確率 統計Ⅰ･第 10 回 i.i.d. の和と大数の法則

1. 確率論とは2. 確率変数、確率分布3. 確率変数の独立性 ／ 確率変数の平均4. 確率変数の平均（続き）、確率変数の分散5. 確率変数の共分散、チェビシェフの不等式6. ベルヌイ試行と二項分布7. 二項分布（続き）、幾何分布など8. 二項分布の近似、ポアソン分布、正規分布9. 正規分布とその性質10. i.i.d. の和と大数の法則11. 中心極限定理12. 統計学の基礎 1 （母集団と標本、確率論との

関係）13. 統計学の基礎 2 （正規分布を用いた推定・検

定）

ここです！

i.i.d. の和と大数の法則

1. i.i.d.の和

2.大数の法則

互いに独立で、同じ分布をもつ確率変数の列を i.i.d. と呼ぶ。

i.i.d. とその和

X1, X2, …, Xn を i.i.d. とし、

X = X1 + X2 + … + Xn とおく。

［ 各 Xi が確率 p で値 1, 確率 q =1-p で値 0 をとるときの X の分布が二項分布である。］

どんな分布でもよい（連続分布でもよい）

i.i.d. の和として見た二項分布の平均と分散

pqpXE i 01)(

pqqpppXV i 22 )0()1()(

だから、和 X については…：

一致（結果的に）

i.i.d. の和が二項分布になるのは、 Xi の分布が

1

pq確率0Xi という特別の場合。 このとき、

i.i.d. の和として見た二項分布の平均と分散

)(XE

)(XV

)()()( 21 nXEXEXE

ppp

)()()( 21 nXVXVXV

pqpqpq

np

npq

i.i.d. の和の平均と分散

nXE )(2)( nXV

一般には、 E(Xi) =μ, V(Xi) =σ2 とするとき、

i.i.d. の和の平均と分散のまとめ

E(X) = nμ V(X) = nσ2

X = X1 +…+ Xn

E(Xi) = p, V(Xi) = pq

0 1

pq

特に 二項分布

E(X)=np, V(X)=npq

X = X1 +…+ Xn

E(Xi) =μ, V(Xi) =σ2

i.i.d. の和と大数の法則

1. i.i.d.の和

2.大数の法則

問題： n→∞ のとき X はどうなるか？

大数の法則

たとえば X が二項分布の場合

平均 np → ∞ （どんどん右へ）

分散 npq → ∞ （広がっていく）

一般の場合も平均 nμ, 分散 nσ2 だから同様に発散。

では n で割って X / n を考えたら？

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0 5 10 15 20

n → ∞

X / n の平均と分散

X = X / n = (X1+…+Xn) / n とおくとき、

nn

XEn

XE1

)(1

)(

nn

nXV

nXV

22

22

1)(

1)(

( ただし、 X1, …, Xn は i.i.d. で、 E(Xi)=μ, V(Xi)=σ2 )

n→∞ のとき

大数の法則

　 は変化なし)(XE

0/)( 2 nXV

これは次のことを意味する：

X の分布が、 μ= E(Xi) に“近づく”

（「大数の法則」）

大数の法則

● 特に X が二項分布の場合

一回の成功確率が p の試行を繰り返していくと、成功の相対度数が p に “近づく”

だから、「大数の法則」は次のことを意味する：

X = X / n の意味は 「相対度数」（確率 p の事象が起きた回数の割合）

X は成功度数だから

大数の法則（例）

P(X/n = r’)

p=0.5 n=50 の二項分布の相対度数 X のグラフ

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

大数の法則（例）

p=0.5 n=200 の二項分布の相対度数 X のグラフ

P(X/n = r’)

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

大数の法則（例）

p=0.5 n=2000 の二項分布の相対度数 X のグラフ

P(X/n = r’)

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.0025

0.005

0.0075

0.01

0.0125

0.015

0.0175

正確な大数の法則

厳密な数学の定理としては、

大数の弱法則

大数の強法則

( ベルヌーイの大数の法則 )

の２つがある。

大数の弱法則

1lim

　　 XPn

任意の ε>0 に対して

ここで μ=E(Xi) .

X1, …, Xn を i.i.d. とし、 X = X1 + … + Xn , X = X / n = (X1 + … + Xn) / n とおくと、

次の事実が成り立つ：

大数の強法則

1lim

　XPn

ここで μ=E(Xi) .

X1, …, Xn を i.i.d. とし、 X = X1 + … + Xn , X = X / n = (X1 + … + Xn) / n とおくと、

次の事実が成り立つ：

また、 V(Xi) は有限とする。

2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4

0.425

0.45

0.475

0.5

0.525

0.55

0.575

大数の強法則（例）

103=1000 104=10000

p=0.5 の二項分布の相対度数 X のn=102 ～ 104 における実験値

対数目盛り

2.5 3 3.5 4 4.5 5

0.425

0.45

0.475

0.5

0.525

0.55

0.575

大数の強法則（例）

103=1000 104=10000

p=0.5 の二項分布の相対度数 X のn=102 ～ 105 における実験値

対数目盛り105=100000

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