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第 2 章 波 动§1 平面简谐波的描述§2 波的能量§3 惠更斯原理§4 波的叠加§5 驻波§6 群速度§7 多普勒效应

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§1 平面简谐波的描述一、波的产生二、波面 波射线三、平面 S.H.W. 的传播四、平面 S.H.W. 的表达式五、平面 S.H.W. 的复数表示法六、波动方程

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一、波的产生1. 机械波产生的条件 振源 弹性介质

A

真空2. 电磁波 只需振源 可在真空中传播3. 物质波 物质的固有性质

振源 A 振动通过弹性力传播开去

机械波的传播

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二、 波面 波射线1.横波 纵波横波：各振动方向与波传播方向垂直纵波：各振动方向与波传播方向一致

x横波

纵波u

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水表面的波既非横波又非纵波

波速

6

x

波形图： 某时刻 各点振动的位移 ( 广义：任一物理量 )

与相应的平衡位置坐标 x 的关系曲线 u某时刻

思考：上述波形图表示的波一定是横波吗？

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2. 波面波射线：波传播的方向射线 波面：某时刻 同一波源向外 传播的波到达的各空间点连成的面

波阵面波面

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在各向同性介质中点源：波面是球面 所以称为球面波线源：波面是柱面 所以称为柱面波面源：波面是平面 所以称为平面波

球面波 柱面波 平面波

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能量

在各向同性介质中

球面波 柱面波 平面波1) 波面与波射线的关系：波射线垂直波面2) 波射线是波的能量传播方向3) 平面波是最理想的波（一维问题 能量不发散）

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三、平面 S H W 的传播 平面 : 波面是平面 (一维、能量不损失 ) S H W : 各点均作简谐振动 以绳上横波为例 说明波的传播特征

xu

1310741

无外界干扰 各质点均处在自己的平衡位置处

111310741

第 1 个质点受一干扰 准备离开自己的平衡位置向正方向振动

1310741

0t

4Tt 第 4 个质点准备……

4

00

>

振动状态 2π

1

12

1310741

1310741

第 7 个质点准备……2Tt

43Tt 第 10 个质点准备……

4

1

7

10

2π

13

第 13 个质点准备……Tt

1

4

7

10

132π

当第 1 个质点振动 1 个周期后 它的最初的振动相位传到第13 个质点 从相位来看 第1 个质点领先第 13 点 π2

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结论

2. 波长 波的周期 频率 波速uT

1. 波是振动状态的传播 不是质点的流动 各点均在自己的平衡位置附近作振动

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波长：波线上相位差为 2 的相邻两点间的距离波的周期：一个完整的波通过某点所需的时间波的频率：单位时间内通过某点完整波的数目波速：振动状态传播的速度

131

Tu /

某点波长 波速与频率之间的关系：

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3. 波射线上各点振动相位 (振动状态 )的关系1) 同时看波线上各点 沿传播方向 各点相位依次落后

1

4

7

10

13

xπ2相差是

•相距一个波长两点相位差是 2

如第 13 点和第 1 点或说振动时间差 1个周期则相位差为2

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x任意两质元间距为P Q

u1310741

x

•相距一个波长两点相位差是 2

xΔπ2Δ

•相距 x 的任意两点的相位差

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2) 从两质元振动的重复性看

π2Δ

Tt

x

t 时刻 第 13 质元的振动是第 1 质元在 t –T 时刻的振动 第 1 点和第 13 点之间 间距 :振动时间差：

相位差 :

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间距为任意 x 的两点的关系：在波线下方 Q 点 t 时刻的振动是前方 P 点在

uxt

Txt

时的振动

即π2Δ Tt

x

则

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一般关系：若已知波传播 P 点的振动形式可用函数 f(t) 表示Q 点与 P 点相距为 l 则 Q 点的振动函数是 f (t- l /u)

周期性的体现 普遍的结论

P Qu

x

同样若 Q 点的振动形式是函数 f(t)

Q 点与 P 点相距为 l 则 P 点的振动函数是 f (t+l /u)

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四、 平面 S. H .W . 的余弦表达式已知：波沿着 x 轴的正方向传播 波源 a 的振动形式为 0cos tAa

求：波的表达式

xu

o a0l

P

解：任意一点 P 坐标为x

x

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解：任意一点 P 坐标为x

xu

o a0l

Px解法一 相位关系P 点相位落后波源 a 的振动相位

atA Pπ2cos 0

00

π2cos lxtA

aPπ2

所以就在 a 点振动表达式的基础上改变相位因子就得到了 P 的振动表达式

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x

u

o a0l

Px

解法二 运动的重复关系

0cos u

aPtA

00

π2cos lxtA

00cos lx

utA

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讨论

xtA

π2cos1.

向 x 轴负向传播

xtA

π2cos

2. 角波数（简称波数 ) 波数：单位长度内含的波长数目（波长倒数）角波数： 2 长度内含的波长数目（简称波数）

π2

k

向 x 轴正向传播

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平面谐波一般表达： kxtA cos

3. 波的表达式的物理意义负（正）号代表向 x 正（负）向传播的谐波•当坐标 x 确定 表达式变成 ξ － t 关系 表达了 x 点的振动如图： ξ

T

to

x 点的振动曲线

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• 当时刻 t 确定表达式变成 ξ-x 关系 表达了 t 时刻空间各点位移分布－－波形图ξ

λxo

t 时刻的波形曲线

（空间周期）

•当坐标 x 确定 表达式变成 ξ － t 关系 表达了 x 点的振动

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4. 波速 相速

0 xkt dd

ktxu

dd 相位传播速度（相速）

const.)( kxt

波是振动状态的传播 考察某振动状态即令将其全微分 有关系式由速度的定义得出重要关系

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五、平面 S.H.W. 的复数表示法 kxtiAe kxtiAkxtA sincos

kxti

e

kxti

AeR

AekxtA

)(cos 取实部

kxtiAe tiikxeAe

经典波：波函数表示实在物理量 只有取实部才有意义 但可以使计算方便量子：波函数本身一般就是复数

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六、波动方程•无色散介质 一维波动方程

2

2

22

2 1tux

综量是 utx 的函数 utxf

•解的形式：

kxtA cos当然包括 平面简谐波

介质中的波速

30

•细棒中纵波

•弦上横波

2

2

2

2

tYx

2

2

2

2

tTx

T

x

SF

Y

F xS

Yu

Tu

结论：波速与介质 波的类型（横波 纵波）有关 无色散介质中与频率无关

杨氏模量：单位形变时单位面积受的力