«…нет ни одной области в «…нет ни одной области в математике, которая когда-либо математике, которая когда-либо не окажется применимой к не окажется применимой к явлениям действительного явлениям действительного мира…»мира…»

Н.И. Н.И. ЛобачевскийЛобачевский

Составила учитель математики Алешкина О.Ю.Составила учитель математики Алешкина О.Ю.

Лови ошибку!Лови ошибку!Функции на своей области Функции на своей области

определенияопределения Производные Производные

1.1.

2. 2.

3. 3.

4. 4.

5. 5.

6. 6.

7. 7.

8. 8.

9. 9.

x

10, aиaxae

x

xln

xsin

xcos

tgx

ctgx

1aи0a,xalog

УстноУстно

44)1 xy 2

)22x

y x

2y)3 e

x5y)4 x4siny)5 2

)6x

y x2

1sinx10cosy)7 44)8 xy 23)9 xxy 2

)106x

y

1. На рисунке изображён график функции и касательная к нему в точке с абсциссой . Найдите значение производной функции в точке .

В 8 0 , 7 5

2. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой

или совпадает с ней.

10 xf

1

В 8 3

у=1

Производная – одно из фундаментальных

понятий математики.

Оно возникло в 18 веке.

Независимо друг от друга И.Ньютон и

Г. Лейбниц разработали теорию

дифференциального исчисления.

Исаак Ньютон (1643-1727) один

из создателей дифференциального исчисления.

Главный его труд- «Математические начала натуральной философии».-оказал колоссальное влияние на развитие естествознания, стал поворотным пунктом в истории естествознания.

Ньютон ввёл понятие производной, изучая законы механики, тем самым раскрыл её механический смысл.

Интересно: Исаак Ньютон был так же и богословом. Он написал труды о Святой Троице, а также толкование на книгу пророка Даниила. Он высоко ценил именно свои богословские сочинения. Всегда, произнося имя Божие, Ньютон снимал шляпу.

«Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx,-ошибка, которую часто допускают и которая препятствует продвижению вперёд». Г.В.Лейбниц. (1646-1716)

Создатель Берлинской академии наук. Основоположник дифференци- ального исчисления, ввёл большую часть современной символики матема- тического анализа.

Лейбниц пришёл к понятию производной решая задачу проведения касательной к производной линии, объяснив этим ее геометрический смысл .

Архимед  

Р. Декарт

Г.Галилей Ж. Лагранж

Л. Эйлер

Коши

Механическое движение- этоизменение положения

тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Основной характеристикой механического движения служит скорость.

Механическое Механическое движение- этодвижение- это

изменение положения тела изменение положения тела относительно других тел с относительно других тел с

течением времени. течением времени.

Основной характеристикой Основной характеристикой механического движения механического движения

служит скорость.служит скорость.

Пусть закон движения тела задан уравнением s = s (t).Скорость неравномерного

движения тела в данный момент времени равна производной пути по времени, т.е.

)(tS

1.Найти производную s' = f '(t).

2. Подставить в полученную формулу заданное значение времени.

Если закон движения тела задан

уравнением s = s (t),то для нахождения мгновенной скорости

тела в какой-нибудь определенный момент

времени надо:

Автомобиль приближается к мосту с Автомобиль приближается к мосту с начальной скоростью 72 км/ч.начальной скоростью 72 км/ч.

У моста висит дорожный знак «36 км/ч».За 7 У моста висит дорожный знак «36 км/ч».За 7 сек до въезда на мост водитель нажал на сек до въезда на мост водитель нажал на

тормозную педаль. Стормозную педаль. С разрешаемой ли разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал на мост, если скоростью автомобиль въехал на мост, если

тормозной путь определяется формулой тормозной путь определяется формулой

?20 2tts

Да, т.к. скорость через 7 сек. будет равна 6м/с (21,6 км/ч).

Под электрическим током понимают направленное движение свободных электрически заряженных частиц.

Количественной характеристикой электрического тока является сила тока.

)(tqI t

tqttqI

t

)()(lim

0

)(. tEинд

ЗАДАНИЕ Заряд, протекающий через проводник , меняется по закону

Найти силу тока в момент времени t=5 c.

)102( tSinq

Сила тока равна

2 А

А так же: если V(p) – закон изменения объема жидкости от внешнего давления p, то производная V/(p) есть мгновенная скорость изменения объема при внешнем давлении, равном p.

Сила есть производная работы по перемещению,

т.е. F=A /(x)

Теплоемкость – есть производная теплоты по температуре, т.е. C(t) = Q/(t)

d(l)=m/(l) - линейная плотность

K (t) = l/(t) - коэффициент линейного расширения

ω (t)= φ/(t) - угловая скорость

а (t)= ω/(t) - угловое ускорение

N(t) = A/(t) - мощность

ЗаданиеТеплота

Пусть Q (t) количество теплоты, которое необходимо для нагревания тела массой 1 кг от 00С до температуры t0 (по Цельсию), известно,

что в диапазоне 00 до 950, формула Q (t) = 0,396t+2,08110-3t2-5,02410-7t3 дает хорошее приближение к истинному значению. Найдите, как зависит теплоёмкость воды от t.Решение.

C (t) = Q / (t) = 0,396 + 4,162*10 -3 t – 15,072*10 -7 t2

Химия изучает закономерности

протекания различных реакций.

Химия – это наука о веществах, о химических

превращениях веществ.

Так как скорость реакции v непрерывно изменяется в ходе процесса, ее обычно выражают производной концентрации реагирующих веществ по времени.

Если C(t) – закон изменения количества вещества, вступившего

в химическую реакцию, то скорость v(t) химической реакции в момент

времени t равна производной:

.)()( tСt

Понятие на Понятие на языке химииязыке химии Обозначение Обозначение Понятие на языке Понятие на языке

математикиматематики

Количество в-ва Количество в-ва в момент в момент времени времени tt00

c = c(t) c = c(t) Функция Функция

Интервал Интервал временивремени

∆∆t = tt = t22 – t – t11 Приращение аргументаПриращение аргумента

Изменение Изменение количества в-ваколичества в-ва

∆∆c = c(t+ tc = c(t+ t ) – ) – c(t)c(t)

Приращение функцииПриращение функции

Средняя Средняя скорость скорость химической химической реакцииреакции

∆∆c/∆tc/∆tОтношение приращён. Отношение приращён. функции к приращён. функции к приращён. аргументу аргументу

V (t) = c ‘(t)

производная в химиипроизводная в химии

Предел этого отношения при стремлении Δt к нулю - есть скорость химической реакции в данный момент времени

ЗАДАНИЕ Найти скорость реакции в момент

времени t = 10сек, если концентрация

исходного продукта меняется по закону

tисх еС 2,050

Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой и частично или полностью изолированных от других популяций, а также является элементарной единицей эволюции.

По известной зависимости численности популяции x (t) определить относительный прирост в момент времени t.

Понятие на языке Понятие на языке биологиибиологии

ОбозначениеОбозначение Понятие на языке Понятие на языке математикиматематики

Численность в Численность в момент времени момент времени tt11

x = x(t)x = x(t)ФункцияФункция

Интервал времениИнтервал времени ∆∆t = tt = t22 – t – t11Приращение Приращение аргументааргумента

Изменение Изменение численности численности популяциипопуляции

∆∆x = x(tx = x(t22) – x(t) – x(t11))Приращение Приращение функциифункции

Скорость Скорость изменения изменения численности численности популяциипопуляции

∆∆x/∆tx/∆t

Отношение Отношение приращения приращения функции к функции к приращению приращению аргументааргумента

Относительный Относительный прирост в данный прирост в данный моментмомент

LimLim ∆ ∆x/∆tx/∆t

t 0t 0Производная Производная

Р = х‘ (t)

• Идея социологической модели Томаса Мальтуса состоит в том, что прирост населения пропорционально числу населения в данный момент времени t через N(t), N‘ (t) =kN(t).

• Модель Мальтуса неплохо действовала для описания численности населения США с 1790 по 1860 годы. Ныне эта модель в большинстве стран не действует.

Пусть у = у(t)- численность населения.

Рассмотрим прирост населения за t = t-t0

y = k y t, где к = кр – кс –коэффициент прироста (кр – коэффициент рождаемости, кс – коэффициент смертности)

y:t=k y

При t0 получим lim y/ t=у’

у’= к у

• П (t) = υ / (t) - производительность труда, где υ (t) - объем продукции

• J(x) = y / (x) - предельные издержки производства, где y– издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукции x.

Оборот предприятия за истекший год описывается через функцию  U(t)=0,15t³ – 2t² + 200, где t – месяцы, U-миллионы. Исследуйте оборот предприятия за 9 и 10 месяцы.

Решение. Исследуем оборот предприятия с помощью производной:

U'(t)=0,45t² - 4t 

Меньше оборот был на девятом месяце - 0,45.

На 10 месяце - 5.

Всё смог ! Уроком доволен

Не совсем всё понял, хочу

понять

Ничего не понял И не хочу понимать !