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單元二 數字之美

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單元二 數字之美. 我們在報紙的財經版和體育版,經常看到圖表裡有各種各樣的數字。我們在日常生活裡,也經常用到數字。有的數字代表一個數量,有的用來命名,像是街道、門牌或頁次。我們雖然整天都在使用數字,卻很少人觀察過數字所具有的不尋常特性,就像我們走過開滿了花的花園,卻匆匆而過,沒有駐足留意到花香一樣,真是一件可惜的事。. 數字的兩大類特性. 第一類是所有數字系統都具備的特質 讓我們能更深入的瞭解數學,培養出對 數學特有的直覺 第二類是只有十進位制的系統獨有的怪異行徑 隨著不同的數字系統而改變,幫助我們對十進位制有更深層的認識. 人類選擇使用十進位制. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: 單元二  數字之美

單元二 數字之美

Page 2: 單元二  數字之美

我們在報紙的財經版和體育版,經常看到圖表裡有各種各樣的數字。我們在日常生活裡,也經常用到數字。有的數字代表一個數量,有的用來命名,像是街道、門牌或頁次。我們雖然整天都在使用數字,卻很少人觀察過數字所具有的不尋常特性,就像我們走過開滿了花的花園,卻匆匆而過,沒有駐足留意到花香一樣,真是一件可惜的事。

Page 3: 單元二  數字之美

數字的兩大類特性

• 第一類是所有數字系統都具備的特質 讓我們能更深入的瞭解數學,培養出對 數學特有的直覺

• 第二類是只有十進位制的系統獨有的怪異行徑 隨著不同的數字系統而改變,幫助我們對十進位制有更深層的認識

Page 4: 單元二  數字之美

人類選擇使用十進位制

• 我們有十根手指頭,這是原始人類最基本的計算工具了

電腦使用二進位制 • Why ?

Page 5: 單元二  數字之美

神奇的數字模式

Page 6: 單元二  數字之美

1×1 = 1

11×11 = 121

111×111 = 12,321

1,111×1,111 = 1,234,321

11,111×11,111 = 123,454,321

111,111×111,111 = 12,345,654,321

1,111,111×1,111,111 = 1,234,567,654,321

11,111,111×11,111,111 = 123,456,787,654,321

111,111,111×111,111,111 = 12,345,678,987,654,321

Page 7: 單元二  數字之美

1×8 + 1 = 9

12×8 + 2 = 98

123×8 + 3 = 987

1,234×8 + 4 = 9,876

12,345×8 + 5 = 98,765

123,456×8 + 6 = 987,654

1,234,567×8 + 7 = 9,876,543

12,345,678×8 + 8 = 98,765,432

123,456,789×8 + 9 = 987,654,321

Page 8: 單元二  數字之美

76,923 × 10 = 769,23076,923 × 9 = 692,30776,923 × 12 = 923,07676,923 × 3 = 230,76976,923 × 4 = 307,692

Page 9: 單元二  數字之美

76,923 × 2 = 153,84676,923 × 7 = 538,46176,923 × 5 = 384,61576,923 × 11 = 846,15376,923 × 6 = 461,53876,923 × 8 = 615,384

Page 10: 單元二  數字之美

142,857 × 2 = 285,714142,857 × 3 = 428,571142,857 × 4 = 571,428142,857 × 5 = 714,285142,857 × 6 = 857,142

142857×7= ?

Page 11: 單元二  數字之美

123456789 × 1 × 9 = 111,111,1101123456789 × 2 × 9 = 222,222,2202123456789 × 3 × 9 = 333,333,3303123456789 × 4 × 9 = 444,444,4404123456789 × 5 × 9 = 555,555,5505123456789 × 6 × 9 = 666,666,6606123456789 × 7 × 9 = 777,777,7707123456789 × 8 × 9 = 888,888,8808123456789 × 9 × 9 = 999,999,9909

Page 12: 單元二  數字之美

12345679 × 1 × 9 = 111,111,11112345679 × 2 × 9 = 222,222,22212345679 × 3 × 9 = 333,333,33312345679 × 4 × 9 = 444,444,44412345679 × 5 × 9 = 555,555,55512345679 × 6 × 9 = 666,666,66612345679 × 7 × 9 = 777,777,77712345679 × 8 × 9 = 888,888,88812345679 × 9 × 9 = 999,999,999

Page 13: 單元二  數字之美

987654321 × 9 = 08 888 888 889987654321 × 18 = 17 777 777 778987654321 × 27 = 26 666 666 667987654321 × 36 = 35 555 555 556987654321 × 45 = 44 444 444 445987654321 × 54 = 53 333 333 334987654321 × 63 = 62 222 222 223987654321 × 72 = 71 111 111 112987654321 × 81 = 80 000 000 001

Page 14: 單元二  數字之美

1 × 9 + 2 = 11 12 × 9 + 3 = 111 123 × 9 + 4 = 1111 1234 × 9 + 5 = 11111 12345 × 9 + 6 = 111111 123456 × 9 + 7 = 1111111 1234567 × 9 + 8 = 1111111112345678 × 9 + 9 = 111111111

Page 15: 單元二  數字之美

9 × 9 + 7 = 88 98 × 9 + 6 = 888 987 × 9 + 5 = 8888 9876 × 9 + 4 = 88888 98765 × 9 + 3 = 888888 987654 × 9 + 2 = 8888888 9876543 × 9 + 1 = 8888888898765432 × 9 + 0 = 888888888

Page 16: 單元二  數字之美

999999 × 2 = 1999998999999 × 3 = 2999997999999 × 4 = 3999996999999 × 5 = 4999995999999 × 6 = 5999994999999 × 7 = 6999993999999 × 8 = 7999992999999 × 9 = 8999991

Page 17: 單元二  數字之美

9 × 9 = 81 99 × 99 = 9801 999 × 999 = 998001 9999 × 9999 = 99980001 99999 × 99999 = 9999800001 999999 × 999999 = 9999980000019999999 × 9999999 = 99999980000001

Page 18: 單元二  數字之美

奇妙的 1089

任意選一個百位數與個位數不同的三位數 ,按以下的步驟運算後,所得到的數字一定是 1089 。

Step1. 將所選的數字顛倒過來 Step2. 兩個數相減 Step3. 再把得到的數顛倒 Step4. 將最後的兩個數字相加

Page 19: 單元二  數字之美

1089 × 1 = 10891089 × 2 = 21781089 × 3 = 32671089 × 4 = 43561089 × 5 = 54451089 × 6 = 65341089 × 7 = 76231089 × 8 = 87121089 × 9 = 9801

10989 × 1 = 10989 10989 × 2 = 21978 10989 × 3 = 32967 10989 × 4 = 43956 10989 × 5 = 54945 10989 × 6 = 65934 10989 × 7 = 76923 10989 × 8 = 87912 10989 × 9 = 98901

Page 20: 單元二  數字之美

1089 × 9 = 9801 10989 × 9 = 98901 109989 × 9 = 989901 1099989 × 9 = 9899901 10999989 × 9 = 98999901 109999989 × 9 = 989999901

2178 × 4 = 8712 21978 × 4 = 87912 219978 × 4 = 879912 2199978 × 4 = 8799912 21999978 × 4 = 87999912 219999978 × 4 = 879999912

Page 21: 單元二  數字之美

最後一定是 1

任意選一數字,重複以下的運算規則,最後一定得到 1 。

規則 1. 若是奇數,則把它乘以 3 再加 1 。

規則 2. 若是偶數,則把它除以 2 。

Page 22: 單元二  數字之美

• 例: 12

12 → 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

• 例: 29

29 → 88 → 44 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

Page 23: 單元二  數字之美

完美的數

一個等於那些小於它且能整除它本身的數字之和的數。

6 = 1 + 2 +3

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 +124+248

再來是哪一個?

Page 24: 單元二  數字之美

圖形數

如果把數字看成一些點,例如 3 代表 3個點,利用這些點可以排成一個多邊形,這樣的數字就稱為圖形數。

三角形數

●1

●● ●

3

●● ●

● ● ●

6

●● ●

● ● ●● ● ● ●

10

Page 25: 單元二  數字之美

正方形數

●1

●4

● ● ●

●9

● ● ●

● ● ● ●

16

Page 26: 單元二  數字之美

五邊形數

●1

●●

●●

5

●●

●●

● ● ●●●

●● ●

12

●●

●●

● ● ●●●

● ● ● ●●●●

●● ●

● ● ●

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Page 27: 單元二  數字之美

停在 6174

任選一個數字不全部相同的四位數,重複以下運算規則,最後一定到 6174 。

Step1. 重新安排數字的順序,使得結果為最大及最小。

Step2. 最大數減最小數。 Step3. 若 step2. 的結果不是 6174 ,再重複 step1. 及 step2. 。

Page 28: 單元二  數字之美

例: 3203 。• 將數字重排後,最大為 3320 ,最小為 233 ,

3320 - 233 = 3087 。• 再將數字重排,最大為 8730 ,最小為 378 ,

8730 - 378 = 8352 。• 再將數字重排,最大為 8532 ,最小為 2358 ,

8532 - 2358 = 6174 。

Page 29: 單元二  數字之美

作業 請各組分別就抽籤分配到的一個五邊形數,說明是那一個三角形數與那一個正方形數之和,再將此數按照「最後一定是 1 」的規則演練一次。

( 1 )第 16 個( 2 )第 17 個( 3 )第 18 個( 4 )第 19 個( 5 )第 20 個( 6 )第 21 個( 7 )第 22 個( 8 )第 23 個( 9 )第 24 個( 10 )第 25 個 (11) 第 26 個 (12) 第 27 個

( 13 ) 第 28 個 (14) 第 29 個 (15) 第 30 個