Разделение движения электронов и ядер Адиабатическое приближение

),(),(22

22222

22

2

rRErRRR

eZ

rr

e

rR

Ze

mM rR

),()(),( rRRrR

),()(),(2

222

2

rRRErRrr

e

rR

Ze

m elr

)()(),()(2

222

2

RERVRERR

eZM adnaelR

)(RVad 4/1/ MmO

Эмпирический факт: атомы в кристалле совершают малые колебания вблизи равновесных позиций

Среднеквадратичные тепловые амплитуды атомов галлия и азота в кристалле GaN

(U2)1/2 : a = 0.1Å : 1.96Å 5%

КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ В КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКЕ

Адиабатическое приближение

)()()(2

222

2

RERRERR

eZ

M adelR

...)()( 20

221

0 RRVVRV RRad

Гармоническое приближение

Гармонический осциллятор

Классическое описание

22212

21 xMxME

tiQMx exp

22QE

xx 2

M/2

Квантово-механическое описание

222

22

21

2xM

xMH

nnnH

21

nn

M/2

Собственные функции гармонического осциллятора

nnnn xMx 2222

...))(()(,

00,2

10

jijjiiji RRRRVVRV

jj

ojiii u

dRdRVd

dRdV

uf2

)(

j

jjiii uVuM ,

0 iii RRu

)exp()( tiutu ii

R0V

(R)

R

Колебания атомов в многоатомной системе

Нормальные колебания

jj

jiii uVMu ,12

ll

klk uDu

динамическая матрица

2nn

niu

собственные числадинамической матрицы

частоты нормальных колебаний

формы нормальных колебаний

собственные векторыдинамической матрицы

                           

  

                           

  

                           

  Symmetric stretching mode 1 = 3657 cm-1

Bending mode 2 =1595 cm-1

Asymmetric stretching mode 3 = 3756 cm-1

Нормальные колебания молекулы воды Н2О

Число атомов N=3, число нормальных колебаний 3N-6=3

сm-1– волновое число = 1/

Частота (Hz) = c

1 сm-1= 0.0299792 THz T (tera-) = 1012

Колебательные спектры молекулы воды

Рамановское рассеяние Инфракрасное поглощение

Колебания атомов в линейных молекулах XN

M/2

M/22 N=2

N=3

M/32

Формы колебаний линейных молекул XN

N=4 N=5 N=6

21 ,,...0 / kak

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

4.0

)(2 k

km

2sin4

Колебания бесконечной линейной цепочки

nnnnn uuuf )2( 11

n\m … -2 -1 0 1 2 …… … … … … … …

-1 … -1 2 -1 0 0 …

0 … 0 -1 2 -1 0 …

1 … 0 0 -1 2 -1 …… … … … … …

nnn uqa

uiqaiqaf

2sin4)exp()exp(2 2

)exp(iqnaUun

mnnm uu

VV

2

Матрица

2sin

4)( 22 qa

mk

2

2 ak

q

k=6/12

k=5/12

k=4/12

k=3/12

k=2/12

k=1/12

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

un

k=0.5 k=1.5 k=2.5

)()( Lkuku nn

Первая приведенная зона Бриллюена

-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

(k)

k

Дисперсия фононных частот в линейной цепочке

)()( kk

Кристаллическая решетка – бесконечная периодическая структура

JjIiJjIi uu

VV

2

, JjIijKJiKI VV ,)(,)(

jIJiJjIi VV )(,0,

)exp( IiiIi iqRtiUu

jj

iJjJ

Jjiii URRiqVMU

)(exp( 0,0

12

)( )( n qq ijDДинамическая матрица

)(expexp LRqqR ii

l2qL

Kq 2

Кристаллическая решетка

332211 aaaL lll

Обратная решетка

332211 bbbK kkk

ijji )( ab

321

321 aaa

aab

132

132 aaa

aab

213

213 aaa

aab

332211)( klklkl LK

Приведенная зона Бриллюена = элементарная ячейка

обратной решетки:

Прямая Обратнаяa1 a2 a3 b1 b2 b3

(-1 1 1) (1 -1 1) (1 1 -1)

(0 1 1) (1 0 1) (1 1 0) /2

(0 1 1) (1 0 1) (1 1 0)

(-1 1 1) (1 -1 1) (1 1 -1) /2

Ячейка Вигнера-Зейтца

Зона Бриллюена

- ячейка Вигнера-Зейтца

в обратной решетке