重力波の重力レンズでの波動効果

重力波の重力レンズでの波動効果

高橋　龍一　（国立天文台ＰＤ）

重力波源検出器

重力レンズを受けた重力波

0. Abstract

レンズ天体

1. Introduction● 地上のレーザー干渉計　　　周波数：　

　　 LIGO （米）、 TAMA （日）、 VIRGO （仏・伊）、 GEO （独・英）等　（運転中）　　

将来計画 advanced LIGO （米、 ~2007 年） 、 LCGT （日）　

　　● スペースのレーザー干渉計　　 LISA （米・欧、 ~2013 年）　　周波数：　

将来計画（ 2020 年以降） DECIGO （日）、 BBO （米）　周波数：

世界の重力波検出器

Hz31010

Hz14 1010

Hz1010 2

◆ 重力波源 （ Cutler & Thorne 2002 ）

● 地上の検出器

・中性子星（ＮＳ）やブラックホール（ BH ）連星の合体　　　　　　　 NS merger 　　　　　　　　　　　　　 for

advanced LIGO

・超新星爆発 ・中性子星の自転 ● スペースの検出器

・超巨大 BH や中質量 BH 連星の合体 SMBH merger for LISA

　　・銀河中心の超巨大 BH

・銀河系内の白色矮星の連星 for LISA

・初期宇宙（インフレーション）起源の重力波

events/yr1010 3（ Kalogera et al. 2004 ）

events/yr101.0 2

sources 103

重力レンズは（光と同様に）受ける

◆ 重力波の重力レンズ重力波がレンズ天体の近傍を通過　

　　　　　　重力ポテンシャルにより進路が曲げられる

重力波

レンズ天体

観測者

重力波の振幅・位相の両方とも、影響を受ける

◆ 重力波の重力レンズを研究する動機

● 重力波の波形（ template ）への影響　（ e.g. Thorne

1987 ）

　　　　様々なレンズモデル（密度分布）

●detection rate への影響

レンズ効果により重力波の振幅が増幅 遠方からの弱いシグナルが受かりやすくなる detection rate が上がる？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ほとんど、影響なし

（ Wang et al, 1996, T.T. Nakamura 1998, Varvella et al, 2003 ）

● 距離決定の不定性　（ Holz & Hughes 2002 ）　

連星までの距離　　　　　チャ－プシグナル　　から直接決定　

D f

D 連星観測者

Df

fA

3

周波数 f

観測される振幅 から距離　　が決定Aff ,, D

レンズを受けると、振幅が増幅・減衰される　

　　　　　　　　　　　距離決定に不定性

2. 重力レンズの波動効果（ Schneider, Ehlers & Falco 1992; T.T. Nakamura & Deguchi 1999 ）

波動効果：回折・干渉効果

● 重力レンズ（幾何光学）

光の重力レンズは通常、幾何光学近似を用いて記述される　

光の波長　　　　レンズ天体のサイズ

レンズ天体

光の経路

2.1 回折効果

　　重力波の波長　　　　　　　　　　　可視光　　 μm1 Hzkm10 -15 f

重力波は光と比べ波長が非常に長いため、波の性質が現れやすい

波長がレンズ天体のサイズ（シュワルツシルト半径）より長くなると回折効果が現れる

15 Hz10 fMM sun

: レンズの質量M

回折効果

壁

入射波

波が壁の後ろにまわりこむ現象波長が長いほうが現れやすい

（理化学辞典より）

● 複スリット

Eｒ

Ｄ

複スリット

行路差

Ｍ

スクリーン

２１Ｅ ＭＤｒ /

Ｍ 波動効果 ( 回折 )

単色波

（ T.T. Nakamura 1998 ）

レンズ天体

DM

Er 観測者 Einstein 半径

)1( Gc

観測者

● 波長が長い極限 M

重力波源

レンズ

重力波はレンズ天体の存在を感じずに伝播する

重力波：コヒーレントな波　　　　　干渉

n

明暗の間隔

E

D

ｒ

11/2-1/2

sun6 kHz

f

10kpc

D

M10

MAU1.0

(Ruffa 1999)

行路差　　波長

,2,1,0 n

干渉パターン

2.2 干渉効果

Eｒ

Ｄ

複スリット

スクリーン単色波

波の強度

X

X

2/1MDrE

● チャープシグナルでの干渉パターン行路差

波長

n

)21( n

明

暗,2,1,0 n

（ RT & Nakamura 2003 ）

振幅

周波数

sunM66 1010

SMBH binary

at 1z

質点レンズ sunM810

合体１年前

合体

干渉パターン

detected by LISA

● 光（電磁波）の重力レンズとの違い・光学的に厚い領域が見える

・重力レンズを受けたかどうかは、 time delay で調べる　

・軽いレンズ天体まで確認出来る　　　　

　　（電磁波）

　

・レンズ確率が上がる （ Ruffa 1999; RT & Nakamura 2003 ）　

・重力波源は十分コンパクトなので、大きさを考慮しなくていい

lim2/1 DME

2

lim11

110

Gpc

DMM sun

銀河スケール

E ： Einstein angle

lim : 角度分解能

3. 曲がった時空上での重力波の伝播(Misner, Thorne & Wheeler 1973; Schneider, Ehlers & Falco 1992)

Background metric

dxdxgdUdtUds B)(222 2121 r

：レンズ天体の重力ポテンシャル)(rU

波動方程式02 )(;

;

hRh B

: Background Riemann tensor

)(BR

gauge TT:0,0;

hh

基礎方程式

: 重力波テンソルh

hUh~

4~ 222

)(~ h : 　のフーリエ成分h

（ Peters 1974 ）

hUh~

4~ 222

◆ レンズを受けた重力波波形　　　　　　　　・回折積分 with thin lens 近似（ Schneider, Ehlers & Falco

1992 ）

　　　・幾何光学近似

・球対称レンズ（ Suyama, RT & Michikoshi in preparation ）

　　　角度と動径成分の変数分離　　　 常微分方程式　

・弱い重力ポテンシャル（ RT, Suyama & Michikoshi in preparation ）

　　　重力ポテンシャルの１次摂動（ Born 近似）

・質点レンズの場合　　　解は超幾何関数で与えられる（ Peters 1974; Deguchi & Watson

1986 ）

波動方程式　　　　　　　　　　　　　　の解

M

rMU

0U

● 回折積分 源、レンズ、観測者の配置図

ｔ hin lens 近似： レンズ面上のみで　　　他は

重力波はレンズ面上のみで散乱される

（ Schneider, Ehlers & Falco 1992 ）

0Uレンズ面

ｔ hin lens 近似の妥当性（ Suyama, RT & Michikoshi in preparation ）

),(exp2

),( 2 ηξξη dLSL

S tidiDD

DF

)(2

),(2

ξηξ

ηξ

SLLS

SLd DDD

DDt

)(~

)(~

)( hhF L

●Amplification factor (又は Transmission function )

Lh~

h~

：レンズを受けた波

：レンズなしの波

time delay

)(ξ : レンズ面上の２次元重力ポテンシャル

● 幾何光学近似

の停留点 (stationary point) が積分へ寄与する

像の位置　　　が決まる

レンズ面上での積分　　　それぞれの像の和

j

jdj tiF ,

2/1exp),( η

),(exp2

),( 2 ηξξη dLSL

S tidiDD

DF

Amplification factor

dt

0),( ξηξdt : レンズ方程式

jξ

)(2

),(2

ξηξ

ηξ

SLLS

SLd DDD

DDt : time delay

jdt ,

j: j 番目の像の magnification

: j 番目の像の time delay

j

jdjL tthth )()( ,

2/1

Lh

h

時間空間での波

)()()( 2,

2/1

21,

2/1

1 ddL tthtthth

：レンズを受けた波

：レンズなしの波

例：

源 レンズ 観測者

1,1, dt

2,2 , dt

dt

: magnification

: time delay

Flux は　　倍Amplitude は　　　倍

2/1

上の経路　　　　　　　　　　　　下の経路　

● 質点レンズ

： 幾何光学近似 dtieiF 2/12/1

)(

dtF sin2)(2/12

)()( 2 ξξ M

1w

1w

： 増幅率 (magnification) は十分小さい（回折効果）

干渉

Mw 4

Ey 2/14 LSLSE DDMD : Einstein 半径

dt : time delay の差

FFiF lnF の位相

Mw 4

4. レンズを受けたシグナルの見分け方・同じ形の波形が同じ方向から複数来た場合

Time delay だけ遅れてシグナルが到着

・チャープシグナルの振幅に（干渉による）振動パターンが　　ある場合

・理論的に予想される振幅　　 と観測されたもの　　 とが　　一致しないとき

thA obsA

DffAth3thobs AA2/1

D : host galaxy までの距離　　 redshift から決定

● 重力レンズを受ける確率遠方の QSOs が手前の銀河により重力レンズをうけて多重像を作る（ strong lensing ）確率 ：　 0.1-1 %

銀河より軽いレンズ天体も含めれば確率は上がる

弱い重力ポテンシャルによる散乱（ weak lensing ）なら起こる

5. まとめ重力波の重力レンズでの波動効果　　　　　　　　　　回折と干渉効果

・回折　　重力波の波長　　　＞　レンズ天体のシュワルツシルト半径

・干渉　　重力波がコヒーレントな波

M

15 Hz10 fMM sun