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• 一.问题描述 • 二.定义• 三.定理• 四 .构造函数• 五.例题• 六.一般插值

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• 假设函数 y=f(x) 是 在 [a,b] 上有一定光滑性的函数 , 在 xo…xn

上有 n+1 个异点 ,f(x) 在这些点上取值 yo…...yn. 求一个确定的函数p(x) 在上面 n+1 个点上满足 p(xi)=yi i=0,1,…,n. 这是最简单的插值问题 , 如果除了知道 f(x) 在插值基点上的取值外 , 还知道 f(x) 在插值基点上的其他描述 ( 如知道 f(x) 在插值基点上的导数值 ) 。如何来构造插值函数呢 ?

• Hermite 插值也叫带指定微商值的插值 , 它要构造一个插值函数 , 不但在给定节点上取函数值 , 而且取已知微商值，使插值函数和被插函数的密和程度更好 。

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• f(x) 在区间 [ a, b] 上 n+1 个互异节点 a=x0<x1<x2<……<xn=b , 定义在 [a,b] 上函数 f(x) 在节点上满足• f(xi) = yi

• f’(xi)=y ' i i=0,1,2……n

• 求一个次数不高于 2n+1 次的插值多项式 H(x) 满足 2n+2 个条件• H(xi) = yi

• H '(xi)= y ' i i=0,1,2……n

• 若H(x) 存在 , 则叫函数 f(x) 的Hermite 插值多项式 . 因为 H(x) 是一个次数不高于 2n+1 次的多项式 , 常记为 H2n+1(x).

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•

x x0 x1 …… xn

y y0 y1 …… yny' y'0 y'1 …… y'n

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定理一 : 满足插值条件 H(xi)= yi

H'(xi)= y'i i=0,1,2……n

且次数不大于 2n+1 的多项式是唯一的。证明 : 令 p(x) 和 q(x) 是两个次数不高于 2n+1 的多项式且 在插

值基点都满足以上插值条件 , 即 :

p(xi)=q(xi)=yi , p'(xi)=q'(xi)=y' i , i=0,1,2……n

令 F(x)=p(x)-q(x), 有 F(xi)=0 ,F'(xi)=0, i=0,1,2,.....n

故 F(x) 有 2n+2 个根 . 由于 p(x),q(x) 都是次数不高于 2n+1 的多项式 ,由代数基本定理知 F(x )=p(x)-q(x)0, 所以有

p(x) q(x) , 多项式唯一 .

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• 定理二 :f(x) 在区间 [a,b] 存在 2n+2 阶导数 , 则其 Hermite 插值余项

为 :

•

•

• (x)=(x-x0)(x-x1)…...(x-xn)

• 证明 :(证明类似 Lagrange余项 )

• 当 x=xi,i=0,1,2…… 时 , 左右两端为 0, 公式成立 .

• 令 xxi, x [a,b], 在节点 x0,x1,……xn 上• f(xi)=H(xi) 所以 R(xi)=f(xi)-H(xi)=0

• f '(xi)=H '(xi) R '(xi)=f '(xi)-H '(xi)=0,

• 所以 xi (i=0,1……n) 为 R(x) 的二重零点，

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),()!22(

)]()[()()()(

2)22(

12 ban

xfxHxfxR

n

n

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• 对插值区间 [a,b] 中任一定点 x ，可设• R(x)=f(x)-H2n+1(x)= k(x) [(x)]2

• k(x) 为待定函数。做辅助函数• F(z)= f(z)- H2n+1(z) - k(x) [(z)]2

• F(x)=0, 所以 z=x 是 F(z) 的一个零点，此外 x0……xn 都是F(z) 的二重零点， F(z) 在 [a,b] 上有 2n+3 个零点 , 由洛尔定理，知插值区间 [a,b] 中存在一个 [a,b] 使 F(2n+2)

()=0 。注意 [(z)]2 是首项系数为 1 的 2n+2 次多项式 , H2n+1(z) 是 2n+1 次多项式，故有

• 0= F(2n+2)()= f(2n+2)()- 0 -(2n+2)!k(x),

• 所以公式成立。

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• 设 Hermite 插值函数• n n

• H2n+1(x) = Li(x) yi + hi(x) y'i• i=0 i=0

• Li(x),hi(x) 都是不高于 2n+1 次的多项式 , 类似 Lagrange 插值 , 利用 Hermite 插值条件可得

• Li(xj)=ij hi(xj) = 0

• L'i(xj)=0 h'i(xj)= ij i,j=0,1,2……n

• 从而可设• Li(x)= (aix+bi)[li(x)]2

• hi(x)= (cix+di)[li(x)]2

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这里 li(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn) ai,bi ,ci,di 为待定系数 , 分别由 Li(xi)=1 和 Li′(xi)=0 及 hi′(xi)= 1 (i=0,1,2……,n) 确定 .

三次 Hermite 插值函数的构造 (n=1,2n+1=3)

已知数表： x x0 x1

y y0 y1

y′ y0′ y1′ 求一个三次 Hermite 插值函数 H3(x).解 :H3(x)=y0L0(x)+y1L1(x)+ y0′h0(x)+ y1′h1(x) 对 x=x0, 有 L0(x0)=1 L1(x0)=0 h0(x0)=0 h1(x0)=0 L0′(x0)=0 L1′(x0)=0 h0′(x0)=1 h1′(x0)=0 对 x=x1, 有 L0(x1)=0 L1(x1)=1 h0(x1)=0 h1(x1)=0 L0′(x1)=0 L1′(x1)=0 h0′(x1)=0 h1′(x1)=1

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L0(x)= (a0x+b0)(x-x1)2

h0(x)= a(x-x0)(x-x1)2

解之得

L0(x)=[1+2*(x-x0)/(x1-x0)][(x-x1)/(x0-x1)]2

h0(x)=(x-x0)[(x-x1)/(x0-x1)]2

同理有L1(x)=[1+2*(x-x1)/(x0-x1)][(x-x0)/(x1-x0)]2

h1(x)=(x-x1)[(x-x0)/(x1-x0)]2

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书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

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• 求过 0,1 两点构造一个三次插值多项式 , 满足条件• f(0)=1, f '(0)=1/2 , f(1)=2, f '(1) =1/2

• 解 : 设 H3(x)=Y0l0(x)+y1l 1(x) +y '0 h0(x) +y1h 1(x)

• 因为 l0(x)=(ax+b)(x-1)2

• 利用 l0(0)=1 和 l0 ' (0)=0, 得 b=1,a=2.

• 所以 : l0(x)=(2x+1)(x-1)2

• 同理可得 l1(x)=(3-2x)x2

• h0(x)=x(x-1)2

• h1(x)=x2(x-1)

• 所以 • H3(x)=(1+2x)(x-1)2 +2(3-2x)x2+0.5(x-1)2x +0.5(x-1)x2

• =-x3+1.5x2+0.5x+1

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实际问题中还会有其他的插值问题 , 这类问题可用Lagrange 插值基函数的方法解决 . 如已知数据表： x 0 1 y y0 y1

y′ y0′ 求过 0,1 两点构造一个插值多项式 p(x), 满足条件 p(0)= y0 , p′(0)= y0′ , p(1)= y1 解 : 他有三个条件 , 故 p(x) 可设为二次多项式 p(x)= y0 L0(x)+ y1 L1(x) + y0′ h0(x)

这里 L0(x), L1(x), h0(x) 都是二次多项式 , 由插值条件得对 x=x0=0 有 L0(0)=1 L1(0)=0 h0(0)=0 L0′(0)=0 L1′(0)=0 h0′(0)=1 对 x=x1=1 有 L0(1)=0 L1(1)=1 h0(1)=0

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• 由条件 L0(0)=1 , L0′(0)=0 , L0(1)=0 , 可设• L0(x)=(ax+b)(x-1)

• 1 利用 L0(0)=1 , L0′(0)=0, 得 b=a=-1.

• 所以 : L0(x)=(-x-1)(x-1)=1-x2

• 同理可得 L1(x)=x2

• h0(x)=x(1-x)

• 所以 • p(x)= y0(1-x2 )+ y1 x

2+ y0′(1-x)x

y(3)()• 其余项表达式为 R(x)= -------- (1-x) x2

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