第三章 不等式§3.4 基本不等式

这是 2002 年在北京召开的第 24 届国际数学家大会会标．会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

思考：这会标中含有怎样的几何图形？

思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？

A

D

C

B

H

FG

Ea

b22 ba 22 ba

1 、正方形 ABCD 的

　　面积 S= ＿＿＿＿＿

２、四个直角三角形的

　　面积和 S’ = ＿＿ab2

３、 S与 S’有什么　　　

　　样的不等关系？

探究１：

S____S′问：那么它们有相等的情况吗？

>

A

D

B

C

E

FG

H

b

a

2 2a b

重要不等式： 一般地，对于任意实数 a 、 b ，我们有

当且仅当 a=b 时，等号成立。

2 2 2a b ab

A

B

C

D

E(FGH)

a

b

思考： 你能给出不等式 的证明吗？

abba 222

0)( 2 ba

0)( 2 ba

2( ) 0a b所以 ≥

2 2 2 .a b ab所以 ≥

时当 ba

时当 ba

2 2 2a b ab ≥

证明：（作差法） 2)( ba

结论：一般地，对于任意实数 a、 b，总有

当且仅当 a=b时，等号成立

2 2 2a b ab ≥

文字叙述为 :

两数的平方和不小于它们积的 2 倍 .

适用范围： a,b R∈

0, 0, , , ,a b a b a b 如果 我们用 分别代替可得到什么结论？

0, 0, , , ,a b a b a b 如果 我们用 分别代替可得到什么结论？

2 2( ) ( ) 2a b a b ≥

2

a bab

≥

替换后得到：

即： )0,0( ba

2a b ab ≥即：

你能用不等式的性质直接推导这个不等式吗？

2

a bab

≥证明：要证

只要证 _______a b ≥ ①

要证①，只要证 _____ 0a b ≥ ②

要证②，只要证 2(___ ___) 0 ≥ ③

显然 , ③是成立的 . 当且仅当 a=b 时 , ③中的等号成立 .

分析

法

2 2( 0, 0, ( ) , ( ) )a b a a b b

2

a bab

≥ )0,0( ba证明不等式：

2 ab

2 ab

ba

特别地，若 a>0 ， b>0 ，则 _____ 2a b ab≥

通常我们把上式写作： ( 0, 0)2

a bab a b

≤

当且仅当 a=b 时取等号，这个不等式就叫做基本不等式 .

基本不等式

在数学中，我们把 叫做正数 a ， b 的算术平均数，

叫做正数 a ， b 的几何平均数；2a b

ab

文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 .

适用范围： a>0,b>0

你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 ?

Rt ACD Rt DCB△ ∽ △ ， BC

DC所以DC

AC2DC BC AC ab 所以

A BC

D

E

a bO

如图 , AB 是圆的直径 , O 为圆心，点 C 是 AB 上一点 , AC=a, BC=b. 过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE,连接 AD 、 BD 、 OD.

② 如何用 a, b 表示 CD? CD=______

① 如何用 a, b 表示 OD? OD=______2a b

ab

你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗 ?

② 如何用 a, b 表示 CD? CD=______

① 如何用 a, b 表示 OD? OD=______2a b

ab

③OD 与 CD 的大小关系怎样 ? OD_____CD＞≥

如图 , AB 是圆的直径 , O 为圆心，点 C 是 AB 上一点 , AC=a, BC=b. 过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE,连接 AD 、 BD 、 OD.

2a b ab ≥ 几何意义：半径不小于弦长的一半

A

D

B

E

O Ca b

适用范围

文字叙述

“=” 成立条件

2 2 2a b ab ≥ 2

a bab

≥

a=b a=b

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

两数的平方和不小于它们积的 2倍

a,b∈R a>0,b>0

小结：

例 1 (1) 如图 , 用篱笆围成一个面积为 100m2 的矩形菜园 , 问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

解：如图设 BC=x ， CD=y ，

则 xy=100 ，篱笆的长为 2(x+y)m.

2

x yxy

≥ 2 100 20,x y ≥

2( ) 40x y ≥

当且仅当 时，等号成立

因此，这个矩形的长、宽都为 10m 时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是 40m.

x

y

此时 x=y=10. x=y

A

B

D

C

100 10

10

xy x

x y y

解 ，可得

若 x 、 y 皆为正数，

则当 xy 的值是常数 P 时，当且仅当 x=y 时，

x+y 有最小值 _______.2 P2 2≥x y xy P

例 1 (2) 如图，用一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

解：如图，设 BC=x ， CD=y ，

则 2(x + y)= 36 , x + y =18

矩形菜园的面积为 xy m2

2

x yxy

≤

得 xy ≤ 81

当且仅当 x=y 时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为 9m 时， 菜园面积最大，最大面积是 81m2

189

2

即 x=y=9

x

y

A

B

D

C

若 x 、 y 皆为正数，则当 x+y 的值是常数 S 时，当且仅当 x=y 时，

xy 有最大值 _______ ；21

4S

2142 2

≤ ≤x y S

xy xy S

（（ 11 ）两个正数的 ）两个正数的 积 积 为定值，为定值，和和有最小值有最小值（（ 22 ）两个正数的 ）两个正数的 和 和 为定值，为定值，积积有最大值有最大值

归纳小结归纳小结

1.(1) 已知两个正数 a,b 的积等于 36,则当 a=_____,b=_____ 时 , 它们的和最小 , 最小值等于 _____ 。 (2) 已知两个正数 a,b 的和等于 18, 则

当 a=_____,b=____ 时 , 它们的积最大 , 最大值等于 _____ 。

巩固练习巩固练习

8811

6666

99 99

1212

① 各项皆为正数；② 和或积为定值；③ 注意等号成立的条件 .

一“正”二“定”三“相等”

利用基本不等式求最值时，要注意

例 2 ：下列各式中，用基本不等式可以得到 最小值 4 的是（ ）

4.A y x

x

4. sin (0 )

sin 2B y x x

x

1. 8 ( 0)

2C y x x

x

CC

应用举例应用举例

1

1 11

y xx

实践创新实践创新1

1 .1

x y xx

3.若 ，求函数 的最小值

11, 1 0,

1x x

x

>0解：

12 ( 1) 1 3

( 1)x

x

11 2

1x x

x

3当且仅当 即 时，有最小值

一正

二定

三相等

基本不等式在实际问题中的应用例 3 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 4800m3 ，深为 3m 。如果池底每平方米的造价为 150元，池壁每平方米的造价为 120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

3m

xy

分析： 水池呈长方体形，它的高是 3m ，底面的长与宽没有确定。如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了。因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低。

元。水池总造价为，宽为解：设底面的长为 zymxm ,

根据题意，得

)3232(1203

4800150 yxz

)(720240000 yx ，可得由容积为 34800m

1600

48003

xy

xy

因此，由基本不等式与不等式的性质，可得

xyyx 2720240000)(720240000

3m

xy

即

时，等式成立，即当 40

297600

16002720240000

yxyx

z

z

所以，将水池的地面设计成边长为 40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元。

反思：应用题，先弄清题意（审题），建立数学模型（列式），再用所掌握的数学知识解决问题（求解），最后要回应题意下结论（作答）。

感受总结感受总结

基本不等式1.1. 应用基本不等式要注意的问题应用基本不等式要注意的问题

2.2.灵活对公式的正用、逆用、变形用灵活对公式的正用、逆用、变形用

( 0, 0)2

a bab a b

2

a bab

2( )

2

a bab

2a b ab

作业：第 100页练习第 2 和第 3题。