«Где начало того конца,

которым оканчивается начало»

Авторы: Машков Никита

Абросимова Анастасия

Логические функции

Логическая функция — это функция логических переменных, которая может принимать только два значения: 0 или 1. В свою очередь, сама логическая переменная (аргумент логической функции) тоже может принимать только два значения: 0 или 1.

Логический элемент — это устройство, реализующее ту или иную логическую функцию. Y=f(X1,X2,X3,...,Xn) — логическая функция, она может быть задана таблицей, которая называется таблицей истинности.

Функции одной переменной

Х 0 1 аргумент

F0 0 0 константа 0

F1 0 1 Х

F2 1 0 Не Х

F3 1 1 константа 1

Функции двух переменных

Таблица истинности функции двух переменных Y=F(X1,Х2) содержит 4 строки, а число функций двух переменных равно 16.

    Рассмотрим все эти функции двух переменных.

   

X1 0 0 1 1 аргумент

X2 0 1 0 1 аргумент

F0 0 0 0 0 Константа 0

F1 0 0 0 1 Конъюнкция

F2 0 0 1 0 Запрет по Х1

F3 0 0 1 1 Повторение X1

F4 0 1 0 0 Запрет по Х2

F5 0 1 0 1 Повторение X2

F6 0 1 1 0 Сложение по модулю 2

Функции двух переменных

F7 0 1 1 1 Дизъюнкция

F8 1 0 0 0 Стрелка Пирса

F9 1 0 0 1 Эквивалентность

F10 1 0 1 0 Не Х2

F11 1 0 1 1 Импликация x2-> x1

F12 1 1 0 0 Не Х1

F13 1 1 0 1 Импликация x1-> x2

F14 1 1 1 0 Штрих Шеффера

F15 1 1 1 1 Константа 1

Функции двух переменных

Таблица истинности любой функции имеет вид:

Таблица истинности функции

где Yi принимают значения 0 или 1

Каждый элемент конъюнкции это дизъюнкция переменных Xi, если Xi = 1 в соответствующей строке или их отрицание, если Xi = 0 в соответствующей строке. Очевидно, что данный элемент конъюнкции равен 1 только для этой строки и 0 для всех остальных.

ТЕОРЕМА 1

ДоказательствоТаблица истинности любой функции имеет вид:где Y0, Y1, Y2, Y3 принимают значения 0 или 1. Составим конъюнкцию (ИЛИ) из всех строк, где Yi равно 1. Каждый элемент конъюнкции это дизъюнкция (И) переменных, если Xi = 1 в соответствующей строке или их отрицание, если Xi = 0 в соответствующей строке. Очевидно, что данный элемент конъюнкции равен 1 только для этой строки и 0 для всех остальных.Тогда, конъюнкция будет равна 1 только для Yi = 1 и 0 во всех остальных случаях. То есть данная конъюнкция будет равна исходной функции. Таким образом, исходная функция представляется через И,ИЛИ,НЕ.

Любая функция двух переменных может быть представлена в виде комбинации функций И, ИЛИ, НЕ.

Представление функций через И-ИЛИ-НЕ

1.Штрих Шеффера

X1 V X2

Представление функций через И-ИЛИ-НЕ

2.Стрелка Пирса

X1X2

Представление функций через И-ИЛИ-НЕ

3.Эквивалентность

X1X2 V X1X2

Представление функций через И-ИЛИ-НЕ

4.Импликация

X1 V X2

Карты Карно

Минимизация функций

• Склейку клеток карты Карно можно осуществлять по единицам

• Склеивать можно только прямоугольные области, содержащие только единицы

• С точки зрения минимальности число областей должно быть как можно меньше.

ТЕОРЕМА 2

Доказательство Любая функция представима через И, ИЛИ, НЕ. Заменим в этом представлении данные функции их эквивалентом через другой базовый набор. Тогда исходная функция представляется через данный базовый набор, что и требовалось доказать.

Для того, чтобы набор функций был базовым, то есть представлял все другие функции, достаточно чтобы через этот набор можно было представить функции И, ИЛИ, НЕ.

ТЕОРЕМА 3

Доказательство Чтобы функция штрих Шеффера была базовой достаточно представить через неё функции И, ИЛИ, НЕ. Отрицание Х1 =(Х11) = Х1|1Конъюнкция Х1 Х2 = ((Х1 Х2)) = (X1|X2) = (X1|X2)|1Дизъюнкция Х1Х2 = (Х1Х2) = Х1|Х2 = (Х1|1)|(Х2|1)Теорема доказана.

Через функцию штрих Шеффера Y = X1|X2 = (X1X2) можно представить любую другую логическую функцию.

Другие базовые функции

Представление логических функций через стрелку Пирса (Теорема 4)

Через функцию стрелка Пирса Y = X1X2 = (X1X2) можно представить любую другую логическую функцию.

Представление логических функций через импликацию(Теорема 5)

Через функцию импликация Y = X1X2 = X1X2 можно представить любую другую логическую функцию.

Выводы• Логические функции являются математической основой

современных вычислительных устройств. Для реализации логических функций в вычислительных устройствах важно унифицировать и минимизировать их представление.

• Любая логическая функция может быть представлена как комбинация базовых логических функций И, ИЛИ, НЕ.

• Для минимизации представления произвольных логических функций двух переменных можно использовать карты Карно. Приведены минимальные представления всех логических функций двух переменных через базовые функции И, ИЛИ, НЕ.

• Приведено доказательство, что любые логические функции можно представить через функцию штрих Шеффера.

• Приведено доказательство, что любые логические функции можно представить через функцию стрелка Пирса.

• Приведено доказательство, что любые логические функции можно представить через функцию импликация.

• Работа может применяться как учебное пособие при изучении темы «Основы математической логики», так и как самостоятельный материал на элективных курсах и кружках.

Выводы