概率论概率论与数理与数理统计统计

经管院经管院 0202级级

2003.10.23.2003.10.23.

第三章习题选讲№第三章习题选讲№ 1100

⑴⑴pp1111=1/4, p=1/4, p1313=1/4, p=1/4, p1212=0,=0,　　 pp2222=1/2;=1/2;⑵⑵ 不独立不独立。。

1/41/4 1/41/4001/21/2

第三章习题选讲№第三章习题选讲№ 3300

EXY=-1*1*0.1+1*1*0.1 EXY=-1*1*0.1+1*1*0.1 =0;=0;

E(X+Y)=EX+EY=0.4+0=E(X+Y)=EX+EY=0.4+0=0.4(X0.4(X 与与 YY 不独立不独立 )) 。。

第三章习题选讲№第三章习题选讲№ 3333

设第设第 kk 次取到次取到 XXkk 个红球个红球 ,,

　　　　　　　　　　EXEXkk=40/100=0.4=40/100=0.4

)60.2(望公式由超几何分布的数学期8

100

800

100

4020

N

NnEX 1

。8EXXEEX,XX20

1kk

20

1kk

20

1kk

第三章习题选讲№第三章习题选讲№ 4477 设开动设开动 XX 台机器台机器 ,,XX～～

B(200,0.7)B(200,0.7) ，，要供电Ａ个单要供电Ａ个单位位 ,,EX=140,DX=42,EX=140,DX=42, 由中心极限定由中心极限定理理 XX 近似服从正态分布，将它标准化。近似服从正态分布，将它标准化。

),42

14015/A

42

140X(P95.0)

15

AX(P

,645.142

14015/A

查表知：

∴A≈15×140+1.645√42 ≈2265

概率论要掌握的预备知识集合论集合论排列组合排列组合基本微积分基本微积分计算技术计算技术

概率论部分概率论部分㈠基础知识：事件 , 运算 , 概率的定义及计算 , 事件的关系 , 古典概型 , 几何概型 , 贝努里概型；㈡随机变量：定义，分布，类型，分布列、概率密度函数、分布函数，联合分布与边际分布；㈢数字特征：定义，计算，性质。

概率的基本概念事件事件随机事件随机事件不可能事件不可能事件必然事件必然事件包含包含相等相等

交与并交与并不相容不相容 (( 互斥互斥 ))

对立对立 (( 互补互补 ))

独立独立00 概率事件概率事件11 概率事件概率事件

概率的基本公式)BA(P)B(P)A(P)BA(P

1)(P,0)(P),A(P1)A(P

)A(P)A|B(P)B(P)B|A(P)AB(P

)A(P

)AB(P)A|B(P,

)B(P

)AB(P)B|A(P

BABA,BABA: 注意

随机变量随机现象量化为一个变量，叫随机现象量化为一个变量，叫随机变量随机变量 ;;

类型：离散型与连续型；类型：离散型与连续型；分布函数及其性质：分布函数及其性质：离散型的分布列及性质；离散型的分布列及性质；连续型的概率密度函数及性质；连续型的概率密度函数及性质；重要的几类随机变量。重要的几类随机变量。

离散型随机变量离散型随机变量离散型的分布列为则要求 :1. pk≥0

2. ∑pk=1

而 EX= ∑xk pk(要求绝对收敛 .)

EX2= ∑xk2 pk

DX= EX2 － (EX) 2

xk x1 x2 … xn

pk=P(X=xk) p1 p2 … pn

连续型随机变量连续型随机变量连续型的概率密度函数为 p(x),

则要求 :1. p(x)≥0

2.∫p(x)dx=1

而 EX=∫xp(x)dx(要求绝对收敛 )

EX2=∫x2p(x)dx

DX= EX2 － (EX) 2

x

数字特征的性质数字特征的性质数字特征的性质：数字特征的性质：1.1.E(aX+b)=aE(X)+bE(aX+b)=aE(X)+b2.E(X±Y)=E(X)±E(Y)2.E(X±Y)=E(X)±E(Y)3.E(X*Y)=E(X)*E(Y)3.E(X*Y)=E(X)*E(Y)??4.D(aX4.D(aX+b+b)=a)=a22D(X)D(X)5.D(X±Y)=D(X)5.D(X±Y)=D(X)++D(Y)D(Y)??6.D(X*Y)=D(X)*D(Y)6.D(X*Y)=D(X)*D(Y)????????

随机向量随机现象作为整体量化为几个变量，随机现象作为整体量化为几个变量，叫随机向量叫随机向量 ;;

类型：离散型与连续型类型：离散型与连续型 ;;

联合分布函数与边际分布函数联合分布函数与边际分布函数 ;;

离散型的联合分布列与边际分布列离散型的联合分布列与边际分布列 ;;

连续型的联合概率密度函数与边际连续型的联合概率密度函数与边际概率密度函数。概率密度函数。

练习题选讲练习题选讲㈠如事件 AB, 则： A∩B=A,A B=B,∪

A-B=φ,P(B-A)=P(B)-P(A),B-A=B-AB,

A 与 B 独立吗？不会不相容吗？㈡事件 A 与 B 既相互独立又不相容 , 可能吗？㈢掷两枚骰子，所得的点数和为几的概率最大？所得的点数和为几的概率最小？

㈣“ 28 选 5” 与“ 35 选 7” 哪个中大奖的概率大？

练习1)1) 如如 AABB ，，则则A∪B=A∪B=

A∩B=A∩B=

P(A∪B)=P(A∪B)=

P(A∩B)=P(A∩B)=

P(B-A)=P(B-A)=

P(A-B)=P(A-B)=

BBAA

P(B)P(B)

P(A)P(A)

P(B)- P(A)P(B)- P(A)

00

2)2) 如如 P(A)=0,BP(A)=0,B为任意事件，则为任意事件，则P(AP(A∩∩B)=B)=

P(AP(A∪∪B)=B)=

AA 与与 BB 独立吗？独立吗？P(B)P(B)

00

√√

练习题选练习题选㈦ X 的概率密度为求：Ｅ X 与Ｄ X ㈧掷两枚骰子所得的点数和为 10 的

概率为：A)1/12 B) 3/12 C) 5/12 D) 7/12㈨ A,B 不相容 ,P(A)>0,P(B)>0, 则 ___A)P(AB)=P(A)P(B) B)P(A|B)=P(A)C)P(B|A)=0 D)P(B|A)=P(B)

其它0

2x0)2x(Ax)x(p

22

单项选择题*设 P(A)=0， B 为任一事件，则 ___;

①A=φ A② B

③A与 B 相互独立 ④ A与 B 互不相容*A、 B 为任意两个事件，若 A、 B 之积为

不可能事件，则称 ____;

①A与 B 相互独立 ②A与 B 互不相容 ③A与 B 互为对立事件 ④A与 B 为样本空间 Ω 的一个剖分

* 设 A 、 B 两 事 件 互 不 相容， 0<P(A)=p<1， 0<P(B)=q<1 ，则推不出结论___ ； ① P(A|B)=0 ②

③ ④

* 设随机变量 X 的分布列为X -2 0 2 ，则 E(3X 2+5) = ___;

p 0.4 0.3 0.3

① 13 13.2②③ 13.4 13.6④

单项选择题0)BA(P

p)BA(P 1)BA(P

单选题单选题* 设 A ， B 为两事件， AB ，则不能推出结论 __

__

①P(AB)=P(A) P(AUB)=P(B)②③P(AB)=P(A)-P(B) P(AB)=P(B)-P(A)④* 设离散型随机变量的分布列为其分布函数为 F(x),则 F(3/2)=___

① 0.1 0.3 0.6 1.0② ③ ④* 随机变量 X 的概率密度函数为 p(x)=

(-∞<x<+∞), 则常数 C=___

① 1/π 2/π π π/2② ③ ④

x -1 0 1 2p 0. 1 0. 20. 30. 4

2x1

C

练习题选练习题选㈠从 1-10 编好号的十个球中任取两个 ,

它们的编号之和记为 X,P(X≤18)=___;

A)18/25 B) 16/25 C) 44/45 D) 43/45

㈡若随机变量 X 和 Y 的相关系数 ρXY=0, 则有 ____;

A) D(X-Y)=D(X)-D(Y) B) D(X+Y)=D(X)+D(Y)

C) D(X*Y)=D(X)*D(Y) D) 它们独立

练习题选练习题选㈢ 7 抽 1 的抽签 , 每人依次抽 , 则 ____;

A) 第一人抽到的概率最大B) 第四人抽到的概率最大C) 最后的人抽到的概率最小D) 每人抽到的概率相同 .

㈣联合密度为时 ,X 与 Y 独立吗 ?

其它0

10,10)1(24),(

2 yxxyxyxp

√√

练习题选练习题选㈤以下三个中 ___ 可以是分布列 ;

A)

B)

C)

㈥设 X 的分布函数是求⑴Ｂ的值； ⑵Ｐ {-2<X<1}

,...2,1,0k)3

1(

2

1)k(P k

,...3,2,1k)2

1()k(P k

,...3,2,1k)1k(k

1)k(P

其它0

0xBe1)x(F

x

-1-1 1-1-ee-1-1

单选题单选题* 随机变量 X 的概率密度函数为

p(x)=

则 X 的数学期望 E X=____

① 1/2 1 2 4② ③ ④

*设 X~P(λ)(λ>0) ，则 D(X)/E(X)=____

① 1 λ 1/ λ λ② ③ ④ 2

* 随机变量 X~P(2) ，则 EX2=____

① 2 4 6 8② ③ ④

其它0

]2,0[x2

1

单选题单选题* 随机变量 X和 Y 的概率密度函数分别为

pX(x)= pY(y)=

若 X和 Y 相互独立，则数学期望 E(XY)=____

① 1 1/2 1/3 1/4② ③ ④

* 设随机变量 X的 E(X)=μ,D(X)=σ2, 用切比雪夫不等式估计 P(|X- μ|≤3σ)____

≤① 1/9 ≤8/9 ≤80/81 ≥8/9② ③ ④

其它0

1x01

0y0

0ye2 y2

切贝雪夫不等式切贝雪夫不等式 随机变量的随机变量的 XX 方差存在方差存在 ,,εε>0:>0:

22

DX1)|EXX(|P

DX)|EXX(|P

或

|EXx|

dx)x(p)|EXX(|P)(就连续型证明：

|EXx|2

2

dx)x(p)EXx(

2x

2

2 DXdx)x(p

)EXx(

例题例题 一枚硬币抛了一枚硬币抛了 10001000 次，估计正面次次，估计正面次

数在数在 [400[400 ，， 600]600] 中的概率；中的概率；解：正面次数解：正面次数 X~B(1000,0.5),EX=500X~B(1000,0.5),EX=500

975.0100

2501)100|500X(|P

)500600500X500400(P)600X400(P

2

设设 X~N(12,9),X~N(12,9), 是否有是否有P(6≤X≤18)≥0.75P(6≤X≤18)≥0.75

解：左式解：左式 ==P(|X-12|P(|X-12|≤6)≥1-9/6≤6)≥1-9/622=0.75=0.75

例题例题 一批产品中优质品占一半，从中有放回地一批产品中优质品占一半，从中有放回地

抽取，问在抽取，问在 100100 次抽取中优质品的件数不次抽取中优质品的件数不超过超过 4545 的概率约为多少？超过的概率约为多少？超过 6060 件的概件的概率约等于多少？率约等于多少？

解解 :: 优质品件数优质品件数 X~B(100,0.5),EX=50,DX=25X~B(100,0.5),EX=50,DX=25

)1()5

5045

5

50X(P)45X(P

)60X(P1)60X(P;1587.0)1(1

02275.0)2(1)5

5060

5

50X(P1

单项选择题单项选择题

单项选择题１单项选择题１ .. ＡＡ∴选Ａ

11

1x

2

1dx

2

1dx)x(p

dx)x(pdx)x(pdx)x(p

0

1x12

1)x(p

1

11

1

1

1

其它

单项选择题１单项选择题１ .. ＢＢ∴不选Ｂ

41

1x2dx2dx)x(p

dx)x(pdx)x(pdx)x(p

0

1x12)x(p

1

11

1

1

1

其它

单项选择题１单项选择题１ .. ＣＣ∴不选Ｃ

01

1

2

xxdxdx)x(p

dx)x(pdx)x(pdx)x(p

.)x(p

0

1x1x)x(p

21

11

1

1

1

再

不是非负的首先

其它

3

2

1

1

3

xdxxdx)x(p

dx)x(pdx)x(pdx)x(p

0

1x1x)x(p

31

1

2

1

1

1

1

2

其它

单项选择题１单项选择题１ .. ＤＤ∴不选Ｄ

.4DX)4,1(N~X,4,1

e22

1)x(f

2

8

)1x( 2

单项选择题２单项选择题２

∴选Ｃ

单项选择题３单项选择题３

Ａ：至少击中一次；Ｂ：至多击中一次；∴选 B

Ｃ：恰好击中一次；Ｄ：三次皆不中。

单项选择题４单项选择题４

ＦＹ (y)=P(Y≤y)

=P(X≤+∞,Y≤y)

=F(+∞,y)∴选Ｄ

单项选择题单项选择题

单项选择题

单项选择题

填空题填空题1/1201/120

0.760.76

0.420.42

0.40.4

填空题填空题80/8180/81

22

33

22

其它00xe1 x3

填空题

填空题

1 / 41 / 4

1 / 31 / 3

填空题填空题88

220.00620.0062

N(0,1)N(0,1)

简答题简答题

简答题简答题

计算题计算题

计算题计算题

练习题选练习题选*设 X~B(10,1/3) ，则 D(X)/E(X)=___;

① 1/3 2/3②

③ 1 10/3④

*设 X~N(μ,σ2), 以下结论错误的是 ___;

① P{μ-2σ<X<μ+2σ}与 μ， σ 无关 ② P{X<μ}=1/2

③ E(X-μ)=0 D(X-μ)=0④

练习题选练习题选*设 X~P(2) ，则有 ___ 成立；

① D(2X-3)=1 D(2X-3)=5②

③ D(2X-3)=7 D(2X-3)=8④

*X， Y 同分布 N(μ,σ2) ，且相互独立，下面各式不成立的是 ___;

① E(2X-2Y)=0 E(2X+2Y)=4E(X)②

③ D(2X-2Y)=7 X④ 与 Y 不相关

练习题选练习题选计算题：* 设随机变量 X 的分布函数为

F(x)=

求：⑴常数 A；⑵ X 的密度函数 p(x)；⑶ P{X≤1}

0x0

0xe)x1(A x

练习题选练习题选计算题：* 若甲盒中装有三个白球，二个黑球，

乙盒中装有一个白球，二个黑球。由甲盒中任取一球投入乙盒，再从乙盒中任取一个球。⑴求从乙盒中取得一个白球的概率；⑵若从乙盒中取得一个黑球，问从甲盒中也取得一个黑球的概率。

练习题选练习题选综合应用题：* 袋中有 2 只白球， 3 只黑球，现进行

无放回地摸球，定义：

X= ,Y= 　 ,

求⑴ (X,Y) 的联合分布；⑵ X,Y 的

边际分布；⑶ X,Y 是否相互独立。

第一次摸出黑球第一次摸出白球

0

1

第二次摸出黑球第二次摸出白球

0

1

练习题选练习题选简答题* 设随机变量 X~N（ μ， σ2），问

k 取何值时 P{X≤μ+kσ}=0.5 ；* 设总体服从普阿松（ Poisson ）分

布， P{X=k}=

其中 λ>0 为未知参数 ,X1,X2,…, Xn

为样本， ，

,...),2,1,0k(e!k

k

n

1iiX

n

1X ?2)X2(E

习题习题P.68 ，习题二 :

21 ， 24 ， 28.

P.110-112 ，习题三 :

13 ， 46.