Исследование проблемы неинвариантности относительно поворота при решении уравнения

Пуассона на декартовой сетке.

Выполнили: Агафонцев А.А. Добролюбова Д.В.

Руководитель: н.с. ИВМиМГ СО РАН, Киреев С.Е.

Цель работы

Наглядно показать разницу в аппроксимации лапласиана двумя разностными схемами одного порядка аппроксимации – 5-точечной и 9-точечной.

Метод частиц в ячейках (PIC)1. Лагранжев этап: осуществление сдвига частиц 11 nnn uuu

11 nnn xxx 2. Частица → сетка: вычисление распределения плотности на сетке

3. Эйлеров этап: вычисление гравитационного потенциала (решение трехмерного уравнения Пуассона на сетке): ρ → φ

4. Вычисление сил на сетке: F

F

Переход на Лагранжев этап.

Исходная задача:

42

2

2

2

yx

5-точечная схема: 9-точечная схема:коэффициенты:

3

10

3

2

6

1

4

1

коэффициенты:

ji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

hh ,2

,1,,1

2

,1,,1 )22

(

jin

jin

jin

jin

ji

nji

nji

nji

nji

njih

,1,11,11,11,1

1,1,,1,1,2

))(6

1

)(3

2

3

10(

1

Вид 5-точечной схемы:

Вид 9-точечной схемы:

0)22

(2

,1,,1

2

,1,,1,1

,

hh

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

0))(6

1

)(3

2

3

10(

1

1,11,11,11,1

1,1,,1,1,2

,1

,

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

nji

h

5-точечная схема:

9-точечная схема:

02

2

2

2

yxt

Сделали задачу нестационарной добавив производную по времени, - получили уравнение диффузии (теплопроводности).

Нестационарная однородная задача:

Для нестационарной задачи схемы примут вид:

Распространение с течением времени:

Разница результатов работы программы для 5 и 9-точечной схем:

(Спустя 40000 итераций)

0,00E+00

2,00E-04

4,00E-04

6,00E-04

8,00E-04

1,00E-03

1,20E-03

1,40E-03

1,60E-03

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60

Фурье-анализ для разности решений для двух схем:

0,0000000E+00

2,0000000E+01

4,0000000E+01

6,0000000E+01

8,0000000E+01

1,0000000E+02

1,2000000E+02

1,4000000E+02

1,6000000E+02

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

5-point

0,0000000E+00

2,0000000E+01

4,0000000E+01

6,0000000E+01

8,0000000E+01

1,0000000E+02

1,2000000E+02

1,4000000E+02

1,6000000E+02

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

9-point

Фурье-анализ решений для двух схем:

-5,0000000E-03

0,0000000E+00

5,0000000E-03

1,0000000E-02

1,5000000E-02

2,0000000E-02

2,5000000E-02

3,0000000E-02

3,5000000E-02

4,0000000E-02

4,5000000E-02

5,0000000E-02

0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60

sub

Распараллеливание:

Использовали OpenMP

Threads 1 2 4 8

Time 208,090 108,478 46,264 23,841

Speedup 1,000 1,918 4,498 8,728

Efficiency, % 100 95,91345711 112,4470431 109,1030158

5-point sheme:

208,090

108,478

46,264

23,841

0

50

100

150

200

250

1 2 4 8

threads

tim

e, s

8,728

4,498

1,9181,000

0

2

4

6

8

10

1 2 4 8

threads

spee

du

p

100

95,91346

112,447 109,103

85

90

95

100

105

110

115

1 2 3 4

threads

eff

icie

nc

y

Threads 1 2 4 8

Time 206,706 117,040 45,859 24,048

Speedup 1,000 1,766 4,507 8,596

Efficiency, % 100 88,30570745 112,6856233 107,444486

24,048

45,859

117,040

206,706

0

50

100

150

200

250

1 2 4 8

threads

tim

e, s

Распараллеливание:

8,596

4,507

1,7661,000

0

2

4

6

8

10

1 2 3 4

threadssp

eed

up

107,4445112,6856

88,30571

100

0

20

40

60

80

100

120

1 2 3 4

threads

effi

cien

cy

9-point sheme:

Результаты:

• Реализована параллельная программа для решения 2D уравнения диффузии

• Выполнен Фурье-анализ решений для двух разностных схем, а также их разности.

Вывод:

5-точечная схема оказывает большее влияние на неинвариантность решения

Спасибо за внимание