让抽象变得自然 ----- 线性代数 精彩案例 李尚志

中国科大数学系

润物细无声：应用案例 子空间概念的应用

23/4/19

un= b1un-1+b2un-2+…+bkun-k

线性移位寄存器序列

进一步推广

4

4 x +

同加 1

同构的应用

三、坐标变换公式

• M1={u1,…,un}, M2={v1,…,vn} 是同一个线性空间 V 的两组基。

• 向量 u 在这两组基下的坐标 X=(x1,…,xn), Y=(y1,…,yn) 。

• u = y1v1 + … + ynvn .

• 同构 f : V Fn , 向量 M1 下的坐标

• f(u) = y1f(v1)+ … + ynf(vn)

• X= y1P1+ … + ynPn = PY

四、拉格朗日插值公式• 求 f : ( ) ( )

• 考虑映射 求 f 使 : f

• f1=1(x-x2)…(x-xn) (1,0,…,0)

• 一般地 ei

•

五、中国剩余定理• 求最小的正整数，除以 3,5,7 的余

数分别等于预先给定的 y1,y2,y3.

• 考虑映射 : x (r1,r2,r3)

=r1(1,0,0)+r2(0,1,0)+r3(0,0,1)

• 5*7*2 (1,0,0), 3*7 (0,1,0),

3*5 (0,0,1) • x= 70 y1+21y2+15y3.

抽象 = ?•抽象 = 难得糊涂 :•许多看起来不相同的事情 ,其实都有共同点

•抽象 = 忽略差别 , 提取共同点

线性代数 空间为体 , 矩阵为用• 研究对象 ---- 几何：线性空间 ( 向量 ) • 研究工具 ---- 代数：矩阵运算 • 向量 ( 问题 ) 矩阵语言描述 矩阵运算解决 向量 ( 解

答 )

• 与微积分的关系 : 非线性 -- 微积分 线性 -- 线性代数

网上资源 http://www.teach.ustc.edu.cn

精品课程国家级 数 学 实 验 (2003), 线 性 代 数(2004)

个人主页 : http://mcm.ustc.edu.cn/

~mathexp/lisz

已出版教材 李尚志 , 线性代数 ( 数学专业用 ), 高等教育出版社 ,2006.5

参考文献• 线性代数 ( 数学专业用 ), 高教出版社 , 2006.• 让抽象变得自然 ---- 建设国家精品课程的体会 ,

中国大学教学 , 2006 年第 7 期• 线性代数精彩应用案例 ( 之一 ), 大学数学 ,

2006 年第 3 期• 线性代数精彩应用案例 ( 之二 ), 大学数学 ,

2006 年第 4 期• 若当标准形的计算 , 大学数学 , 2006 年第 5

期• 从问题出发引入线性代数概念 , 高等数学研

究 , 2006 年第 5 期 , 第 6 期

博 客 http://math.cncourse.com/ 随笔 : 比梦更美好 比梦更美好之二 --- 名师培养了我

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星移斗转落银河 , 月印三潭伴碧波。 保短保长皆变换 , 能伸能屈是几何。

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