1

Дисциплина: Эконометрика

Преподаватель: Киселевская Светлана Викторовна, доцент кафедры математики и моделирования (ауд.1602)

Литература:

• Елисеева И.И. Эконометрика: учебник. - М.: Финансы и статистика, 2002.

• Елисеева И.И. С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др. Практикум по эконометрике: учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2001.

• Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002.

• Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс: учебник. – М.: Дело, 2000.

2

• Опр. эконометрика — это наука, которая дает количественное выражение взаимосвязей экономических явлений и процессов.

3

Центральные проблемы

эконометрики

построение эконометрической модели

определение возможностей ее использования

для описания, анализа и прогнозирования

реальных экономических процессов.

4

• Эконометрическое исследование включает решение следующих проблем:

• качественный анализ связей экономических переменных — выделение зависимых (у) и независимых переменных (х);

• подбор данных;

• спецификация формы связи между у и х,

• оценка параметров модели;

• введение фиктивных переменных;

• выявление тренда, циклической и случайной компонент; и др.

5

этапы эконометрического исследования:

обработка

результатов

оценка параметров

спецификация модели

получение данных, анализ их качества

постановка проблемы

6

проблема точности связана с:

• определением понятия экономической величины;

• разработкой правил и методов измерений

• выявлением условий сравнимости экономических величин (показателей);

• разработкой принципов конструирования измерителей и измерений;

• основанием выбора типа шкал при конструировании измерителя;

7

• Регрессия в эконометрических исследованиях.

8

ˆ ( ),y f x

Простая регрессия представляет собой регрессию между двумя переменными — у и х, т. е. модель вида:

где: у – зависимая переменная (результативный признак);х – независимая, или объясняющая, переменная

(признак-фактор).

9

Множественная регрессия представляет собой регрессию результативного признака с двумя и большим числом факторов, т. е. модель вида:

),...,( 21 kxxxfy

10

ПРИМЕР.

Так, если зависимость спроса у от цены х характеризуется, например, уравнением:

ˆ 5000 2xy x

11

В парной регрессии выбор вида математической функции

ˆ ( )xy f x

может быть осуществлен тремя методами:

• графическим;

• аналитическим, т. е. исходя из теории изучаемой взаимосвязи;

• экспериментальным.

12

регрессия

линейная нелинейная

нелинейная по объясняющим переменным

нелинейная по оцениваемым параметрам

13

Основные типы кривых, используемые при количественной оценке связей между двумя

переменными

степенивторойполином

xcxbayб

регрессиялинейная

xbaya

x

x

2)

;)

0 х

y

a

0 х

y

б

14

0 х

y

в

0 х

y

г

степенитретьейполином

xdxcxbayг

гиперболанняяравносторо

xbayв

x

x

32)

;/)

15

наяпоказатель

bayе

степенная

xayд

xx

bx

,)

,)

0 х

y

д

0 х

y

е

16

Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК).

xy

minˆ2

ixi i

yy

МНК позволяет получить такие оценки параметров а и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака (уi ) от расчетных (теоретических) минимальна:

17

• Геометрический смысл МНК: из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной

х0

у

18

Обозначим , ixii yy

min1

2

n

iiS

22 ii

xi xbayyySi

19

.0222

;0222

)1(

1

2

11

11

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

xbxaxydb

dS

xbanyda

dS

20

для оценки параметров а и b получим следующую систему нормальных уравнений

1 1

2

1 1 1

n n

i ii i

n n n

i i i ii i i

n a b x y

a x b x x y

21

xbya

Формулы расчета параметров a и b:

222 xxx

22 xx

xyyxb

b - коэффициент регрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.

22

Линейный коэффициент корреляции должен находится в границах:

xxy

y x y

σ yx y xr b

σ σ σ

Линейный коэффициент корреляции является показателем тесноты связи:

11 xyr

23

Показатель

тесноты

связи

0,1 – 0,3 0,3 – 0,5 0,5 – 0,7 0,7 – 0,9 0,9 – 0,99

Характерист

ика

силы связи

Слабая Умеренная Заметная ВысокаяВесьма

высокая

Для характеристики силы связи можно использовать шкалу Чеддока.

24

• Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результативного признака :

• Величина 1- r 2 характеризует долю дисперсии у, вызванную влиянием остальных не учтенных в модели факторов.

2yxr

25

• Пример. Предположим по группе предприятий, выпускающих один и тот же вид продукции, рассматривается зависимость затрат на производство(у) от выпуска продукции(х)

Выпуск продукции, тыс. ед. (х)

Затраты на производство,

млн руб. (у)

1 30

2 70

4 150

3 100

5 170

3 100

4 150

26

• Система нормальных уравнений будет иметь вид

• а = -5,798, b= 36,8443,

• r 2 = 0,982.

• уравнение регрессии:

28208022

770227

ba

ba

xy x 84,3679,5

27

• Вывод:

чем больше доля объясненной вариации, тем соответственно меньше роль прочих факторов, и линейная модель хорошо аппроксимирует исходные данные и ею можно воспользоваться для прогноза значений результативного признака.

Оценка существенности уравнения линейной регрессии.

29

• F критерий Фишера - оценивает качество уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы Н0 (о том, что коэффициент регрессии равен нулю, т.е. b = 0, т.е. фактор х не оказывает влияния на результат у ).

30

• Расчету F-критерия предшествует анализ дисперсии.

• Центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов отклонений на две части «объясненную» и «необъясненную» .

• Общая факторная остаточная

(регрессионная) (необъясненная)

2 2 2ˆ ˆ( ) ( ) ( )x xy y y y y y

31

• Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы – df (degrees of freedom), т.е. с числом свободы независимого варьирования признака.

32

• Число степеней свободы остаточной суммы квадратов при линейной парной регрессии составляет n - 2 ,

• общей суммы квадратов – n -1 ,

• для факторной суммы квадратов – 1,

Имеем равенство:

n – 1 = 1+ (n – 2).

33

• дисперсии на одну степень свободы

2( )

1общ

y yD

n

2ˆ( )

1x

факт

y yD

2ˆ( )

2x

ост

y yD

n

34

факт

ост

DF

D

35• n - число наблюдений

2 2 2ˆ( )x yy y r σ n 2 2 2ˆ( ) (1 )х yy y r σ n

2

22

1факт

rF n

r

36

• Значение F-критерия признается достоверным, если оно больше табличного. В этом случае гипотеза H0 отклоняется.

37

•Если Fтабл< Fфакт, то Но – гипотеза

о случайной природе оцениваемых характеристик

отклоняется и признается их статистическая значимость

и надежность.

•Если Fтабл > Fфакт, то гипотеза Но

не отклоняется и признается статистическая незначимость

и ненадежность уравнения регрессии.

38

• Таблица значений F-критерия Фишера при уровне значимости

α =0,05k1 1

 2 

3 

4 

5 

6 

8 

12 

24 

∞ k2

1 

161,45 

199,50 

215,72 

224,57 

230,17 

233,97 

238,89 

243,91 

249,04 

254,32 

2 

18,51 

19,00 

19,16 

19,25 

19,30 

19,33 

19,37 

19,41 

19,45 

19,50 

3 

10,13 

9,55 

9,28 

9,12 

9,01 

8,94 

8,84 

8,74 

8,64 

8,53 

4 

7,71 

6,94 

6,59 

6,39 

6,26 

6,16 

6,04 

5,91 

5,77 

5,63 

5 

6,61 

5,79 

5,41 

5,19 

5,05 

4,95 

4,82 

4,68 

4,53 

4,36 

6 

5,99 

5,14 

4,76 

4,53 

4,39 

4,28 

4,15 

4,00 

3,84 

3,67 

7 

5,59 

4,74 

4,35 

4,12 

3,97 

3,87 

3,73 

3,57 

3,41 

3,23 

8 

5,32 

4,46 

4,07 

3,84 

3,69 

3,58 

3,44 

3,28 

3,12 

2,93 

39

ПРИМЕР

• Дисперсионный анализ результатов регрессии

yфактF таблF

1 8df n

1k 1

2 ?k

Вариация результата

Число степеней свободы

Сумма квадратов

отклонений

Дисперсия на одну степень свободы,D

Общая 6,316 - - -

Факторная 5,116 ? ? ?

Остаточная 1,200 ? - -