1

一、波的叠加原理 二、波的干涉 相干条件

§4 波的叠加

2

一、波的叠加原理

1S

2S

1

2

1. 波的独立传播原理

各振源在介质中独立地激起与自己频率相同的波

每列波传播的情况与其他波不存在时一样

实际例子 :

红绿光束交叉 乐队演奏 空中无线电波等

3

波的独立传播原理：有几列波同时在媒质中传播时 它们的传播特性（波长、频率、波速、波形）不会因其它波的存在而发生影响

趣称：和平共处

4

细雨绵绵独立传播

5

2. 叠加原理

在各波的相遇区 各点的振动是

各列波单独在此激起的振动的合成

1S

2S

P21 P线性叠加

满足线性波动方程

相应的介质叫线性介质

只有各波都较弱时才满足线性叠加

如果各分波都是 S.H.W.

那各点就是 S.H.V. 的合成

6

二、波的干涉 相干条件

讨论：特殊条件的 S.H.W. 的叠加

这种叠加的结果叫 干涉现象

得到干涉所要求的条件叫 相干条件

满足相干条件的波 叫相干波

波源叫相干波源

叠加叫相干叠加

7

1. 相干条件

参与叠加的波必须频率相同（简称同频率）

在确定的相遇点各分振动的

　　　　　　 振动方向相同（简称同方向）

　　　　　　 相位差恒定（简称相差恒定）

8

)cos(S

)cos(S

2222

1111

tA

tA

振动振动 P1r

2r

2222

1111

π2cos

π2cos

rtA

rtA

P

P

场点 P 是两个同方向的同频率的 S.H.V. 的合成

结果取决于两振动的相位差

2. 波场中的强度分布 振源S1

振源S2

两振源在场点 P 产生的

谐振动分别为

9

1212

π2Δ rr

两谐振动的相差

叫两波波程差12 rr

cos2 2122

21 AAAAA

由于在波场中确定点有确定的相位差

所以每一点都有确定的 A

从而在波场中形成了稳定的强度分布

干涉的特点 :强度分布稳定

合成的振幅

10

2,1,0π2Δ kk

21 AAA 221

2 AAAI

21 AA 如果 1max 4II

,1,012πΔ kk

21 AAA 0min21 IAA如果

干涉是能量的重新分布

1 ）干涉最强点（干涉相长）

2 ）干涉最弱点（干涉相消）

11

1212

π2Δ rr

12

所以所谓相位差恒定就是波源初相差恒定

实际波：波源振一次发出一列波

实现干涉的艰难任务是实现初相差恒定

在确定的场点 P )( 12 rr 确定

干涉结果取决于波源的初相差

讨论 1 ）关于相位差恒定

12

12

π2Δ rr

min

max

Ikrr

Ikrr

12212

12

1212

π2Δ rr

2 ）如果 21

kπ2

12π k

最强

最弱

从波程差直接判断强度分布

13

例 已知：相干波源

b

a

car

br

m25

m150

b

a

ba

r

r

AAA

m/s10

Hz100

u

求： c点的干涉结果

解： m10 ab rr

m10.u

100

ab rr

min

max

πΔ

0Δ

I

I

如果如果

14

3 ）相干叠加和非相干叠加

两列谐波在波场中叠加 任意时刻的

强度可写成 Δcos2 2122

21

2 AAAAA

Δcos2 2121 IIIII 即

•相干叠加：如果在波场中任一点 恒定

稳定的强度分布

存在干涉项 Δcos2 21II

15

Δcos2 2121 IIIII

•非相干叠加：

如果在波场中各点 随时间改变

则在观察的时间内 可能取各种值

使得 0Δcos

则各点强度为21 III

各分波强度直接相加

16

§5 驻波

一、产生驻波的条件

二、驻波表达式

三、反射波与入射波形成驻波

四、有界弦（腔）的驻波 简正模式

17

一、产生驻波的条件

沿相反方向传播的两列振幅相等的相干波

相干叠加产生驻波 x0

u

π2

cos

cos

02

01

kkxtA

kxtA

kx2

1,0π2Δ mm mx2

02AA

12πΔ m 124

mx 0A

相差

波腹

波节

18

x0

2

2

相邻波腹间距为

2

相邻波节间距为

实际应用：测波速2

1,0124

1,02

mmx

mmx

波腹

波节

波腹波节

2/ 2/ 4/

波节 波腹

19

二、驻波表达式

kxtAkxtA coscos 0021

tkxA coscos2 0

2

2

22

2 1

tux

满足 故称为波

平面 (传播 )波 kxtA cos 行波

tA cos kxAA cos2 0

驻波是各点振幅不同的简谐振动的集体

驻波

20

2

00 2cos2 AkxA 波腹

),1,0(π mmkx

),2,1,0(2

mmx

与干涉加强条件得到的结果相同

波节波腹

π2

k

看录相

“驻波”

从振动集体的角度总结驻波的特点

21

三、反射波与入射波形成驻波

反射点 b处是节、腹？

xo b2211 uu

21 nn或

•若从疏到密 (1u12u2)

反射点处有半波损失 b 点是节

•若从密到疏 (1u12u2)

反射点处无半波损失 b 点是腹

入射波

22

四、有界弦（腔）的驻波 简正模式

1. 两端固定

限定：两端为波节

,2,12

nnl

可能的模式

简正模式

22 2l

21l

l2

3 3l

23

2. 一端固定 一端开口

开口端 (自由端 )是波腹

),2,1,0(12442

nnnl

l 至少是四分之一波长

固定端是波节

41l

432l

453l

l

41l

4

3 2l

4

5 3l

l

乐器 ( 共振腔 )

激光器 (纵模 )

波导管l

24

水

水汽l

空气

Hz7m/s350 0 u

解： 水与水汽比

水汽是波疏介质

水汽与空气比

空气是波疏介质

基频对应长度

4

l

04u

m5.1274

350

例：利用基频测井深

25

§6 群速度

一、色散介质与非色散介质

二、群速度

26

)cos( kxtA

ku

一、色散介质与非色散介质

某一频率的简谐波在介质中的波速 ( 相位传播的速度 )

平面谐波就是单一频率的波

相速与频率波长的关系 记做 pu

1. 相速：

27

2. 波的色散 色散介质•色散 在某些介质中 不同频率的波有

不同的相速度 这种现象叫色散•色散介质 色散与介质的特性相关

出现色散现象的介质叫色散介质

无色散现象出现的介质就是无色散介质

空气 和 真空是非色散介质

某些各向异性的物质是色散介质 如石英晶体

牛顿色散实验

28

彩虹

色散可给您美的享受

29

二、群速度

假设我们讨论的实际波是由两列频率

差别不大的沿同方向传播的 S.H.W. 叠加而成

由此简单情况介绍实际波在色散介质中

传播时的速度－－群速度的概念

1 2

(b) x

包含两种频率的实际波

30

实际波的波形是一个一个的小包 称为波包

波包传播的速度 叫群速度

下面我们以此特例推导群速度的一般定义式

xktA

xktA

222

111

cos

cos

2

22

1

11 k

uk

u

分波表达式为

在此两频率有关系 21

各频率相速为

31

xkk

t

xkk

tA

22cos

.22

cos2

2121

212121

xkk

tAg 22cos 2121

xkk

tAAg 22cos2 2121

推导：•两分波线性叠加

•写成谐波形式

令

32

xkk

tAg 22cos 2121

1 2

(b) x

相当于把 S. H. W. 的振幅进行了调制

P

包络线代表了 Ag传播 (反映了能量）

即信号传播的速度 (具有实际意义 )

这就是 群速度

33

xkk

tAAg 22cos2 2121

cxkk

t

222121 令

0)()( 2121 xkkt d-d

kkkVg

21

21

kVg d

d

全微分

群速度

一般定义式