点 军 四 中 刘 志 新

知识回顾 一元二次方程的根的情况有哪几种？

b2-4ac > 0 有两个不相等的实数根b2-4ac = 0 有两个相等的实数根b2-4ac < 0 没有实数根

学习目标：1. 了解二次函数与一元二次方程的联系；

2. 理解二次函数的图象和横轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系；

3. 理解一元二次方程 ax2+bx+c=h 的根就是二次函数 y=ax2+bx+c 与直线 y=h （ h 是实数）交点的横坐标。

观察二次函数 的图象 2 2 3y x x

-3 -2 -1 0 1 2 3-1-2

-3

1

2

3

x

y4

N M

你能确定一元二次方程 的根吗？2 2 3 0x x

X1=3,x2=-1

-3 -2 -1 0 1 2 3-1-2-3

123

x

y4

2 6 9y x x 2 2 3y x x

-3-2-10 1 2 3-1-2-3

123

x

y4

观察下列图象，分别说出一元二次方程

x2-6x+9=0 和 x2-2x+3=0 的根.

X1=x2=3 没有实根

判断二次函数 的图象与 X 轴交 点坐标是什么？

2 4y x

-3-2 -1 0 1 2 3-1-2-3

123

x

y4

N M

2 4 0x 根据一元二次方程 的根的情况，

判断二次函数 图象与 X 轴 的位置关系。

2 4 6y x x

-3-2 -1 0 1 2 3-1-2-3

123

x

y4

2 4 6 0x x 根据一元二次方程 的根的情况，

研 讨 探 究问题：一元二次方程 x

2-2x-3=0、 x2-6x+9=0、

- x2-4x-6=0的根与相应的二次函数的图象和 x 轴交点有什么关系 ？

方程 x2-2x-3=0 中△ >0, 方程有两个不相等的实根，二次函数 y=x2-2x-3 与 x 轴有两个交点 方程 x2-6x+9=0 中△ =0, 方程有两个相等的实根，二次函数 y=x2-6x ＋ 9 与 x 轴有一个交点 方程 -x2-4x-6=0 中△ <0, 方程没有实根，二次函数y=-x2-4x-6 与 x 轴有没有交点

能推广到一般的一元二次方程和二次函数吗？

归纳整理 :二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点有三种情况 : 1 、 有两个交点 , 2 、 有一个交点 , 3 、 没有交点 .

(3) 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根有什么关系 ?

二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程

当二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴有交点时 ,交点的 横坐标就是当 y=0 时自变量 x 的值 , 即一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根 .

二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根有什么关系 ?

二次函数 y=ax2+bx+c的图象和 x 轴的交点

一元二次方程ax2+bx+c=0 的根

一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式

Δ=b2-4ac

有两个交点 有两个相异的实数根 b2-4ac > 0

有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0

没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0

二次函数与一元二次方程 二次函数与一元二次方程 归纳整理、理清关系

1 、方程 的根是 ；则函数 的图象与 x 轴的交点有 个，其坐标是 ．

-5 ， 1

2 （ -5 ， 0 ）、（ 1 ， 0 ）

0542 xx542 xxy

2 、方程 的根是 ；则函数 的图象与 x 轴的交点有 个，其坐标是 ．

025102 xx

25102 xxy

3 、下列函数的图象中，与 x 轴没有公共点的是（ ）

1 （ 5 ， 0 ）

2)( 2 xyAD

521 xx

xxyB 2)(

2)( 2 xxyD96)( 2 xxyC

练习

例 1 已知二次函数 y=-x2+2x+m 的部分图象如右图所示，关于的一元二次方程 -x2+2x+m=0 的解为 ．

已知函数 y=x2-2x-2 的图象如图所示，根据其中提供的信息，可得方程 x2-2x-2=1 的解是（ ）

-1, 3

-1, 3

例 2 一元二次方程 X2+bx+c=1 的根与二次函 数 y=x2+bx+c 的图象有什么关系。

解：一元二次方程的根就是二次函数 的图象与直线 Y=1 的交点的横坐标，反之，二次函数的图象与直线 Y=1 的交点的横坐标就是方程的根。

1222 xx

1222 xx

例 3 使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数 y=x-1 ，令 y=0 ，可得 x=1 ，我们就说1 是函数 y=x-1 的零点．已知函数 y=x2-2mx-2(m+3) （m为常数）．（ 1 ）当m=0 时，求该函数的零点；（ 2 ）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；（ 3 ）设函数的两个零点分别 为 和 ，且 ，求此时函数图象与 x 轴的交点坐标。

1

2

二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点有三种情况 : 1 、 有 个交点 ,2 、 有 个交点 3 、 交点 .

当二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴有交点时 , 交点的 坐标就是当 y=0 时 变量 的值 , 即一元二次方程 ax2+bx+c=0 的 .

小结

一元二次方程 ax2 + bx + c ＝ m 的根，就是二次函数 y=ax2 + bx + c 的图象与直线 y=m的交点的 坐标。