常系数线性微分方程组

§5.3 §5.3 常系数线性方程组常系数线性方程组

常系数线性微分方程组

( ),dx

Ax f tdt

, ( )A n n f t

a t b

这里系数矩阵 为 常数矩阵 在

;上连续的向量函数

一阶常系数线性微分方程组 :

( ) 0,f t 若 则对应齐线性微分方程组为

, (5.33)dx

Axdt

本节主要讨论 (5.33) 的基解矩阵的求法 .

常系数线性微分方程组

一、矩阵指数一、矩阵指数 expAexpA 的定义和求法的定义和求法1 1 expAexpA 的定义的定义

定义 ,

exp

A n n

A

设 为 常数矩阵则定义矩阵指数为下列矩阵级数的和

2

0

exp (5.34)! 2! !

k m

k

A A AA E A

k m

0, , , 0! 1.mE A A m A E 其中 为单位矩阵 为 的 次幂注 1: 矩阵级数 (5.34) 是收敛的 .

由于 ,! !

kk AA

k k 而数项级数

1 !

k

k

A

k

收敛 .

常系数线性微分方程组

注 2: 级数

在 t 的任何有限区间上是一致收敛的 .

由于 , ,! !

k kk k A cA tt c

k k

而数项级数1 !

k k

k

A c

k

收敛 .

22

0

exp! 2! !

k mk m

k

A A AAt t E At t t

k m

常系数线性微分方程组

2 2 矩阵指数的性质矩阵指数的性质

(1) , .A B A BAB BA e e e 若 则

1(2) , (exp )A A ,对任何矩阵 存在 且1(exp ) exp(- ).A A =

由于 :0

( )exp( )

!

k

k

A BA B

k

0k

0

;!( )!

l k lk

l

A B

l k l

0 0

exp exp! !

i j

i j

A BA B

i j

=0 0

[ ];!( )!

l k lk

k l

A B

l k l

绝对收敛级数的乘法定理

由于 : exp exp(- )A A exp( (- ))A A exp 0 .E

常系数线性微分方程组

(3) ,T若 是非奇异的则

) (exp ) .AT A T-1 -1exp(T T

由于 :)AT -1exp(T

1

0

( )

!

k

k

T AT

k

E 1

1

( )

!

k

k

T AT

k

E

1

1 !

k

k

T A T

k

1T T 1

1

( )!

k

k

AT T

k

1

1

( )!

k

k

AT E T

k

(exp ) .A T -1T

常系数线性微分方程组

3 3 常系数齐线性微分方程组的基解矩阵常系数齐线性微分方程组的基解矩阵(1) 定理 9 矩阵

( ) expt At 是 (5.33) 的基解矩阵 , 且 (0) .E

证明 : 0 , expt At当 时由 定义知 (0) ;E

又因为 ' '( ) (exp )t At 2 3

2 1

1! 2! ( 1)!

mmA A A

A t t tm

A A

( ) expt At 故 是基解矩阵

22( )

2! !

mmA A

E At t tm

exp At ( ),tA

常系数线性微分方程组

例 1 如果 A 是一个对角矩阵1

2

n

a

aA

a

' .x Ax试求出 的基解矩阵解 由 (5.34) 得

exp At E

1

2

1!

n

a

a t

a

21

2 22

2

2!

n

a

a t

a

常系数线性微分方程组

1

2

!

m

m m

mn

a

a t

m

a

1

2

n

a t

a t

a t

e

e

e

例 2' 2 1

.0 2

x x

试求出 的基解矩阵

解 因为2 1

0 2A

2 0 0 1

0 2 0 0

而后面两个矩阵是可交换的

常系数线性微分方程组

2 02 ,

0 2E

20 1 0 0

,0 0 0 0

故 exp At2 0

exp( )0 2

t

0 1exp( )

0 0t

2

2

0

0

t

t

e

e

2 20 1 0 1{ }

0 0 0 0 2!

tE t

2

2

0

0

t

t

e

e

1

0 1

t

2 1.

0 1t t

e

常系数线性微分方程组

(2) (2) 基解矩阵的一种求法基解矩阵的一种求法n A对 阶矩阵 设 1A T JT

, .T J Jordan其中 为非奇异矩阵 为 矩阵

则 1 .At Jte T e T

其中 1

2 ,

k

J

JJ

J

1

2

,

k

J t

J tJt

J t

e

ee

e

注 1: 1 1 1 .At Jt Jte T T e T e ,由 知 也是基解矩阵

常系数线性微分方程组

二 二 基解矩阵的计算公式基解矩阵的计算公式

类似第四章 4.2.2, 寻求' , (5.33)x Ax

形如( ) , 0, (5.43)tt e c c

, .c的解 其中常数 和向量 是待定的

将 (5.43) 代入 (5.33) 得,t te c Ae c

0,te 因 上式变为( ) 0, (5.44)E A c

1 1 基解矩阵与其特征值和特征向量的关系基解矩阵与其特征值和特征向量的关系

常系数线性微分方程组

方程 (5.44) 有非零解的充要条件是 :det( ) 0,E A

结论 (5.33) ( ) tt e c 微分方程组 有非零解 的充要条件是, .A c 是矩阵 的特征根 是与 对应的特征向量

( ) (5.33)tt e c为 解 ( ) 0E A c 有非零解即

例 33 5

.5 3

A=试求矩阵 特征值和特征向量

解 A的特征值就是特征方程3 5

det( )5 3

E A

2 6 34 0

的根 , 1 23 5 , 3 5 .i i

' , (5.33)x Ax( ) 0, (5.44)E A c

常系数线性微分方程组

1 1 23 5 ( , )Ti u u u 对特征根 的特征向量 满足

( )E A u 1

2

5 50

5 5

ui

ui

解得1

, 0.ui

2 1 23 5 ( , )Ti v v v对特征根 的特征向量 满足

( )E A u 1

2

5 50

5 5

vi

vi

解得 , 0.1

iv

常系数线性微分方程组

' 3 5

5 3x x

微分方程组 的解为

(3 5 )1

1,i tx e

i

(3 5 )2 ;

1i t ix e

(3 5 )1

1i tx ei

3 (cos 5 sin 5 )te t i t

1

i

3 cos sin

sin cost t i te

t i t

3 cos

sint te

t

3 sin

cost t

iet

故解为: 31

cos,

sint t

x et

32

sin.

cost t

x et

常系数线性微分方程组

例 42 1

.1 4

A=试求矩阵 特征值和特征向量

解 特征方程为2 1

det( )1 4

E A

2 6 9 0

3 , 因此 为两重特征根 为求其对应的特征向量考虑方程组

( )E A c 1

2

1 10

1 1

c

c

解得1

, 0,1

c

3 是对应于特征根 的特征向量

'

3

2 1

1 4

1.

1t

x x

x e

方程组

的解为

常系数线性微分方程组

2 2 基解矩阵的计算方法基解矩阵的计算方法 ------ 常系数线性微分方程组的解法常系数线性微分方程组的解法

(1) 矩阵 A 具有 n 个线性无关的特征向量时定理 10

1 2 1 2, , , ; , , , (

),n nv v v

A n如果矩阵 具有 个线性无关的特征向量它们相应的特征值为 不必

互不相同 那么矩阵1 2

1 2( ) [ , , , ],ntt tnt e v e v e v t

是常系数线性微分方程组' , (5.33)x Ax

的一个基解矩阵 .

常系数线性微分方程组

证明 : 由上面讨论知 , 每一个向量函数

, 1, 2, ,jt

je v j n

都是 (5.33) 的解 , 因此矩阵1 2

1 2( ) [ , , , ]ntt tnt e v e v e v

是 (5.33) 的解矩阵 ,

1 2, , , ,nv v v由于 线性无关所以

1 2det (0) det[ , , , ]nv v v 0

( ) (5.33) .t故 是 的基解矩阵

常系数线性微分方程组

例 5' 3 5

.5 3

x x

试求微分方程组 的基解矩阵

解 由例 3 知 1 23 5 , 3 5i i A ,是 的特征值

1 2 1 2

1, , ,

1

iv v

i

;是对应于 的特征向量

由定理 10, 矩阵

1 21 2( ) [ , ]t tt e v e v

(3 5 ) (3 5 )

(3 5 ) (3 5 )

i t i t

i t i t

e ie

ie e

就是一个基解矩阵 .

常系数线性微分方程组

注 : , ( ) exp .t At一般来说 不一定是exp ( ) ,At t C但由于 有 1(0),C

从而 1exp ( ) (0).At t

例 6 试求例 5 的实基解矩阵 .

解 由于基解矩阵为(3 5 ) (3 5 )

(3 5 ) (3 5 )( )

i t i t

i t i t

e iet

ie e

故实基解矩阵为

exp At 1

1

1

i

i

(3 5 ) (3 5 )

(3 5 ) (3 5 )

i t i t

i t i t

e ie

ie e

常系数线性微分方程组

(3 5 ) (3 5 )

(3 5 ) (3 5 )

11

12

i t i t

i t i t

ie ie

iie e

(3 5 ) (3 5 ) (3 5 ) (3 5 )

(3 5 ) (3 5 ) (3 5 ) (3 5 )

( )1

2 ( )

i t i t i t i t

i t i t i t i t

e e i e e

i e e e e

3 cos 5 sin 5.

sin 5 cos 5t t te

t t

求例 5 满足初始条件1

(0)1

的解

常系数线性微分方程组

解 由于基解矩阵为exp At 3 cos 5 sin 5

.sin 5 cos 5

t t te

t t

故该方程的通解为 ( ) (exp )x t At c从而 ( ) (exp )t At c

由初始条件有1

(0)1

c

故( )t 3 cos 5 sin 5 1

.sin 5 cos 5 1

t t te

t t

3 cos 5 sin 5.

sin 5 cos 5t t te

t t

常系数线性微分方程组

例 7 求方程组'

5 28 18

1 5 3

3 16 10

x x

的通解 .

解 A系数矩阵 的特征方程为2det( ) 3 (1 ) 0E A

因此特征根为 1 2 30, 1, 1;

它们相的特征向量为

1 2 3

2 2 3

1 , 1 , 0 ;

1 2 1

v v v

常系数线性微分方程组

故基解矩阵为2 2 3

( ) 1 0

1 2

t t

t

t t

e e

t e

e e

故通解为1

2

3

2 2 3

( ) ( ) 1 0

1 2

t t

t

t t

e e c

t t c e c

e e c

1

2

1

1

c

2

2

1

2

tc e

3

3

0 ;

1

tc e

常系数线性微分方程组

(2) 矩阵 A 的特征根有重根时1 2

1 2 1 2

, , , ;

, , , ; .k

k kn n n n n n n

n n A假设 矩阵 的特征值为 相应重

数为 且,n n U由高代知 维常数列向量所组成的 维空间 的子集

{ | ( ) 0}jn

j jU u U A E u

( 1, 2, , ),jU n j k 是 的 维不变子空间 且

1 2 , (5.49)kU U U U

(5. 33) (0)= ,下面先寻求 满足初始条件 的解

' , (5.33)x Ax

( ) (exp )t At 分量是无穷级数 难 !

分量表为 t 的指数函数与幂函数乘积有限项组合将 分解, (exp )At

常系数线性微分方程组

jU因子空间 是方程组

( ) 0, (5.48)jn

jA E u

的解产生的 , jv从而 一定是(5. 48)的解,由此即得( ) 0, , 1, 2, , , (5.51)l

j j jA E v l n j k

由于jteexp( )jt

je Et

j

j

j

t

t

t

e

e

e

E

( 1, 2, , ),j jv U j k 其中1 2 , (5.50)kv v v

由 (5.49) 有

常系数线性微分方程组

由 (5.51) 有 (exp ) (exp )j jAt v At v [exp( )]jt

je Et jte [exp( ) ]jA E t jv

jte2

2[ ( ) ( )2!j j

tE A E t A E

jv

(5.33) ( ) (exp ) ,t At 故 的解 可表为

( ) (exp )t At (exp )At1

k

jj

v

1

(exp )k

jj

At v

12

12

1

[ ( ) ( ) ( ) ]2! ( 1)!

j

j j

nkt n

j j j jj j

t te E A E t A E A E v

n

(5. 33) (0)=故 满足初始条件 的解可写成1

1 0

( ) { ( ) } , (5.52)!

j

j

n ikt i

j jj i

tt e A E v

i

11( ) ]

( 1)!

j

j

nn

jj

tA E

n

常系数线性微分方程组

注 1: , ,A u当 只有一个特征值时 对任何 都有( ) 0,nA E u

故 exp At exp( )A E t te1

0

( ) , (5.53)!

int i

ji

te A E

i

注 2: (5.52) exp ,At为了从 求 注意到

exp At (exp )At E 1[(exp ) , , (exp ) ]nAt e At e

其中

1 2

1 0 0

0 1 0, , , ,

0 0 1

ne e e

1 2

,

, , , ,

,

exp .

ne e e

n

n

At

是单位向量 依次令 求得

个线性无关的解以这 个解为列可得到

常系数线性微分方程组

例 8 试解初值问题

' 2 1, (0) ,

1 4x x

exp .At并求

解 从例 4 知 ,

3 A ,是 的二重特征值

1 12, ,n U这时 只有一个子空间

12

2n

1= (5. 52)将 及 代入 即得

3( ) { ( 3 )}tt e E t A E 13

2

1 1{ }

1 1te E t

1

1 0

( ) { ( ) } , (5.52)!

j

j

n ikt i

j jj i

tt e A E v

i

常系数线性微分方程组

1 1 23

2 1 2

( )

( )t te

t

利用公式 (5.53) 即得3exp { ( 3 )}tAt e E t A E

3 1 0 1 1{ }

0 1 1 1te t

3 1

1t t te

t t

或者分别令 1 (1, 0)Te T2, e =(0, 1) ,

(5. 54)然后代入 即得

1 2exp [(exp ) , (exp ) ]At At e At e 3 1.

1t t te

t t

常系数线性微分方程组

例 9 如果 4 1 0 0 0

0 4 1 0 0

0 0 4 1 0

0 0 0 4 1

0 0 0 0 4

A

exp .At试求

解 5, 4 ,n A 这里 是 的五重特征值

直接计算可得 3( 4 ) 0,A E 因此由公式 (5.53) 可得

exp At -4te2

2{ ( 4 ) ( 4 ) }2!

tE t A E A E

1

0

exp ( ) , (5.53)!

int i

ji

tAt e A E

i

常系数线性微分方程组

-4te

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1

1

{ 1

1

1

t

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

2

}2!

t

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

-4te

2

0 02

0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

tt

t

1

1

1

1

1

常系数线性微分方程组

例 10 求方程组'1 1 2 3'2 1 3'3 1 2 3

3

2 ,

2

x x x x

x x x

x x x x

( ), exp .t At的解 并求

满足初始条件

1

2

3

(0)=

解 这里系数矩阵

A

3 -1 1

2 0 1

1 -1 2A的特征方程为

2det( - ) ( -1)( - 2) 0E A

常系数线性微分方程组

特征根为

21, 2; 1 21, 2 ;n n 1分别为 重特征值

2, ;U U1为了确定三维欧几里德空间的子空间

由 (5.48) 我们需要考虑下面方程( ) 0A E u 和 2( 2 ) 0A E u

首先讨论 2 1 1

( ) 2 1 1 0

1 1 1

A E u u

这个方程组的解为 1

0

,u

为任常数

常系数线性微分方程组

1 1 .U u子空间 是由向量 张成的子空间

其次2

0 0 0

( 2 ) 1 1 0 0

1 1 0

A E u u

这个方程组的解为 2 , ,u

其中 为任常数

2 2U u子空间 是由向量 张成的子空间

1 2 2 2, ,v U v U v v 1 1 ,下面找 使 即

1

2

3

0

常系数线性微分方程组

解之得1 1

0

, ;v v

1

2 1 1

2 1 3 2 1

(0)=故方程满足 的解为2

1 2( ) { ( 2 )}t tt e Ev e E t A E v

2

0 1 1 1

{ 2 2 1 }

1 1 0

t te e E t

1

2 1 1

2 1 3 2 1

2

0 (

( )t t

t

e e t

1 3 2 1

2 1 1 3 2 1

2 1 3 2 1

常系数线性微分方程组

exp ,At 为计算 直接令 等于

, , ;

1 0 0

0 1 0

0 0 1

代入上式得到三个线性无关的解 , 利用这三个解为列 , 即得

2 2

2 2 2

2 2 2

(1 )

exp - (1 ) -

- -

t t t

t t t t t

t t t t t

t e te te

At e t e e te te

e e e e e

常系数线性微分方程组

(3) 非齐线性方程的解下面研究非齐线性微分方程组

' ( ), (5.60)x Ax f t (0)=满足初始条件 的解

由于 (5.60) 对应齐次方程组 'x Ax 的基解矩阵为( ) exp ,t At 1( ) exp( ),t At 且

故由常数变易公式 , 0t (5. 60)满足 ( )=的解为

00( ) exp[ ( )] exp[ ( )] ( )

t

tt A t t A t s f s ds

0

-1 10( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (5.27)

t

tt t t t s f s ds

常系数线性微分方程组

例 10 设3 5

, ( )5 3 0

teA f t

' ( )x Ax f t 试求方程组 满足初始条件0

(0)1

的解 .

解 由例 6 知3 cos 5 sin 5

exp ,sin 5 cos 5

t t tAt e

t t

故初值问题的解为

常系数线性微分方程组

3 cos 5 sin 5 1 0 0( )

sin 5 cos 5 0 1 1t t t

t et t

3( )

0

cos 5( ) sin 5( )

sin 5( ) cos 5( ) 0

st t s t s t s ee ds

t s t s

3 sin 5

cos 5t te

t

3 4

0

cos 5 cos 5 sin 5 sin 5

sin 5 cos 5 cos 5 sin 5

tt s t s t se e ds

t s t s

43

4

4 cos 5 46sin 5 41.

41 46 cos 5 4sin 5 5

tt

t

t t ee

t t e

常系数线性微分方程组

三 拉普拉斯变换的应用

(1) 定义

( ) ,f t n设 为 维函数列向量 定义其拉普拉斯变换为

0[ ( )] ( ) ,stL f t e f t dt

' ( ),x Ax f t , ( )A n n f t a t b .这里 为 矩阵 在 上连续

常系数线性微分方程组 :

1 用拉普拉斯变换解微分方程组

常系数线性微分方程组

(2) 定理 12

( ), 0 0,f t M 如果对向量函数 存在常数 及使不等式

( ) , (5.62)tf t Me

,t对所有充分大的成立 则初值问题' ( ), (0) ;x Ax f t x

'( ) ( ), ( ) (5.62)t t f t 的解 及其导数 均像 一样满足类似, .的不等式 从而它们的拉普拉斯变换都存在

常系数线性微分方程组

(3) 推论

( ), 0 0,f t M 如果对数值函数 存在常数 及使不等式

( ) ,tf t Me

,t对所有充分大的成立 则常系数线性微分方程的初值问题

1

1 1( )

n n

nn n

d x d xa a x f t

dt dt

)1(

0)1()1(

0'

0 )0(,,)0(,)0( nn xxxxxx

n .的解及其直到 阶导数均存在拉普拉斯变换

常系数线性微分方程组

例 11 利用拉普拉斯变换求解例 10.

解 将方程写成分量形式 , 即'1 1 23 5 tx x x e

'2 1 25 3x x x

1 2(0) 0, (0) 1 1 1 2 2( ) [ ( )], ( ) [ ( )]X s L t X s L t 令

1 1 2 2( ), ( )x t x t Laplace 以 代入方程组后对方程施行 变换得

1 1 2

1( ) 3 ( ) 5 ( )

1sX s X s X s

s

2 1 2( ) 1 5 ( ) 3 ( )sX s X s X s

常系数线性微分方程组

1 2

1( 3) ( ) 5 ( )

1s X s X s

s

1 25 ( ) ( 3) ( ) 1X s s X s

由此解得

1 2 2 2 2

1 3 5 1( ) [4 46 4 ]

41 ( 3) 5 ( 3) 5 1

sX s

s s s

2 2 2 2 2

1 3 5 1( ) [46 4 5 ]

41 ( 3) 5 ( 3) 5 1

sX s

s s s

故 3 4

1

1( ) (4 cos 5 46sin 5 4 )

41t tt e t t e

3 42

1( ) (46 cos 5 4sin 5 5 )

41t tt e t t e

即

常系数线性微分方程组

例 12 试求方程组'1 1 2

'2 1 2

2,

4

x x x

x x x

满足初始条件 1 1 2(0) 1 ( ( ), ( )),t t 2(0)=0, 的解

解 1 1 2 2( ) [ ( )], ( ) [ ( )]X s L t X s L t 令

1 1 2 2( ), ( )x t x t ,假设 满足微分方程组

对方程组取拉普拉斯变换得

1 1 1 2( ) (0) 2 ( ) ( )sX s X s X s

2 2 1 2( ) (0) ( ) 4 ( )sX s X s X s

常系数线性微分方程组

即1 2 1( 2) ( ) ( ) (0) 0s X s X s

1 2 2( ) ( 4) ( ) (0) 1X s s X s

解得1 2

1( ) ,

( 3)X s

s

2 2

1 1( )

( 3) ( 3)X s

s s

故3

1( ) ,tt te 3 32 ( ) t tt e te 3(1 ) tt e

常系数线性微分方程组

例 12 试求方程组'' ' '1 1 2 2

' '1 1 2

2 2 0,

2 2 t

x x x x

x x x e

满足初始条件 1 1

1 2

(0) 0

( ( ), ( )).t t

2(0)=3, (0)=2,

的解解 1 1 2 2( ) [ ( )], ( ) [ ( )]X s L t X s L t 令

1 1 2 2( ), ( )x t x t 以 代入方程组后对方程施行拉普拉斯变换得

21 1 2 2[ ( ) 3 2] 2[ ( ) 3] ( ) 2 ( ) 0s X s s sX s sX s X s

1 1 2

2[ ( ) 3] 2 ( ) ( )

1sX s X s sX s

s

常系数线性微分方程组

整理后得2

1 2( 2 ) ( ) ( 2) ( ) 3 4s s X s s X s s

1 2

3 1( 2) ( ) ( )

1

ss X s sX s

s

解得1

1 1 1( )

1 1 2X s

s s s

2

1 1( )

1 1X s

s s

再取反变换得2

1( ) ,t t tt e e e

2 ( ) .t tt e e

常系数线性微分方程组

2 用拉普拉斯变换求基解矩阵

' , (5.33)x Ax对常系数齐线性微分方程组

( ) (5.33) (0) ,t 设 是 满足 的解

( ) [ ( )],X s L t令 则

( - ) ( ) , (5.63)sE A X s det( - ) 0 ,sE A Grammer当 时由 法则

(5.63) ( ), ( )X s t可唯一解出 从而可解出

1 2 1 2, , , , ( ), ( ),

, ( ); ( ).n

n

e e e t t

t t

依次令 即可得基本解组

它们可构成基解矩阵

常系数线性微分方程组

例 12 试构造方程组 'x Ax 的一个基解矩阵 , 其中3 1 1

2 0 1 .

1 1 2

A

解 对方程两边施行拉普拉斯变换得( ) - ( ),sX s AX s

即 ( - ) ( ) ,sE A X s

也即 1 1

2 2

3 3

- 3 1 -1 ( )

-2 -1 ( ) ,

-1 1 - 2 ( )

s X s

s X s

s X s

常系数线性微分方程组

由克莱姆法则 , 有 1 2 31 2

( 1)( )

( 2)

sX s

s

2

1 2 22 2

(2 1) ( 5 5) ( 1)( )

( 1)( 2)

s s s sX s

s s

1 2 3 3

3 ( )( 1)( 2) ( 2)

X ss s s

1, 0, 0, 1 2 3令 可得

1 2

( 1)( )

( 2)

sX s

s

2 2

2 3( )

( 1)( 2)

sX s

s s

1 1

1 2s s

2

1 1

( 2) ( 2)s s

2

1 1 1

1 2 ( 2)s s s

3

1( )

( 1)( 2)X s

s s

常系数线性微分方程组

2 2 2( ) (1 ) , ( ) (1 ) , ( ) ,t t t t tt t e x t t e e x t e e 1 2 3故x

从而2

21

2

(1 )

( ) (1 ) ,

t

t t

t t

t e

t t e e

e e

0, 1, 0, 1 2 3其次令 得2

22

2

( ) ,

t

t t

t t

te

t e te

e e

0, 0, 1, 1 2 3最后令 得

2

23

2

( ) ,

t

t

t

te

t te

e

常系数线性微分方程组

故基解矩阵

1 2 3( ) [ ( ), ( ), ( )]t t t t 2 2 2

2 2 2

2 2 2

(1 )

(1 )

t t t

t t t t t

t t t t t

t e te te

t e e e te te

e e e e e

且(0) .E

常系数线性微分方程组

作业作业

• P236 2, 4(b),5(a)

• P236 5(c),6(a),7,

• P237 8, 10(a),11