第十八章碰撞

2023年4月19日星期三理论力学CAI

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第十八章碰撞

在前面讨论的问题中，物体在力的作用下，运动速度都

是连续地、逐渐地改变的。本章研究另一种力学现象——物

体运动速度突然发生有限的改变。

碰撞：运动着的物体在突然受到冲击（包括突然受到约束或解除约束）时，其运动速度发生急剧的变化，这种现象称为碰撞。


2

　

18.1 碰撞的特征和基本假定

碰撞的特征：物体的运动速度或动量在极短的时间内发生有限的改变。碰撞时间之短往往以千分之一秒甚至万分之一秒来度量。因此加速度非常大，作用力的数值也非常大。

碰撞力（瞬时力）：在碰撞过程中出现的数值很大的力称为碰撞力；由于其作用时间非常短促，所以也称为瞬时力。


3

　

设榔头重 10N ，以 v1=6m/s 的速度撞击铁块，碰撞时间 =

1/1000s , 碰撞后榔头以 v2=1.5m/s 的速度回跳。求榔头打击铁块

的力的平均值。

Ivmvm

12 的投影形式得sN 657 ; 651

10 .II).(

g

碰撞力的变化大致情况如图所示。

平均打击力，是榔头重的 765 倍。N7650 /IF *

以榔头打铁为例说明碰撞力的特征：

以榔头为研究对象，根据动量定理

塑料


4

可见，即使是很小的物体，当运动速度很高时，瞬时力可以达到惊人的程度。有关资料介绍，一只重 17.8N 的飞鸟与飞机相撞，如果飞机速度是 800km/h ，碰撞力可高达 3.56105N ，即为鸟重的 2 万倍！

害的一面：机械、仪器及其它物品由于碰撞损坏等。

利的一面：利用碰撞进行工作，如锻打金属，用锤打桩等。

研究碰撞现象，就是为了掌握其规律，以利用其有利的一面，而避免其危害。


5


6


7


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9


10


11


12

(1) 在碰撞过程中，重力、弹性力等普通力与碰撞力相比

小得多，其冲量可以忽略不计。但必须注意，在碰撞前和碰撞

后，普通力对物体运动状态的改变作用不可忽略。

(2) 由于碰撞时间极短，而速度又是有限量，所以物体在

碰撞过程的位移很小，可以忽略不计，即认为物体在碰撞开始

时和碰撞结束时的位置相同。

2. 研究碰撞的基本假设：


13

（ 3 ）局部变形的刚体碰撞过程分为两个阶段

t

F

tmt1 t2

I1 I2

变形阶段的碰撞冲量；

mt

tt

1

d1 FI

恢复阶段的碰撞冲量。

2

d2

t

tmtFI

1V2V

n

1u

2u


14

（ 5 ）恢复因数－碰撞的恢复阶段的冲量与变形阶段的冲量之比，用 e 表示：

I

I

I

Ie

1

2


15

恢复因数与碰撞前和碰撞后的速度之间的关系

nn

nn

vv

uue

21

21

1

2

I

I

＝＝

这一结果表明：对于特定的材料，不论碰撞前后物体的运动速度如何，两个碰撞物体碰撞前后的相对速度大小的比值是不变的。

对于确定的材料，恢复因数为常量。

恢复因数既描述了碰撞后物体速度的恢复程度，也描述了物体变形的恢复程度。


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17

例例对于球 A与固定平面的正碰撞情形

BA

AB

vv

vv

I

Ie

＝＝1

2

A

ABB v

v

I

Ievv

＝－＝，＝＝

1

20

BB

AA

hh 22hh 22hh 11

AA

vA

AA

hh 22

AA

hh 22

v'A 21 22 ghv,ghv AA

1

2

h

he＝


18

恢复因数的取值范围

变形不能完全恢复；部分弹性碰撞：10 e

碰撞后变形完全恢复；

完全弹性碰撞：无能量损耗，1e

变形完全不能恢复。

能量完全损耗，完全塑性碰撞： 0e


19


20


21

对心碰撞：碰撞时两物体质心的连线与接触点公法线重合

否则称为偏心碰撞。

对心正碰撞：碰撞时两质心的速度也都沿两质心连线方向，

则称为对心正碰撞（正碰撞），否则称为对心斜碰撞（斜碰

撞）。


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25


26

2

1

12

21

21

12mm

Tv

mm

mmT A

＝＝

221

2

21

2121 1

2 )vv)(e(

)mm(

mmTTT

塑性碰撞 e = 0 ， v2= 0


27

　

例汽锤锻压金属。汽锤

m1=1000kg ，

锤件与砧块总质量 m2=15000kg ，

恢复因数 e =0.6 ，求汽锤的效率。


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1T

T

, 2

1 , 0 2

1112 vmTv 1

2

21

2 1 T)e(mm

mT

%.).()e(mm

m6060601

150001000

150001 22

21

2

若将锻件加热，可使 e 减小。当达到一定温度时，可使锤不回跳，此时可近似认为 e =0 ，于是汽锤效率

%.mm

m94940

21

2

解：汽锤效率定义为


29

18.2 研究碰撞的矢量力学方法

1. 碰撞时的动量定理

12eIpp

vv 1

I

n

iic0c mm

在一定的时间间隔内，质点系动量的改变等于同一时间间隔内，作用在质点系上所有外力冲量的主矢。


30

)I(MLL e

112 i

n

iOOO

2. 碰撞时的冲量矩定理

在一定的时间间隔内，质点系动量矩的改变等于同一时间间隔内，作用在质点系上所有外力冲量矩的主矩。


31

碰撞时刚体定轴转动运动微分方程的积分形式

)( e12 IMJJ OOO

碰撞时刚体平面运动微分方程的积分形式

)( e12 IMJJ CCC

e12

e12

yCC

xCC

Iymym

Ixmxm


32

OO

II

IIxx

IIyy

xx

yy

具有质量对称平面的刚体绕垂直于对称平面的固定轴转动。

当刚体受到位于对称平面内的碰撞冲量作用时，刚体的转动角速度将发生变化，同时在转动轴的轴承支承处将产生相应的碰撞约束力。。

刚体上，能够使碰撞约束力等于零的主动力的碰撞冲量作用点，称为撞击中心，或打击中心。

CC vC hh

OO11


33

e12

e12

yCC

xCC

Iymym

Ixmxm

应用平面运动微分方程的积分应用平面运动微分方程的积分形式形式

)( e12 IOOO MJJ

定轴转动微分方程的积分形式定轴转动微分方程的积分形式

cos0

sin0

cos0

IhJ

II

IIvm

O

Oy

OxC

得到得到

OO

II

IIxx

IIyy

CC vvCC hh

OO11

xx

yy


34

II

IIxx

IIyy

vvCC hh

OO11

xx

yy

OO

CC

cos0

sin0

cos0

IhJ

II

IIvm

O

Oy

OxC

O

Oy

COx

J

Ih

II

ImvI

cos

sin

cos

＝

dd


35

dvJ

Ih

II

ImvI

CO

Oy

COx

cos

sin

cos＝

为使轴承的碰撞约束力等于零，为使轴承的碰撞约束力等于零，必须使必须使 IIOxOx 和和 IIOOyy 同时等于零。同时等于零。

md

Jh O

0

II

IIxx

IIyy

vvCC hh

OO11

xx

yy

OO

CC

dd


36

md

Jh O ，0

II

IIxx

IIyy

vvCC hh

OO11

xx

yy

OO

CC

dd

撞击中心位于刚体质心与转轴撞击中心位于刚体质心与转轴轴心的连线或连线的延长线上；轴心的连线或连线的延长线上；撞击中心到转轴的垂直距离为撞击中心到转轴的垂直距离为

md

Jh O

主动力的碰撞冲量通过撞击中主动力的碰撞冲量通过撞击中心、并且垂直于刚体质心与转轴心、并且垂直于刚体质心与转轴轴心的连线或连线的延长线，则轴心的连线或连线的延长线，则在转轴轴承处不会引起碰撞约束在转轴轴承处不会引起碰撞约束力。力。


37

　

例均质杆质量 m ，长 2a ，可绕 O 轴转动，

杆由水平无初速落下，撞到一固定物块。

设恢复系数为 e ，求碰撞后杆的角速度，

碰撞时轴承的碰撞冲量及撞击中心的位置。


38

解：碰撞开始时，由动能定理：

21

221 2

3

1

2

10

2

1 )a(mJmga O

a

g

2

31

碰撞结束时：

a

gee

2

312

求得：


39

lI)(JJ 1020

a

g

l

)e(ma)(

l

JI O

2

3

3

14 2

21

对 0 取动量矩


40

水平方向取动量定理：

0 12

Oy

Ox

I

II)aa(m

0

3

4 2

21

Oy

Ox

I

)al

a)(a(mI

撞击中心位置：

3

4 ) , 0 alI( Ox 得到令


41

例匀质杆质量 m 长 L ，

由 H 高度静止下落， e=0 。

求碰撞后的角速度。


42

2L/3

v

A

gHv 2碰撞前

碰撞后

06

1 LmvJ A


43


44


45

质量均 m 、长为 L 的匀质直杆 AB 、 BD 铰接，

置于光滑水平面上，如图所示，两杆相互垂直时，一冲量 I 作用在 D 处，求（ 1 ）此时两杆

的角速度，（ 2 ）此时系统的动能。


46

解：系统对 A ：

ABB Lv BDB

C

Lv

2

LI 2BD2

AB2

BD2

AB2 mL

4

1mLmL

12

1mL3

1

BCBABCABA LvLvmJJ

2

1 LI 2

ImLmL BDAB 23

1

3

4


47

LIvL

mJB

CBDC 2

2

2

LImLmL BDBD 2

2

4

1

12

1 22

ImL BD 2

2

3

1

mL

IBD 2

23

ImL

ImLmL AB 2

2

23

3

1

3

4

mL

IAB 8

23

BD 杆对 B：


48

2222

2

1

12

1

2

1B

CBBDCABA vvmJJT

22

222222

42

1

2

1

24

1

6

1BDABBDAB

LmmLmLmL

m

I 2

16

15


49

碰撞的动能定理

iii IvvTT 00 2

1


50

匀质直杆 OA 长 2L ，质量为 m ，绕 O 转动，匀质直杆 AB 长为，质量为m ，与 OA 杆和滑块铰接，不计滑块质量，光滑接触。系统置于光滑水平面上，图示位置 OA 杆与滑块平行，今有一与 OA 杆平行的冲量 I 作用在 AB 杆的中点。求撞击瞬时两杆的角速度。


51

ABOAA LLv 2解：

OAAB 2系统对 O

点：

LI2

LIL2mvJJ BCABCOAO

22

3

42

3

1mLLmJO

22

6

12

12

1mLLmJC

ABC Lv 2

2

LI2

LImL

3

11BOA

2


52

LI2

LIJ BABC

AB 杆对 A ：

LI2

LImL

6

1BAB

2

LI2

LImL

3

11BOA

2

ILmL OA 2

3

12mL

IOA 4

mL

IOAAB 2

2

OAAB 2


53

22

vImv

2

1J2

1J2

1 CC2

AB2

COA2

O

2

OAAB 2ABC Lv

2

2

22

3

42

3

1mLLmJO 22

6

12

12

1mLLmJC

碰撞的动能定理

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第十八章 碰 撞

第十八章碰撞