16.10.2002 Доклад на конф. РФФИ 1

Исследования в МГУ по функциональным методам

в топологии и некоммутативной

геометрииА.С.Мищенко

(Москва, МГУ)

16.10.2002 Доклад на конф. РФФИ 2

Функциональные методы в дифференциальной топологии – некоммутативная геометрия

За последние 2-3 декады прошлого столетия в топологии усиленно развивались направления, которые сейчас принято называть "некомму-тативной геометрией". По сути дела, это название группирует круг задач и методов их решения, которые изначально базировались на довольно простой идее переформулировании топологических свойств пространств и отобра-жений в терминах соответствующих алгебр непрерывных функций.

16.10.2002 Доклад на конф. РФФИ 3

 

Хотя эта идея очень старая и восходит к ключевой теореме Гельфанда-Наймарка о взаимно однозначном соответствии между категорией компактных топологических пространств и категорией коммутативных C*-алгебр, и разрабатывалась различными авторами как в коммутативном так и в некоммутативном случае, в более или менее явном виде эта идея была провозглашена в виде программы действия А.Коном в его книге «Некоммутативная геометрия».

16.10.2002 Доклад на конф. РФФИ 4

Несмотря на ее самоочевидность, идея рас-сматривать, наряду с коммутативными $C^*$-алгебрами (которые можно интерпретировать как алгебры функций на топологических про-странствах ее максимальных идеалов), также и некоммутативные алгебры как функции на несу-ществующем «некоммутативном» пространстве оказалась настолько плодотворной, что поз-волила соединить воедино многообразие пред-ставлений и методов из таких разделов, как топология, дифференциальная геометрия, функ-циональный анализ, теория представлений, асимптотические методы в анализе и взаимно обогатить их новыми теоремами и свойствами.

16.10.2002 Доклад на конф. РФФИ 5

 

Одна из классических задач в гладкой топологии, заключающаяся в описании топологических и гомотопических свойств характеристических класов гладких и кусочно-линейных многообразий, за это время приобрела практически завершенный вид исключительно благодаря тому, что к ней были применены разнообразные методы функцио-нального анализа. И, наоборот, попытки осмыс-лить и решить классические топологические зада-чи привели к обогащению методов функциональ-ного анализа. Как это типично происходит, решение одних частных задач привело к открытию новых горизонтов в развитии математических методов и открытию новых свойств классических математических объектов.

16.10.2002 Доклад на конф. РФФИ 6

Исследования в МГУ интенсивно проводились в следующих направлениях :

• Теория фредгольмофых и асимптотических представлений;

• Двойственность Пуанкаре и формула Хирцебруха;

• Теория индекса эллиптических операторов над С*-алгебрами;

• Теория гильбертовых С*-модулей;

• К-теория операторных алгебр.

16.10.2002 Доклад на конф. РФФИ 7

Участники группы• 1. Соловьев Ю.П., дфмн,• 2. Троицкий Е.В., дфмн,• 3. Мануилов В.М., дфмн, • 4. Штерн А.И., кфмн, • 5. Бабенко И.К., дфмн, • 6. Постников М.М., дфмн, • 7. Хелемский А.Я., дфмн,• 8. Попеленский Ф. – кфмн,

• 9. Павлов А.А. – кфмн,• 10. Шарыгин Д.И. – асп.,• 11. Попов П.С. – асп.,• 12. Ахметьев П.- дфмн,• 13. Мельникова И.А. – кфмн,• 14. Ершов А. – кфмн,• 13. Ирматов А.А., кфмн,• 14. Тулешев С.М.- асп.,• и др.

Опубликовано более 100 публикаций в российских и зарубежных журналах;Принято участие в многочисленных российских и международных конференциях;В 2001 году при поддержке РФФИ проведена специальная международная конференция в Москве. Стипендии ДААД и общества Макса Планка, Гос. Премия РФ 1996 г.

16.10.2002 Доклад на конф. РФФИ 8

Книги

16.10.2002 Доклад на конф. РФФИ 9

Книги

16.10.2002 Доклад на конф. РФФИ 10

Специальный выпуск

«Некоммутативная геометрия и операторная K-теория»Под ред.

А.С.Мищенко

16.10.2002 Доклад на конф. РФФИ 11

1.Теория фредгольмофых и асимптотических представлений

• Очень плодотворной для некомпактных групп оказалась идея рассматривать вместо представлений некоторые более общие отображения в алгебру операторов, которые, с одной стороны, увеличивают свободу маневра, а, с другой, сохраняют основные черты представлений, необходимых для применения их в топологических задачах.

16.10.2002 Доклад на конф. РФФИ 12

• Источником такого сорта идей послужили, с одной стороны чисто физические соображения, которые заключаются в том, что любая наблюдаемая симметрия явления, а вместе с ней и некоторый закон сохранения, в действительности проявляется неточно.

• Поэтому естественно возникает вопрос распознавания по неточной симметрии истинной симметрии.

16.10.2002 Доклад на конф. РФФИ 13

Асимптотический гомоморфизм

• Еще Войкулеску показал, что асимптотический гомоморфизм не гомотопен настоящему гомоморфизму, решив тем самым проблему Халмоша для пары унитарных операторов

• Теорема (А.С.Мищенко, В.М.Мануй-лов) Любое асимптотическое пред-ставление сводится к фредгольмову представлению.

16.10.2002 Доклад на конф. РФФИ 14

• Теорема (В.М.Мануйлов). Любой асимптотический гомоморфизм в алгебру Калкина гомотопен настоящему гомоморфизму.

Квазипредстваления как частный случай почти представлений:

•(А.И.Штерн): Критерий аменабель-ности связной локально компактной группы в терминах существования достаточно близких представлений для любого квазипредставления.

16.10.2002 Доклад на конф. РФФИ 15

• была предложена общая схема фундаментальной группы, которая сводит задачу к построению специального пополнения классифицирующего пространства и решению уже чисто гомотопической задачи на последнем.

Метрический подход к построению фредгольмовых представлений

16.10.2002 Доклад на конф. РФФИ 16

Пусть - фундаментальная группа,

B - классифицирующее пространство,

E - пополнение по метрике,

)(),(: 0! BKEEEKp - прямой образ

-

Теорема.(А.С.Мищенко)Существует конс-трукция фредгольмовых представлений

)(),(0 FREEEK ,

с коммутативной диаграммой

16.10.2002 Доклад на конф. РФФИ 17

)()(

)(),( !0

FF

p

RR

BKEEEK

Таким образом, задача о построении доста-точного запаса фредгольмовых предствле-ниий сводится к изучению гомотопического типа пары ),( EEE .

16.10.2002 Доклад на конф. РФФИ 18

2.Двойственность Пуанкаре и формула Хирцебруха

• Пусть - произвольное (неплоское) расслоение над комбинаторным многообразием M. Тогда для подходящего достаточно мелкого симплициального разбиения можно определить невырожденную квадратичную форму на цепях многообразия M с коэффициентами в расслоении , так что ее сигнатура удовлетворяет формуле Хирцебруха

][,)(),( MchMLMsign

16.10.2002 Доклад на конф. РФФИ 19

3.Теория индекса эллиптических операторов над С*-алгебрами

• Е.В.Троицкий: Разработка теории эллиптических операторов в «дважды» эквивариантном случае, когда группа действует как в расслоениях, так и на алгебре скаляров. А.С.Мищенко и др.: Построение относительного аналитического кручения на уровне С*-алгебр.

16.10.2002 Доклад на конф. РФФИ 20

4.Теория гильбертовых С*-модулей;К-теория операторных алгебр

• Аналог теоремы Кюйпера для С*-алгебр: Е.В.Троицкий,В.Касимов, J.Mingo, J.Cuntz & N.Higson – для операторов, допускающих сопряженные, Е.В.Троицкий – для операторов общего типа для коммутативных алгебр конечномер-ного типа и ряда других.

16.10.2002 Доклад на конф. РФФИ 21

Скрученные действия группы и числа Рейдемайстера

Идея использования неклассических действий группы.Хорошо известна классическая теорема Бернсайда: количе-ство неприводимых попарно неэквивалентных представлений конечной группы равно количеству классов сопряженных элементов. Аналог для числа классов сопряженности, скрученных некоторым автоморфизмом :: = число Рейдемайстера ( = число Нильсона) описывается как число неподвижных точек отображения *:^^ пространства классов эквивалентных неприводимых представлений. Эта гипотезe доказали Троицкий Е.В. и Фельдштын для групп типа 1 (расширения коммутативных групп с помощью конечных):

))((: 2 lB - регулярное представление, спектральное

разложение ,dim,)(^

HdH