数理統計学医薬研究における統計学の役割

東京理科大学浜田知久馬

遺伝学の父　 G.J.Mendel

R.A.Fisher

20 世紀最大の統計学者

英国生まれ

1890-1962

ロザムステッド農事試験場にて , 実験計画法を独力で考案 . 　現代統計学の基礎を独力で構築

メンデルの遺伝の法則

表１ エンドウの２世代にわたる実験（メンデルの得た結果）

形質 両親 Ｆ１ Ｆ１の自家受精 Ｆ２ 比率

１ 種子の形 ×丸 しわ 丸 ×丸 丸 丸 5474 74.8%

しわ 1850 25.2%

２ 子葉の色 ×黄色 緑色 黄色 ×黄色 黄色 黄色 6022 75.1%

緑色 2001 24.9%

３ 種皮の色 ×有色 無色 有色 ×有色 有色 有色 705 75.9%

無色 224 24.1%

４ さやの形 ×ふくらんだ

くびれた

ふ く ら

んだ

×ふくらんだ

ふくらんだ

ふくらんだ 882 74.7%

くびれた 299 25.3%

５ さやの色 ×緑色 黄色 緑色 ×緑色 緑色 緑色 428 73.8%

黄色 152 26.2%

６ 花の付き

方

×被生 頂生 被生 ×被生 被生 被生 651 75.9%

頂生 207 24.1%

７ 茎の高さ ×高 低 高 ×高 高 高 787 74.0%

低 277 26.0%

メンデルの３法則•優性の法則 Ａ A とａａを掛け合わせると，次の世代は，片方の親の表現型 (A) のみになる．

• 分離の法則 Ａａ同士を交配すると，次の世代は，(Ａ＋ａ )2＝ＡＡ＋２Ａａ＋ａ aで，表現型がＡとａのものが３：１で生じる．

•独立の法則 異なった形質は独立に遺伝する．

メンデルの苦悩メンデル：「私は親から子への遺伝の問題について，長年研

究を続けてきた．最近 gene という概念を導入することにより遺伝という現象が，よく説明できることに気づいた．もし，この仮説が正しければ， Ｆ２ において，優性と劣性のものの比率は 3:1 になるはずである． データからも，それに近いような結果が得られている．例えば，種子の形が丸としわの数は 5474 と 1850 で，比率は 74.8% と25.2% で，ほぼ 3:1 になっている．私の gene 仮説を立証するには，これが 3:1 であることを科学的に裏付けないといけない．客観的な裏付けがないと，学会からまたホラフキといわれてしまう．」

メンデルの苦悩メンデル：「私はこれまで随分努力をしてきました．はじめ

は純系がうまく作れなかったためＦ２ の優性と劣性の比率がかなりばらついてしまいましたが，バラツキをなくすために，何十年もかけて純系を作り出しました．そして学会に結果を発表したら，形質の判断が正確にできているのかと文句をいわれました．そこで形質の判定ミスがなくなるように，だれにでも判断が容易な７つの形質を取り上げましたが，今度はＮが小さすぎてあてにならないと言われました．それで農園のあちこちにエンドウをまいて，このデータを得たわけです， 3:1 に近くなっていますが，完全にはならない．どうしたら 3:1 であることが証明できるのでしょうか．もっとＮを増やさないといけないのでしょうか，フイッシャー先生 」

確率分布とは

・データはバラツキを伴う .

・バラツキをモデル化しない限りは　評価ができない・確率分布　 (probability distribution) 　　　バラツキを確率的に記述するための道具 　データがいろいろな値をとる確率を表現

確率分布Ｎ個のエンドウマメ π ：しわの比率 しわの数の個数Ｘの分布：２項分布 Pr(X)= Ｎ

ＣＸ・ π ｘ（１－ π ）Ｎ－Ｘ

N=7324 π=0.25しわの数の期待値： Nπ=7324×0.25=1831しわの数が 1831 になる確率

7324Ｃ 1831･ 0.251831( １－ 0.25 ） 7324-1831

＝ 0.010765

N=7324,π=0.25の 2項分布

ｐ値の計算1812 1850

２項分布の比率の検定1) 仮説を立てる． しわのエンドウの数は，Ｎ＝ 7324 ，比率 0.25の２項分布にしたがう．

2) 仮説の下で得られたデータ (1850) 以上に極端な事象の起きる確率 (p 値 ) を計算する．

1831±19=1812,1850

1850 以上になる確率： 0.308

1812 以下になる確率： 0.309

両側ｐ値 =0.617

２項分布の正規近似期待値：Ｎ π ＝ 7324×0.25 ＝ 1831分散 ：Ｎ π( １－ π) ＝ 7324×0.25×0.75 ＝ 1373.25 ＝ (37.057) ２

２項分布を平均が 1831 で標準偏差 SD が37.0 の正規分布で近似

平均 ± ＳＤの範囲に約 70 ％平均 ± ２ＳＤには約 95% のデータを含む平均 ± ＳＤ :1831±37.057 ＝ 1794 ～ 1868

2 項分布の正規近似期待値：Ｎ π＝ 7324×0.25＝ 1831 分散：Ｎ π(１－ π) ＝ 7324×0.25×0.75 ＝ 1373.25＝ (37.057) ２

Ｎ＝ 7324,π=0.25の 2項分布N(1831,37.057 ２)の正規分布で近似X2=（ 1850－期待値 )2/分散　 =（ 1850－ 1831)2/1373.25＝0.51272 　

2 項分布の正規近似

1831

3737

1812 1850

近似の精度

正規近似による検定 表２ 比率 0.25の検定結果

形質 劣性の 期待数 観測数 標準偏差 期待数 期待数 ｐ値

観測数 -期待数 （ SD） － 2SD ＋ 2SD1 種子の形 1850 1831.00 19.00 37.06 1756.89 1905.11 0.61 2 子葉の色 2001 2005.75 -4.75 38.79 1928.18 2083.32 0.90 3 種皮の色 224 232.25 -8.25 13.20 205.85 258.65 0.53 4 さやの形 299 295.25 3.75 14.88 265.49 325.01 0.805 さやの色 152 145.00 7.00 10.43 124.14 165.86 0.50 6 花の付き方 207 214.50 -7.50 12.68 189.13 239.87 0.55 7 茎の高さ 277 266.00 11.00 14.12 237.75 294.25 0.44

ｐ値＞0.05 ＝ 観測数が期待値±2ＳＤ以内

適合度のカイ２乗検定 観測数が期待数 ±2SD の範囲に入る＝ ( 観測数－期待数 ) ／ SD が ±2 の範囲

（観測数－期待数）２／ SD ２

＝ ( 観測数－期待数 ) ２／分散 )＝ ( 観測数－期待数 ) ２／ {Nπ( １－ π)}＝ ( 観測数－期待数 ) ２ ／ {Nπ}

＋ ( 観測数－期待数 ) ２ ／ {N( １－ π)}

適合度のカイ２乗検定 期待数 観測数 差

劣性： 7324・ 0.25 ＝ 1831 1850 19 優性： 7324・ (1-0.25)＝ 5493 5474 － 19

（観測数と期待数の差 )2／期待数 劣性 19 ２ ／ 1831＝ 0.197 優性 (－ 19) ２／ 5493＝ 0.066 計

0.262

メンデルの実験への疑問1) ７つの形質全てで 3:1 に近い (p=0.023)

2) 追試ではメンデルほどきれいな結果は出てない3)7 つの形質は 7 つの染色体上に独立して存在4)3:1 を証明するには数が多すぎる．

メンデルは苦悩したに違いない．もしメンデルが統計学を知っていたなら，より少

ないデータで，より強い確証が持てたに違いない．

物理化学実験と生物実験 物理化学実験 生物実験目的 法則の証明 技術評価実験の制御 容易 困難誤差 除去すべき 除去不可

ex) PV=nRT P ：圧力 V: 体積 T: 温度 この関係を調べるときどのよう

な実験をすべきだろうか．

統計学のアプローチ

1) バラツキを確率分布で表す .

2 ）仮説の正しさを確率（ｐ値）で評価する .

3 ）分布を近似する .

生物実験における統計学の役割実験計画と結果の評価

実験→評価→実験→評価→・・・1) 実験計画：効率的な実験 (N を少なくす

る） 妥当な実験 ( 目的に応じて）2) 結果の評価：考察のための材料 誤差の大きさの評価 検定：偶然を越えた結果 標準的 , 客観的評価

H11 年都知事選挙　 候補者名 得票数 ( 票 ) 所属政党名2 鳩山　邦夫 851,130 無所属 3 羽柴　誠三秀吉 2,894 無所属 5 柿沢　こうじ 632,054 無所属 6 桝添要一 836,104 無所属 11 三上　満 661,881 無所属 12 明石　康 690,308 無所属 13 ドクター・中松 100,123 無所属 14 石原　慎太郎 1,664,558 無所属

選挙速報　　標本　　　 M 氏　　　　　　　 I 氏　　　　　

　　ｐ値　　 70 　　　　 8(11%) 　　 　 16(23%) 　　 　 0.

1516

　 140 16(11%) 　　 　 32(23%) 　　 　 0.0293

700 　　　 80(11%) 　　 　 160(23%) 　　 0.00001

7000 　　 800(11%) 　　 1600(23%) 　　 <10-61

出口調査0.00 ％の投票率で当選確実

投票所から出てくる人を数えてて、十人とか十五人おきにアンケートに答えてもらう。

断られた場合は、調査員が自分で、年齢と性別を判断して書き込んでおく。一ヵ所 100 人～ 150 人くらいサンプル取り，調査個所は都内だと 300 程度 , それを 12時と 5 時に調査員が集計して、近くのコンビニからファクスで送信。

東京都の投票する

全集団　約 700万人

標本

無作為抽出

統計的推測

白い巨塔

財前五郎

40歳。国立浪速大学第一外科教授。食道外科を専門とし、とくに食道癌の手術に関しては絶対の技術とそれに裏打ちされた自信を持つ。

財前五郎死す

ステージⅠの肺癌と診断

肺がんの統計 ・世界的に増加傾向・ 2015 年の，肺がんの 1 年間の新患者数は　男性 11万人、女性 3万 7千人・ 50歳以上に多く、男女比は約 3 ： 1・ 1999 年の肺がんによる年間死亡者数 :5万 2千人　（がん死亡 :約 29万人、うち胃がん約 5万人）・ 1993 年から肺がんは男性のがん死亡率の第 1位、女性では胃がんに次いで第 2位

・肺がんの 5 年生存率 : 25 ～ 30%

財前五郎を救えIa 期　がんが原発巣にとどまっており、大きさは３ cm 未満 Ib 期　がんが原発巣にとどまっており、大きさは３ cm 以上 IIa 期　原発巣のがんの大きさは３ cm 未満、がんが原発巣と

同じ側リンパ節に転移があるが、他の臓器には転移がない IIb 期　原発巣のがんの大きさは３ cm 以上であり、がんが原

発巣と同じ側の肺門のリンパ節に転移を認めますが、他の臓器には転移を認めない

IIIa 期　原発巣のがんが直接胸膜・胸壁に拡がっているが、転移は原発巣と同じ側の肺門リンパ節まで、他の臓器には転移を認めない

IIIb 期　原発巣のがんが直接縦隔に拡がっていたり、胸膜へ転移をしたり、胸水がたまっていたり、原発巣と反対側の縦隔、首のつけ根のリンパ節に転移していますが、他の臓器に転移を認めない。

IV 期　原発巣の他に、肺の他の場所、脳、肝臓、骨、副腎などの臓器に転移（遠隔転移）がある場合

ステージと５年生存率ステージ　　　　５年生存率IA 　　　　　　　　　　　８０％　　IB 　　　　　　　　　　　７０％ⅡA 　　　　　　　　　　５０%

ⅡB 　　　　　　　　　　４０％ⅢA 　　　　　　　　　　３０％ⅢB 　　　　　　　　　　１５％Ⅳ　　　　　　　　　　　　５％未満

対象研究対象研究研究 登録期間 症例数

西日本肺癌手術の補助化学療法研究会 (西日本肺癌　２次 )

1985.12 – 1989.7 201

西日本肺癌手術の補助化学療法研究会 (西日本肺癌　４次 )

1991.3 – 1994.4 332

東北地区肺癌術後化学療法研究会（東北肺癌 ) 1992.3 – 1994.12 219

Osaka Lung Cancer Study Group (OLCSG) 1992.4 – 1994.3 172

肺癌手術補助化学療法研究会 (ACTLC) 1992.9 – 1995.8 100

日本肺癌術後補助化学療法研究会 (JLCRG) 1994.1 – 1997.3 979

計 2,003

Risk Ratios for 5-year Overall Survival (OS)

0 1.0 2.0

West Japan 2nd.

West Japan 4nd.

Northeast Japan

Osaka

ACTLC

JLCRG

Total

Test for Heterogeneity: =2.63, p=0.76 , : 95% Cl

25

0.77, 0.63- 0.94

ステージⅠの肺癌の治療

１）外科的切除 　肺葉切除と肺門及び縦隔リンパ節郭清 ２）放射線療法（外科手術が適切でない場

合）３）補助化学療法　　手術で取り切れない，小さな癌細胞を抗癌剤で抑える療法

0 1 2 3 4 5 6 7

Years

0

20

40

60

80

100

ステージⅠの生存率ステージⅠの生存率

UFT

Control

81.8% 176

77.2% 221

76.5% 　 207

69.5% 　 271

p=0.011 p=0.001

5 生率 　死亡数 7 生率 　死亡数

UFT

Control生存率％

開胸→ステージⅣと判明

癌は胸膜全体に広がっており，切除不能

全身転移（脳転移）の疑いあり．

体力を温存させるためにすぐに閉胸

ステージⅣの肺癌の治療１）抗がん剤による化学療法２）放射線療法３）痛みや他の苦痛に対する症状緩和を目的とし

た緩和療法通常、 IV期では手術を行うことはなく、抗がん剤

による化学療法が選択されます。しかしながら、非小細胞がんは抗がん剤が効きにくく、現状では抗がん剤のみでがんを治すことは不可能です。このため、治療成績向上を目指して、化学療法に関する多くの臨床試験が進められています。

ステージⅣの生存率ステージⅣの生存率

イレッサ　従来の抗がん剤とは異なる新しいタイプの分子標的治療剤の 1 つで、世界で最初に承認された選択的な EGFR-TKI （上皮成長因子受容体チロシンキナーゼ阻害剤）。

　イレッサは分子標的治療剤として非小細胞肺がん治療の選択肢を広げる薬剤であると期待されている . アストラゼネカは世界中で適応拡大の開発をおこなっており、現在、頭頸部がん、大腸がん、乳がんを含むさまざまな固形がんの第 2相臨床試験を実施中。

イレッサ2001.7.30 米国 FDA へ承認申請2002.1.25 　日本厚生労働省へ承認申請2002.7. 5 　承認　2002.10.15 アストロゼネカ社へ緊急安全性情報発出を指示2002.12.25 第 1回ゲフィニチブ安全性問題検討会　　 間質性肺炎等 358例中死亡例 114 2003.5.2 同第 2 回検討会　 616例中死亡例 2462004.3.23 症例数　 1151例中死亡 4442004.12.17 アストロゼネカが延命効果試験結果を公表2004.12.20 日本アストロゼネカ社が同結果を公表2005.1.4 アストロゼネカ社欧州医薬品審査庁に対する イレッサの承認申請を取り下げ

ISEL＝ IRESSA 　 Survival Evaluation 　 in Lung cancer ）

i 　イレッサ（ 250mg/ 日）＋ベストサポーテイブケアー

vs プラセボ（偽薬）比較第Ⅲ相臨床試験　　標準化学療法が効かなくなった非小細胞肺がん

患者への第 2 次または第 3 次治療 .ii　試験期間： 2003 ． 7.15 ～ 2004 ． 8.2iii 　対象患者： 1692 例（ 1129 例：イレッサ、 563

例プラセボ）、 210 施設、 28 カ国 ( 日本は除く）iv　主要評価項目：生存v 　副次的評価項目：治療変更までの期間、奏効率、

QOL 、 EGFR 発現、 EGFR 遺伝子の変異とその他バイオマーカー、安全性

 

ISEL 試験結果のまとめi 　全患者 1692名対象の解析で、イレッサ服用患

者はプラセボ服用患者と比較して、腫瘍縮小効果では統計的に有意な改善が見られたが、主要目的である生存期間に関しては統計的に有意な延命効果に至らなかった（ 5.6ヶ月と 5.1ヶ月）。

ii 　東洋人患者 374名を対象とした解析ではイレッサ服用者 9.5カ月に対しプラセボ服用者 5.5ヶ月となり、生存期間の改善が示唆された。

iii 　非喫煙者と喫煙者との比較では非喫煙者に有意の効果が認められた。