作用在单位质量流体上的质量力， XX 、、 YY 、、 ZZ 分分别表示其在坐标轴别表示其在坐标轴 xx 、、 yy 、、 zz 方向上的分量，即方向上的分量，即

（（ 2-12-1 ） ） 式中 、 、 分别表示沿坐标轴式中 、 、 分别表示沿坐标轴 xx 、、 yy 、、 zz 上的单位向量。上的单位向量。

i

j

k

R

二、表面力：二、表面力：

图图 2-1 2-1 分析表面分析表面面力示意图面力示意图

静止流体静止流体（（ v=0,dv/dy=v=0,dv/dy=

00 ））运动的无粘性运动的无粘性流体（流体（ µµ ＝＝

00 ））

定义压强

定义压强

limo

n n

S S

F dFp

S dS

（（ 2-22-2 ））

压强定义：压强定义：

0tF

nF F

①① 作用在流体表面；作用在流体表面；②② 由相接触的流体或物体作用产生。由相接触的流体或物体作用产生。 包括法向力包括法向力 和切向力 。和切向力 。nF tF

压强特性：压强特性： ①① 方向沿着作用面的内法线方向；方向沿着作用面的内法线方向；②② 在静止流体或运动的无粘性流体中，数值在静止流体或运动的无粘性流体中，数值

与所取作用面的空间方位无关。与所取作用面的空间方位无关。

图图 2-2 2-2 静止或无粘流静止或无粘流 体上的表面力体上的表面力

静止流体的静止流体的特性特性 22 证明：证明：

sin 0y n np dxdz p ds

n sinds dxdz y np p

同理同理 :: x np p1

cos 02z n np dxdy p ds gdxdydz

cosnds dxdy 1

02z np p gdz

nzyx pppp

z np p

综上：综上： （（ 2-32-3 ））

1. 对运动的无粘流体，差别是动平衡关系式中多了一项惯性力，而惯性力是质量力，也是三阶无限小量，和重力同时略去，可以得出和式（ 2-3 ）相同的结果。

2. 对于运动的粘性流体，由于产生切应力，一点处的法向应力是随对于运动的无粘性流体，和上面讨论所不同过该点的作用面在空间的方位变化而变化的。这时一点处的压强是由过该点任意 3 个互相垂直的微元面积上的法向应力的算术平均值确定。

注：注：

2.2 2.2 流体静平衡微分方程流体静平衡微分方程

流体静力学平衡微分方程及应用流体静力学平衡微分方程及应用 流体静力学平衡微分方程的证明流体静力学平衡微分方程的证明

一、流体静平衡微分方程一、流体静平衡微分方程

Rp

（ 2-4 ）

1.1. 上式即为流体静平衡微分方程式，也称它为欧拉静上式即为流体静平衡微分方程式，也称它为欧拉静平衡微分方程式。平衡微分方程式。

2.2. 表明在静止流体中，压强的变化和质量力密切相关。表明在静止流体中，压强的变化和质量力密切相关。压强变化的方向即为质量力不等于零的方向； 压强压强变化的方向即为质量力不等于零的方向； 压强在垂直于质量力的方向保持不变，即等压面和质量在垂直于质量力的方向保持不变，即等压面和质量力垂直。力垂直。

3.3. 它描述了静平衡时压强、密度和单位质量的质量力它描述了静平衡时压强、密度和单位质量的质量力之间的关系。之间的关系。

向量形式向量形式

二、流体静平衡微分方程的证明二、流体静平衡微分方程的证明

图 2-3 推导流体静平衡微分方程

0pdxdydz Y dxdydz

y

表面力＋体积力＝表面力＋体积力＝ 00

Yy

p

Xx

p

Zz

p

同理：同理：

Rp

（（ 2-4a2-4a ））

即即 （（ 2-4b2-4b ））

Y 方向：

2.3 2.3 静平衡微分方程的应用静平衡微分方程的应用

重力作用下流体内部的压强 重力作用下流体内部的压强 大气结构与国际标准大气大气结构与国际标准大气 流体的相对平衡 流体的相对平衡

一、重力作用下流体内部的压强一、重力作用下流体内部的压强

参照图（参照图（ 2-32-3 ）：）：

0x

p

0y

p

gz

p

XX ＝＝ 00

YY ＝＝00

ZZ ＝－＝－ ggg

dz

dp

p z C

（（ 2-52-5 ））

（（ 2-62-6 ））

Chp

0p p h

为常数为常数g

图 2-4 静止流体中的压强

液面压强为液面压强为 0p

参照图（参照图（ 2-42-4 ））

（（ 2-72-7 ））

（（ 2-82-8 ））

二、大气结构与国际标准大气二、大气结构与国际标准大气

大气结构大气结构 国际标准大气国际标准大气

11 、大气结构、大气结构

层名 高度（ km ）

参数（ P 、 T 、 ρ ） 运动 其它

对流层 0-11 随 H↑ 而↓ 水平、垂直 各种天气现象

同温层 11-24T 不变，平均 216.7K

水平 也称平流层

中间层 24-85 H↑T 先↑后↓ －－ －－

电离层 85-800 H↑T 迅速↑ －－ 空气已电离

外层 800 外 －－ －－ 空气极其稀薄

注：现代军用飞机只能在对流层和平流层中飞行。注：现代军用飞机只能在对流层和平流层中飞行。

22 ．国际标准大气．国际标准大气

国际航空界按照中纬度地区各季节中大气的平均值共同规定了国际航空界按照中纬度地区各季节中大气的平均值共同规定了一种国际标准大气：一种国际标准大气：

11 ）空气被看作是完全气体；）空气被看作是完全气体； 22 ）大气的相对温度为零；）大气的相对温度为零； 33 ）以海平面高度计算为起点（）以海平面高度计算为起点（ HH ＝＝ 00 ）海平面处：）海平面处： 44 ）在高度）在高度 1100011000 米以下， （米以下， （ 2-92-9 ）） 55 ）在）在 H=11000~H=11000~

24000m24000m 左右，气温保持不变，左右，气温保持不变， T=216.7KT=216.7K 。。

0 288.2T K 5 20 1.0133 10p N m 3

0 1.225kg m 288.2 0.0065T H

（（ 2-52-5 ）） gdHdp dH

RT

g

p

dp

CHR

gp 0065.0288ln

0065.0ln

00, 1.0133H p p bar

R

g

H

p

p 0065.0

0 2.288

0065.01

R

HHg

ep

p 7.216

1

1

RTp

对流层和平流层压强公式推导对流层和平流层压强公式推导

对流层：对流层：

将（将（ 22 －－99 ））

代入积分代入积分

平流层：平流层： 同理：同理：

（（ 2-102-10 ））

（（ 2-112-11 ））

注： 有了以上注： 有了以上 TT 、、 pp 的计算式，就可以制出的计算式，就可以制出国际大气表。 。

三、流体的相对平衡三、流体的相对平衡

对于等加速运动的流体，选相对坐标系，仍可以用静平衡微对于等加速运动的流体，选相对坐标系，仍可以用静平衡微分方程式（分方程式（ 2-42-4 ）来研究其压力分布规律。下面以两个具体）来研究其压力分布规律。下面以两个具体的例子来说明：的例子来说明：

11 、直线等加速运动、直线等加速运动 ;; 22 、等角速度旋转容器中液体的平衡。、等角速度旋转容器中液体的平衡。

11 、直线等加速运动、直线等加速运动

图图 2-5 2-5 直线等加速运动的液体直线等加速运动的液体

kgaiaR

sincos

液体容器如图（液体容器如图（ 2-52-5 ）示，）示，将坐标系与小车固连有：将坐标系与小车固连有：

dzgadxadp sincos

Cagzaxp sincos

cosax

p

0y

p

sinp

a gz

（（ 2-122-12 ））

（（ 2-2-44））

11 ）等压面为倾斜平面）等压面为倾斜平面

对式（对式（ 2-122-12 ）分以下几种情况加以分析：）分以下几种情况加以分析：

常数

xag

az

sin

cos

sincos aga

在等压面上，压强为常数，故由式（在等压面上，压强为常数，故由式（ 2-122-12 ）可得等压）可得等压面方程为面方程为

即等压面斜率为 平面 。即等压面斜率为 平面 。

（（ 2-132-13 ））

22 ）自由液面为倾斜平面）自由液面为倾斜平面

cossin

sina

ap p g a x z

g a

xag

aZ

sin

cos0

0sinap p g a z Z

sinap p g a h

（（ 2-142-14 ））

（（ 2-152-15 ））

（（ 2-172-17 ））

（（ 2-162-16 ））

自由液面（ ）为等压面，也是倾斜平面。自由液面（ ）为等压面，也是倾斜平面。 对于过对于过 00 点的自由液面，则边界条件可写成 ，点的自由液面，则边界条件可写成 ， 代入式（代入式（ 2-122-12 ）可得压强分布为：）可得压强分布为：

ap p

00

x az

p p

图 图 2-6 2-6 自由液面下自由液面下 方的深度方的深度 hh 0Z z

由上两式得：由上两式得： 自由液面自由液面

图图 2-7 2-7 两种液体的分两种液体的分界面为等压面界面为等压面

33 ）两种不同液体的分界面为等压面）两种不同液体的分界面为等压面

如右图，在分界面上任取相邻两点，如右图，在分界面上任取相邻两点， 设这两点的压强差为设这两点的压强差为 dpdp ，则有，则有

由上两式（图由上两式（图 2-72-7 中 ）可得中 ）可得

又：又： 即分界面为等压面。即分界面为等压面。

1 1 cos sindp a dx g a dz

2 2 cos sindp a dx g a dz

2

2

1

1

dpdp

021 dpdp

1 2

0

在直线等加速坐标系中，相对静止液体的等压面，自由液在直线等加速坐标系中，相对静止液体的等压面，自由液面，分界面均为倾斜的平面，其斜率为面，分界面均为倾斜的平面，其斜率为

sin

cos

ag

atg

综上所述综上所述 ::

22 、等角速度旋转容器中液体的平衡、等角速度旋转容器中液体的平衡

图图 2-8 2-8 旋转容中旋转容中液体的平衡液体的平衡

zr igirR

2

2rr

p

pg

z

0r

p

2dp r dr gdz

2 21

2p r gz C

同分析式（同分析式（ 2-122-12 ）类似，由式（）类似，由式（ 2-182-18 ）可得以下结）可得以下结论：论：

1)1) 等压面为抛物面；等压面为抛物面； 2)2) 自由面为抛物面；自由面为抛物面； 3)3) 液体与液体得分界面为抛物面。液体与液体得分界面为抛物面。

（（ 2-182-18 ））

2.42.4 静止流体的作用力静止流体的作用力

静止流体对物体的作用力静止流体对物体的作用力 静止流体对平面的作用力 静止流体对平面的作用力 静止流体对曲面的作用力静止流体对曲面的作用力

一、静止流体对物体的作用力一、静止流体对物体的作用力

a

A A

F pdA p rh dA

静止流体对物体的表面力的合力，可以通过对整个表面静止流体对物体的表面力的合力，可以通过对整个表面上各面积元表面力的积分而获得，即 上各面积元表面力的积分而获得，即

（（ 2-222-22 ））

式中 是自由液面上的压强，式中 是自由液面上的压强， hh 是物体离是物体离开自由液面的深度。开自由液面的深度。

ap

二、静止流体对平面的作用力二、静止流体对平面的作用力

a a

A

F p rh dA p rh A 11 、水平平板：、水平平板：

图图 2-9 2-9 作用于倾斜平板上的力作用于倾斜平板上的力

a

A A

F pdA p h dA

sin sina a

A

F p y dA p A ydA

22 、倾斜平板：、倾斜平板：

（（ 2-232-23 ））

a c cF p A h A p A （（ 2-242-24 ））

CC 为形心，为形心， DD 为为合力作用点 合力作用点

研究合力作用点（压力中下心）的计算方法研究合力作用点（压力中下心）的计算方法 ::2( ) sinD a a

A A A A

Fy dF y p h ydA p ydA y dA

2sin sin

sin sina c c c c

D ca c a c

p y A J y A Jy y

p y A p y A

cD c

c

Jy y

y A

Ay

Jhh

c

ccD

sin

sina c xyC C C

D

p x A J x y Ax

F

Ay

Jxx

C

xyCCD

①① 对对 xx 轴求矩：轴求矩：

代入：代入： 2x c cJ J y A

0ap 令 有：令 有： （（ 2-252-25 ）） （（ 2-262-26 ））

（（ 2-272-27 ））

②② 对对 yy 轴求矩：轴求矩：

对于相对压力中心有：

三、静止流体对曲面的作用力三、静止流体对曲面的作用力

图 2-13 作用于曲面上的力

在 AB 上取一微元面积 dA ＝ b ·dl ， dl 为微元长度， b 为高度，则在 x 方向有：

2 2

1 1

h h

x ah hF pbdh p h bdh

2 22 1

2 1

2 12 1

2

2

a

a

h hp b h h b

h hb h h p

x a c xF p h A

cos cosxdF dF pb dl pbdh

（ 2-28）

为曲面在 zoy 面上的投影，为 面的几何中心在自由液面下的深度。

2 1 xb h h A 2 1

2 c

h hh

注：

xA

sinz a z a z zdF dF p h dA p dA h dA

z a zF p A V

在 y 方向有：

（ 2-29 ）

注： V为压力体的体积，指具有自由表面和曲面 a-b间所包围的 体积，有实体积和虚体积之分：

图 2-14 曲面所对应的压力体的体积 （ a）实压力体 （ b）虚压力体

2.52.5 流体压强的测量流体压强的测量液柱式压力计 单管测压计

直接测量 U 形管测压计 微压计 斜管压力计

压电式 压力传感器 间接测量 电阻应变式等

选何种形式压力计与测量对象和测量精度有关

U形管测压计 PLAY倾斜管测压计PLAY

1 、液柱式压力计：

①单管压力计：

②U形管压力计：

pa

R

A 1 •

..

1 1( )ap p p h 表

pa

A 1

h R

2 3

0 指示液

'1 0ap p gh gh

（ 2-30 ）

（ 2-31 ）

不能测量高压

可测气体压强，不能与被测液体混合

2 ．压差计

2

1 z 2

z 1

R

3 3

0

gRgzp

Rzgp

022

11

gRgzpgzp 02211

1 2 0P P gR 注： U 形压差计的读数 R 的大小反映被测两点 间压强之差。（ 2-32 ）

①U形管压差计：

②微压计（双液柱压差计） p 1 p 2

z1 1 z1

R

2

1 2 2 1p p R p 1

R p 2

R

0

倾斜式压差计

略小于1 2

（ 2-33 ）

3 、微压计：测量微小的压强差

1 1 1 2 1 1 2( )p z R p z R

斜管压力计

斜管压力计

分析：读数放大了 倍，角度越小，高度越大。

sin211 lphp aA

1 1 2 sinA ap p h l sin

1

h

l

1

sin

小 结

作用力的分类 流体压强及其性质 流体静平衡微分方程应用 液体对平面的作用力 流体对曲面的作用力 压强的测量原理