数値一般相対論の現状と展望

～コンピュータで再現する　　　一般相対論の世界～

　 柴田　大　　　　　京都大学基礎物理学研究所

1 　数値相対論がなぜ必要か

• 重力波源からの重力波の正確な波形の予言が求められている

• 超新星爆発やガンマ線バーストの理論的　解明 /予言が求められている

• 高密度星 (中性子星、ブラックホール )の　誕生過程はいまだに謎である：要予言

• 高次元時空での高速粒子によるブラックホールの形成率が知りたい (LHC)、　など

一般相対論的現象が観測可能になってきた⇒ 　未知の重力現象の発見とその応用が可能

① 　重力波天文学

TAMA ３００ VIRGO: Pisa

LIGO: Hanford

数 km サイズの検出器が完成感度向上中

BH ：１０太陽質量、 NS:1.4 太陽質量を仮定

振幅 h

周波数 f (Hz)

距離3 億光年を仮定

f -1/6

現状

2014~

Advan

ced

LIGO

合体

～数分

連星中性子星の合体⇒中性子星形成

合体前　　←　　→　合体後

連星の合体は理想的な実験系でもある

• 連星中性子星の合体＝巨大核物質の衝突　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇒　高密度核物質の性質が現れる　　　　　　　⇒　状態方程式の制限に使える

⇒ 重力波観測＋数値相対論モデルとの比較⇒ 　重力波観測による原子核物理　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　

f=(GM/r3)1/2/合体時、より高周波数

② 　高エネルギー宇宙物理学

大質量星の重力崩壊によるブラックホール形成 /連星中性子星の合体　　　　↓　ガンマ線バースト

数秒で ~1051 erg　　　のガンマ線放射

ガンマ線バースト源

≒ブラックホール＋高温・高密度トーラス

どれが本当か未解明

③ 　 LHCどんな時ブラックホールが発生するか？

2 　数値相対論とは

これらの連立方程式を解いて、時間変動する　　宇宙現象を明らかにするのが数値相対論

[ ]

4

4

0

Radiation .....

8

0

0

F j

F

GG T

c

T

u

‥‥　アインシュタイン方程式　　 (時空の曲がり＝物質の状態 )

‥‥　運動方程式 (主に流体 )　　　　　　 (+状態方程式 )

さらには電磁場、輻射輸送

アインシュタイン方程式の構造

• 大雑把には、連立波動方程式 ( 非線形 )2, , ,F T

これを通常は差分法で解く

'0 0

0 0

''0 02

0 0 0

12 2

12

8

12 2

12

16 30

ij ij ij

ij ij

ij ij ij

ij ij ij

x x

x x

x x

x x x

Time

Space

Black HoleHorizon

重力波

流体力学的相互作用

重力崩壊

重力場の激しい変動

数値相対論の概要

, , ,iij v

流れ図

48

GG T

c

0T

あるいは AMR

特異点の回避

EOS, 冷却　　　磁場

, i

数値的相対論を行うにあたって必要な要素1. Einstein’s evolution equations solver

2. GR Hydrodynamic equations solver

3. Gauge conditions (coordinate conditions)

4. Realistic initial conditions

5. Gravitational wave extraction techniques

6. Apparent horizon (Event horizon) finder

7. Special techniques for handling BHs

8. Micro physics (EOS, neutrino processes, B-field, radiation transfer …)

9. Adaptive mesh refinement

現状：今後の課題は物理素過程の精緻化1. Einstein’s evolution equations solver

2. GR Hydrodynamic equations solver

3. Gauge conditions (coordinate conditions)

4. Realistic initial conditions

5. Gravitational wave extraction techniques

6. Apparent horizon (Event horizon) finder

7. Special techniques for handling BHs

8. Micro physics (EOS, neutrino processes, B-field, radiation transfer …)

9. Adaptive mesh refinement

○○○○○○○△

○ 未着手

いくつかの本質的発展①　アインシュタイン方程式解法の確立

• 拘束条件つきの非線形・波動方程式なので、　定式化・解法に工夫が必要。　　　　　　　　　　　　　　　　ゲージの選択も本質的だった。　　　　　　　　　　　　　　　

• 手法は確立：以下どれも強力1. BSSN 形式＋動的ゲージ ( 簡単 )

2. 一般化されたハーモニックゲージ形式3. KST 形式＋一般化されたハーモニックゲー

ジ

　②　ブラックホール時空発展の確立

特異点に激突

座標特異点

Crash!

Black hole excision (Unruh)

いくつかの手法が確立

③ 　 Adaptive mesh refinement の確立

2 体問題での難所＝２つの特徴的長さが存在1. 星の半径 R ~1 － 6 Gm/c2 m

= each mass

2. 重力波の波長 ~ (r3/GM)1/2

M = total mass, r = separation > ~7GM/c2

GM/c2 ~ 100 Gm/c2

>> R

星を分解しながら、波動帯までグリッドを　張る必要あり。一様グリッドは NO 。

Adaptive Mesh Refinement

Lmax Lmin GM/c2

• 1 Box 当たり　 ~ 1003

• 階層レベルの数 ~ 10 程度 (10 ＋ 5)• 変数の数 ~ 200 － 300 メモリ ~10 GBytes　数％精度の計算なら Corei7X で十分可能 !!

３　現状と展望• 2体問題 (連星ブラックホールや連星中性子星の合体 )のシミュレーションは問題なく可能　　　　　　　　⇒　今後は、中性子星の精緻化、高精度計算、　パラメータサーベイ ( 質量、 EOS 、スピン )

• 重力崩壊、超新星爆発計算には：　　　　　　　磁気流体、現実的 EOS の取り込みなど、問題なく出来る。問題は、物理過程の正確な考慮：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①　小スケールの磁気流体不安定性の解像　　　②　ニュートリノ輻射輸送を考慮すること　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇒　巨大計算機が必要 (次世代 SC 以降の課題 )

現状①　ブラックホール - 中性子星連星

(久徳、柴田、谷口 )

• 5 周以上の軌道＋合体の計算が可能• 興味1. 潮汐破壊の条件と重力波波形への反映2. ブラックホール周りに円盤が誕生するか

NSBH BHNS3 2 3

NS

1/32NS NS

~ , ~

~

GMGM GMR f

r R r

R GM f

潮汐破壊の条件は質量と半径に依存

• 中性子星 1.2Msun 、ブラックホール 2.4Msun 、中性子星の半径はおよそ 11.6 km

• C:\cygwin\home\HB_q2_M12.gif

• 中性子星 1.35Msun 、ブラックホール 4.05Msun 、中性子星の半径はおよそ 11 km

• file://C:\cygwin\home\B_q3_M135.gif

• EOS は piecewise polytrope でモデル化• アニメーションは久徳君 ( 基研 ) による

MBH=2.7Msun, MNS=1.35Msun

R=15.2 km

R=11.6 km

BH ringdown

sudden shutdown 潮汐破壊

潮汐破壊弱い

Results with piecewise polytrope

Larger radius of NS

advLIGO

For all, 1.35-2.7Msun

3k 4k

Pointparticle

PP. Newton

Clear dependence on NS radius

PreliminaryKyutoku, Shibata + 2010

2k

15.2km 12.3km

11.6km

advLIGO/10

10.3km

② 　連星中性子星の合体　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( 木内、関口、柴田、

久徳、谷口、、、 )

• 5 周以上の軌道＋合体の計算が可能• 現状では、簡略モデル化された状態方程

式• 興味1. 合体時の重力波波形2. 合体後はブラックホール or 中性子星 ?

3. ブラックホール周りに円盤が誕生するか

1.5Msun 1.5Msun

Merger to BH

Akmal-Pandharipande-Ravenhall EOS

Kiuchi et al. (2010)

1.3 Msun 1.6 Msun

Lapse

1.3Msun 1.3Msun

Shibata & Taniguchi, PRD 73, 064027 (2006)

Akmal-Pandharipande-Ravenhall EOS

Merger to NS

R=11.6 km

R=11.0 km

R=10.7 km

NS BH

One-momentNS BH

BH

異なる EOS ： For all, 1.35-1.35 Msun

R=11.6 km

R=15.2 km

NS BH

NS

For all, 1.35-1.35 Msun

Fourier spectrum

advLIG

O

advLIG

O/10

For all, 1.35-1.35Msun

PP. Newton

3 4 k

QNM of BH

heff ~ f -1/6

Appreciabledependence on EOS in high frequency

R=15.2 km

11.6km

Blue=11.0kmPink=10.7 kmCyan=10.3 km

③ 　現実的状態方程式＋ニュートリノ損失を考慮したシミュレーション

( 関口、木内、久徳、柴田、、 )

• Shen の EOS を採用• ニュートリノ漏れ出

し法によるニュートリノ放射

• 放射されるニュートリノを補助場で表現

• 今のところニュートリノ加熱は無視

4

Rad

8

0

GG T

c

T Qu

T Qu

u

Very preliminary result (ongoing)

Density profiles

④　重力崩壊によるブラックホールの形成関口 (NAOJ)

• 種族 III 星の重力崩壊 ( 初期に、等エントロピー星の崩壊 ) ：初期質量約 150 太陽質量

• 星の進化で予言された回転則を用いる• Shen の EOS を採用• ニュートリノ漏れ出し法によるニュートリ

ノ放射• 放射されるニュートリノを補助場で表現• 今のところニュートリノ加熱は無視

重力崩壊初期

Weak bounce due to gas pressure

関口による計算と動画化密度 [log10(g/cm3)]

重力崩壊後中心にはブラックホールが誕生：　　　　その質量は約 7 太陽質量

km

ニュートリノ光度 :Log(erg/cm3/s)

Electron fraction

Entropy (s/k)

Neutrino emission

AH formation

Neutrino emission from the torus

⑤　高速ブラックホールの 2 体衝突： 5次元

( 大川、柴田、吉野 )

• Critical impact parameter; v=0.6c

• C:\cygwin\home\alpha_v0.6b3.3.gif

• Slightly larger impact parameter

• file://C:\cygwin\home\alpha_v6b3.36.gif

• BH は等質量スピンなし。ラプス関数を表示。• アニメーションは大川君 ( 基研 ) による

ブラックホールの軌跡• 5次元の場合 (v=0.65c)

Cross section BH production rate

4 まとめ• 数値相対論は近年の進展の結果成熟期に。

　相対論の世界がコンピュータで再現可能。• 物理プロセスが簡単な２体問題 (BH-BH 、

BH-NS,NS-NS) については高精度の計算が可能　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇒　重力波波形のモデル化

• マイクロ物理を取り入れた計算も開始：　ブラックホールへの重力崩壊、連星中性子星の合体への応用

• 磁気流体計算法も整備されてきた

課題と今後• 磁気流体計算 ( 例、中性子星磁場 ) ：十分な高

解像度で、様々な磁気流体不安定性を分解しないと、物理的シミュレーションにならない　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⇒　力任せにやるしかない。さらなる、大規模計算が必要 (x ~ 10 m 程度が必要 )

• 輻射 ( ニュートリノ過程 ) の効果を精緻化する必要あり：最終目標は 6D ボルツマンを解くことだが長期的課題。まずは、計算手法の確立。

• 新しい応用の探求：高次元、 AdS/CFT

Piecewise polytrpoe by UWM

Log (g/cm3)

Log P (cgs)

P1

1

Fixed for crust

14.7

2

3

15.0

4 parameters

Necessary only for massive NS

0~4/3

EOS of NS is stiff: 1=2.7—3.0

We approximately know