§2. Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной

2.1. Теорема существования и единственности решения. В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка имеет

вид 0),,( =′yyxF , где x – независимое переменное, – неизвестная функция, y F – заданная функция трех переменных. В нашем курсе мы будем рассматривать обычно такие дифференциальные уравнения первого порядка, которые можно записать в виде ),( yxfy =′ . (2.1) Уравнение (2.1) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Для уравнений вида (2.1) справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть в уравнении ),( yxfy =′ (2.1)

функция ),( yxf непрерывна в некоторой области D плоскости XOY , а ее частная производная ),( yxf y′ в этой области ограничена. Тогда для любой точки существует единственное решение DyxM ∈),( 000 )(xy ϕ= уравнения (2.1), определенное в некотором интервале , содержащем точку , и удовлетворяющее условию

),( ba0x )( 00 xy ϕ= .

Числа называются начальными значениями для решения 00, yx)(xy ϕ= , а условие )( 00 xy ϕ= – начальным условием решения. Задача

нахождения решения )(xy ϕ= дифференциального уравнения (2.1), удовлетворяющего начальному условию )( 00 xy ϕ= , называется задачей Коши. Поэтому теорему 2.1 называют теоремой существования и единственности решения задачи Коши.

Геометрически задание начального условия означает, что на плоскости XOY задается точка , через которую проходит интегральная кривая. Согласно теореме 2.1, через каждую точку области

),( 00 yxD проходит, и притом

единственная, интегральная кривая уравнения (2.1). Закрепляя значение и изменяя в некоторых пределах значение (так, чтобы точка принадлежала области

0x0y ),( 00 yx

D ), для каждого числа будем получать свое решение. В результате вся область

0yD будет покрыта интегральными

кривыми, которые нигде между собой не пересекаются. Таким образом, теорема 2.1 подтверждает высказанное нами ранее

предположение о том, что дифференциальное уравнение имеет множество решений и говорит о том, что эта совокупность решений зависит от произвольной постоянной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Общим решением дифференциального уравнения ),( yxfy =′ (2.1) в области D существования и единственности решения задачи Коши называется функция ),( Cxy ϕ= , зависящая от x и одной произвольной постоянной , которая удовлетворяет следующим двум условиям: C

1) при любом допустимом значении постоянной С она удовлетворяет уравнению (2.1);

2) каково бы ни было начальное условие )( 00 xyy = (где Dyx ∈),( 00 ), можно найти единственное значение 0CC = такое, что функция

),( 0Cxy ϕ= удовлетворяет данному начальному условию.

Уравнение 0),,( =Φ Cyx , задающее общее решение в неявном виде, называется общим интегралом уравнения.

Решение (интеграл) дифференциального уравнения, получаемое из общего решения (общего интеграла) при конкретном значении постоянной

, называется частным решением (частным интегралом) уравнения. CС геометрической точки зрения общее решение (общий интеграл)

дифференциального уравнения представляет собой семейство интегральных кривых, зависящих от одного параметра. Решение уравнения, удовлетворяющее условию )( 00 xyy = (где ), будет изображаться определенной кривой этого семейства, т.е. будет являться частным решением (частным интегралом). Начального условия достаточно для того, чтобы выделить это решение (интеграл) из общего решения (общего интеграла). Действительно, подставив координаты точки в уравнение

Dyx ∈),( 00

),( 00 yx),( Cxy ϕ= ( 0),,( =Φ Cyx ), мы найдем соответствующее

решению значение постоянной C и, следовательно, сможем записать его уравнение.

Замечания. 1) Теорема 2.1 дает достаточные условия существования и

единственности решения задачи Коши. Поэтому возможно, что в точке условия теоремы 2.1 не выполняются, а решение ),( 00 yx )(xyy =

уравнения (2.1), удовлетворяющее условию )( 00 xyy = , существует и единственно.

2) Строго говоря, общее решение не всегда описывает все множество решений дифференциального уравнения. Так, если в каждой точке решения )(xy ψ= нарушено условие единственности (т.е. через каждую точку кривой )(xy ψ= , кроме этой кривой, проходит еще хотя бы одна интегральная кривая), то оно не будет входить в общее. Однако если уравнение имеет такие решения (их называют особыми), то их всегда можно обнаружить в процессе нахождения общего решения. А именно, особые решения следует искать среди тех решений, которые теряются при преобразовании дифференциального уравнения. Вопросы,

связанные с существованием и нахождением особых решений, в нашем курсе рассматриваться не будут.

2.2. Уравнения с разделенными переменными. Прежде всего, заметим, что дифференциальное уравнение первого

порядка, разрешенное относительно производной, всегда можно записать в виде 0),(),( =+ dyyxQdxyxP (2.2) (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения).

Действительно, так как dxdyy =′ , то уравнение (2.1) можно переписать в

виде ),( yxfdxdy

= .

Откуда находим 0),( =− yxfdxdy

0),( =−⇒ dxyxfdy . Обратно, всякое уравнение вида (2.2), если 0),( ≠yxQ , можно

разрешить относительно производной:

),(),(

yxQyxP

dxdy

−=

),( yxfy =′⇒ ,

где ),(),(),(

yxQyxPyxf −= .

В дальнейшем мы будем использовать ту форму записи уравнения, разрешенного относительно производной [форму (2.1) или (2.2)], которая нам более удобна в конкретном случае. При этом, если уравнение записано в виде (2.2), то обычно предполагают, что переменные x и равноправны. y

Дифференциальное уравнение вида 0)()( =+ dyydxxf ϕ , (2.3)

где )(xf и )( yϕ – непрерывные функции, называется уравнением с разделенными переменными.

Из (2.3) следует, что dxxfdyy )()( −=ϕ .

Интегрируя левую часть по y, а правую часть по х, получаем Cdxxfdyy +−= ∫∫ )()(ϕ , (2.4)

где C – произвольная постоянная.

Замечание. В (2.4), как и всюду в дальнейшем в теории дифференциальных уравнений, неопределенный интеграл ∫ dxxf )( обозначает одну из

первообразных функции (а не все множество первообразных, как это было ранее).

Итак, мы получили соотношение, связывающее решение , независимую переменную

yx и произвольную постоянную C , т.е. получили

общий интеграл уравнения (2.3).

НАПРИМЕР. Найти общий интеграл уравнения . 03 2 =+ dyyxdx

Это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, получаем: Cdyyxdx =+ ∫∫ 23

Cyx=+⇒ 3

2

2 . Cyx 22 32 =+⇒

Обозначим CC ~2 = и получим Cyx ~2 32 =+ – общий интеграл данного

уравнения.

2.3. Уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида

0)()()()( 2211 =⋅+⋅ dyyNxMdxyNxM , (2.5) т.е. уравнение, в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от х и только от , называется уравнением с разделяющимися переменными. (Функции , ,

, предполагаются непрерывными).

y)(1 xM )(1 yN

)(2 xM )(2 yNУравнение (2.5) может быть приведено к уравнению с разделенными

переменными путем деления обеих его частей на выражение )()( 21 xMyN ⋅ . Действительно, в этом случае получим

0)()()()(

)()()()(

21

22

21

11 =⋅⋅

+⋅⋅ dy

xMyNyNxMdx

xMyNyNxM

0)()(

)()(

1

2

2

1 =+⇒ dyyNyNdx

xMxM – уравнение с

разделенными переменными.

Замечания. 1) Деление на )()( 21 xMyN ⋅ может привести к потере

решений, обращающих в нуль произведение . Поэтому, )()( 21 xMyN ⋅

чтобы получить полное решение, необходимо рассмотреть корни уравнений , 0)(1 =yN 0)(2 =xM .

2) Уравнение с разделяющимися переменными может быть задано в виде, разрешенном относительно y′ . Тогда оно имеет вид

)()( yxfy ϕ⋅=′ . Действительно, разделив уравнение (2.5) на , получим

dxyNxM )()( 22 ⋅

0)()()()(

22

11 =+⋅⋅

dxdy

yNxMyNxM

или )()( yxfy ϕ⋅−=′ ,

где )()()(

2

1

xMxMxf = ,

)()()(

2

1

yNyNy =ϕ .

НАПРИМЕР. Найти все решение уравнения 0)1(2 2 =−+ dyxdxyx

и указать частное решение, удовлетворяющее начальному условию 1)0( =y .

Переменные х и y не разделены, так как коэффициент при dx представляет собой произведение двух функций, из которых одна зависит только от х, а другая только от y. Разделим обе части уравнения на

yx ⋅− )1( 2 и проинтегрируем:

0)1(

22 =+

− ydydx

xx ,

CyxCy

dydxxx

=+−−⇒=+− ∫∫ 21ln

)1(2 2

2

Cxy =−−⇒ 21ln2 – общий интеграл данного уравнения.

При делении на yx ⋅− )1( 2 мы могли потерять решения. Поэтому необходимо рассмотреть корни уравнений 01 2 =− x , 0=y . Имеем:

1) 01 2 =− x ⇒ 1±=x . Подстановкой в дифференциальное уравнение убеждаемся, что 1±=x являются решениями и в общий интеграл не входят.

2) 0=y – удовлетворяет дифференциальному уравнению и в общий интеграл не входит.

⇒ 0=y

Таким образом, все решения дифференциального уравнения определяются равенствами:

Cxy =−− 21ln2 , 1±=x , 0=y .

Найдем решение, удовлетворяющее начальному условию 1)0( =y . Подставим начальные значения 00 =x , 10 =y в общий интеграл и найдем значение С: C=−− 01ln12 ⇒ 2=C .

Таким образом, при 2=C получаем частный интеграл 21ln2 2 =−− xy ,

который удовлетворяет начальному условию 1)0( =y .

2.4. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными.

Некоторые дифференциальные уравнения путем замены переменных

могут быть приведены к уравнениям с разделяющимися переменными. Укажем три вида таких уравнений.

1) К уравнению с разделяющимися переменными легко привести уравнение вида )( cbyaxfy = + +′ , (2.6) где a , и c – некоторые числа. В этом случае достаточно сделать замену b

cbyaxz ++= .

Тогда получим dxdyba

dxdz

+= ,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=⇒ a

dxdz

bdxdy 1

и уравнение (2.6) примет вид

)(1 zfadxdz

b=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅ ,

azbfdxdz

+=⇒ )( .

Отсюда, разделяя переменные и интегрируя, получаем

Cxazbf

dzdxazbf

dz+=

+⇒=

+ ∫ )()(.

НАПРИМЕР. Найти общее решение уравнения yxy −=′ 2 .

Положив yxz −= 2 , получим dxdy

dxdz

−= 2

2+−=⇒dxdz

dxdy ,

dxdzzz

dxdz

=−⇒=−⇒ 22 02

=+−

⇒ dxzdz

CxzCdxzdz ln2lnln

2=+−⇒=+

−⇒ ∫∫

xxx eee CyxCzCz −− ⋅+=−⇒⋅+=⇒=−⋅ 222)2( xeCxy −⋅−−=⇒ 22 – общее решение.

2) К уравнению с разделяющимися переменными всегда можно привести уравнения, которые получили название однородных.

Функция ),( yxM называется однородной измерения m (или однородной степени m ), если при любом 0≠t справедливо равенство

),(),( yxMttytxM m ⋅= .

НАПРИМЕР. 1) Функция 4 88),( yxyxf += – однородная измерения 2,

так как ),(),( 24 8824 8888 yxftyxtytxttytxf ⋅=+⋅=+= .

2) Функция xy

yxyxf22

),( += – однородная измерения 0,

так как ),(),( 022

2

2222

yxftxy

yxxyt

ytxttytxf ⋅=+

=+

= .

Уравнение первого порядка ),( yxfy =′ (2.7)

называется однородным относительно x и y, если функция ),( yxf есть однородная функция нулевого измерения.

Покажем, как уравнение, однородное относительно x и , можно привести к уравнению с разделяющимися переменными.

y

По определению имеем ),(),( yxftytxf = для любого t. Положим в

этом тождестве x

t 1= и получим

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xyfyxf ,1),( ,

т.е. однородная функция нулевого измерения зависит от отношения xy .

Следовательно, уравнение (2.7) можно записать в виде

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′

xyfy ,1 .

Сделаем замену zxy= . Тогда xzy = и

dxdzxz

dxdy

+= . Подставим эти

выражения в уравнение (2.7) и получим:

),1( zfdxdzxz =+ ,

zzfdxdzx −=⇒ ),1( – уравнение с

разделяющимися переменными.

Разделяя переменные и интегрируя, находим:

Cxzzf

dzx

dxzzf

dz+=

−⇒=

− ∫ ln),1(),1(

.

Подставив после интегрирования вместо z отношение xy , получим

общий интеграл уравнения (2.7).

Дифференциальное уравнение 0),(),( =+ dyyxNdxyxM является однородным относительно x и y, если функции ),( yxM и

),( yxN – однородные функции одного и того же измерения, так как в этом

случае ),(),(

yxNyxM

dxdy

−= ,

а отношение двух однородных функций одного и того же измерения очевидно является функцией нулевого измерения.

НАПРИМЕР. Найти общее решение уравнения 02

=++

+′yx

yxy .

Запишем уравнение в виде

yxyxy

2++

−=′ .

Функции yxyxM +=),( и yxyxN 2),( += – однородные функции

первого измерения, тогда функция yx

yxyxf2

),(++

= – однородная функция

нулевого измерения. Действительно,

),(22

),( 0 yxftyx

yxtytx

tytxtytxf ⋅=++

=++

= , . 0=m

Следовательно, имеем однородное уравнение.

Делаем замену zxy= . Тогда xzy = и

dxdzxz

dxdy

+= . Подставляя в

уравнение, получаем

xzxxzx

dxdzxz

2++

−=+ ⇒ zz

dxdzxz

211++

−=+

⇒ 021

1=

++

++z

zdxdzxz

⇒ 021

122 2

=+

+++

zzz

dxdzx .

Разделяя переменные и интегрируя, будем иметь:

0122

)122(210

122)12(

2

2

2 =+++++

⋅⇒=+++

+x

dxzzzzd

xdx

zzdzz ,

Cxzz lnln122ln21 2 =+++⋅⇒ ,

222 lnln122ln Cxzz =+++⇒ , 222 122 Cxzz =⋅++⇒ .

Подставляя zxy= , получаем 222 22 Cxxyy =++

222 22 Cxxyy ±=++⇒ . Обозначим CC =± 2 . Тогда

Cxxyy =++ 22 22 – общий интеграл урав-нения.

Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегрируются с

помощью подстановки zyx= , которая, как легко убедиться, также

приводит однородное уравнение к уравнения с разделяющимися переменными.

3) И наконец, рассмотрим уравнения вида

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=′111 cybxa

cbyaxfy . (2.8)

Если , то уравнение (2.8) будет однородным. В противном случае, заменой переменных оно может быть приведено либо к уравнению с разделяющимися переменными, либо к однородному. Это будет зависеть от коэффициентов при

01 == cc

x и . yПусть хотя бы одно из чисел с или отлично от нуля, а

коэффициенты при 1c

x и удовлетворяют условию y

011≠ba

ba .

Тогда система уравнений

⎩⎨⎧

=++=++

0,0

111 cbacba

βαβα

(2.9)

будет иметь единственное решение. Сделаем замену переменных: α+= ux , β+= vy ,

где α и β – решения системы (2.9). Тогда

dvdu

dxdy

= .

Подставим yxdxdy ,, в уравнение (2.8) и получим

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++++

=111 )()(

)()(cvbuacvbuaf

dudv

βαβα ,

⇒ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++++

=)(

)(

11111 cbavbuacbabvauf

dudv

βαβα .

Но α и β – решения системы (2.9). Следовательно,

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=vbua

bvaufdudv

11– однородное уравнение.

Теперь рассмотрим случай, когда хотя бы одно из чисел с или

отлично от нуля, а коэффициенты при 1c

x и удовлетворяют условию y

011=ba

ba .

Равенство нулю определителя второго порядка с ненулевыми элементами означает, что его строки пропорциональны, т.е. aa λ=1 , bb λ=1 . Но тогда уравнение (2.8) можно записать в виде

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=′1)( cbyax

cbyaxfyλ

,

⇒ )( byaxy +=′ ϕ . Уравнение такого вида мы уже рассмотрели в 1). Мы показали, что оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены byaxz += .

НАПРИМЕР. Решить уравнение 0273)534( =++−′−− xyyxy . Запишем это уравнение в виде

543237

−+−−+−

=′yxyxy .

Это уравнение вида (2.8) и его можно привести к однородному заменой βα +=+= vyux , , где α и β найдем из системы уравнений (2.9):

⎩⎨⎧

=−+−=−+−

05430237

βαβα

1929,

197

==⇒ βα , 1929,

197

+=+= vyux .

Подставив эти значения x, y в уравнение, получим однородное уравнение

vuvu

dudv

4337

+−+−

= .

Сделаем еще одну замену переменных:

dudzuz

dudvuzv +== , .

Это приведет нас к уравнению

zz

dudzuz

4337

+−+−

=+ ,

⇒zzz

dudzu

43764 2

+−−+−

= .

Получили уравнение с разделяющимися переменными, которое запишем в

виде 0764

342 =

+−−

+ dzzz

zudu

⇒ 0764

)764(21

2

2

=+−+−

+zzzzd

udu .

Интегрируя обе части этого уравнения, получаем

Czzu ln764ln21ln 2 =+−+ ,

. ⇒ 222 )764( Cuzz =+−

Сделаем обратную замену переменных

197

1929

−

−==

x

y

vuz и получим:

222 764 Cuuvv =+− ⇒ 2482104647 222 −=−+−+ Cyxxyyx

⇒ Cyxxyyx =−+−+ 104647 22 , где 24822 −=CC .

2.5. Линейные уравнения первого порядка. Уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее

производной, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. В общем случае линейное уравнение первого порядка может быть записано в виде

)()( xfyxpy =+′ , (2.10) где )(),( xfxp – заданные непрерывные функции.

Если 0)( =xf , то линейное уравнение называется однородным. В противном случае уравнение называется неоднородным. Линейное однородное уравнение 0)( =+′ yxpy (2.11) является уравнением с разделяющимися переменными. Разделяя переменные,

получаем 0)( =+ dxxpy

dy ,

откуда находим Cdxxpy ln)(ln =+ ∫ ,

(здесь для удобства постоянная С представлена в виде Cln )

Cy dxxpe =∫⋅⇒)( ,

. (2.12) ∫⋅=⇒− dxxpeCy )(

Это и будет общее решение линейного однородного уравнения (2.11). Теперь рассмотрим линейное неоднородное уравнение (2.10). Для его

интегрирования могут быть применены два метода.

1) Метод вариации постоянной (метод Лагранжа). Сначала решаем однородное уравнение, которое имеет ту же левую часть, что и уравнение (2.10) (его называют однородным уравнением, соответствующим данному неоднородному уравнению). Его общее решение, как показано

выше, имеет вид . ∫⋅=− dxxpeCy )(

Будем искать решение неоднородного уравнения в том же виде, что и решение соответствующего однородного уравнения. Тогда C придется считать не постоянной, а неизвестной пока функцией от x :

∫⋅=− dxxpexCy )()( .

Функцию )(xC можно найти, подставив и y y′ в исходное неоднородное уравнение (2.10). Действительно,

=′y )()( )()( xpxCdxdC

dxdy dxxpdxxp ee ⋅∫⋅−∫⋅=

−− .

Подставляя выражения для и y y′ в (2.10), получим

)()()()()( )()()( xfxCxpxpxCdxdC dxxpdxxpdxxp eee =∫⋅⋅+⋅∫⋅−∫⋅

−−−

∫⋅=⇒=∫⋅⇒− dxxpdxxp ee xf

dxdCxf

dxdC )()( )()(

dxxfdC dxxpe∫⋅=⇒)()( .

Интегрируя, находим

1)()()( CdxxfxC dxxpe +∫⋅= ∫ ,

И, окончательно,

∫⋅⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +∫⋅=

−

∫dxxpdxxp ee Cdxxfxy )()(

1)()(

∫ ∫⋅⋅∫+∫⋅=⇒−− dxxfCxy dxxpdxxpdxxp eee )()()( )()( 1 . (2.13)

Замечания. 1) Формула (2.13) трудна для запоминания. Поэтому в

конкретных примерах обычно повторяют приведенные выше рассуждения. 2) Заметим, что первое слагаемое в (2.13) совпадает с общим решением однородного уравнения, а второе – функция

∫ ∫⋅⋅∫=− dxxfx dxxpdxxp ee )()( )()(ϕ –

является частным решением линейного неоднородного уравнения. В этом легко убедиться, подставив функцию )(xϕ в уравнение (2.10).

НАПРИМЕР. Решить уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию

02 4 =−+′ xyyx0)1( =y .

Это линейное неоднородное уравнение. Запишем его в виде

32 xxyy =+′ .

Интегрируем соответствующее однородное уравнение:

xdx

ydy

xy

dxdy

xyy 20202 −=⇒=+⇒=+′

Cxy lnln2ln +−=⇒

2xCy =⇒ – общее решение линейного

однородного уравнения. Считаем С функцией от x, т.е. )(xCC = . Тогда

2)(

xxCy = и 32

21xC

xdxdC

dxdy

−⋅= .

Подставим y и dxdy в исходное уравнение. Получим:

0221 3232 =−⋅+−⋅ x

xC

xxC

xdxdC

532 ,01 x

dxdCx

xdxdC

=⇒=−⋅⇒

1

6

6)( CxxC +=⇒ .

Подставим найденное )(xC в общее решение линейного однородного уравнения и получим общее решение линейного неоднородного уравнения:

21

4

1

6

2 661

xCxCx

xy +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅= .

Теперь найдем частное решение, удовлетворяющее условию 0)1( =y . Подставляя в общее решение начальные значения 10 =x , , находим 00 =y

61

1 −=C . Следовательно, искомое частное решение имеет вид

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−=

⋅−= 2

42

4 161

61

6 xx

xxy .

2) Метод Бернулли. Решение уравнения (2.10) может быть сведено к

последовательному интегрированию двух уравнений с разделяющимися переменными.

Будем искать решение уравнения (2.12) в виде произведения двух непрерывных и дифференцируемых функций от x : )()( xvxuy ⋅= . (2.14)

Тогда =′y udxdvv

dxdu

dxdy

⋅+⋅= .

Подставим y и в линейное неоднородное уравнение (2.10) и получим: y′

)(xfpuvudxdvv

dxdu

=+⋅+⋅

или )(xfpvdxdvuv

dxdu

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅+⋅ . (2.15)

Имеем одно дифференциальное уравнение (2.15), содержащее две неизвестные функции u и v . Так как число неизвестных больше числа уравнений, то одно неизвестное можно выбрать произвольно. Выберем )(xv так, чтобы выражение в скобках в (2.15) обратилось в нуль. Тогда

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=⋅

=+

).(

,0

xfvdxdu

pvdxdv

(2.16)

(2.17)

Уравнение (2.16) совпадает с (2.11). Его решением является функция (2.12); причем, учитывая свободу выбора )(xv , можно в (2.12) принять

, т.е. можем взять 1=C∫=

− dxxpexv )()( . Полученную функцию )(xv подставим в уравнение (2.17) и найдем )(xu :

dxxfduxfdxdu dxxpdxxp ee ∫⋅=⇒=∫⋅

− )()( )()(

Cdxxfxu dxxpe +∫⋅=⇒ ∫)()()( .

Подставив найденные таким образом )(xu и )(xv в (2.14), мы получим, что общее решение линейного неоднородного уравнения (2.10) имеет вид:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +∫⋅⋅∫= ∫

− Cdxxfy dxxpdxxp ee )()( )( .

Замечание. Дифференциальное уравнение может быть линейным

относительно x и x ′ как функций от , т.е. иметь вид: y)()( yfxyPx =+′ .

Решая его методом Бернулли, будем полагать: )()( yuyvx ⋅= .

НАПРИМЕР. Найти общее решение уравнения xyxyx x 2cos2sincos ⋅=⋅+′⋅ .

Запишем уравнение в виде xytgxy x cos2 ⋅=⋅+′ .

Полагаем )()( xvxuy ⋅= . Подставляя uvy = и vuvuy ′+′=′ в исходное уравнение, будем иметь

xuvtgxvuvu x cos2 ⋅=⋅+′+′ ,

xvtgxvuvu x cos2)( ⋅=⋅+′+′⇒ . Полагаем 0=⋅+′ vtgxv . (2.18)

Тогда xvu x cos2 ⋅=′ . (2.19) 1) Находим одно решение уравнения (2.18). Имеем:

tgxvdxdv

⋅−= ⇒ tgxdxvdv

−=

⇒ Cxv lncoslnln += ⇒ xCv cos= .

Так как нам требуется какое-нибудь одно решение, то полагаем 1=C и получаем xxv cos)( = .

2) Подставим найденную функцию )(xv в уравнение (2.19):

xxu x cos2cos ⋅=⋅′ . Откуда находим =′u x2 ,

⇒ dxdu x2= ⇒ Cxux

+=2ln

2)( .

Так как по предположению )()( xvxuy ⋅= , то окончательно получаем

xCxvxuyx

cos2ln

2)()( ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⋅= – общее решение

заданного линейного уравнения.

2.6. Уравнения Бернулли.

Рассмотрим уравнение вида , (2.20) nyxfyxpy ⋅=⋅+′ )()(

где )(),( xfxp – непрерывные функции, 0≠n , 1≠n (в противном случае это будет линейное уравнение). Уравнение (2.20) называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли можно проинтегрировать двумя способами. Во-первых, можно привести его к линейному уравнению. Для этого надо обе части уравнения Бернулли разделить на , а затем сделать замену . Действительно, разделив обе части уравнения на , получим:

ny nyz −= 1

ny

)()(1 xf

yxp

yy

nn =+′

− или . (2.21) )()( 1 xfyxpyy nn =⋅+⋅′ −−

Теперь полагаем . nyz −= 1

Тогда dxdyyn

dxdz n−−= )1( ⇒

dxdz

ny

dxdyy

n

−==′

1.

Подставим и nyz −= 1

dxdz

nyy

n

−=′

1 в уравнение (2.21) и получим:

)()(11

xfzxpdxdz

yny

n

n

=+⋅−

,

)()(1

1 xfzxpdxdz

n=+

−⇒ ,

)()1()()1( xfnzxpndxdz

⋅−=⋅⋅−+⇒ .

Получили линейное неоднородное уравнение относительно z и z′. Найдя его общее решение и подставив вместо z выражение , получим общее решение (общий интеграл) уравнения Бернулли.

ny −1

НАПРИМЕР. Найти общее решение уравнения . dxxyxydy )( 2 +=

Запишем уравнение в виде:

xyxy

dxdy +

=2

⇒ 1−=−′ yxyy .

Это уравнение Бернулли, в котором 1−=n . Разделим обе части уравнения

на и получим 1−y 12

=−′xyyy .

Теперь полагаем . nyz −= 1 2y=

Тогда dxdyy

dxdz 2= или yyz ′=′ 2 .

Подставим и 2yz = yyz ′=′ 2 в исходное уравнение и получим

121

=−′xzz или 22

=−′ zx

z .

Это линейное неоднородное уравнение относительно z и . Решим его методом вариации произвольной постоянной.

z′

Интегрируем соответствующее однородное уравнение:

xzz 2

=′ ⇒ x

dxz

dz 2= ⇒ Cxz lnln2ln +=

⇒ 2Cxz = – общее решение линейного однородного уравнения.

Считаем )(xCC = . Тогда CxxdxdC

dxdz

⋅+⋅= 22 . Подставляем z и z′ в

линейное неоднородное уравнение и находим:

222 22 =⋅−⋅+⋅ Cxx

CxxdxdC 22 =⋅⇒ x

dxdC dx

xdC 2

2=⇒

12)( Cx

xC +−=⇒ .

Найденное )(xC подставим в общее решение однородного уравнения и получим общее решение линейного неоднородного уравнения:

xxCx

Cxz 22 211

2 −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= .

Сделаем обратную замену. Тогда xxCy 22

12 −= .

Следовательно, общее решение данного уравнения есть xxCy 22

1 −±= .

Другой способ найти общее решение уравнения Бернулли – представить решение в виде произведения двух функций, т.е. в виде

)()( xvxuy ⋅= . Функции )(xu и )(xv в этом случае находятся из системы

⎩⎨⎧

⋅=⋅′

=+′nnvuxfvu

pvv

)(

,0

(чтобы получить эту систему, следует повторить для уравнения Бернулли все рассуждения, приведенные для линейных уравнений при изложении метода Бернулли).

НАПРИМЕР. Найти общее решение уравнения . 23 yxyyx −=−′

Запишем уравнение в виде 221 yxy

xy −=−′ .

Это уравнение Бернулли. Полагаем )()( xvxuy ⋅= . Тогда vuvuy ′⋅+⋅′=′ . Подставив эти выражения в уравнение Бернулли, получим

2221 vuxuvx

vuvu −=−′+′ или 2221 vuxvx

vuvu −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −′+′ .

Полагая выражение в скобках равным нулю, получаем систему:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=′

=−′

.

,01

222 vuxvu

vx

v

1) Находим одно из решений первого уравнения:

xvCxvx

dxv

dvxv

dxdv

=⇒+=⇒=⇒= lnln .

2) Из второго уравнения находим )(xu :

dxxuduux

dxduxuxxu 3

223222 −=⇒−=⇒−=⋅′

CxuCx

uCx

u +=⇒

+=⇒−−=−⇒ 4

44 44

144

1 .

В итоге получаем Cx

xvuy+

=⋅= 44 – общее решение

данного уравнения.

2.7. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

Уравнение 0),(),( =+ dyyxNdxyxM (2.22)

называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть является полным дифференциалом некоторой функции ),( yxu , т.е. если

),(),(),( yxdudyyxNdxyxM =+ . Очевидно, что общий интеграл уравнения в полных дифференциалах

будет иметь вид Cyxu =),( . Таким образом, задача интегрирования дифференциального уравнения в

полных дифференциалах фактически сводится к задаче нахождения функции двух переменных по ее полному дифференциалу.

Критерий, когда выражение dyyxNdxyxM ),(),( + представляет собой дифференциал некоторой функции ),( yxu и один из возможных способов ее нахождения, дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть функции ),(),,( yxNyxM определены и непрерывны в области xOD плоскости y и имеют в ней непрерывные

частные производные y

M∂∂ и

xN∂∂ . Для того чтобы выражение

x dxy N yxM ),( dy),( + представляло собой полный дифференциал некоторой функции ),( yxu , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D выполнялось

условие xN

yM

∂∂

=∂∂ .

При этом функция ),( yxu может быть найдена по одной из следующих формул

),( yxu ∫∫ +=y

y

x

xdyyxNdxyxM

0

0

0

),(),( (2.23)

),( yxu ∫∫ +=y

y

x

xdyyxNdxyxM

00

0 ),(),( , (2.24)

где – любая точка области ),( 00 yx D . Замечание. В формулах (2.23) и (2.24) интегрирование производится по

одной из переменных, в то время как вторая считается константой.

НАПРИМЕР. Найти общий интеграл уравнения 0)2( =+− −− dyxydx yy ee .

Имеем yeyxM −=),( , , )2(),( yexyyxN −+−=

yeyM −−=∂∂ , ye

xN −−=∂∂ .

Так как условие =∂∂

yM

xN∂∂ выполнено, то уравнение является

уравнением в полных дифференциалах, т.е. левая часть этого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции ),( yxu .

Найдем функцию ),( yxu по формуле (2.24). Так как функции ),( yxM и ),( yxN определены и непрерывны в любой точке плоскости xOy , то можно взять в качестве точки начало координат. Тогда ),( 00 yx

=),( yxu =+− ∫∫ −yx

dyxydx yee00

)2(0 =+− ∫∫ −yx

dyxydx ye00

)2(

( ) =−−= − yx yexyx0

20

yexyx −+− 2 .

Следовательно, общий интеграл исходного уравнения имеет вид Cxyx ye =+− −2 .

Иногда функцию ),( yxu можно найти, сгруппировав члены выражения

dyyxNdxyxM ),(),( + и приведя его таким образом к виду ),( yxdu .

НАПРИМЕР. Найти общий интеграл уравнения . 0)3(2 22 =−+ dyyxxydx

Имеем xyyxM 2),( = , . 22 3),( yxyxN −=

xy

M 2=∂∂ , x

xN 2=∂∂ .

Так как условие =∂∂

yM

xN∂∂ выполнено, то уравнение является

уравнением в полных дифференциалах, т.е. левая часть этого уравнения есть полный дифференциал некоторой функции ),( yxu .

Чтобы найти функцию ),( yxu , группируем члены уравнения следующим образом . 03)2( 22 =−+ dyydyxxydxИмеем и . )(2 22 yxddyxxydx =+ )(3 32 yddyy =Следовательно, уравнение можно записать в виде 0)()( 32 =− ydyxd

( ) 032 =−⇒ yyxd . Таким образом, 2),( yxyxu = 3y−

и – общий интеграл уравнения. 2yx Cy =− 3

Если условие =

∂∂

yM

xN∂∂ не выполнено, то уравнение

0),(),( =+ dyyxNdxyxM (2.25)

не является уравнением в полных дифференциалах. Но в некоторых случаях удается подобрать функцию ),( yxμ , после умножения на которую левая часть уравнения становится полным дифференциалом. Такая функция называется интегрирующим множителем уравнения.

Покажем, как можно в некоторых случаях найти интегрирующий множитель. Поскольку уравнение

0),(),( =+ dyyxNdxyxM μμ является уравнением в полных дифференциалах, то выполняется условие

xN

yM

∂∂

=∂

∂ )()( μμ ,

т.е. μμμμxNN

xyMM

y ∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂ ,

или ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=∂∂

−∂∂

yM

xNN

xM

yμμμ .

Разделив обе части этого равенства на μ , получим

yM

xNN

xM

y ∂∂

−∂∂

=∂∂

−∂∂

μμ

μμ

y

MxN

xN

yM

∂∂

−∂∂

=∂

∂−

∂∂ μμ lnln . (2.26)

Таким образом, всякая функция μ , удовлетворяющая уравнению (2.26), является интегрирующим множителем уравнения (2.25). Следовательно, для нахождения ),( yxμ нужно проинтегрировать дифференциальное уравнение в частных производных (2.26). В общем случае эта задача является сложной, поэтому рассмотрим два частных случая.

1) Пусть )(xμμ = . Тогда условие (2.26) принимает вид

xN

yM

dxdN

∂∂

−∂∂

=μln

или ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=xN

yM

Ndxd 1lnμ .

Откуда находим CdxxN

yM

Nx +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

= ∫ 1)(lnμ

и ( )∫

= ∂∂

−∂∂ dx

xN

yM

Nex1

)(μ (2.27) (так как достаточно иметь какой-нибудь один интегрирующий множитель, то можно взять 0=C ).

Итак, если ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

xN

yM

N1 зависит только от x , то интегрирующий

множитель )(xμμ = существует и может быть найден по формуле (2.27); в противном случае интегрирующий множитель вида )(xμ не существует.

2) Пусть )( yμμ = . Тогда уравнение (2.26) принимает вид

yM

xN

dydM

∂∂

−∂∂

=μln

или ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=yM

xN

Mdyd 1lnμ

и ( )∫

= ∂∂

−∂∂ dy

yM

xN

Mey1

)(μ . (2.28)

Таким образом, если ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

yM

xN

M1 зависит только от , то

интегрирующий множитель

y

)( yμμ = существует и может быть найден по формуле (2.28).

НАПРИМЕР. С помощью интегрирующего множителя найти общий интеграл уравнения 0)( =+++ ydydxxyx .22

Имеем xyxyxM ++= 22),( , yyxN =),( ,

yyM 2=∂∂ , 0=

∂∂

xN , y

xN

yM 2=

∂∂

−∂∂ .

Это уравнение не является уравнением в полных дифференциалах, но

отношение 2211=⋅=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂ y

yxN

yM

N не зависит от . Следовательно,

существует интегрирующий множитель

y

)(xμμ = , который может быть найден по формуле (2.27):

xeee dxdxxN

yM

Nx 221

)( =∫=∫

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

μ . Умножим обе части исходного уравнения на xe2 и получим

0)( 22 22 =+++ ydydxxyx xx ee . Тогда ydydxxyxdu xx ee 22 )( 22 +++= .

Для нахождения функции ),( yxu применим формулу (2.24), выбрав в качестве точки начало координат. В этом случае будем иметь ),( 00 yx

=++= ∫∫yx

ydydxxxyxu xx ee00

2 22 )(),( =+yx xx ee yx0

2

0

2 2221

21

( )2222 22221

21

21 yxyx xxx eee +=+= .

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид

( ) Cyxxe =+ 22221

или ( ) Cyxxe =+ 222 , где CC 2= .