平行四边形有哪些性质？

1. 边 :

2. 角 :

3. 对角线 : 平行四边形对角线互相平分 .

DA

CB

我们学过平行四边形有哪些判定方法？

从边看 : 两组对边分别平行 两组对边分别相等

一组对边平行且相等

的四边形是平行四边形

问题：判定一个四边形是平行四边形是否还有其它的方法？

平行四边形对边平行且相等

平行四边形对角相等、邻角互补

满足下列条件的四边形 ABCD 是不是平行四边形，若是，在括号内打“√”，若不是，则打“ ×” 。

√

√

√

×

×

√

A

B C

D1.AB=CD ， AB∥CD （ ）

2.AB=CD ， AD=BC （ ）

3.AB=BC ， AD=DC （ ）

4.AB ∥ CD ， AD ∥ BC （ ）

5.AB ∥ CD ， AD=BC （ ）

6.∠A+∠B=180°,AD=BC ( )

A B

CD

4.4 平行四边形的判定定理 (2)

4

1 ．动手操作：如图，将两根细木条AC 、 BD 的中点重叠，用小钉绞合在一起，连接木条的顶点 A 、 B 、 C 、 D ，四边形ABCD是一个平行四边形吗？

自主探究，获得新知活动：

DA

CB

O

猜想 : 对角线互相平分的四边形是平行四边形

平行四边形的判定定理平行四边形的判定定理 3:3:

DA

CB

O

对角线互相平分对角线互相平分的四边形是平行四边形

∵ A0=CO,BO=DO

∴ 四边形 ABCD 是平行四边形

6

到现在你有几种判定平行四边形的方法了？

整理

③ 一组对边平行并且相等的四边形是平行四边形。

①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

② 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

④ 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

例 1: 已知：如图 , 在 ABCD中， E 、 F 是对角线 BD 上的两点，且 BE=DF求证：四边形 AECF是平行四边形。

AA

BB CC

DD

EE FF

且∠ BAE=∠DCF

O

变式 : 已知：如图 , 在 ABCD中，∠ BAD 和

∠ BCD的平分线 AE、 CF分别与对角线 BD相交于点 E ， F 。求证：四边形 AECF是平行四边形。AA

BB CC

DD

EE FF

3 、如图，在 ABCD 中， E ， F 是对角线 AC 上的两个点； G ， H 是对角线 BD 上的两个点，已知 AE=CF ， DG=BH ，求证：四边形 EHFG 是平行四边形

DD

AA BB

CCOO

EE

GG FF

HH

证明：在　　ＡＢＣＤ中，ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ（平行四边形的对角线互相平分）∵ ＡＥ＝ＣＦ，ＤＧ＝ＢＨ∴ＯＡ -ＡＥ =ＯＣ -ＣＦ，Ｏ D-DG= Ｏ B-BH即ＯＥ＝ＯＦ，ＯＧ＝ＯＨ∴ 四边形 EHFG 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

任意画一个三角形和三角形一边上的中线。比较这条中线的二倍与三角形另外两边的和的大小，你发现了什么 ? 再画几个三角形试一试，你发现的规律仍然成立吗 ? 试证明你的发现。

三角形一条边上的中线的 2倍小于另两条边的和。

E

D CB

A

探究活动：

辅助线：见中线延长一倍

思考：在△ ABC中， AB=4 ， BC=9 ， AD是

AC边上的中线，求 AC的取值范围。

1) 1,D( ),2 ,3C( 1), 1, B( ),2 ,3A( B4 、如图

四边形 ABCD 是不是平行四边形？请给出证明 .

AB

CD

x

y

o-1

-1

1

1

2

2

3

3

) O关于原点 对称2 ,3C( 与 )2 ,3A( 对称 O原点关于与 1) 1,D( 1) 1, B(

∴Ｏ平分ＡＣ，Ｏ平分ＢＤ连接对角线ＡＣ，ＢＤ则有

ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ∴四边形ＡＢＣＤ是平行四边形

从边看 :

平行四边形的四个判定方法

两组对边分别平行

两组对边分别相等

一组对边平行且相等

的四边形是平行四边形

从对角线看 : 两组对角线互相平分

平行四边形的性质定理和判定定理

条 件 结 论性质定理

判定定理

1 四边形是平行四边形 两组对边平行且相等

四边形是平行四边形 对角线互相平分2

123

四边形是平行四边形四边形是平行四边形四边形是平行四边形

两组对边分别相等对角线互相平分

一组对边平行并且相等