要点要点 ·· 疑点疑点 ·· 考点 考点 双 基 回 顾双 基 回 顾 能力能力 ·· 思维思维 ·· 方法方法 相 关 拓 展相 关 拓 展

第三章（第二节）第三章（第二节）几种不同增长的函数模型及其应用几种不同增长的函数模型及其应用

要点要点 ·· 疑点疑点 ·· 考点考点1. 函数思想 就是要用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式，把这种数量关系表示出来并加以研究，从而使问题获得解决 . 函数思想是对函数概念的本质认识 . 用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察处理问题 .

2.解答数学应用题的关键有两点： 一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学的抽象、概括，将实际问题归纳为相应的数学问题； 二是要合理选取参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问题获解 .

3.3. 分析和解决函数应用题的思维过程：分析和解决函数应用题的思维过程：实际问题 函数模型

实际问题的解 函数模型得解

抽象概括

推理演算还原说明

答

4. 几类常见的与不同增长的函数有关函数模型有：（ 1 ）一次函数模型 :y=kx+b（ 2 ）二次函数模型 :y=ax2+bx+c（ 3 ）指数函数模型 :y=abx+c （ 4 ）对数函数模型： y=mlogax+n（ 5 ）幂函数模型： y=axn+b

5. 在增长速度上，一般在区间（ 0 ， +∞ ）上，总会存在一个 x0 ，当 x>x0 时，有 logax<xn<ax

1. 某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程，下图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个图形中较符合该学生的走法的是：

双基回顾

D

2.2. 某种放射性元素，某种放射性元素， 100100 年后只剩原来质量的年后只剩原来质量的一半，现有这种元素一半，现有这种元素 11 克，三年后剩下：克，三年后剩下：

3 0.5A.100

克 3B. 1 0.5%（ ）克

C.0.925克 100D. 0.125克

D

3.3. 某商场出售甲、乙两种不同价格的电脑，其某商场出售甲、乙两种不同价格的电脑，其中甲电脑供不应求，连续两次提价中甲电脑供不应求，连续两次提价 10%10% ，而，而乙电脑由于外观原因连续两次降价乙电脑由于外观原因连续两次降价 10%10% ，最，最后甲乙两台电脑均以后甲乙两台电脑均以 98019801 元售出，若商场同元售出，若商场同时售出甲乙两台电脑各一台与价格不升不降比时售出甲乙两台电脑各一台与价格不升不降比较，商场盈利的情况是：较，商场盈利的情况是： A.A. 前后相同 前后相同 B.B. 少赚少赚 598598 元元 C.C. 多赚多赚 980.1980.1 元 元 D.D. 多赚多赚 498.5498.5 元元

B

例例 11 医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的关系记录如下表：录如下表： 天数 t 　 1 2 3 4 5 6 7 …

病毒细胞总数N 　 1 2 4 8 1

632

64 …

已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过过 101088 的时候小白鼠将死亡。但注射某种药的时候小白鼠将死亡。但注射某种药物，将可杀死其体内该病毒细胞的物，将可杀死其体内该病毒细胞的 98%98% 。。

（（ 11 ）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第）为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？一次最迟应在何时注射该种药物？（（ 22 ）第二次最迟应在何时注射该种药物，才）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？ 能维持小白鼠的生命？ （精确到天，已知（精确到天，已知 lg2=0.3010lg2=0.3010 ）） 2727 天天 ;6;6 天天 ..

1

1 8

27 8

2

2 10

2 2% 2 10

n

n

x

N

【解题回顾】指数函数模型，关键在于根据题中条件写出函数式，列出不等式。 注意解题技巧：“两边取对数”，这对实施指数计算很有效。

能力能力 ··思维思维 ·· 方法方法

【解题回顾】看似繁杂的文字题，其背景不过是两个一次函数，当然因 x N∈ * ，故实际上是两个等差数列 .

例 2 一家庭 (父亲、母亲、孩子 ) 去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策，甲旅行社承诺：如果父亲买一张全票，则其家庭成员 (母亲与孩子，不论孩子多少与大 ) 均可享受半价；乙旅行社承诺：家庭旅行算团体票，按原价的 2/3计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同(至少一个 ) ，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪一家旅行社更优惠 ?

例例 33 截止到截止到 19991999 年底，我国人口约为年底，我国人口约为 1313亿，若亿，若今后能将人口平均增长率控制在今后能将人口平均增长率控制在 1%1% ，经过，经过 xx年年后，我国人口为后，我国人口为 yy （亿）；（亿）；（（ 11 ）求）求 yy 与与 xx 的函数关系式的函数关系式 y=f(x)y=f(x) ；；（（ 22 ）求函数）求函数 y=f(x)y=f(x) 的定义域；的定义域；（（ 33 ）判断函数）判断函数 f(x)f(x) 是增函数还是减函数？并指是增函数还是减函数？并指出函数增减性的意义。出函数增减性的意义。【解题回顾】原有人口 P ，增长率为 m （或降低率为m ），经 x 年后 有： P= （ 1+m ） x [ 或 P= （ 1-m ） x]

相关拓展相关拓展 按复利计算利率的储蓄，银行整存一按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年利率年，年利率 8%8% ，零存每月利率，零存每月利率 2%2% ，现把，现把

22万元存入银行万元存入银行 33 年半，取出后本利和应为年半，取出后本利和应为人民币：人民币： A.12 B.15 C.25 D.50A.12 B.15 C.25 D.50

【解题回顾】复利问题：本金为 P ，期利率为 r ，经n期后 本利和为： P= （ 1+r ） n ；单利问题：本金为 P ，期利率为 r ，经 n期后 本利和为：P= （ 1+nr ） ；

例例 44 某工厂今年某工厂今年 11 月、月、 22 月、月、 33月生产某种产月生产某种产品分别为品分别为 11万件、万件、 1.21.2 万件、万件、 1.31.3 万件。为了万件。为了估计以后每月的产量，以这三个月的产品数量估计以后每月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量 yy与月份与月份 xx 的关系，模拟函数可以选择二次函数的关系，模拟函数可以选择二次函数或函数或函数 y=a.by=a.bxx+c+c （其中（其中 a,b,ca,b,c 为常数），已知为常数），已知44月份该产品的产量为月份该产品的产量为 1.371.37 万元，试问用以上万元，试问用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由。哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由。【解题回顾】先用待定系数法分别求出两个函数，再比较当 x=4 时的函数值哪个更接近 1.37 。

某公司为了实现某公司为了实现 10001000 万元利润的目标，万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到售利润达到 1010万元时万元时 ,, 开始按销售利润进行开始按销售利润进行奖励奖励 ,,且奖金且奖金 yy （万元）随销售利润（万元）随销售利润 x x （万（万元）的增加而增加，但奖金总额不超过元）的增加而增加，但奖金总额不超过 55万元，万元，同时奖金不超过利润的同时奖金不超过利润的 25%25% 。。现有三个奖励现有三个奖励模型：模型： y=0.25x,y=logy=0.25x,y=log77x+1,y=1.002x+1,y=1.002xx,, 其中哪其中哪个模型能符合公司的要求？个模型能符合公司的要求？

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煤气费煤气费 == 基本费基本费 ++ 超额费超额费 ++保险费保险费 若每月用量不超过最低限度若每月用量不超过最低限度 AA 米米 33 ，只付基本费，只付基本费 33元和每户每月的定额保险费元和每户每月的定额保险费 CC 元，若每月用量超过元，若每月用量超过 AA

米米 33 ，超过部分每立方米付，超过部分每立方米付 BB 元，又知保险费元，又知保险费 CC 不超不超过过 55 元，根据上面的表格求元，根据上面的表格求 AA 、、 BB 、、 CC 。。

例例 5 5 某家庭今年一月份、二月份和三月份煤气某家庭今年一月份、二月份和三月份煤气用量和支付费用如下表所示：用量和支付费用如下表所示： 月份 用气量 煤气费

一月份 4 立方米 4 元二月份 25 立方米 14 元三月份 35 立方米 19 元

【解题回顾】利用分段函数解决问题。(A=5,B=1/2 ,C=1)