第七章 振动和波

§7.1 简谐振动§7.2 阻尼振动§7.3 受迫振动与共振§7.4 振动的合成和分解§ 7.5 机械波

§7.1 简谐振动一、简谐振动

振动：物理量在某一定值附近反复变化。（位置、电流强度、电压、电场、磁场强度等）

机械振动：

简谐振动：x

t

物体在平衡位置附近作往复运动。( 如声源的振动、钟摆的摆动等 )

匀速圆周运动在任意直径方向的分运动

二、简谐振动的运动方程 )cos( tAx

A

x

t

周期2

T

频率 2

/1 T

角频率

振幅 A

相位 t

初相位

三、简谐振动的动力学方程匀速圆周运动的质点在直径 上的分运动是简谐振动

)cos( tAx

向心力： 2F m A

心

x 方向上的分力

xmiFFx2

心

mA

xO

t

线性回复力：

xmxm 2

02 xx 简谐振动的动力学方程：

力的大小与偏离平衡位置的位移大小成正比，方向指向平衡位置。

两个相同弹簧拉一个小球，求横向小位移时小球的受力

0l 0l

y

l

0y 0

3022 200

lF 2k l l 2k 1 y

l

l k2k 1 y y

ll y

( ) sin

不是线性回复力

kxFx

线性回复力

水平弹簧振子

O

xF

x

k

kxFma xx

kxxm

0 xm

kx

动力学方程

竖直弹簧振子

lkmg O

yymky

ylkmgFy

)(合力：

0 ym

ky

动力学方程

平衡位

置

复摆（刚体摆）

刚体定轴转动定理dt

dLM z

z

sinOCz mglM 0ILz

0sin ImglOC

0sin0

I

mglOC

小角度近似 00

I

mglOC

O

C

gm

0 xm

kx

动力学方程

（二阶常系数线性齐次微分方程）

0 ym

ky

00

I

mglOC

虽然振动的物理量不同，但它们都满足相同的微分方程

020 xx

四、动力学方程求解

1 ） x 的通解形式为

020 xx

)cos( 00 tAx

它们取决于振动的初始运动状态，

),( 0A

),( 00 vx

描述简谐振动的三个特征参量：振幅、初相位和频率

通解中包含两个待定的积分常量，

2 ）振幅 A 和初相位 φ0 的确定

),( 00 vx由振动的初始条件

0t

000

00

sin

cos

Avx

Axx

00

00

2

202

0

tanx

v

vxA

φ0 所在的象限则由 sinφ0 或 cosφ0 的符号确定

3)固有频率ω0

弹簧振子

单摆

复摆

m

k0

l

g0

O

OC

I

mgl0

任一振动系统的固有频率由振子的固有参量决定，与初始条件无关。

0 02 03

例 小球 A， B， B' 在光滑的水平面上沿一直线静止放置。 B， B' 质量相同，中间用轻弹簧连接，弹簧处于自由长度状态。让 A 对准 B 匀速运动，弹性碰撞后，接着又观测到 A和 B 两球发生一次相遇不相碰事件，试求A和 B 两球的质量比 γ 。

A BB设 B 的质量为m ，则 A 的质量是 γm第一阶段是弹性碰撞第二阶段： A 做匀速直线运动； B ， B'的质心做匀速直线运动， B ， B' 相对质心作简谐振动。

0v

弹性碰撞 20

220 2

1)0(

2

1

2

1,)0( mvmvmvmvmvmv BABA

00 1

2)0(,

1

1vvvv BA

B 的直线运动 = 匀速运动 + 简谐振动B ， B' 的质心做匀速直线运动

01)0(

2

1vvv Bc

B 相对质心的初速度 01)0()0( vvvv cBB

简谐振动的频率 mk /2

简谐振动的初始条件B B 0t 0 x 0 0 v 0 v

1, ( ) , ( )

B 相对质心的简谐振动

tm

k

k

mvxB

2sin

21 0

B 的运动

00

00

1

2cos

1

1

2sin

21

vtm

kvvvv

tvtm

k

k

mvtvxx

cBB

cBB

A 做匀速直线运动A 0 A 0

1 1x v t v v

1 1,

在某时刻， A和 B 相遇不相碰的条件：

)()(),()( 0000 tvtvtxtx BABA

整理得2

1,11tan 222

例 复摆

小角度近似 0

0

I

mgrC

O

C2

00 ,2 CC

C

mrIImgr

IT

CC

CC

C

rmr

Ir

mr

Il 00

复摆的等时摆长

Cr

glT /2 0

O

C

O

Cr

Cr

CC rrl 0

的点 O' 保持周期不变，称为 O 的倒逆点

过 C 的任一直线上存在四个点周期相同

在 C 点下方，满足

CC

CC r

mr

Irl 0

保持等时摆长不变， rC 有两个解

动能 : )(sin2

1

2

100

2220

2 tAmxmEk

势能 : )(cos2

1

2

100

222 tkAkxEp

机械能： 2220 2

1

2

1kAAmEEE pk

振子的动能和势能都随时间周期性地变化，幅值相同振子的机械能保持不变，平均动能 /平均势能都占机械能的一半。

四、谐振子的能量 x A t 0cos( )

平均动能：T

k kE E dt ET 0

1 1

2

平均势能：T

p pE E dt ET 0

1 1

2

半径为 r 的小球在半径为 R 的半球形大碗内作纯滚动，这种运动是简谐振动吗？如果是，求出它的周期。

设小球质心速度 vC ，角速度 ω

机械能守恒 022

2

1

2

1)cos1)(( EImvrRmg CC

2

5

2mrIC )( rRvC Cvr

两边对 t 求导 0sin)(7

5

rR

g

其中

小角度时的周期g

rRT

5

)(72

2

§7.2 阻尼振动

当没有外界的能量补充时，实际振动系统的振幅都要随时间逐渐衰减。

振幅衰减的原因 :

② 振动能量以波的形式向周围传播

①存在阻尼力

xf h x

xmfF xx

20x 2 x x 0

h

2m 阻尼因子 :

阻尼振动的微分方程

0

kω =

m固有频率 :

一、阻尼振动方程

d x dxx

dt dt

2202

2 0

方程的解 :

①β=ω0 时， tx A Bt e( )

②β≠ω0 时， t tx A e A e1 21 2

2 2 2 21 0 2 0,

k m

h m

20

2

tx e A e A e2 2 2 2

0 0

1 2( )

二、欠阻尼振动（ β＜ ω0 ）

tfx A e t0 0cos( )

f2 20 其中

t

x

o

tA e0

品质因子：E t

Q tE t E t T

( )( ) 2

( ) ( )

当 β<<ω0 时：Q 0

2

tx e A e A e2 2 2 2

0 0

1 2( )

在阻尼很小的情况下描述阻尼能耗的品质因子决定于振动系统的性质，与固有频率成正比，与阻尼系数成反比

在低阻尼情况下 : 0β << ω

tx f 0 f f 0

t0 f 0

dxv Ae t t

dt

Ae t

[ cos( ) sin( )]

sin( )

2 2 2 -2βtk p x

1 1 1E = E + E = mv + kx = kA e

2 2 2

2 2 t 2 T 2 2 t

0

E E t E t T

1 1 4kA e 1 e kA e

2 2

( ) ( )

( )

2

2 0

E

EQ

tfx A e t0 0cos( )

阻尼振子的能量

tk f f fE mA e t t

22 20 0 0

1cos( ) sin( )

2

tp f fE mA e t2 2 2 2 2

0 0

1( )cos ( )

2

t

f f f f

E mA e

t t

2 20

2 2 20 0

1

2

sin 2( ) 2 cos ( )

dE

hv vdt

( ) 机械能的时间变化率等于阻力的功率

tx f 0 f f 0v Ae t t[ cos( ) sin( )]

三、临界阻尼和过阻尼

临界阻尼（ β＝ω0 ）：

tx A Bt e( )

t tx A e A e1 21 2

2 2 2 21 0 2 0,

过阻尼（ β > ω0 ）：

o t

x过阻尼临界阻尼

三种阻尼振动比较

欠阻尼

在临界阻尼条件下，振动系统回到平衡位置用时最短。

§ 7.3 受迫振动

只有外部能量输入，耗散系统的振动才能持久运行，激励振动的方式主要有两种：周期力和单向力。

受迫振动：用周期力驱动的振动。

周期力中简谐策动力最重要：（ 1 ）简谐策动力最简单，也最普遍（ 2 ）非简谐策动力都可以看作简谐策动力的线性叠加

受迫振子上的力

保守力： xF k x

阻尼力： xf hx

0( ) cos( )F t F t简谐策动力：

20 0x 2 x x f tcos( )

)(tFfFxm xx

21 1 0 1

22 2 0 2 0

2 0

2 cos( )

x x x

x x x f t

通解

特解

方程的通解可分解为下列两个方程的通解与特解之和

方程的通解 = 齐次方程的通解 + 方程的特解

21 xxx

振动方程：

一、受迫振动解

m

Ff 0

0 其中 h

2m

受迫振动的微分方程的求解问题就转化为寻找方程的特解猜测 )cos(2 tAx

得 2

20 0

A t 2 A t

A t f t

cos( ) sin( )

cos( ) cos

两边对应项的系数相等

0cos2sin)(

sin2cos)(22

0

022

0

AA

fAA

0

2 2 2 2 20

fA

4,

( )

0

2βωAsin = -

f

2 20

2 tan

受迫振动的微分方程的通解

t 2 20 0 0x A e t A tcos( ) cos( )

02 22 2 2 2 200

f 2A

4, tan

( )

第一项即阻尼振动，随时间衰减，故称暂态解

第二项不随时间衰减，称为稳态解

222220

0

4)(

fA振幅随ω的变化

根据 0d

dA

共振振幅22

0

0max

220

2

2

fA

r共振频率

二、共振

1. 振幅共振

速度幅值随ω的变化

根据 0d

dV

共振速度

20

max

0

fV

共振频率

我们周围的世界充满了各种振动

222220

0

4)(

fAV

有益的和有害的自然的和人为的

2. 速度共振（能量共振）

三、从能量的角度分析受迫振动稳定受迫振动的速度

sin( ),v x A t

策动力的功率

)sin(cos)( 0 tAtFvtFpF

阻尼力耗散的功率

sin( ) 22fp h x v hv h A t

速度共振时 0 , / 2,

222220

0

4)(

fA

0 0

2 2

f FA

h

一个周期中策动力和阻尼力的平均功率2 21 1

2

t T

F Ftp p dt m A

T

2 21 1

2

t T

f ftp p dt m A

T

平均功

率

§7.4 振动的合成和分解

一、一维振动的合成

A 、两个相同频率简谐振动的合成

x A t

x A t1 1 1

2 2 2

cos( )

cos( )

1 2x x x

2 21 2 1 2 1 2

1 1 2 2

1 1 2 2

2 cos( )

sin sin

cos cos

A A A A A

A Atg

A A

cos( ) A t

2 1 2 πk 1 2( )cos( )x A A t 1 2A A A

1 ）相位差 2 1 2 πk ( 0 1 2, )k ， ，

2 21 2 1 2 2 12 cos( )A A A A A 讨论：

x

t

o T

2 1( )cos( π)x A A t

2 21 2 1 2 2 12 cos( )A A A A A

2 ）相位差2 1 (2 1) πk ( 0 1, )k ，

1 1 cosx A t2 2 cos( π)x A t

x

to

21 AAA 2

T

3）一般情况

1 2 1 2A A A A A

1 2A A A

2 ）

1）

1 2A A A 2 1 2 πk

( 0 1 )k ， ，

相互加强

相互削弱2 1 (2 1) πk

( 0 1 )k ， ，

)cos(

)cos(

22

11

tAx

tAx考虑下列两个频率不同、但振幅和初相位相同的振动

ttAxxx

2cos

2cos2 1212

21

合振动 :

B 、两个不同频率简谐运动的合成

合成的振动相当于振幅随时间缓慢变化的简谐振动，这种振幅周期变化的现象称为拍。

2 1 π2

T

2 1

2T

2 12 cos2

A A t

2 1

1 2( ) 2

max 2A A

min 0A 振幅

振动频率

拍频（振幅变化的频率）

2 1 2 1x 2 A t t2 2

cos cos

二、二维振动的合成

2 22

2 1 2 12 21 2 1 2

2cos( ) sin ( )

x y xy

A A A A

质点运动轨迹

1 ） 或2 1 0 2 π

2

1

Ay x

A

1 1cos( )x A t

2 2cos( )y A t

y

x1A

2A

o

（椭圆方程）

讨论

A 、同频率振动的合成：

y

x1A

2Ao

2 ） 2 1 π 2

1

Ay x

A

3） 2 1 π 2

2 2

2 21 2

1x y

A A

1 cosx A t

2

πcos( )

2y A t

2 22

2 1 2 12 21 2 1 2

2cos( ) sin ( )

x y xy

A A A A

x

y

1A

2A

o

用旋转矢量描绘振动合成图

简谐运动的合成图

两相互垂直同频率不同相位差

B 、两相互垂直不同频率的简谐运动的合成

1 1 1

2 2 2

cos( )

cos( )

x A t

y A t

2

π π 3π π0, , , ,

8 4 8 2

1 0

测量振动频率和相位的方法

李 萨 如 图 形

1

2

,m

n

整数比如果

三 . 振动的分解、谐波分析（傅立叶分析）

0

4 1 1(sin sin 3 sin5 ...)

3 54 sin(2 1)

2 1k

Ax t t t

A k t

k

ω 基频

ω

x

t

3ω ω5

合成后

4 1 1(sin sin 3 sin5 )

3 5

Ax t t t

§ 7.5 机械波

机械振动在连续弹性介质内的传播形成机械波一、机械波的产生和传播

机械波产生的两个条件：波源，弹性媒质波长 : 波的传播方向上两相邻同相点间的距离。

波的频率 : 单位时间内所传播的波的数目 .

波的周期 T: 波动传播一个波长所需的时间， 等于媒质质元的振动周期。

波速 u：又称相速度 ( 常相点的传播速度 )

λu = = λν

T

说明：

(1) 波传播时，媒质质元并不“随波逐流”

(2) 波的传播是振动形式，某时刻某质元的振动状

态将在较晚时刻于“下游”某处重现。

(3) 波是振动相位的传播

b 点比 a 点的相位落后2

x

·

·a b

x

x

传播方向

(4) 波是能量的传播

横波：波的传播方向与振动方向垂直纵波：波的传播方向与振动方向平行

一维空间传播的波：弦波

二维空间传播的波：水面的波

三维空间传播的波：声波、电磁波

1.按传播方式分：横波和纵波二、波的分类：

2. 按波传播的空间维数分：

平面波：波阵面为平面

球面波：波阵面为球面

柱面波：波阵面为柱面

波阵面（波前）：振动状态相同的点组成的面波线：波的传播方向线

3.按波前的形状分：

4.按振源的振动方式分：

周期波、脉冲波

),( txyy

各质点相对平衡位置的位移

波线上各质点平衡位置

简谐波：

三、简谐波的波函数

介质中任一质点（坐标为 x ）相对其平衡位置的位移（坐标为 y ）随时间的变化关系 即称为波函数 .

y x t( , )

在均匀的、无吸收的介质中，波源作简谐运动时，在介质中所形成的波 .

点O 的振动状态tAyO cos 点 Pt x u

t 时刻点 P 的运动t-x/u 时刻点 O 的运动

以速度 u 沿 x 轴正向传播的平面简谐波令原点 O 的初相为零，其振动方程

Oy A tcos

P

xy A t

ucos ( ) 点 P 振动方程：

1) 时间推迟方法

点 P 比点 O 落后的相位

p O xπ2

p

x x xπ π

Tu u2 2

p

xy A t

ucos ( ) 点 P 振动方程

oy A tcos

点 O 振动方程

x 0, 0 P

x *

y

x

uA

AO

2) 相位落后法

x 0, 0

xy A t

ucos[ ( ) ]

沿 x 轴负向传播

Oy A tcos( )

点 O 振动方程：

波函数： 沿 x 轴正向传播 x

y A tu

cos[ ( ) ]

y

x

uA

AO

如果原点的初相位不为零

波动方程的其它形式

t xy(x,t ) A π

T λcos[2 ( ) ]

y x t A t kx( , ) cos( )

质点的振动速度，加速度

yA t kx

tsin( )

v

ya A t kx

t

22

2cos( )

波数

k2

波函数的物理意义：

])(π2cos[])(cos[

xTt

Aux

tAy

1) 当 x 固定时， 波函数表示该点的简谐运动方程，并给出该点与点 O 振动的相位差 .

x xπ

u λ2

波具有时间周期性 : y x t y x t T( , ) ( , )

波具有空间的周期性： y x t y x t( , ) ( , )

2) 当 t 一定时，波函数表示该时刻波线上各点相对其平衡位置的位移，即此时刻的波形 .

x t xy A t A π

u Tcos[ ( ) ] cos[2 ( ) ]

x t xt π

u T1 1

1 ( ) 2 ( )

x t xt π

u T2 2

2 ( ) 2 ( )

x x xπ π2 1 21

12 1 2 2 2

波程差： 21 2 1x x x

x π2

y

x

u

O

y

x

u

O

t x t t x x( , ) ( , )

t xy A π

Tcos 2 ( )

t x t t x xπ π

T T2 ( ) 2 ( )

t x

T

x u t

3)若 x、 t 均变化，波函数表示波形沿传播方向的运动情况（行波）。

t 时刻 t t 时刻

x

当空间同时存在两列或两列以上的波时，每列波在传播中将不受其它波的干扰而保持原有的特性（频率、波长、振幅、振动方向、传播方向）不变，相遇区域内的任一质点振动的位移是各列波单独存在时在该点引起的位移的矢量和。

四、波的合成

1 、波的叠加原理：

2 、驻波当两列振幅相同，频率相同，振动方向相同的波以相反方向传播时，叠加形成驻波。

设 y A t x1

2cos ,

y A t x2

2cos

1 2

22 cos cos

y y y A x t

2x

波节 波腹

y y y A x t1 2

22 cos cos

振幅：

x k k2

0,1, 2

波腹

x k2

2 12

k 0,1, 2 波节

A x2

2 cos

相位：相邻波节之间的质元相位相同每一波节两侧各质元相位相差 π

3 、合成波的群速度

y A t k x

y A t k x1 1 1 1

2 2 2 2

cos( )

cos( )

两列波叠加后的合成波：k k

y y y A t x

k kt x

1 2 1 2 1 21 2

1 2 1 2 1 2

2 cos( )2 2 2

cos( )2 2 2

群速度：调制波的包络线的传播速度。

gvk k k

2 1

2 1

观察者接受到的频率依赖于波源或观察者运动的现象，称为多普勒效应。

五、多普勒效应

假定波源与观察者在同一条直线上，

u —— 观察者相对于介质的运动速度

v —— 波源相对于介质的运动速度

V —— 声波在介质中的传播速度

υ—— 波源的频率

问观察者接收到的频率 υ′ 为多少？

V u V u V u

V V

b)远离波源时，接受到的频率降低

S

v 0 uV

a) 接近波源时，接受到的频率升高

A 、波源静止，观察者相对介质运动观察者接受的频率就是单位时间通过观察者的完整波长数。

波源静止时媒质中的波长为 λ ，波源运动时媒质中的波长：

uT

V uV u T( )

波的频率为：V V

V u

静止的观察者接受到的频率就是波的频率：

V

V u

VT

S

u

uT

B 、观察者静止，波源相对介质运动

V v

V u

v0 ：观察者向着波源运动时为正，

观察者背着波源运动时为负；

vs ：波源向着观察者运动时为正，

波源背着观察者运动时为负。

C、波源和观察者同时相对于介质运动

附：线性微分方程的复数解法1 、用复数代表一个简谐量：

• 用一个复数代表一个简谐量的规定 :– 该复数的实部就是这个简谐量本身– 复数的模与简谐量的峰值相对应，– 复数的辐角与简谐量的相位相对应。– 若要对多个简谐量进行某种运算 , 可以对代表这些简谐量的复数进行相同的运算 , 所得复数的实部就是这些简谐量进行该运算的结果。

• 复数运算比余弦函数运算要简便得多

( ) cos( ) sin( )j tA Ae A t jA t 简谐量 a(t)=Acos(ωt+φ) 与一个复数的实部相

对应

2 、对应关系的说明：

• 首先确立某种对应关系。应当注意 “对应关系”不是“相等”，复数不是简谐量本身，只是复数的某些量或经过运算后的某些量等于简谐量的特征量。

• 复数有自己的运算规则，简谐量也有自己的运算规则。它们的运算规则满足一定的对应关系，我们可以借助复数的运算来代替简谐量的运算

• 在运算之后，需要反过来利用对应关系，从复数的运算结果中找出简谐量的特征量。

简谐量和复数对应表简谐量 复数

对应关系

相等的量峰值 ( 或有效值 ) 模

初位相 t＝ 0 时的辐角瞬时值 实部

运算规律

( ) cos( )a t A t ( )j tA Ae

1 2A A A 1 2( ) ( ) ( )a t a t a t

dadt j A

( )a t dt1 Aj

3 、复数基本知识

sincos~

~

~

jAAA

AeA

jbaAj

几何表示法：

指数表示法：

代数表示法：

abarctg

baA

22

)(

2

1

2

1

2

1

)(212121

2121

221121

2

2

2

1

1

121

~

~

~

~)()(

~~)(

)(~~

j

j

j

jjj

j

eA

A

eA

eA

A

A

eAAeAeAAA

Aeyyjxx

jyxjyxAA

）（

）（

复数运算：

2

4 4 1 4 2 4 3

1, 1

1, , 1,n n n n

j j j

j j j j j j

为虚数单位，满足

复数的表示：