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第二章 電路的基本關係式 第二章 電路的基本關係式

Aplus

2 - 1 電 阻 (Resistor)

• 當兩端加上電壓產生電流之後，電子間在導體內相互碰撞，產生熱及對電流大小產生限制或阻力（ Resistance ），稱為電阻 (R, Resistor) 。

• 電阻單位的測量為歐姆，其符號為 (Omega) ，如圖 2.1(a) 所示。當 1 伏特的電壓 (V) 加在電阻 (R) 上，而使電阻有 1 安培電流流過時，該電阻即為 1 歐姆 () 。

2 - 1 電 阻 (Resistor)

• 電阻器的形狀通常是圓柱體，如圖 2.1(b) 所示。電阻的大小與製作的材料及形狀有關，可由 式 (2-1) 表示。

R = l /A (2-1)

其中 : 為電阻係數，與材料有關，單位是歐姆 - 公尺 (-m) 。 l 為長度，單位是公尺 (m) 。 A 為截面積，單位是平方公尺 (m2) 。

 

由式 (2-1) 的定義可知 : 電阻係數愈大者，愈不容易導電( 不良導體 ) ; 反之，電阻係數愈小者，愈容易導電 ( 良導體 ) 。而電阻的大小與其長度成正比，與其截面積成反比。

2 - 1 電 阻 (Resistor)• 電阻溫度係數 – 物體之電阻會隨溫度改變而變化，例如，金屬材

料的電阻會隨溫度增加而變大，而絕緣體會隨溫度增加而變小。• 如圖 2.2 所示，為金屬導體的電阻隨溫度變化的關係圖。圖中的

電阻在溫度範圍於 – 30oC 至 100 oC 之間呈線性變化關係，當溫度不在此溫度範圍內，電阻與溫度不再是線性關係。若呈線性關係的直線向左下方延伸，會相交於溫度於 -T ，表示電阻為零。實際上，此溫度並不存在，故稱為絕對溫度。

2 - 1 電 阻 (Resistor)

• 溫度每增加 1oC ，導線所增加的電阻與原溫度電阻之比值，稱為電阻溫度係數，以 表示。若在 t1

oC 時電阻為 R1 ，溫度上升至 t2

oC 時電阻為 R2 ，則 t1oC 時之電阻溫度係數可表為式 (2-2):

R2 = R1 [1 + 1(t2 - t1)] (2-2)

• 電阻器之種類 – 電阻器可分為固定電阻器，可變電阻器 ( 如圖 2.3 所示 ) 以及特殊電阻器 ( 如圖 2.4 所示 ) 。使用電阻器時需注意其電阻值與額定功率 (Power Rating) ，因為電阻器使用時會產生熱量，而電阻必須能承受這些熱量，才不至於損害。

2 - 1 電 阻 (Resistor)

• 固定電阻器的電阻無法調整，而可變電阻器的電阻可在一定範圍內作調整。另外一些特殊電阻器，例如，熱敏電阻，光敏電阻 等。熱敏電阻之電阻值會隨溫度升高而變化，而光敏電阻會隨光線照射的強弱增加或減少其電阻值。一般而言，其可當作感測元件 (Sensor) 。

2 - 1 電 阻 (Resistor)• 電阻器之色碼 – 電阻器的電阻值可以不同顏色的 色碼 (Color

Code) 來表示，每個色碼代表不同的十進位值，如 圖 2.5 以及 表 2.1 所示。一般而言，電阻器至少有三條色碼，有些是四條或五條色碼，每一條色碼代表的意義如下 :

• 第一條   : 位於最左端，代表一組二位數字的十進位數。• 第二條   : 代表一組二位數字的個位數。• 第三條   : 代表一組二位數字後乘以 10 的冪次方。• 第四條   : 代表容許度 (Tolerance) 或誤差百分比。• 第五條   : 代表工作 1000 小時後的故障百分比，或稱信賴度

(Reliability) 。

2 - 1 電 阻 (Resistor)

2 - 1 電 阻 (Resistor)• Ex. 2-1-1 試求下列色碼所代表的電阻值。

(a) 黃，紫，橙，銀。(b) 藍，灰，黑，金。(c) 棕，黑，紅。(d)  藍，灰，金，紅，棕。

<Ans> (a) 4.7 104 10 (b) 68 5 (c) 103 20 (d) 6.8 2 ( 使用 1000 小時後，損壞率為 1%)•  Ex. 2-1-2 試求下列電阻值的色碼。(a)             2.7 106 10(b)             1.8 104 5 ( 使用 1000 小時後，損壞率為 0.1%)

<Ans> (a) 紅，紫，綠，銀。 (b) 棕，灰，橙，金，紅。

※ 電阻器

• 當兩端加上電壓產生電流之後，電子間在倒體內相互碰撞，產生

熱對流及對電流大小產生限制或阻力（ Resistance ）。

• 電阻用來測量電阻器抗拒電流的程度 歐姆定律

R ＝ ＝ ＝ , Ｉ＝ Ｖ / Ｒ ( Ｖ＝ＩＲ ) , Ｒ＝Ｖ / Ｉ(Ω)

• 極性問題

(a) (b)

Ｖ Ｉ 伏特

安培J / C

Q / C

＋ － － ＋

Ｒ Ｒ

2 - 1 電 阻 (Resistor)

• 線性電阻 Ｒ αＶ—Ｉ

• 電導 Ｇ＝ ( ) 1

ＲＶ＝ＩＲ

Ｉ＝ＧＶ 對偶性

• 消耗功率 Ｐ＝Ｖ．Ｉ＝（ＩＲ）．Ｉ＝

＝Ｖ． ＝

RI2

ＶＲ Ｒ

2V

maxP R/Pmax RPmax • 額定功率 Ｉ＝ ， or Ｖ＝

• 消耗能量 W ＝Ｐ． t

2 - 1 電 阻 (Resistor)

（ 1 ）電阻值 — 以數值或色碼表示。（ 2 ）額定瓦特數或額定功率。

※ 實際的電阻器

• 有兩種特性

• 色碼表示

• 可變電阻

ＲＲ

a

b

＋－Ｖ

a b c

誤差 %

Ｒ =(a×10+b)×10

okＲ(1-k) Ｒ

c

＋－

＋－

Vac=kV

Vcb=(1-k)V

2 - 1 電 阻 (Resistor)

2 - 2 歐姆定律 (Ohm’s Law)

• 電阻用來測量電阻器抗拒電流的程度 -> 歐姆定律。

• 在固定電壓 (V) 時，如電阻 (R) 愈大則電流 (I) 愈小，反之亦然。其比率關係為式 (2-3)

• V = I R (2-3)

2 - 2 歐姆定律 (Ohm’s Law)

• Ex. 2-2-1 若視烤麵包機為電阻器，有電流通過時會產生熱，如所加電壓為 120 V ，通過電流為 5 A ，求其電阻值。

<Ans> R = V / I = 120/5 = 24(Ω) #  • Ex. 2-2-2 電阻器的端電壓為 12 V ，求當電阻值為 (a)

3Ω, (b) 1000Ω 時的電流值。 <Ans> (a) I = V / R = 12 / 3 = 4(A) # (b) I = V / R = 12 / 1000 = 1.2 10-2(A) #

2 - 2 歐姆定律 (Ohm’s Law)

• Ex. 2-2-3 參考 圖 2.7:  

 

(a)    試求電阻上電流 I 值。(b)    若電壓加倍時，試求電流 I 值。(c)     若電壓不變而電阻加倍時，試求電流 I 值。

 <Ans> (a) I = V/R = 24/8 = 3(A)

(b)  I = 48/8 = 6(A) (c)  I = 24/16 = 1.5(A)

2 - 2 歐姆定律 (Ohm’s Law)

• Ex. 2-2-4 試求圖 2.8 中的未知量值

<Ans> (a) V = IR = 40(mA) 1K =40(V) • (b)  R = V/I = 6(V)/6(A) = 1(M) I = V/R = 120 (V) / 30 (k) = 4 (mA)

2 - 2 歐姆定律 (Ohm’s Law)

• 極性問題 – 電流由正端進入，由負端流出，如 圖 2.9(a) 所示。若電壓或電流的極性改變，此時電流由負端進入，由正端流出，如 圖 2.9(b) 所示。式中 I 或 V 之符號一樣，依歐姆定律 電壓 V 變為 V = - I R 。

• 圖 2.9(a) 中當 I 是正值， V也是正值，電流 I 由高電位往低電位流。圖 2.9(b) 中當 I 是正值，則 V 是負值，電流 I 仍然由高電位往低電位流。

2 - 2 歐姆定律 (Ohm’s Law)

• 線性電阻 --- 電阻值與電壓及電流的比值成線性關係 (Linear) 。實際上有些電阻是非線性 (Non-Linear) ，因為導體的電氣特性受到溫度等環境的影響。然而仍然有許多材料在工作範圍內，趨近於理想的線性電阻，以後考慮的電阻都是線性電阻。

• 開路 (Open Circuit) – 在某一個電路中的電流值 I 為0 ，依歐姆定律表示電路中的電阻為 ，可能電路中某段路徑斷路，稱之為開路 (Open Circuit) 。

• 短路 (Short Circuit) – 反之，某一個電路中的電流值 I 為 ，依歐姆定律表示電路中的電阻為 0 ，亦即無負載於電壓源之間，稱之為短路 (Short Circuit) 。

2 - 3 電 導 ( Conductance)

• 電導為電阻之倒數。當加電壓於電阻時，如電導高 ( 電阻值低 ) ，則流過電流大，電導單位以為姆歐 (mho) 表示，符號為歐姆之倒寫。在上面兩個式子中成 對偶 (Dual) ，亦即 V 與 I 成對偶， R 與 G 成對偶。

• Ex. 2–3-1 一電阻器 G = 2m姆歐，流過電流為 6mA ，求 (a) 其電阻值 (b) 兩端之電壓。

<Ans> (a) R = 1/G = 1/210-3 = 500(Ω).

(b) V = I/G = 610-3/210-3 = 3 (V). #

2 - 4 功，能量與功率 • 功 (Work) 是克服某種束縛或改變物理狀態所花費的能量

(Energy)，單位為 焦耳 (J, Joules) 。功率 (Power) 為能量發散的速率，或作功的速率，單位為 瓦特 (Watts) = 焦耳 / 秒 (J, Joules/second) ，一般而言，以 W 表示。

• Ex. 2–4-1 一 50Ω 電阻流過 4A 電流，求其消耗功率。<Ans> 利用歐姆定律先求得電壓 V = 50Ω4A = 200 (V).

P = V I = 200 4 = 800, 或 P = I2 R = 42 50 = 800, 或 P = V2/ R = 2002/50 = 800. #

2 - 4 功，能量與功率• Ex. 2–4-2 一電路中電流流過 50mA ，所加電壓是 10V 則此電路

消耗的功率是多少。<Ans> P = V I = 50mA 10V = 500mW = 0.5 W. #

• Ex. 2–4-3 試求 圖 2.10 中電阻功率。

<Ans> 利用歐姆定律先求得電流 I = V/R = 12V/500 = 24mA.

P = V I = 12(V) 24mA = 288mW, 或 P = I2 R = (2.4mA)2 500 = 288mW, 或 P = V2/ R = 122/50 = 288mW . #

2 - 4 功，能量與功率• 消耗能量 W (J, Joules) ＝Ｐ． t ＝ I2 R t ＝ V2 t / R • Ex. 2–4-4 有一烤麵包機具有 24Ω 的電阻，工作在 120

V 電壓下，若使用 20秒，則消耗多少能量 ?<Ans> W = P ． t = V2(120)2t / R = (120)2 ． 20 / 24 = 1.2 104 J #

 • Ex. 2–4-5 功率消耗有 200 瓦特，若使用 3 小時，則消

耗多少能量 ?<Ans> W = P ． t = 0.2 仟瓦． 3 小時 = 0.6 仟瓦小時(kWh) #

2 - 4 功，能量與功率• 額定功率 電阻器具有許多不同大小阻值及體積，而電阻體積大小不一定

與阻值有關，但是與 額定功率 (Power Rating) 有關。當電流流經電阻時會產生熱能，而電阻必須要承受這些熱能，不致受損。額定功率愈大大電阻通常具有較大的體積，而能較快得把熱能發散。

• Ex. 2-4-6 一燈泡在 120 V 工作下，若其額定功率為 300 瓦，則額定電流為何 ? <Ans> I = P / V = 300/120 = 2.5A , 或先求 R = V2 / P = (120)2 / 300 = 48Ω, I = (300/48)1/2 = 2.5A #

• Ex. 2-4-7 若一 200Ω 電阻的額定功率為 2W ，試求其額定電流為何 ?  <Ans> I = (P / R)1/2 = (2/200)1/2 = 0.1A #

2 - 4 功，能量與功率• 效 率 – 利用電力完成某些功能的元件，電路或系統，就是將功或能量轉換成其他形式的能量。為了達到所要的輸出形式的能量，而必須加入的能量或功，稱之為 輸入 (Wi, Input) ，而其輸出的能量或功，稱之為 輸出 (Wo, Output) 。在功或能量轉換的過程中，若輸入之能量並沒有完全轉換成所要的輸出，則會產生其他能量形式的 損耗 (Loss) 。若輸入與輸出有相同單位的功或能量，效率 (, Efficiency) 被定義為 式 (2-4):

= Wo / Wi (2-4)

其中， 1.

2 - 4 功，能量與功率• Ex. 2-4-8 一直流發電機的機械輸入能量為 4200J/s ，若此發電機的輸出電壓與電流分別

為 120V 及 32.2A ，試求• (a)    該發電機的效率。• (b)    該發電機每分鐘所損失的功率。

<Ans> (a) Pi = 4200 J/s = 4200W

Po = 120(V) * 32.2(A) = 3864 W = 3864 / 4200 = 0.92 (92%)

(b) WL = (Pi - Po ) 60s = (4200 – 3864) 60 = 20160 J # • Ex. 2-4-9 一個電路有 450mW 的輸入功率，且效率為 85% ，試求其輸出功率。

<Ans> Pi = 450 mW

Po = Pi = 0.85 450 mW = 382.5 mW #• Ex. 2-4-10 若有三個系統串聯在一起，而且分別具有 0.98 ， 0.87 以及 0.21 的效率，試

求其輸出效率。 <Ans> total = 1 2 3 = 0.98 0.87 0.21 = 0.18 #

2 - 5 安培計，伏特計與歐姆計

• 安培計 -- 使用安培計是要測量流過某元件 (或網路 )的電流，如 圖 2.11 所示，要將安培計與待測線路串聯。

2 - 5 安培計，伏特計與歐姆計

• 伏特計 -- 使用伏特計是要測量跨接於某元件 (或網路 )的電壓，如 圖 2.12 所示，要將伏特計與待測線路並聯，並注意電壓的極性。

2 - 5 安培計，伏特計與歐姆計

• 歐姆計 -- 使用歐姆計是要測量某電阻的電阻值。使用前須歸零，如 圖 2.13 所示，要將歐姆計與待測電阻並聯，如 圖 2.14 所示。