電気回路学 Ⅱ

電気回路学Ⅱ

コミュニケーションネットワークコース

5 セメ

山田博仁

RLC 直列回路の過渡現象

RLC 直列回路で、時刻 t = 0 でスイッチ S を閉じる。

t > 0 において回路を流れる電流 i(t) は、

dttiCdt

tdiLtRiE )(

1)()( で与えられる。

なお積分範囲は、–∞ から現在の時刻 t までである。

電荷 q(t) と電流 i(t) との関係dt

tdqti

)()( を用いて書き直し、

)1(0,)()()(

2

2

tC

tq

dt

tdqR

dt

tqdLE

まず、 E ≠ 0 のときの非同次方程式の特解 qs(t) は定常解であるから、

012 C

RsLs

t → ∞ における回路の状態、或いは 0)(

dt

tdqECqs

C

R

E

S

i(t)

t = 0 L

から、となる。

次に、 E = 0 とした時の同次方程式の一般解 qf(t) は、

特性方程式

steq を式 (1) に代入して得られる

の根 s1 および s2 、即ちLCL

R

L

Rss

1

22,

2

21

から、

RLC 直列回路の過渡現象で重根となるから、

C

LR 42 (a) の時には、

L

Rss

221

E = 0 とした式 (1) の一般解は、任意の定数を A1, A2 として、tsts

f teAeAtq 1121)( によって与えられる。

従って、前述の定常解 qs と重ねて、tsts

fs teAeAECqqtq 1121)( が式 (1) の解となる。

これから、電流 i(t) が、

tsts etsAesAdt

tdqti 11 )1(

)()( 1211 と与えられる。

A1 および A2 は積分定数であり、初期条件によって定まる。

回路から、 t = 0 の初期電流 i(0) は 0 であり、コンデンサの初期電荷をq(0) = q0 とすれば、 q(t) および i(t) の t →0 の値から、

10)0( AECqq 従って、 ECqA 01

2110)0( AsAi 従って、 ECqL

RAsA 0112 2


0,2

1)(2

1)(

2)()(

200

0021

1

1111

tet

L

RECqECet

L

RECqEC

teECqL

ReECqECteAeAECtq

tL

Rts

tstststs

以上より、

0,2

2)

21(

22

)1(2

)1()(

2

2

0

2

000

10101211

111

1111

tte

L

RqEC

teL

RECqet

L

RECq

L

Re

L

RECq

etsECqL

ResECqetsAesAti

tL

R

tststs

tstststs

と求まる。

初期電荷 q0 = 0 とした時の q(t) および i(t) の変化を左図に示す。 i(t) は、 t = 2L/R で最大値 im = 2E/Re をとる。

の場合は、臨界的 (critical) あるいは臨界減衰 (clitical-damping) と呼ばれる。

C

LR 42


C

LR 42 (b) の時には、特性方程式 0

12 C

RsLs の根は、 2 つの異なる

実根 s1, s2 となる。

10

2

21

1

22,

LCL

R

L

Rss

と置く。

L

R

20 LCL

R 1

2

2

1

ただし、 010

E = 0 とした式 (1) の一般解は、任意の定数を B1, B2 として、tsts

f eBeBtq 2121)( によって与えられる。

従って、前述の定常解 qs と重ねて、tsts

fs eBeBECqqtq 2121)( が式 (1) の解となる。

電流 i(t) は、 tsts esBesBdt

tdqti 21

2211

)()( と与えられる。

B1 および B2 は積分定数であり、初期条件によって定まる。

102101 , ss


初期条件は同様に、 i(0) = 0 、 q(0) = q0 とすれば、 q(t) および i(t) の t →0 の値から、

210)0( BBECqq 22110)0( sBsBi

従って、 021

21 qEC

ss

sB

0

21

12 qEC

ss

sB

従って、 tsts eqECss

seqEC

ss

sECtq 21

021

10

21

2)(

1101021 2)( ss より、

tstststs esesqECECeqECs

eqECs

ECtq 2121120

10

1

10

1

2

2

1

22)(

ttts eee 101 ttts eee 102 より、

ttt eseseqECECtq 110120

12

1)(

ここで、 Kes

s

1

2 と置くと、 Kesss 212 Kesss 211


従って、 tKtKt eeeeessqECECtq 110210

12

1)(

ここで、双曲線関数を用いると、 xee xx

sinh2

であるから、

Kteeee tKtK 1sinh211 であり、

従って、 KtessqECECtq t 1210

1

sinh1

)( 0

さらに、 s1, s2 < 0 であるから、LC

ssss1

2121

従って、

KteLC

qECq

KteLC

qECECtq

t

t

1

1

00

101

sinh1

1

sinh11

)(

0

0

t > 0


電流 i(t) についても同様に、

KtKtLC

eqEC

dt

tdqti

t

1110

1

0 coshsinh)(

)(0

ここでまず、 { 　　 } 内について考える。

Kes

s

1

2より、

LCss

ss

s

s

s

see KK

1

21

12

2

1

1

2 2

LCss

ss

s

s

s

see KK

0

21

12

2

1

1

2 2

LC

ee KK

21

LC

ee KK

20


従って、 { 　　 } 内は、

tLC

ee

LCee

LC

eeeeeeeeLC

ee

LC

eeee

LC

ee

KtLC

eeKt

LC

eeKtKt

tttt

KtKtKKKtKtKK

KtKtKKKtKtKK

KKKK

1

111110

sinh1

2

122

4

1

4

1

2222

cosh2

sinh2

coshsinh

11

11

1111

1111

従って電流 i(t) は、

teLC

qECt

LCLC

eqEC

dt

tdqti t

t

11

01

1

0 sinhsinh1)(

)( 0

0

t > 0


初期電荷 q0 = 0 とした時の q(t) および i(t) の変化を左図に示す。

の場合は、臨界的の場合よりも収束が遅いので、非振動的 (aperiodic)あるいは過減衰 (over-damping) と呼ばれる。

C

LR 42


C

LR 42 (c) の時には、特性方程式 0

12 C

RsLs の根は、 2 つの異なる

虚根 s1, s2 となる。

00

2

21

1

22, j

LCL

R

L

Rss

と置く。

L

R

20 LCL

Rj

1

2

2

0

ただし、 00 かつ ω0 は実数である。

jes

s

1

2

j

ee jj

2sin

tjjtjjt

tjttjttsts

tsts

tsts

eeeeessqECj

EC

esesqECj

ECesesqECj

EC

eqECj

seqEC

j

sEC

eqECss

seqEC

ss

sECtq

000

000021

21

21

2100

1200

1200

00

10

0

2

021

10

21

2

2

1

2

1

2

1

22

)(

jesss 212 jesss 211

002001 , jsjs


teLC

qECq

teqECLC

EC

j

eee

LCqECEC

j

eeeeessqECECtq

t

t

tjtjt

tjjtjjt

0

0

00

00

0

00

2100

sin1

1

sin1

2

11

2

1)(

0

0

00

0

00

0

teLC

qEC

dt

tdqti t

00

0 sin)(

)( 0

t > 0

t > 0

0

0tan

jj

jj

eej

ee


初期電荷 q0 = 0 とした時の q(t) および i(t) の変化を左図に示す。

の場合は、振動的 (oscillatory) あるいは振動減衰 (under-damping) と呼ばれる。

C

LR 42

インピーダンスの値が　　　　　　　　　　　　　の RLC 直列回路の共振角周波数 ωn は、Cj

LjRZ

1

LCn

1 であった。これに対して、振動的な過渡解の i(t) は、

2

0 2

1

L

R

LC の角周波数で振動し、 ωn とは多少異なる。

R → 0 の時、 ω0 は ωn に近づき、正弦波振動が永久に持続する。

線形常微分方程式の標準的解法

)(1)1(

1)(

0 tfyay'ayaya nnnn

定係数の線形常微分方程式の一般形として、

を考える。ただし、

線形集中定数回路の問題は、実定係数の線形微分方程式を解く問題に帰着する。

m

mm

dt

ydy )(

),,1,0(,00 niaa i また、は定数とする。

この方程式が t = t0 における初期条件、 y(t0), y’(t0), , ‥‥ y(n-1)(t0) を定めれば、ただ一つの解を持つこと ( 解の存在定理 ) は、数学的に証明されている。

(a) 同次方程式の解

この方程式の解法は、まず右辺の f(t) を 0 と置いた同次 ( 斉次 ) 方程式の解を求める。

01)1(

1)(

0 yay'ayaya nn

nn f(t) = 0 と置いた同次 ( 斉次 ) 方程式

の解は、指数関数以外にない。それを、 y = est , (s は定数 ) としてとして代入すると、

011

10

nnnn asasasa 特性方程式を得る。

この特性方程式の n 個の根、 s1, s2, , ‥‥ sn の間に等根が無ければ、tststs neyeyey ,,, 21 が、互いに一次独立な n 個の特解である。

線形常微分方程式の標準的解法従って一般解は、任意の定数 ki (i = 1, 2, , ‥‥ n) による一次結合

tsn

tsts nekekekty 2121)( によって与えられる。

ここで、任意定数 ki は初期条件によって定まる。またもし、特性方程式が重根を有し、 s1 = s2 = =‥‥ sm ならば、それらに対する m 個の特解を

tsmtsts ettee 111 1,,, とすればよい。

(b) 非同次の場合

f(t) ≠ 0 の場合、上の微分方程式は非同次 ( 非斉次 ) 形という。この場合は、補関数 yc(t) ( 同次方程式の一般解に同じ ) と、特解 yp(t) を求め、一般解 y(t) は、 )()()( tytyty pc によって与えられる。

多項式や指数関数、正弦関数などの簡単な関数形の f(t) に対しては、簡単に解が求まるが、それ以外の f(t) に対しては、簡単に解が求まるとは限らず、未定係数法、定数変化法、演算子法などを用いなければならない。

一般に、受動回路網についての補関数は、 t → ∞ で 0 に収束する。十分に時間が経つと yc は小さくなり、 yp のみが残る。このような状態が定常状

態であり、 yc の値が無視できない場合を過渡状態である。また、 yc は励振がなくても存在するので、自由振動項、 yp は励振に関わるので、強制振動項と呼ばれる。

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