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选修4 - 5 不等式选讲. 本专题知识结构. 第一讲 不等式和绝对值不等式. 不等式选讲. 第二讲 证明不等式的基本方法. 第三讲 柯西不等式与排序不等式. 第四讲 数学归纳法证明不等式. 第一讲 不等式和绝对值不等式. 一 : 不等式的基本性质. 基本不等式. 注 : 是比较两个数大小的依据. 比较法的基本步骤:. 1. 作差 ( 或作商 ). 2. 变形. 3. 定号 ( 与 0 比较或与 1 比较 ). 例 1 :比较 (x+1)(x+2) 和 (x-3)(x+6) 的大小。. - PowerPoint PPT Presentation
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选修4 - 5 不等式选讲
本专题知识结构 第一讲 不等式和绝对值不等式
第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式
第二讲 证明不等式的基本方法
不等式选讲
A
a
B
b
A
a
B
bb>a a>b
a<b a- b<0
a>b a- b>0
b=a b- a=0
基本不等式
注 : 是比较两个数大小的依据
一 : 不等式的基本性质
第一讲 不等式和绝对值不等式
比较法的基本步骤:比较法的基本步骤:1.作差 (或作商 )2. 变形3. 定号定号 (( 与与 00 比较或与比较或与 11 比较比较 ).).
例 1:比较 (x+1)(x+2)和 (x-3)(x+6)的大小。解:因为 (x+1)(x+2)-(x-3)(x+6)
=x2+3x+2-(x2+3x-18)
=20>0 ,
所以 (x+1)(x+2)>(x-3)(x+6)
① 、对称性: 传递性: _________
② 、 , a+c > b+c
③ 、 a > b , , 那么 ac > bc ;
a > b , ,那么 ac < bc
④ 、 a > b > 0 , 那么, ac > bd
⑤ 、 a>b>0 ,那么 an>bn. (条件 )
⑥ 、 a > b > 0 那么 (条件 )
nn ba
abba cacbba ,
Rcba ,
0c
0c
0 dc
2, nNn
2, nNn
(可加性)
(可乘性)(乘法法则)
(乘方性)
(开方性)
一 : 不等式的性质
2例c
b
d
adcba 求证已知 ,0,0
011
,01
,0,0,0:
cd
dc
cdcddccddc证明
,0,0,011
c
a
d
aa
cd又 ①
②
由①②可得 c
b
d
a
c
b
d
a ,0
,0,01
,0 c
b
c
a
cba又
课堂练习:
1.判断下列命题是否正确: (1) cabcba , ( ) (2) bcacba ( )
(3) 22 bcacba ( ) (4) bdacdcba , ( )
(5) bac
b
c
a
22 ( ) (6) baba 22 ( )
(7) 22 baba ( ) (8) 22 baba ( )
(9) d
b
c
adcba 0,0 ( )
2.设 A=1+2x4,B=2x3+x2,x R∈ 且 x≠1,比较 A,B的大小.
× √ × ×
√ ×
×
√ ×
解:∵ A-B=1+2x4-(2x3+x2)= 4 3 2(2 2 ) (1 )x x x
= 32 ( 1) (1 )(1 )x x x x = 3( 1)(2 1)x x x
= 2( 1)( 1)(2 2 1)x x x x = 2 21 1( 1) 2( ) 0
2 2x x
∴ A>B
3. 若 a 、 b 、 x 、 y R∈ ,则 是
成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
( )( ) 0
x y a b
x a y b
x a
y b
C
5. 已知 f(x)=ax2+c ,且 -4≤f(1)≤-1 , -1≤f(2)≤5 ,求 f(3)的取值范围。
4. 对于实数 a 、 b 、 c ,判断下列命题的真假:
( 1 )若 c>a>b>0 ,则
( 2 )若 a>b, ,则 a>0 , b<0 。
a b
c a c b
1 1
a b
(真命题)
(真命题)
f(3) 的取值范围是 [-1, 20]
二 : 基本不等式 2 2a b∈ R a +b ≥ 2ab如果 , ,那么 ,
a=b当且仅当 时等1定理 :
号成立。
a
a
b
b
b
几何解释
(基本不等式)a+b
a b 0 ≥ ab如果 , ,那么 ,2
a=b当且仅当 时等
2定理 :
号成立。
三 : 基本不等式
算术平均数 几何平均数
几何解释
Oa bD
ab
A
C
B
两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。
注:一正、二定、三等。
例 3 求证 :
(1) 在所有周长相同的矩形中 , 正 方形的面积最大 ;
(2) 在所有面积相同的矩形中 , 正方形的周长最短 .
定理:设 , ,x y z都是正数,则有
⑴若 xy S (定值),则当 x y 时, x y 有最小值 2 .s
⑵若 x y p (定值),则当 x y 时, xy有最大值2
.4
p
例 : 某居民小区要建一做八边形的休闲场所 ,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的面积为 200 平方米的十字型地域 . 计划在正方形 MNPQ 上建一座花坛 , 造价为每平方米 4300 元 , 在四个相同的矩形上 ( 图中阴影部分 ) 铺花岗岩地坪 , 造价没平方米 210 元 , 再在四个空角 ( 图中四个三角形 ) 上铺草坪 , 每平方米造价 80 元 . (1) 设总造价为S 元 ,AD 长 x 为米 , 试建立 S 关于 x 的函数关系式 ; (2) 当为何值时 S 最小 , 并求出这个最小值 .
QD
B
C
F
A
E
H G
P
M N
解 :设 AM=y米
22 200- x
4xy+x =200 y=从而4x
2 2S=4200x +210×4xy+80×2y于是0<x<10 2
例 2.⑴已知 30
2x ,求函数 (3 2 )y x x 的最大值.
⑵求函数22
( 3)3
xy x
x
的最小值.
解⑴(重要不等式法)∵3
02
x ,∴ 0 3 2 0x x 且 ,
∴ (3 2 )x x =1
2 (3 2 )2
x x ≤1 2 3 2
2 2
x x =
3 2
4
当且仅当 3
4x 时取等号.
∴ 函数 (3 2 )y x x 的最大值为 3 2
4,当且仅当 3
4x 取得.
解: ∵⑵ 3x ,∴ 3 0x
∴2 22 2( 9) 18 18
2 63 3 3
x xy x
x x x
=18
2( 3) 123
xx
≥ 24
当且仅当 182( 3)
3x
x
即 6x 时取等号.
∴ 函数22
( 3)3
xy x
x
的最小值为 24,且当 6x 时取得.
例 2.⑴已知 30
2x ,求函数 (3 2 )y x x 的最大值.
⑵求函数22
( 3)3
xy x
x
的最小值.
解:∵ 1x ∴ 01 x 01
1
x
∴1
1
x
x = 11211
1)1(21
1
11
xx
xx
当且仅当 1
11
x
x 即 0x 时 1
1xx
有最小值 1
3 、若X>-1,则x为何值时 1
1
x
x
有最小值,最小值为几?
1.y x
x 4、求函数 的值域
解 : 21
21
,0)1( x
xx
xx 时当
,1
,,0)2( Rx
xx 时当
2)1
()(21
x
xx
x
21
x
x ).,2[]2,( y
1 ( 3)
82
1
x x
x
x
2
1、求函数y= 的最小值 ;x-3
、求函数y= 的值域.
作业
47( 3)
3a a
a
3、求证 其中
三:三个正数的算术—几何平均不等式
类比基本不等式得3
+
a+b+ca b c∈ R ≥ abc如果 、 、 ,那么 ,
3 a=b=c当且仅当 时,等
3定理 :
号成立。
,1 2 3 n
1 2 3 n n1 2 3 n
1 2 3 n
n a ,a ,a , a对于 个 正数它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,
a +a +a + +a , ≥ a即 a a , a
na =a =a = =a ,当且仅当 时
推广:
等号成立
.3
2 x+y+z=p)若 (定值),
p x=y=z ,xyz则当 时 有最大值
27
,
.
z
3
x,y设 都是正数,则有 1 xyz=s)若 (定值),
x=y=z ,x+y+z则当 时 有
定
3 s最小值
理:
注:一正、二定、三等。
例 1: 如图,把一块边长是 a 的正方形铁 片的各角切 去大小相同的小正方形, 再把它的边沿着虚线折转作成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多小时?才能使盒子的容积最大?
a
x
2 v=(a- 2x) x解:依题意有a
0<x< )(2
2 11 (1 5 )(0 )
5y x x x 例 求函数 的最值。
2
3
5 2 5 2( 2 ) ( 2 ),
2 5 2 51 2
0 , 2 0,5 5
2( 2 )5 45[ ] .
2 3 6752 2 4
2 .5 15 675
y x x x x x
x x
x x xy
x x x x
max
解:
当且仅当 ,即 时,y
3
max
1 1 4 1 5 14 (1 5 ) ( ) ,
4 4 3 1081
.108
x x xy x x x
y
下面的解法对吗?
例2 : 20 1 , (1 ) .x y x x 当 时 求函数 的最大值
解 : ,10 x ,01 x
.27
4,
3
2,1
2 max yxxx
时当
27
4)
3
122(4 3
xxx
)1(22
4)1(2 xxx
xxy
构造三个数相 加等于定值 .
练习:2
2 2
161 4 ______
( 1)y x
x
、函数 的最小值是 8
4 22 (2 )(0 2)y x x x 、函数 的最大值是
A 、 0 B 、 1 C 、 D 、
( )
27
1627
32D
的最小值是则、若 yxxyRyx 24,,3 2
A 、 4 B 、
C 、 6 D 、非上述答案
3 43B
2P10 15 },
2 .
2
b
h
2
b课本 第 题 已知a>0, b>0, 且h=mi n{a, a
求证:2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
22 2
0, 0, 2 ,
1 12, , ,
2 2
0<h=min{a, } ,
0<h=min{a, } ,
1 2, .
2 2
a b a b ab
a b ab b
ab a b a bb
aa bb b
a b a b
bh a
a b
证明:
即a
由于
从而h