Учитель математики МКОУ «Никольская СОШ» Новоусманского района Воронежской области Елесина Светлана Валериевна

Решение простейших тригонометрических уравнений

и неравенствМатематика

10 класс

Всероссийский дистанционный конкурс «Мозаика презентаций»

2

Содержание• Уравнение sinx=a • Уравнение cosx=a• Уравнения tgx=a, ctgx=a• Тренажёр(реши уравнения)• Неравенства sinx > a, sinx ≥ a• Неравенства sinx < a, sinx ≤ a• Неравенства cosx > a, cosx ≥ a• Неравенства cosx < a, cosx ≤ a• Неравенства tgx > a, ctgx ≥ a• Неравенства tgx<a, ctgx ≤ a• Неравенства a<sinx<b, a≤cosx≤b• Тест(ответь на вопросы) • Литература и интернет - ресурсы

3

Уравнение sinx=a sinx=a -1≤a≤1, x∊R x=(-1)narcsina+πn, n Z∊ arcsin(-a)=-arcsina

Частные случаи:

1)sinx=0, x=πn, n Z∊ 2) sinx=1, x=π/2+ 2πn, n Z∊ 3) sinx=-1, x=-π/2+ 2πn, n Z∊

Пример:

sinx= ½

x=(-1)n π/6+πn, n Z∊ x1= π/6+2πn, n Z ∊

x2=5π/6+2πn, n Z∊

y

1

0

-1 0 1 х

-1

5π6 π6½

π2π

-π2

4

Уравнение cosx=a cosx=a -1≤a≤1, x∊R x=±arccosa+2πn, n Z∊ arccos(-a)=π-arccosa

Частные случаи:

1)cosx=0, x= π/2+ πn, n Z∊ 2) cosx=1, x= 2πn, n Z∊ 3) cosx=-1, x=π+ 2πn, n Z∊

Пример:

cosx= ½

x=± π/3+2πn, n Z∊ x1= π/3+2πn, n Z ∊

x2=-π/3+2πn, n Z∊

y

1

0

-1 0 1 x

-1

π2

-π3

π3π

3π2

½

5

Уравнения tgx=a, ctgx=a tgx=a

x≠ π/2+ πn, n Z; a∊ ∊R x=arctga+πn, n Z∊ arctg(-a)=-arctga

ctgx=a

x≠ πn, n Z; a∊ ∊R x=arcctga+πn, n Z∊ arcctg(-a)=π-arcctga

Пример:

tgx=-1

x= -π/4+πn, n Z∊ ctgx=1

x= π/4+πn, n Z∊

y

ctgx 1

0

x

-1

tgx

π2π

3π2 -π4

π4

6

Тренажёр(реши уравнения)

1) tgx= 1/√3

2) ctgx= 1/√3

3) tgx= 14) sinx= √3/2

5) sinx= 26) sinx= - 1/2

7) cosx= - 28) cosx= 1/2

9) cosx= - √3/2 10) ctgx= √311) tgx= √3 12) ctgx= 113) cosx= 1

( -1)nП/3+Пn,nєZ

±5П/6+2Пn,nєZ

П/4+Пn,nєZ

±П/3+2Пn,nєZ

( -1)n+1П/6+Пn,nєZ

Нет решения

П/3+Пn,nєZ

П/6+Пn,nєZ

2Пn,nєZ

ИРТ Г О Н О М Е Т Р И Я

Я

Г

Е

И

М

Н

О

Р

Т

7

Неравенства sinx>a, sinx≥a

1)sinx> ½ 2) sinx≥ - ½

1

-1

1

-1

π65π6

7π6 - π6Ответ: 1)π/6+2πn <x< 5π/6+2πn, n Z∊ 2) -π/6+2πn ≤x≤ 7π/6+2πn, n Z∊

½

-½

8

Неравенства sinx<a, sinx≤a1)sinx< ½

2) sinx≤ - ½y

0 x

y

0 x

½

-½

π6-7π6

-5π6 -π6

Ответ: 1)-7π/6+2πn <x< π/6+2πn, n Z∊ 2) -5π/6+2πn ≤x≤ -π/6+2πn, n Z∊

9

Неравенства cosx>a, cosx ≥ a

1)cosx> ½ 2)cosx≥- ½y

0 x

y

0 x

½ -½

-2π3

2π3

-π3

π3

Ответ: 1)-π/3+2πn <x< π/3+2πn, n Z∊ 2) -2π/3+2πn ≤x≤ 2π/3+2πn, n Z∊

10

Неравенства cosx<a, cosx ≤ a

1)cosx< ½ 2)cosx≤ - ½у

0 х

у

0 х

½

π3 2π3

5π3 4π3

-½

Ответ: 1)π/3+2πn <x<5π/3+2πn, n Z∊ 2) 2π/3+2πn ≤x≤ 4π/3+2πn, n Z∊

11

Неравенства tgx>a, ctgx≥a

1)tgx>1 2)ctgx≥-1y

1 1

x

-1

y

-1

0

-1 1 x

π2 π4 3π4

Ответ: 1)π/4+πn <x<π/2+πn, n Z∊ 2) πn< x≤ 3π/4+πn, n Z∊

12

Неравенства tgx ≤ a, ctgx<a

1)tgx≤1 2)ctgx<-1y

1 1

0 x

-1

y

-1

0

-1 0 1 x

π2

-π2

π

π4 3π4

Ответ: 1)-π/2+πn <x≤π/4+πn, n Z∊ 2) 3π/4+πn< x < π+πn, n Z∊

13

Неравенств a<sinx<b, a≤cosx≤b 1) - ½ <sinx< ½ 2) - ½ ≤cosx≤ ½

y

1

0 x

-1

y

0 x-½ ½

-½

½π6

-π6

2π3 π3

Ответ: 1)-π/6+πn <x<π/6+πn, n Z∊ 2) π/3+πn≤ x ≤ 2π/3 +πn, n Z∊

14

Тест(ответь на вопросы)1)Имеет ли решение уравнение sinx=1,2?

2)Имеет ли решение уравнение cosx=-0,6?

3)Имеет ли решение уравнение tgx=5,3?

4) Имеет ли решение уравнение ctgx=-2,1?

5) Имеет ли решение неравенство sinx<-0,7?

6)Имеет ли решение неравенство cosx<-1,7?

7)Имеет ли решение неравенство tgx>-4,7?

НетДа

Да

Да

Да

Да

Да

Да

Нет

Нет

Нет

Нет

Нет

Нет

Верно

Верно

Верно

Верно

Верно

Верно

Верно

-1 ≤sinx≤ 1

-1 ≤cosx≤ 1

-1 ≤sinx≤ 1

-1 ≤cosx≤ 1

tgx∊Rсtgx∊R

tgx∊R

15

Литература и интернет-ресурсы

Шаблон презентации - автор: Ранько Елена Алексеевна. Сайт: http://elenaranko.ucoz.ru Алгебра и начала анализа 10 кл. Учебник для общеоб.

учреждений. Базовый и профильный уровень С. М. Никольский и др. М.: Просвещение, 2013г.

Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы для 10 класса базовый и профильный уровни 3 –е издание, - М. Просвещение, 2013. Авторы: М. К. Потапов и А. В. Шевкин,

Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты для 10 класса базовый и профильный уровни, - М. Просвещение, 2013. Автор Ю. В. Шепелева».