第三章 线性方程组第三章 线性方程组

§1 §1 消元法消元法 §2 §2 nn维向量空间维向量空间 §3 §3 线性相关性线性相关性 §4 §4 矩阵的秩矩阵的秩 §5 §5 线性方程组有解判别定理线性方程组有解判别定理 §6 §6 线性方程组解的结构线性方程组解的结构

§1 消元法 现在讨论一般线性方程组：

(1)

其中 为 n 个未知量， s 为方程个数； 为

snsnss

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

nxxx ,,, 21 ),,2,1,,,2,1( njsiaij

方程组的系数， 为常数项。 s 与 n 不一定相等。满足方程组（ 1 ）的有序数组 称为方程组的解；解的全体称为解集合。如果两个方程组有相同的解集合，就称为它们是同解的。

， 。

),,2,1( sibi

),,,( 21 nkkk

nsnss

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

A

2

1

21

22221

11211

A 为系数矩阵

为增广矩阵

snss

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

A

例 解方程组

方程组的解为（ 9 ， -1 ， -6 ）。

622

4524

132

31

321

321

xx

xxx

xxx

5

24

132

32

32

321

xx

xx

xxx

183

5

132

3

32

321

x

xx

xxx

用了

1 、用一个非零的数乘某一方程；2 、把一个方程的倍数加到另一个方程；3 、互换两方程的位置。

定义 1 变换 1 、 2 、 3 称为线性方程组的初等变换。及矩阵的初等行变换。容易验证初等变换总是把方程组变成同解方程组。

用初等变换解一般线性方程组： 对于方程组（ 1 ）如果 的系数 全为零，（ 1 ）可以看为 的方程来解。否则，利用初等

变换（ 3 ）可以设 ，用变换（ 2 ）将方程组（ 1 ）变为：

1x

12111 ,,, saaa nxx ,,2

011 a

（ 3 ）

其中

snsns

nn

nn

bxaxa

bxaxa

bxaxaxa

22

22222

11212111

),,2,,,2(111

1 njsiaa

aaa j

iijij

snsns

nn

bxaxa

bxaxa

22

22222

这样解方程组（ 1 ）就归结为解下方程组

（ 4 ）

对（ 4 ）重复以上过程，最后得到一个阶梯形的方程组。

00

00

0 1

222222

111212111

r

rnrnrrr

nnrr

nnrr

d

dxcxc

dxcxcxc

dxcxcxcxc

其中 当 时，方程组无解； 当 时，分两种情况： 1 ） r=n ，这时阶梯形方程组为

其中 。这时方程组有唯一解。

),,2,1(0 ricii 01 rd01 rd

nnnn

nn

nn

dxc

dxcxc

dxcxcxc

22222

11212111

),,2,1(0 nicii

2 ） r<n ，阶梯形方程组为

rnrnrrr

nnrr

nnrr

dxcxc

dxcxcxc

dxcxcxcxc

222222

111212111

),,2,1(0 ricii 其中 ，把它改写成

nrnrrrrrrr

nnrrrr

nnrrrr

xcxcdxc

xcxcdxcxc

xcxcdxcxcxc

11,

211,222222

111,111212111

（ 7 ）

这时，有无穷多组解。由（ 7 ）式，我们可以把 通过 表示出来，这样一组表达式称为方程组（ 1 ）的一般解，而 称为一组自由未知量。

r>n ，是不可能的。 总之：首先将方程组化为阶梯形的方程组，

若 ，则方程组无解； 若 ，方程组有解。在有解的情况

下，若 r=n ，有唯一解；若 r<n 有无穷多解。

rxxx ,,, 21 nr xx ,,1

nr xx ,,1

01 rd01 rd

定理 1 在齐次线性方程组

中，如果 s<n ，那么它必有非零解。 证明 显然，方程组化为阶梯形方程组后，方

程组的个数不会超过原方程组中的个数，即r≤s<n ，由上结论知， r<n 方程组有无穷解，因而必有非零解。

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

0

0

0

n n

n n

s s sn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

用初等变换化方程组为阶梯形方程组就相当于用初等行变换化增广矩阵为阶梯形矩阵。所以，解方程组一般用增广矩阵化简。

例

解 对增广矩阵 作初等行变换

142

4524

132

321

321

321

xxx

xxx

xxx

0000

2100

1312

2100

2100

1312

1412

4524

1312

A

2

132

3

321

x

xxx

一般解为

2

)7(2

1

3

21

x

xx

同解方程组为

为自由未知量。2x

例

042

4524

132

321

321

321

xxx

xxx

xxx

解 对增广矩阵作初等行变换

从最后一行可以看出原方程组无解。

1000

2100

1312

1100

2100

1312

1412

4524

1312

A

Back

§2 n 维向量空间 消元法是解方程组的一个行之有效的算法。

但有时需要直接从原方程来判是否有解？并且，消元法化为阶梯形方程组的过程中，最后剩下来的方程个数是否是唯一的？这些问题都需要用向量的知识来解决。

定义 2 所谓数域 P 上一个 n 维向量就是由数域 P 中 n 个数组成的有序数组

（ 1 ） 称为向量（ 1 ）的分量。

P 为实数域， n=2 为平面点， n=3 为空间点。n>3 则没有几何意义了。

用希腊字母 来代表向量。

),,,( 21 naaa

,,,

ia

),,,(),,,,( 2121 nn bbbaaa 定义 3 如果 n 维向量

的对应分量相等，称为这两个向量相等，记作

定义 4 向量 称为向量

的和，记为 满足 交换律 结合律

),,,(),,,,( 2121 nn bbbaaa

),,,( 2211 nn bababa

)()(

定义 5 分量全为零的向量 (0,0,…,0) 称为零向量，记为 0 。 向量 称为向量 的负向量，记为

),,,( 21 naaa ),,,( 21 naaa

0 0)(

定义 6 )(

定义 7 设 k 为数域 P 中的数，向量

称为向量 与数 k 的数量乘积，记为 。

),,,( 21 nkakaka ),,,( 21 naaa

k

)0,0(000

)1(00

1

)()(

)(

)(

kkk

kllk

lklk

kkk

定义 8 以数域 P 中的数作为分量的 n 维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域 P 上的 n 维向量空间。

向量可以表示为行向量和列向量：

),,,( 21 naaa

na

a

a

2

1

Back

§3 线性相关性 以下我们总是在一固定的数域 P 上的 n

维向量空间讨论。 本节我们讨论向量的线性关系。两个向量

的之间的关系是成比例， 及 多个向量的比例关系表现为线性组合。 定义 9 向量 称为向量组

的一个线性组合，如果有数域 P 中的数 使

s ,,, 21

sskkk 22111 2, , , sk k k

k

也称为 可由向量组 线性表出。

如任一 n 维向量 都是向量组 的一个线性组合

向量组 称为 n 维单位向量组。

s ,,, 21 ),,,( 21 naaa

nnaaa 2211

n ,,, 21

)1,,0,0(

)0,,1,0(

)0.,0,1(

2

1

n

零向量是任一向量组的线性组合。 定义 10 如果向量组 中每一

向量 都可以经过向量组 线性表出，那么向量组

就称为可以经过向量组 线性表出。如果两向量组互相

可以线性表出，它们就称为等价。 每个向量组都可以由它自身线性表出。 如果向量组 可经向量组 线性表出， 可以经

线性表出，那么向量组

t ,,, 21 ),,2,1( tii

s ,,, 21 t ,,, 21 s ,,, 21

t ,,, 21 s ,,, 21 s ,,, 21

p ,,, 21

可以经 线性表出， 事实上 如果

则

t ,,, 21 p ,,, 21

sjl

tik

p

mmjmj

s

jiiji

,,2,1

,,2,1

1

1

ti

lklkp

mmjm

s

jij

s

j

p

mmjmiji

,,2,1

)(1 11 1

向量组等价性质： 1 ）反身性 每一个向量组都与它自身等价； 2 ）对称性 如果向量组 与 等价，那么 与 等价； 3 ）传递性 如果向量组 与 等价， 与 等价，那么 与

等价

t ,,, 21 s ,,, 21 s ,,, 21

t ,,, 21

t ,,, 21 s ,,, 21

s ,,, 21 p ,,, 21 t ,,, 21 p ,,, 21

定义 11 如果向量组 中有一个向量可以由其余向量线性表出，

)2(,,, 21 ss

那么向量组 称为线性相关。s ,,, 21 例如

)1,4,1,2(3

)4,5,2,4(),1,3,1,2( 21

213 3

两个向量线性相关，则 或 ( 两个不一定同时成立） 在三维空间中，两个向量线性相关表示共

线；三个向量线性相关，表示共面。 任何一个包含零向量的向量组必线性相关。 定义 11` 向量组 称为线

性相关的，如果有 P 中不全为零的数

21 k12 k

)1(,,, 21 ss

当 时，两定义是一致的。 事实上 若按定义 11 ， 是线性相关的，

则其中有一向量是其余向量的线性组合，不妨设

即

因 不全为零，按定义 11` ，线性相关。

2s

skkk ,,, 21 02211 sskkk

s ,,, 21

112211 sss kkk 0)1(112211 ssskkk

1,,,, 121 skkk

使

反之，若 按定义 11` 线性相关，即有不全为零的数

s ,,, 21 skkk ,,, 21

02211 sskkk 使

不妨设 ，于是

这说明 可以由其余向量线性表出，所以此向量组按定义 11 也线性相关。

0sk

11

22

11

ss

s

sss k

k

k

k

k

k

s

定义 12 一向量组 不线性相关，即没有不

全为零的数 使得

就称为线性无关；或者说 称为线性无关，如果由

s ,,, 21 skkk ,,, 21

02211 sskkk

s ,,, 21

02211 sskkk

可以推出 021 skkk

如果一个向量组的一部分线性相关，那么这个向量组线性相关；换句话说，如果一向量组线性无关，那么它的任一个非空的部分组也线性无关。（部分相关，整体相关；整体无关，部分无关）

单个向量线性相关当且仅当 ；两个向量线性相关当且仅当对应分量成比例。

n 维单位向量组 线性无关。

0

n ,,, 21

例 判断 是否线性相关？

)4,5,2,4(),1,3,1,2( 21 )1,4,1,2(3

解 设 即

0332211 xxx

04

0453

02

0242

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

由消元法可解的方程组有无穷多组解，故向量组线性相关 , 特别取一组解（ 3 ， -1 ， -1 ）得

一般判别一个向量组 （ 2 ） 是否线性相关，按定义 11` ，看方程

213 3

siaaa iniii ,,2,1),,,,( 21

02211 sskkk

是否有非零解，

（ 3 ）

分量形式为：

（ 4 ）

因此 , 向量组 线性无关的充要条件是齐次线性方程组（ 4 ）有非零解。

如果（ 2 ）线性无关，那么在每一个向量上添加一个分量得到的 n+1 维的向量组

（ 5 ） 也线性无关。（原来无关，延长无关）

0

0

0

2211

2222112

1221111

ssnnn

ss

ss

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

s ,,, 21

siaaaa niiniii ,,2,1),,,,,( 1,21

事实上，与向量组（ 5 ）相对应的齐次线性方程组为

（ 6 ）

显然（ 6 ）的解全是（ 4 ）的解，如果（ 4 ）只有零解，则（ 6 ）也只有零解。

这个结论可以推广到添加几个分量上去。

0

0

0

0

1212111

2211

2222112

1221111

ssnnn

ssnnn

ss

ss

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

定理 2 设 与 是r ,,, 21 s ,,, 21

是两个向量组，如果 1 ）向量组 可以经 线性表出， 2 ） r>s ， 那么向量组 必线性相关。 （多的用少的线性表出，多的线性相关）。

r ,,, 21 s ,,, 21

r ,,, 21

证明 由 1 ）有

为了证明 线性相关，设

如果我们能找到不全为零的数

rits

jjjii ,,2,1

1

r ,,, 21 02211 rrxxx

rxxx ,,, 21

使上式成立，那就证明了 的线性相关性。

r ,,, 21

而

0)(1 11 1

1 12211

s

jj

r

iiji

r

i

s

jjiji

r

i

s

jjjiirr

xtxt

txxxx

因为 r>s ，齐次线性方程组

中未知量个数大于方程个数，由定理 1 ，它有非零解。

0

0

0

2211

2222121

1212111

rsrss

rr

rr

xtxtxt

xtxtxt

xtxtxt

推论 1 如果向量组 可以经过

向量组 线性表出，且 线性无关，那么 r≤s. 推论 2 n+1 个 n 维向量必线性相关。 因为 n+1 个 n 维向量可由单位向量组线

性表出。 推论 3 两个线性无关的等价向量组 , 必含

有相同个数的向量。

r ,,, 21 s ,,, 21

r ,,, 21

定义 13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果有的话），所得到的部分向量组都线性相关。

如

因为 且 线性无关，所以 为一个极大线性无关组， 也是一个极大线性无关组。

任意一个极大线性无关组都与向量组等价；因而，一向量组的任意两个极大线性无关组是等价的。

（课上证明） 定理 3 一向量组的极大线性无关组都含

有相同个数的向量。 由上结论和定理 2 的推论 3 得。

)4,5,2,4(),1,3,1,2( 21 )1,4,1,2(3 213 3 21,

21,31,

定义 14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。

例如 的秩是 2 。 一向量组线性无关的充分必要条件是它的

秩与它所含向量的个数相同。 等价向量组必有相同的秩。

)4,5,2,4(),1,3,1,2( 21 )1,4,1,2(3

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§4 矩阵的秩 矩阵可以看成行向量组成的，也可看成列向

量组成的。 定义 15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向

量组的秩；矩阵的列秩就是指矩阵的列向量组的秩。

例 矩阵

0000

5000

4120

1311

A

是行向量组的一个极大线性无关组。所以行秩为 3 。 A 的列向量组为

线性无关，

所以 是列向量组的一个极大线性无关组，列秩为 3 。

引理 如果齐次线性方程组

)0,0,0,0(),5,0,0,0(

)4,1,2,0(),1,3,1,1(

43

21

321 ,,

421 ,, )0,5,4,1(),0,0,1,3(

)0,0,2,1(),0,0,0,1(

43

21

213 2

1

2

7

421 ,,

（ 1 ）

的系数矩阵

的行秩 r<n ，那么，它有非零解。 证明 这是定理 1 的改进。 以 代表 A 的行向量组，因为它

0

0

0

2211

2222121

1212111

nsnss

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

snss

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

s ,,, 21

的秩为 r ，所以极大线性无关组是由 r 个向量组成。无妨设 是一个极大线性无关组。我们知道，向量组

与 是等价的，也就是说方程组（ 1 ）与方程组

（ 2 ）

可以互相线性表出，因而方程组（ 1 ）与（ 2 ）同解。对于方程组（ 2 ）应用定理1 ，即得所要的结论。 ||

r ,,, 21

sr ,,,,, 21 r ,,, 21

0

0

0

2211

2222121

1212111

nrnrr

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

定理 4 矩阵的行秩和列秩相等。 证明 设所讨论的矩阵为

而 A 的行秩 =r ，列秩 = 。我们先来证 。 以 代表 A 的行向量组，

无妨设 是它的一个极大线性无关组。因 是线性无关的，

1r

snss

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

rr 1s ,,, 21 r ,,, 21

r ,,, 21

所以方程组 只有零解，及齐次线性方程组

只有零解。由引理，这个方程组的系数矩阵

02211 rrxxx

0

0

0

2211

2222112

1221111

rrnnn

rr

rr

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

rnnn

r

r

aaa

aaa

aaa

21

22212

12111

的行秩≥ r 。因之在它的行向量组中可以找到 r 个是线性无关的，不妨设为

线性无关。根据上一节的结论，在这个向量组上添加几个分量得到的向量组

也线性无关。它恰好是矩阵 A 的 r 个列向量，由于它们是线性无关的，所以矩阵 A的列秩 。

同理，可以证明 。所以有 。 ||

),,,(,),,,,(),,,,( 212211212111 rrrrrr aaaaaaaaa

),,,,,(,

),,,,,,(),,,,,,(

21

222112112111

srrrrr

srsr

aaaa

aaaaaaaa

rr 11rr

1rr

矩阵的行秩与列秩统称为矩阵的秩。 定理 5 矩阵

的行列式为零的充分必要条件是 A 的秩小于n 。

证明 充分性。因为 A 的秩小于 n ，所以 A的 n 个行向量组线性相关。当 n=1 时， A只有一个数，即只有一个一维向量，它又是线性相关的向量组，就是零向量，从而 |A|=|0|=0. 当 n>1 时，矩阵 A 中有一行是其

nn

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

余各行的线性组合。从这一行依次减去其余各行的相应的倍数，这一行就全变为零，由行列式性质知 |A|=0 。

必要性。我们对 n做数学归纳法。 当 n=1 时，由 |A|=0 可知 A 的仅有一

个元素就是零，因而 A 的秩为零。假设结论对 n-1级矩阵已证，现在来看 n级矩阵的情况。我们以 代表 A的行向量。检查 A 的第一列的元素

，如果它们全为零，那么 A 的列向量组中含有零向量，当然秩小于 n 。如果这n 个元素中有一个不为零，譬如说 ，那么从第二行直到第 n 行减去第一行的

n ,,, 21 12111 ,,, naaa

011 a

适当的倍数，把 消成零，即得

其中

由 |A|=0 可知 n-1级矩阵

121 ,, naa

nnn

n

nnn

n

n

aa

aa

a

aa

aa

aaa

A

2

222

11

2

222

11211

0

0||

),,2(,),,,0( 111

12 ni

a

aaa i

iini

nnn

n

aa

aa

2

222

的行列式为零。根据归纳法假设，这个矩阵的行向量组线性相关，因而向量

线性相关，这就是说，有不全为零的数

使

改写一下，有

111

11

11

212 ,,

a

a

a

a nn

nkk ,,2

0)()( 111

11

11

2122

a

ak

a

ak n

nn

0)( 22111

12

11

21 nnnn kkka

ak

a

a

这组数当然也不全为零，从而向量组 线性相关，它的秩小于 n 。 || 推论 齐次线性方程组

有非零解的充分必要条件是它的系数矩阵

nnn kkka

ak

a

a,,),( 2

11

12

11

21

n ,,, 21

0

0

0

2211

2222121

1212111

nnnnn

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

的行列式等于零。 证明 条件的充分性可由定理 5 及引理直

接得出。条件的必要性是 Cramer 法则的直接推论。

定义 16 在一个 s×n 的矩阵 A 中任意选定 k 行和 k 列，位于这些选定行和列的交点上的 个元素按原来的次序所组成的 k级行列式，称为 A 的一个 k级子式。

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

2k

其中 。 例 矩阵

定理 6 一矩阵的秩是 r 的充分必要条件是矩阵中有一个 r级子式不为零，同时所有的 r+1级子式全为零。

证明 必要性。设矩阵 A 的秩为 r 。这时，矩阵 A 中任意 r+1 个行向量都线性相关，矩阵 A 的任意 r+1级子式的行向量也线性相关。由定理 5 ，这种子式全为零。

),min( nsk

0000

5000

4120

1311

A

现在来证矩阵 A 中至少有一个 r级子式不为零。因为

的秩为 r ，所以 A 中有 r 个行向量线性无关，譬如说，就是前 r 个行向量。把这 r 行取出来，作一新的矩阵

显然，矩阵 的行秩为 r ，因而它的列秩

snss

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

rnr

n

aa

aa

A

1

111

1

1A

也是 r ，这就是说，在 中有 r 列线性无关。不妨假设前 r 列线性无关，因而，行列式

它就是矩阵 A 的一个 r级子式。这就证明了必要性。

充分性。设矩阵 A 中有一 r级子式不为零，而所有 r+1级子式全为零，我们证明 A 的秩为 r 。

首先，由行列式按一行展开的公式可知

1A

0

1

111

rrr

r

aa

aa

如果 A 的 r+1级子式全为零，那么 A 的r+2级子式也为零。所有大于 r 的子式全为零。

设 A 的秩为 t ，由必要性 t ≥ r ，否则，A 的 r级子式就全为零了。同样 t r ，否则 A 就要有一个 t ≥（ r+1 ）级子式不为了零，而按照假定这是不可能的。因之t=r 。这就是我们要证明的结论。

定理包含两部分，一部分是，矩阵 A 的秩≥ r 的充分必要条件是 A 有一个 r级子式不为零；另一部分是，矩阵 A 的秩≤ r 的充分必要条件为 A 的所有 r+1级子式全为零。从定理的证明可看出，在秩 A 为 r 的矩阵中

不为零的 r级子式所在的行正是它行向量的一个极大线性无关组，所在的列正是它列向量组的一个极大线性无关组。

因为矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组。而等价向量组含有相同的秩，因此，初等行变换不改变矩阵的秩。同样地，初等列变换也不改变矩阵的秩。一般用初等变换化：

则 r(A)=r 。

0000

0000

00

0 2222

111211

rnrr

nr

nr

aa

aaa

aaaa

A

Bac

k

§5 线性方程组有解的判别定理

设线性方程组为：

（ 1 ）

引入向量

snsnss

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

于是线性方程组（ 1 ）可以改写成向量方程

显然，线性方程组（ 1 ）有解的充分必要条件为向量 可以表成向量组

的线性组合。

ssn

n

n

n

ss b

b

b

a

a

a

a

a

a

a

a

a

2

1

2

1

2

22

12

2

1

21

11

1 ,,,,

nnxxx 2211

n ,,, 21

线性方程组有解的判别定理 线性方程组（ 1 ）有解的充分必要条件为它的系数矩阵

与增广矩阵

有相同的秩。

snss

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

ssnss

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

A

2

1

21

22221

11211

证明 先证必要性，设线性方程组（ 1 ）有解，即 可以由向量组 线性表出。由此立即推出，向量组

与向量组 等价，因而有相同的秩。这两个向量组分

别是矩阵 A 与 的列向量组。因此，矩阵 A 与 有相同的秩。

充分性。设矩阵 A 与 有相同的秩，就是说，它们的列向量组 与 有相同的秩，令它们的秩为 r 。 中的极大线性无关组是由 r个向量组成，不妨设

是它的一个极大线性无关组，

n ,,, 21

n ,,, 21

,,,, 21 n

AA

An ,,, 21

,,,, 21 n

r ,,, 21 n ,,, 21

显然 也是向量组 的一个极大线性无关组，

因此向量 可经向量组 线性表出。也即 可经 线性表出。因此，方程组（ 1 ）有解。 ||

在消元法中将 化为上阶梯阵的情形： 当且仅当 ，即 A 与 有相同的秩

时，方程组有解。

r ,,, 21 ,,,, 21 n

r ,,, 21

n ,,, 21

AA01 rd

00000

00000

0000

00

1

22222

1111211

r

rrnrr

nr

nr

d

dcc

dccc

dcccc

A

用 Cramer 法则也可以求解方程组。若 A与 的秩为 r ，则 A 有一个 r级子式不为零，不妨设为左上角的 r级子式。 的前 r 行就是一个极大线性无关组，第r+1,…,s 行都可以经它们线性表出。因此方程组（ 1 ）与

（ 4 ）

同解。

AA

rnrnrr

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

当 r=n 时，由 Cramer 法则，方程组（ 4 ）有唯一解，也就是方程组（ 1 ）有唯一解。

当 r<n 时，将方程组（ 4 ）改写成 （ 5 ）

对于（ 5 ）用 cramer 法则，可以解出

nrnrrrrrrrr

nnrrrr

nnrrrr

xaxabxaxa

xaxabxaxa

xaxabxaxa

11,11

211,222121

111,111111

上式为方程组（ 1 ）的一般解。

nrnrrrrr

nnrr

nnrr

xcxcbx

xcxcbx

xcxcbx

11,

211,222

111,111

Back

§6 线性方程组解的结构 解的结构就是在无穷多解时，解与解

之间的关系问题。在无穷多解时，全部解都可用有限多个解表示。

齐次线性方程组解的性质：

(1)

0

0

0

2211

2222121

1212111

nsnss

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

1 、两个解的和还是方程组的解； 2 、一个解的倍数还是方程组的解。 几何意义： n=3 时，每个齐次线性方程

组表示一个过原点的平面。于是方程组的解也就是这些平面的交，如果不只是原点的话，就是一条过原点的直线或一个过原点的平面。以原点为起点，两端点在一条直线或一个平面上的向量具有以上性质。

齐次线性方程组解的线性组合还是方程组的解。

定义 17 齐次线性方程组（ 1 ）的一组解

称为（ 1 ）的一个基础解系，如果

1 ）（ 1 ）的任一个解都能表成 的线性组合；

2 ） 线性无关。 定理 7 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于 n-r ，这里 r 表示系数矩阵的秩（以下将看到， n-r 也就是自由未知量的个数）。

证明 设方程组（ 1 ）的系数矩阵的秩为 r ，无妨设左上角的 r级子式不为零。于

t ,,, 21

t ,,, 21

t ,,, 21

是由上节分析，方程组（ 1 ）可改成 （ 3 ）

如果 r=n, 则方程组没有自由未知量只有零解。以下设 r<n 。

我们知道，把自由未知量的任意一组值 代入（ 3 ），就唯一地得到方程组（ 1 ）的一组解。换句话说，方程组（ 1 ）的任意两个解，只要自由未知

nrnrrrrrrr

nnrrrr

nnrrrr

xaxaxaxa

xaxaxaxa

xaxaxaxa

11,11

211,22121

111,11111

),,( 1 nr cc

量的值一样，这两个解就完全一样。 在（ 3 ）中我们分别用 n-r 组数 (1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,0,…,1) （ 4 ） 来代自由未知量，就得出（ 3 ）——也就

是方程组（ 1 ）的 n-r 个解：

（ 5 ）

我们现在证明（ 5 ）就是一个基础解系。

首先证明 线性无关。

)1,,0,0,,,(

)0,,1,0,,,(

)0,,0,1,,,(

,1,

2212

1111

rrnrnrn

r

r

cc

cc

cc

rn ,,, 21

事实上，因为（ 4 ）线性无关，而（ 5 ）为向量组（ 4 ）添加 r 个分量得到的，所以（ 5 ）也线性无关。

再证 (1) 的任意一个解可以由 线性表出。设 (6)

是（ 1 ）的一个解。由于 是（ 1 ）的解，所以线性组合

（ 7 ）

也是（ 1 ）的一个解。比较（ 7 ）和（ 6 ）最后 n-r 个分量完全相同，所以有

rn ,,, 21

),,,,,,( 211 nrrr ccccc

rnnrr ccc 2211

nnrr ccc 2211

rn ,,, 21

这就是说，任意一个解 都可以表示成 的线性组合。 至于其他的基础解系，由定义知，一定

与这个基础解系等价，同时它们又都是线性无关的，因而含有相同的个数，这就证明了定理的第二部分，

任意一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组是基础解系。

rn ,,, 21

下面讨论一般的线性方程组：

（ 9 ）

齐次方程组（ 1 ）称为方程组（ 9 ）的导出组。

1 、（ 9 ）的两个解的差是它的导出组 （ 1 ）的解；

2 、（ 9 ）的一个解与它的导出组（ 1 ）的一个解之和还是这个线性方程组的一个解。

snsnss

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

定理 8 如果 是方程组（ 9 ）的一个特解，那么方程组（ 9 ）的任意解可以表成

（ 10 ） 其中 是导出组（ 1 ）的一个解。因此，

对于方程组（ 9 ）的任一个特解 ，当 取遍它的导出组的全部解时，（ 1 ）就给出（ 9 ）的全部解。

证明 显然 由上面的性质 1 ， 是导出组

（ 1 ）的一个解，令

0

0

0

)( 00

)( 0 )( 0

就得到定理的结论。既然（ 9 ）的任一解都能表成（ 10 ）的形式，由性质 2 ，在 取遍（ 1 ）的全部解的时候

就取遍（ 9 ）的全部解。 || 由定理 8 得到方程组（ 9 ）的结构形式

其中 是（ 9 ）的一个特解， 是导出组的一个基础解系。

推论 在方程组有解的情况下，解是唯一的充分必要条件是导出组（ 1 ）只有零解。

0

0 rn ,,, 21 rnrnkkk 22110

线性方程组理论与解析几何的关系。

（ 11 ） 在（ 11 ）中每一个方程表示一个平面，

线性方程组（ 11 ）有没有解的问题，就相当于这两个平面有没有交点的问题。

1 、 A 的秩 =1 ， 的秩 =1 。这就是说A 的两行成比例，又 的两行也成比例，所以这两个平面重合。方程组有解。

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

2

1

232221

131211

b

b

aaa

aaaA

232221

131211

aaa

aaaA

AA

2 、 A 的秩 =1 ， 的秩 =2 。则两个平面平行而不重合。方程组无解。

3 、 A 的秩 =2 ，这时 的秩 =2 。两平面不平行，但相交。方程组有解。此时，譬如说 是自由未知量，一般解的形式为

两平面相交于一条直线。可改写为点向式方程

A

A

3x

3222

3111

xcdx

xcdx

32

22

1

11 xc

dx

c

dx

引入参数 t ，令 ，参数方程为：

（ 13 ）

（ 11 ）的导出组是 （ 14 ）

从几何上看这是两个与（ 11 ）中两平面平行且过原点的平面，因而它们的交线过原点且与直线（ 13 ）平行，所以这条直线的参数方程就是：

tx 3

tx

tcdx

tcdx

3

222

111

0

0

323222121

313212111

xaxaxa

xaxaxa

（ 15 ）

（ 13 ）与（ 15 ）正说明了线性方程组（ 11 ）与它的导出组（ 14 ）的解之间的关系。

tx

tcx

tcx

3

22

11

例、已知向量组

如果各向量组的秩分别为R(I)=R(II)=3,R(III)=4. 证明：向量组

的秩为 4 。

5321;4321321 ,,,)(,,,)(;,,)( IIIIII

45321 ,,,

证 因 R(I)=R(II)=3, 所以 线性无关，而 线性相关，

故存在数 使得 （ 1 ）设有数 使得

321 ,,

4321 ,,, 321 ,,

3322114

4321 ,,, kkkk

0)( 454332211 kkkk

将（ 1 ）代入上式，化简得

由 R(III)=4 知 线性无关。所以

得， 故 线性无关，即其秩为 4 。

0)()()( 54343324221411 kkkkkkk

5321 ,,,

0

0

0

0

4

433

422

411

k

kk

kk

kk

04321 kkkk

45321 ,,,