第二篇动态电路

“ 十一五”国家级规划教材—电路基础

第二篇动态电路

第五章动态电路的时域分析

第六章动态电路的复频域分析

第七章动态电路的状态变量分析


第五章动态电路的时域分析5.1 动态元件5.2 动态电路方程5.3 动态电路的初始状态和变量初始值5.4 一阶动态电路的零输入响应5.5 一阶动态电路的零状态响应5.6 一阶动态电路的全响应5.7 二阶动态电路的响应5.8 高阶电路的响应

“ 十一五”国家级规划教材—电路基础或

0

0 0

0( ) ( ) ( ) ( ) ( )t t ttu S i d S i d S i d u t S i d

t t

S=1/C ，称为倒电容 (inverse capacitance)

单位为倒法 [ 拉 ] （ F1 ）

记忆特性：上式表明，线性非时变电容元件在 t 时刻的电压值取决于从 –∞ 到 t 时刻的电流值。即电容电压 u 与电容元件的电流 i 历史有关 ; 电容元件具有“记忆”电流的性质，是一种记忆元件 (memory element)。

当 t<0时，电流的积累可以用初始电容电压来反映。


电容电压的连续性： t

tdi

Ctuu

0

)(1

)( 0

当 t0=0 时，在 t 时刻有

在 t+△ t 时刻有

tt

diC

uttu0

)(1

)0()(

t

diC

utu0

)(1

)0()(

1( ) ( ) ( )

t t

tu u t t u t i d

C

如果在时间区间 [t， t+∆t] 内，电流 i 均为有限值，即( )i t M （M 为有限常数）

那么当∆ t→0 时，就有∆ u→0 。表明只要电容电流是有界函数，电容电压就是连续函数，不会跳变。


非零初始电压电容元件的等效电路具有初始电压的电容可以等效成无初始电压的电容与电压源的串联。

i

1Cu

1i

2C

2i

nC

ni

i

eqCu

若干个没有初始储能的电容并联0 0( )Cu t U

Cu Cu

1 2 1 2( )n n eqq q q q C C C u C u

1 2eq nC C C C

C

0( ) 0Cu t

0 0( )Su U tu

Cu


若干个没有初始储能的电容串联i

eqCuu

1u nu2u

2Ci nC1C

1 21 2

1 2

1 1 1( ) ( ) ( )

1 1 1 1( ) ( ) ( )

t t t

nn

t t

n eq

u u u u i d i d i dC C C

i d i dC C C C

1 2

1 1 1 1

eq nC C C C

或

1 2eq nS S S S


二、线性时变电容元件

线性时变电容元件：如果电容元件的库伏特性曲线是随时间变化，通过原点的直线。

q

uO

1t2t3t

u

i

q

1.特性方程为 ( )q C t u

或

1( )

( )u q S t q

C t

2. 伏安关系 ( )

( )dq du dC t

i C t udt dt dt


三、非线性电容元件

非线性电容元件 :电容元件如果其库伏特性不是线性。

u

i

q

符号 1.特性方程为 ( ) 0f q u t ，；

非线性电容也可按其库伏关系的性质 :

荷控电容压控电容单调型电容既非荷控又非压控电容

( )u h q( )q f u

1( ) ( )u h q f q


四、电容元件的能量

1.瞬时功率 (instantaneous power)

Cp ui 若电容电流和电压取一致参考方向，当 pC >0 时，电容吸收功率；当 pC <0 时，电容发出功率。

在时间间隔 [t0， t] 内，电容元件吸收的能量为

0 0 0

( )

0 ( )( , ) ( )

t t q t

C Ct t q tw t t p dt uidt f q dq 若 q(t0)=0, 则

0( )

q

Cw f q dq

q( )q tO

u

( )u t

电容元件中储存的能量如图中阴影部分的面积。


q( )q tO

u

( )u t 如果电容元件的库伏特性曲线通过原点位于第一或第三象限，它所储存的能量总是正的，这种电容元件称为无源电容元件。

若为线性非时变电容元件，则有

2

0

1

2

q

C

qw dq Cu

C

上式表明，当电压一定时，电场能与电容 C 成正比，电容 C 的大小反映电容储存电场能的能力。电场能的大小只取决于电容端电压的瞬时值。与电压的建立过程无关；也与电容中的电流无关。


例 5.1.1 如图 (a)所示电路中电容与电压源连接，已知电压源电压波形如图 (b)所示，试求电容电流及电容的储能。

2u(V)

10.5O t(s)

1

0.25 0.75

ui C

1F

(a) (b)

解由图 (b)所示波形曲线，可求得电压源电压的表达式为4 (0 0.25s)

1 (0.25s 0.5s)

4 1 (0.5s 0.75s)

8 8 (0.75s 1s)

t t

tu

t t

t t


则电容电流为：4 (0 0.25s)

0 (0.25s 0.5s)

4 (0.5s 0.75s)

8 (0.75s 1s)

t

tdui C

tdt

t

4i(A)

10.5O t(s)

-8

0.25 0.75

电容电流随时间变化的波形曲线


则电容的储能为：2

2

2

2

8 (0 0.25s)

0.5 (0.25s 0.5s)1

2 8 4 0.5 (0.5s 0.75s)

32 64 32 (0.75s 1s)

C

t t

tw Cu

t t t

t t t

2wC(J)

10.5O t(s)

0.5

0.25 0.75

电容储能随时间变化的波形曲线


例 5.1.2 如图 (a)所示电路中电容与电流源连接，已知电流源电流波形如图 (b)所示，试求电容电压及电容吸收的功率。假设 u(0)=0V 。

ui

1F

C

1

i(A)

10.5O t(s)

解：由图 (b)所示波形曲线，可求得电流的表达式为

2 (0 0.5s)

2 1 (0.5s 1s)

t ti

t t


当 0≤t<0.5s 时 2

0 0

1(0) ( ) 2

t tu u i d d t

C

当 0.5s≤t≤1s 时2 2

0.5 0.5

1(0.5) ( ) 0.5 (2 1) 0.5

t tu u i d d t t

C

0.5u(V), p(W)

10.5O

0.25u

p

t(s)

电容电压随时间变化的曲线如图中实线所示


32 22)()()( ttttitutp 电容吸收的功率为当 0≤t<0.5s 时

当 0.5s≤t≤1s 时

5.0232)12()5.0()( 232 tttttttp

0.5u(V), p(W)

10.5O

0.25u

p

t(s)

电容吸收的功率随时间变化的曲线如图中虚线所示

“ 十一五”国家级规划教材—电路基础5.1.2电感元件定义：一个二端元件，如果在任一时刻 t ，它的磁通(flux) 与流过它的电流 i 之间的关系是由 -i 平面（或 i-平面）上的一条曲线所确定，则此二端元件称为电感元件 (inductor)。这条曲线称韦安特性曲线。

一、线性非时变电感元件1.特性方程

Li

或

1i

L O

u

i

Li

i

L

L 是与磁通和电流无关的电路参数。


2.伏安关系d di

u Ldt dt

u

i

L电流 i 和电压 u 取一致参考方向

动态特性：上式表明， t 时刻的电感电压 i 取决于该时刻电感电流 i 随时间 t 的变化率，称为动态元件。

线性非时变电感元件中的 u和 i 之间的关系也可用积分形式表示

0

0 00

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t t t ti u d u d u d i t u d

t tL L L L

或

0

0 00( ) ( ) ( ) ( ) ( )

t t t ti u d u d u d i t u d

t t

Г=L-1 ，称为倒电感 (inverse inductance)


记忆特性：线性非时变电感元件在 t 时刻的电流值取决于从 –∞ 到 t 时刻的电压值。即电感电流 i 与电感元件的使用历史有关，可通过电感电压在时刻 t 以前的全部历程来反映。电感元件具有“记忆”电压的性质，是一种记忆元件。

电感电流的连续性：当 t0=0 时

0

1( ) (0) ( )

ti t i u d

L

1( ) ( ) ( )

t t

ti i t t i t u d

L

如果在时间区间 [t， t+∆t] 内， u 均为有限值，即 ( )u t M

那么当∆ t→0 时，就有∆ i→0 。即只要电感电压是有界函数，电感电流就是连续函数，不会跳变。


非零初始电流电感元件的等效电路具有初始电流的电感可以等效成无初始电流的电感与电流源的并联。

L

0 0( )Li t I

u

iLi

0 0( )Si I t Lu

i

0( ) 0Li t

Li

若干个没有初始储能的电感串联

eqLu

i1L 2Li

u

nL

nu2u1u

1 2 1 2( )n n eqL L L i L i

1 2eq nL L L L


2L

1i

uni

nL

i2i

1Lu

i

eqL

若干个没有初始储能的电感并联

1 21 2

1 2

1 1 1( ) ( ) ( )

1 1 1 1( ) ( ) ( )

t t t

nn

t t

n eq

i i i i u d u d u dL L L

u d u dL L L L

1 2

1 1 1 1

eq nL L L L

或

1 2eq n


二、线性时变电感元件

线性电感元件的韦安特性曲线是随时间变化，通过原点的直线。 O

1t2t3t

i

( )L tu

i

1.特性方程 ( )L t i 1

( )( )

i tL t

或

2.伏安关系 ( )

( )d di dL t

u L t idt dt dt


三、非线性电感元件

电感元件如果其韦安特性不是线性的就称为非线性电感元件。

u

i

符号 ( ) 0f i t ，；

1.特性方程

1( ) ( )i h f

非线性电感也可按其韦安关系的性质 :

磁控电感流控电感 ( )f i

( )i h

单调型电感 1( ) ( )i h f

非流控的又非磁控


四、电感元件的能量1.瞬时功率 Lp ui

电流和电压取一致参考方向当 pL>0 时，电感吸收功率；当 pL<0 时，电感发出功率。

在 [t0， t] 内，电感元件吸收的能量为

0 0 0

( )

0 ( )( ) ( )

t t t

L Lt t tw t t p dt iudt f d

，

若 (t0)=0 ，则 0

( )Lw f d

O ( )t

i

( )i t

如果电感元件的韦安特性曲线通过原点位于第一或第三象限，这种电感元件称为无源电感元件。


线性非时变电感元件 2

0

1

2Lw d LiL

上式表明，当电流一定时，电感元件中储存的磁场能与电感 L 成正比，电感 L 的大小反映了电感储能的能力；电感储能的大小只取决于电感电流的瞬时值，与电流的建立过程无关，也与电感中的电压无关。

（ 3 ）当 pL=0时， wL 为常数，电感元件储能保持不变，与外电路间无能量交换

（ 1 ）当 pL>0时， wL 增加，外电路供给电感能量；

若电流和电压取一致参考方向

（ 2 ）当 pL<0时， wL 减少，电感中的磁场能返回给外电路；


例 5.1.3 在图所示电路中，回转器的输出端口接有一个电容元件 C ，试求回转器输入端口的电压 - 电流关系。

r 2i1i

1u 2uC

解：由输出回路可得：

dt

duCi 2

2

代入回转器的输入输出关系式

可得： 22 1 11 2 ( )

du di diu ri r C r C L

dt dt dt

其中 L=r2C

可看出：从回转器输入端口的电压电流关系看相当于一个电感为 L=r2C 的电感元件。


5.1.3 耦合电感元件

1 2

1i 2i

1u 2u

如果两个线圈或两个以上线圈中每个线圈所产生的磁通都与另一个线圈相交链，则称这些线圈有磁耦合 (magnetic coupling)或者说具有互感 (mutual induction)

电感元件 1 的磁通 1 及电感元件 2 的磁通 2 分别由两个电感元件中的电流 i1和 i2共同产生。

1 1 1 2( , )f i i

2 2 1 2( , )f i i

它们之间的关系可表示为


一、线性耦合电感元件线性耦合电感，每一电感元件的磁通可以表示为自感磁通与互感磁通之代数和，且自感磁通、互感磁通均与电流之间呈现线性函数关系，即

1 11 12 1 1 12 2

2 21 22 21 1 2 2

L i M i

M i L i

式中， L1和 L2 分别为线圈 1 和线圈 2 的自感 (self inductance)；M12、M21 为线圈 1 和线圈 2 之间的互感 (mutual inductance)。可以证明 M12=M21

以后将不加区别地用 M 表示耦合电感元件的互感


1 11 12 1 1 12 2

2 21 22 21 1 2 2

L i M i

M i L i

用矩阵形式表示为

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

L M i

M L i

自感 L1和 L2 恒为正值，但是互感 M 既可为正又可为负。

（ 1 ）如果互感为正，自感磁通和互感磁通相互加强；

（ 2 ）如果互感为负，互感磁通是对自感磁通的减弱。


由于互感 M 的正负，不仅和电感元件中的电流流向有关，而且和相耦合线圈的相对绕向、相对位置有关。在实际情况下，线圈的绕向通常是很难观察出来的，并且用来表示耦合电感元件的电路符号，也无法表示线圈的绕向。为了解决这个问题，在耦合电感每个线圈的端钮上用同名端加以标记。同名端 (corresponding terminals):当两个线圈的电流 i1和 i2同时流进或流出这两个端钮时，它们产生的磁通是互相增助。同名端一般用符号“ ·”或“ *”作为标记。

M

2L1L

1i 2i

1u 2u

M

2L1L

1i 2i

1u 2u

M>0 M<0


全耦合 (perfectly coupled):当两个相耦合电感元件的磁通全部相互交链。

1 2M L L此时有

耦合系数 (coefficient of coupling)k ：为了反映互感耦合的程度。

1 2

Mk

L L 0≤ k ≤1

（ 1 ）当 k =1 时，为全耦合；（ 2 ）当 k 接近 1 时，称为紧耦合（ 3 ）当 k 值较小时，称为松耦合；（ 4 ）当 k =0，即两电感元件的轴线相互垂直时，两线圈无磁耦合。


2u

2i

21u

1

1i

3u*

3i

3

*

三个线圈组成的线性耦合电感元件磁通与电流的关系：

1 11 1 12 2 13 3

2 21 1 22 2 23 3

3 31 1 32 2 33 3

L i L i L i

L i L i L i

L i L i L i

1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

L L L i

L L L i

L L L i

矩阵形式表示为

或用符号表示为 ψ Li


ψ Li 称为磁通向量， i 称为电流向量， L 为一方阵，称为电感矩阵。位于矩阵主对角线上的元素 Ljj 为各个电感元件的自感， Lij 其他元素则为元件之间的互感。 1. 线性耦合电感元件端口电压电流关系端口电压、电流取一致参考方向时，有

1 1

1 11 12 1

2 21 22 22 2

d diu u u L Mdt dtu u u M Ld di

dt dt

式中， u11及 u22 称为自感电压； u12及 u21 称为互感电压。


也可表示为 d

dt

iu L

式中， u=[u1， u2]T 称为电压向量， i=[i1， i2]T 称为电流向量

受控电压源表示去耦的等效电路模型：

2d

d

iM

t1d

d

iM

t

1i 2i

2u1u1L 2L

端口电压表示端口电流的耦合电感元件的矩阵方程为

0(0) ( )

td i i Γ u

式中， i 为电流向量， i(0)为 0 时刻电流向量， u 为电压向量


1i 2i

2u1u12 20

t

u dt 21 10

t

u dt 11

22

若 i(0)=0 ，则 101 11 12

2 21 2220

( )

( )

t

t

u di

i u d

受控电流源表示的去耦的等效电路模型

倒电感矩阵 (inverse inductance matrix)： i = Г

式中， Г=L-1 ，称倒电感矩阵。


2. 线性耦合电感元件的串联和并联

（ 1 ）线性耦合电感元件的串联

eqLu

i1u

u 2uM2L

1Li 1u

M

1Li

u 2L2u

顺接反接

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( 2 ) eq

di di di di di diu u u L M M L L L M L

dt dt dt dt dt dt

串联等效电感为： 1 2 2eqL L L M

顺接：互感 M 为正值；反接：互感 M 为负值。


（ 2 ）线性耦合电感元件的并联

u

i

1i 2i

u

i

1i 2i

u

i

eq

设： i1(0)=i2(0)=0

1 2 11 1 12 2 21 1 22 20 0 0 0

11 12 21 22 0 0

( ) ( )t t t t

t t

eq

i i i u d u d u d u d

ud ud

并联等效倒电感为： 11 12 21 22eq


用等效电感表示耦合电感元件的并联

1

2

L M

M L

L由：

2 11 12

1 21 22

1

det

L M

M L

ΓL

1 22

1 2

2eq

L L M

L L M

u

i

u

i

1i 2i

u

i

1i 2i

eqL1L

2LMM

2L1L

(a) (b) (c)


21 2

1 2

1

2eqeq

L L ML

L L M

注意： (a)中电流 i1、 i2 从耦合电感的同名端流入，互感 M 取正值，图 (b)中电流 i1、 i2 从耦合电感的异名端流入，互感 M 取负值。

3. 线性耦合电感元件的 T 形去耦等效和形去耦等效

（ 1 ）线性耦合电感元件的 T 形去耦等效电路

1i 2i

1u 2u2L1L

M 1i 2i

1u 2u2L M1L M

M


1i 2i

1u 2u2L1L

M

上图端口电压电流关系为 1 2

1 1

1 22 2

di diu L M

dt dtdi di

u M Ldt dt

1 1 1 2 1 1 21 1 1

1 2 2 2 1 2 22 2 2

( )( )

( )( )

di di di di di d i iu L M M M L M M

dt dt dt dt dt dtdi di di di d i i di

u M M M L M L Mdt dt dt dt dt dt

1i 2i

1u 2u2L M1L M

M


注意：图中互感 M 的正负取决于两耦合元件的连接，与流经它们的电流方向无关。当图 (a)中的公共端钮为同名端连接时，图 (b)中的 M 0 ；图 (a)中的公共端钮为异名端连接时，图 (b)中的 M 0

设： i1(0)=i2(0)=0 （ 2 ）线性耦合电感元件的形去耦等效电路

1i 2i

1u 2u

2i 1i

1u 2u

1i 2i

1u 2u2L1L

M 1i 2i

1u 2u2L M1L M

M

(a) (b)


1i 2i

1u 2u

2i 1i

1u 2u

图示端口电压电流关系为

1 11 1 12 20 0

2 21 1 22 20 0

t t

t t

i u dt u dt

i u dt u dt

1 11 12 1 12 1 2 11 1 12 20 0 0 0

2 21 2 1 22 21 2 21 1 22 20 0 0 0

( ) ( )

( ) ( )

t t t t

t t t t

i u dt u u dt u dt u dt

i u u dt u dt u dt u dt


注意：图中互倒电感 12=21 的正负取决于两耦合线圈的连接，与流经它们的电流方向无关。当图 (a)中的公共端钮为同名端连接时，图 (b)中的 1221 0 ；图 (a)中的公共端钮为异名端连接时，图 (b)中的 1221 0 。

1i 2i

1u 2u

2i 1i

1u 2u

(a) (b)

T 形和形去耦等效电路的局限性在于两个耦合电感元件必须有公共端钮。


二、非线性耦合电感元件

当两个耦合电感元件的磁路中含有某种铁磁物质时，耦合电感元件的磁通和流经的电流之间为非线性关系。

根据电磁感应定律可得：

1 1 1 1 21

1 2

d f di f diu

dt i dt i dt

2 2 1 2 22

1 2

d f di f diu

dt i dt i dt


三、耦合电感元件的能量

1. 瞬时功率 Tp u i

若耦合电感的电流和电压取一致参考方向，当 p>0 时，耦合电感吸收功率；当 p<0 时，耦合电感发出功率。在 [t0， t] 内，耦合电感元件吸收的能量为

0 0

T0( )

t t

t tw t t pdt dt ， u i

T1 1 2 2p u i u i u i

设： i1(0)、 i2(0)都为零

1 1 2 20 0( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]

t tw p d u i u i d


1 1 2 2

1 2 1 21 1 1 2 2 20

1 1 1 1 2 2 2 20 0 0

2 21 1 1 2 2 2

[ ( ) ]

( )

1( 2 )

2

t

i i i i

di di di diw L i M i i L i d

d d d d

L i di Md i i L i di

L i Mi i L i

可得时刻 t 线性耦合电感元件所储存的能量为


5.2 动态电路方程

电路中除电阻元件外，还包含有电容和电感等动态元件，这样的电路称为动态电路。由于动态元件的电压电流关系都是导数关系或积分关系，所以描述动态电路输入输出关系的方程通常为微分方程。

如果电路的输入 - 输出方程是一阶微分方程，则称该电路为一阶电路 (first order circuit)。如果输入 - 输出方程是 n 阶微分方程，则相应的电路称为 n阶电路 (nth order circuit)。据此，图 5.2.1所示电路为一阶电路，而图 5.2.2所示电路则为二阶电路 (second order circuit)。


5.3 动态电路的初始状态和变量初始值

换路 (commutation)：在动态电路中，将开关的接通和断开，线路的短接或开断，元件参数值的改变等，引起电路工作状态变动的情况。

设 t=t0- 表示换路前的瞬间，用 t=t0+ 表示换路后的瞬间

t=t0- 时的值，称为原始值，在 t=t0+ 时的值，称为初始值动态电路在 t=t0+ 时各独立电容电压 uC(t0+)[ 或电荷 q(t0+)]和各独立电感电流 iL(t0+)[ 或磁通 (t0+)] 等初始值的集合称为电路的初始状态 (initial state)。


在 t=t0- 时各独立电容电压 uC(t0-)[或电荷q(t0-)]和各独立电感电流 iL(t0-)[ 或磁通 (t0-)] 等原始值的集合称为电路的原始状态 (original state) 在 t=t0- 时，各独立电容电压和独立电感电流都为零，则称为零原始状态 (zero original state)，简称零状态 (zero state)

换路定律 (commutation law) 取 t0=0，即电路在 t=0时发生换路，当电容电流、电感电压为有限值时，则电容电压 uC 、电感电流 iL 具有连续性，即

(0 ) (0 )C Cu u (0 ) (0 )L Li i


初始值的确定： uC、 iL 的初始值可根据换路前 t=t0- 时的电路和换路定律求得。其他电路变量（如电容电流、电感电压、电阻电流和电压等）初始值，可根据换路后t=t0+ 时的电路，由 uC、 iL 的初始值，基尔霍夫定律，元件电压电流关系，以及置换定理等来求得。例 5.3.1：图 (a)所示电路在开关 S 闭合前已稳定，已知 US=12V， R1=4k， R2=2k，试求开关闭合后的电容电压初始值 uC(0+) ，及支路电流初始值iC(0+)、 i1(0+)、 i2(0+)

CSU1R S( 0)t

2RCu

1i 2iCi

(a)


解：换路前电路已处在稳定状态，直流电压源输入时电容等效为开路，可得

CSU1R

(0 )Cu

t=0- 时

SU1R

(0 )Cu

1(0 )i 2 (0 )i (0 )Ci

2RC

t=0+ 时

1 31

(0 ) 12 12(0 ) A=0A

4 10S CU u

iR

(0 ) 12VC Su U （ 1 ）根据换路定律

(0 ) (0 ) 12VC Cu u （ 2 ）

用 uC(0+)=12V 电压源置换电容元件，得到 t=0+ 的线性电阻电路，可得

画出 t=0+ 时的电路（ 3 ）


SU1R

(0 )Cu

1(0 )i 2 (0 )i (0 )Ci

2RC

32 3

2

(0 ) 12(0 ) A=6 10 A

2 10CuiR

3

1 2 +(0 ) (0 ) (0 )= 6 10 ACi i i

例 5.3.2：图 (b)所示电路在开关断开前已稳定，已知R1=1， R2=2， L=1H， C=0.2F， US=6V ，试求开关断开后电容电压初始值 uC(0+) ，电感电流初始值 iL(0+) ，以及它们一阶导数的初始值。

1R

C

2R

Li( 0)t

L

Ci

LuCu

SU

S

(b)

解：换路前电路已处在直流稳定状态，直流电压源输入时，电容等效为开路，电感等效为短路。


1R 2R

(0 )Li (0 )Cu SU

L

t=0- 时的电路

2

1 2

(0 ) 4VC S

Ru U

R R

1 2

(0 ) 2ASL

Ui

R R

2

1 2

(0 ) (0 ) 4VC C S

Ru u U

R R

根据换路定律

1 2

(0 ) (0 ) 2ASL L

Ui i

R R

用电压为 uC(0+) 的电压源置换电容元件，用电流为 iL(0+) 的电流源置换电感元件，得到 t=0+ 时的电路

2R

(0 )Li

(0 )Cu

Ci2Ru

Lu

t=0+ 时的电路


1 2

(0 ) (0 ) 2ASC L

Ui i

R R

2R

(0 )Li

(0 )Cu

Ci2Ru

Lu

可得：

22 2

1 2

(0 ) (0 ) 4VR L S

Ru R i U

R R

根据 KVL有 2(0 ) (0 ) (0 ) 0VL C Ru u u

解得0 1 2

(0 )10

( )C C S

t

du i U

dt C C R R

0

(0 )0L L

t

di u

dt L


5.4 一阶动态电路的零输入响应电路中除电阻以外，只含有一个独立储能元件的电路，就是一阶电路。

C RCu0SU U

S( 0)t i

C RCu Ru0(0 )Cu U

(a) t 0- 时的电路 (b) t 0+ 时的电路

对一个动态电路，仅由电路的原始状态引起的响应（此时电路的输入为零），称为电路的零输入响应 (zero-input response)。


5.4.1 一阶 RC电路的零输入响应（ 1 ）根据换路后的电路，建立电路方程

i

C RCu Ru0(0 )Cu U 根据 KVL有

0R C Cu u Ri u

0CC

duRC u

dt 一阶常系数线性齐次微分方程

方程的通解为 stCu Ke

特征方程为 1 0RCs 特征根为 1

sRC


由初始条件确定积分常数将 t=0+ ，初始值 uC(0+)=U0 代入通解

0K U

零输入响应电容电压为 /

0 0 ( 0)st t RCCu U e U e t

零输入响应回路电流为

/0( ) ( )t RCCu Ui e t

R R 或

/ /00( ) ( ) ( )t RC t RCCdu Ud

i C C U e e tdt dt R


i0U

R

00.368U

R 2 3 tO

Cu

0U

00.368U

2 3 tO

回路电流 i 在电容开始放电瞬间有一个正向跳变，从 i(0-)=0 跳变到 i(0+)=U0/R 。回路电流按同样的指数规律下降，直至放电结束。

从上面分析可看出： RC 电路的零输入响应都是随时间衰减的指数函数。在电路放电过程中，电容电压 uC

从初始值 U0开始，随时间按指数规律下降而趋于零。


时间常数 (time constant)

RC 具有时间量纲（欧·法 = 欧·库 / 伏 = 欧·安·秒 / 伏 = 秒）

在初始值 U0 已确定的情况下，电容 C越大，电容中储存的电荷越多，放电所需要的时间也越长；电阻 R越大，放电电流越小，放电所需要的时间也越长。

反映衰减过程的快慢

/ 10 0 0( ) 0.368RC

Cu U e U e U

表明时间常数 τ是电容电压 uC衰减到初始值36.8％所需的时间。


t τ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τuC(t)/ uC(0) 36.8% 13.5% 4.98% 1.83% 0.674% 0.248%

由表可以看出， RC放电电路 , 从 t=0时开始，经过 4τ～ 5τ时间后， uC 已衰减到初始值的 1.83%～0.674%，工程技术上认为放电过程已基本结束。

Cu

0U

tO

0

t

Cu U e

1t 2t

p

如果在任意时刻t=t1， uC(t1) 位于电容电压波形的 p 点 , 则电容电压 uC 在该点的变化率为

1

11

// 0 10

( )( ) ttC C

t tt t

du U u tdU e e

dt dt

时间常数的几何意义：


Cu

0U

tO

0

t

Cu U e

1t 2t

p

1

1( )C

C

t t

u tdu

dt

上式表明，时间常数 τ等于电容电压 uC 波形上任一点的次切距。因此在已知响应波形的情况下，可以用图解方法来求取电路的时间常数。也即可通过实验来测定。

固有频率 (natural frequency) ：有 s 1/RC 1/τ ，具有频率的量纲，以弧度每秒来度量，他仅取决于电路的结构和参数，体现了电路本身固有的性质，因此称为固有频率。对同一个一阶电路，电路中所有的响应具有相同的固有频率称 s 为 RC 电路的固有频率。


从能量的角度看，在整个放电过程中，电阻元件所消耗的能量为：

22 22000 0

1

2

tC RCu U

w dt e dt CUR R

可看出它等于电容元件在 t=0时储存的电场能量

例 5.4.1 ：高压设备检修时，一个 40μF 的电容器从高压电网上切除，切除瞬间电容两端的电压为 4.5kV 。切除后，电容经本身的漏电电阻 RS放电。现测得 RS＝175MΩ ，试求电容电压下降到 1kV 所需要的时间。


i

Su CuS

C SR

解：设在 t＝ 0 时电容器从高压电网上切除，电容经 RS放电的等效电路如图所示，可得：

6 6175 10 40 10 7000sSR C

3 /4.5 10 tCu e

当 uC下降到 1000V，则有 1 /31000 4.5 10 te

1 1.5 7000 10500st 从计算结果可知，电容器与电源虽然已断开将近 3个小时，但还保持高达 1000V的电压。这样高的电压足以造成人身安全事故。因此，在检修具有大电容设备时，事先必须经过充分放电。


5.4.2 一阶 RL电路的零输入响应i 1R

Ri

0Su U R

S( )0t

Li

L u 0(0 )Li I Li Ri

RuL

(a)t 0- 时 (b)t 0+ 时换路后电路中的响应就是一阶 RL电路的零输入响应。根据 KVL和电感、电阻元件的电压电流关系有电路的微分方程

0LL

diL Ridt

特征方程为 0Ls R


特征根为 Rs

L

微分方程的通解为 ( / )st R L tLi Ke Ke

根据初始条件 iL (0+) = I0

( / )0 ( 0)R L t

Li I e t

( / )0[ ] ( )R L tL

L

diu u L RI e t

dt

0RI

00.368RI

Li0I

00.368I

2 3 tO

u

Lu i,

同样，电路中电感电流（或电压）变量都是以同样的指数规律变化的，且完全取决于电感电流（或电压）的初始值和固有频率 sR/L 。


若令 L/R ，则 ( / ) /

0 0 ( 0)R L t tLi I e I e t

L/R 具有时间的量，纲增大（即增大 L 、或减小R ），电流 iL衰减减慢；反之，衰减加快。

2 2 (2 / ) 20 00 0 0

1

2R L t

Lw pdt Ri dt RI e dt LI

从能量的角度看， iL 流经电阻 R 的整个过程中消耗的能量为：

可看出它等于电感元件在 t=0时储存的磁场能量


例 5.4.2：设图所示电路中，开关 S 在 t=0 时打开，开关打开前电路在直流电压源 US作用下已稳定。若已知US=220V， L=0.1H， R1=50k， R2=5，试求开关打开瞬间其两端的电压 uK(0+) 以及 R1 上的电压 uR1 。

1Ru2R

S

L

i

Ku

SU1R

解： 2

)0()0(R

Uii s

由换路后的电路可得微分方程：

1 2( ) 0di

L R R idt

1 2

2 2

( 0)R R t

tS SL

U Ui e e t

R R


电阻 R1 上的电压

/11 1

2

( 0 )tR S

Ru R i U e t

R

56 5 101 2.2 10 V ( 0 )tRu e t

开关 S 两端的电压 /1K 1

2

(1 ) ( )tS R S

Ru U u U e t

R

t=0+ 时，开关两端的电压为 61K

2

(0 ) (1 ) 2.2 10 VS

Ru U

R

可看出，开关 S 在打开的瞬间，其两端电压会高出电源电压约 R1/R2 倍，开关会承受一个很高的冲击电压，会引起强烈的电弧。


5.5 一阶动态电路的零状态响应

RS i

Su CuCab

Ru

R i

Su CuCRu

动态电路在原始状态为零的情况下，仅由独立电源作为输入激励引起的响应，称零状态响应 (zero-state response)。

(a)t 0- 时 (b)t 0+ 时一阶 RC 电路在直流电压源激励下的零状态响应

5.5.1 一阶电路在直流电源激励下的零状态响应


R i

Su CuCRu

R C Su u u

根据换路后的电路可得：

CC S

duRC u u

dt 一阶常系数线性非齐次微分方程

微分方程的通解为 C Ch Cpu u u uCh—— 为电路方程对应的齐次微分方程的通解

uCp ——为非齐次微分方程的特解

/st t RCChu Ke Ke

齐次微分方程的通解与零输入相同


非齐次微分方程的特解 uCp 应满足电路方程，即

Uudt

duRC cp

cp

Uucp

通常特解的形式与输入激励的形式有关。

Uus

( )Cp Cu u U

通解为： /t RCC Ch Cpu u u Ke U

根据初始值，确定积分常数0 /(0 ) 0RC

Cu Ke U K U

K U


零状态响应电容电压为 / /(1 ) ( )t RC t RC

Cu Ue U U e t

/ ( )t RCR S Cu u u Ue t

/ ( )t RCRu Ui e t

R R

或：

)(

)()1()(

/

//

teR

U

teCUteR

Udt

duCii

RCt

RCtRCt

CC

i

U

RitO

CuU

0.632U

0.368UU

Cpu

Cu

Chu tO

稳态分量

暂态分量


CuU

0.632U

0.368UU

Cpu

Cu

Chu tO

iU

RitO

稳态分量

暂态分量

波形表明，齐次解在换路后经过 4τ～ 5τ时间，可以认为已衰减结束，所以称为暂态（或瞬态）分量(transient component)。

暂态分量的初始值及其以后的任何瞬时值，是和输入电源有关的。但在随时间变化的规律上讲，齐次解只取决于时间常数 τ，而时间常数仅由电路结构和元件参数决定，与输入电源无关，因此也称其为自由分量。


特解是电路趋于稳定状态后的响应，称为稳态分量(steady state component)；或认为是输入电源强迫其电压达到规定值，所以也称为强制分量(forced component)。零状态响应 uC 的瞬时值取决于电路的输入，即电压源电压 U 和电路的时间常数 τ。一旦电路已经确定，对于任意时刻 tt0 ，为常数，瞬时值 uC(t0)仅取决于输入电压 U ，且满足齐次性和可加性。这一性质对任意线性电路都是成立的，即线性电路的零状态响应是输入的线性函数。

0 /(1 )te


从能量的角度看，电容电压其储能为

2 21 1

2 2C C Sw Cu Cu

在充电过程中电阻消耗的总能量为2 22 2

2 2

0 00

1( )

2 2

t tS SRC RC

R S

u u RCw Ri dt e dt e Cu

R R

在充电过程中电阻消耗的总能量与电容最后所存储的能量是相等的。

电压源在充电过程中提供的总能量为 2CUwww RC


例 5.5.1 ：在图示的电路中，开关 S 一直闭合在位置 a 上。一旦电路达到稳态，开关立即闭合到位置 b ，假设开关闭合到位置 b 的时间发生在 t=0，试求零状态响应 i和 uL 。

2RSi

Su U

1R

aLu L

b解 : 图示电路为具有直流电压输入的 RL 电路，所求为零状态响应。

根据换路定律可得初始值 i(0+)= i(0-)=0

根据基尔霍夫定律，得电路方程

1 2( )di

L R R i Udt


2RSi

Su U

1R

aLu L

b

1 2( )di

L R R i Udt

特征方程 1 2( ) 0Ls R R

特征根 1 2R Rs

L

方程的通解 h pi i i

稳态分量（方程特解） 1 2

p

Ui

R R

暂态分量（方程齐次解）为 1 2R Rt

Lhi Ke


1 2

1 2

R Rt

Lp h

Ui i i Ke

R R

1 2

UK

R R

根据初始值 i(0+)= i(0-)=0 可得

1 2

1 2

(1 ) ( )R R

tL

Ui e t

R R

1 2 1 2 1 20

1 2

( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) ( )R R R R R R

t tL L L

L

di U Uu L L e t e t Ue t

dt L R R


5.5.2 一阶电路在正弦电源激励下的零状态响应设正弦电流源为

RS

Ri

Cu( )0t

CSi Ci

cos( )S mi I t

换路后以电容电压 uC 为响应的电路方程为

1cos( )C

C m

duC u I t

dt R

C Ch Cpu u u 方程的通解

在正弦信号作用下的的稳态分量 uCp 是一个与输入具有相同频率的正弦量。


其一般表达式为 cos( )Cp mu U t

sin( ) cos( ) cos( )mm m

UCU t t I t

R

式中 Um 和都是待定常数

将上式代入电路方程得

2 2( ) (1/ )m

m

IU

C R

arctan RC


暂态分量 uCh st

Chu Ke

/ cos( )t RCC mu Ke U t

根据 uC(0+)= uC(0-)=0 可得

(0 ) cos 0C mu K U

cosmK U

正弦响应电容电压为

/[( cos ) cos( )] ( )t RCC m mu U e U t t


/[( cos ) cos( )] ( )t RCC m mu U e U t t

上式表明，暂态分量的初值 uCh(0+)Umcos与稳态分量的初值 uCp(0+)Umcos大小相等，方向相反。由于稳态分量的初值又与输入电源的初相位有关，即与电源接入时间有关，所以稳态分量、暂态分量的初值都将随电源输入初相位的不同而不同。（ 1 ）如果换路时 90，则电源接入瞬间，电容电压稳态分量的值为零，暂态分量的值也为零。这时电容电压响应中没有暂态分量，也就没有过渡过程。（ 2 ）如果换路时 0，则

/ cost RCC m mu U e U t


如果电路的 =RC远大于输入信号的周期，则从换路起，经过半个周期左右的时间电容电压为

/ cost RCC m mu U e U t

( ) cos180 2C m m mu U U U

O

Cu

Cpu

Chu

Cu

t

mU

mU

=180时

即：当电容电压的稳态分量经过极大值时换路，而电路的时间常数又大，则换路后电容电压的最大瞬时绝对值接近于稳态电压振幅的 2 倍。


5.5.3 一阶电路的阶跃响应电路在单位阶跃电源激励下的零状态响应称为单位阶跃响应 (step response)。单位阶跃响应常用符号 s(t)表示

( )Si t Ci Ri

C RCu

根据图示电路可得电路方程为

1CC S

duC u i

dt R

根据 uC(0+)= uC(0-)=0

11C

C

duC u

dt R

11C

C

duC u

dt R

单位阶跃响应 uC 为 /( ) (1 ) ( )t RCCs t u R e t


/( ) ( )t RCC Ri t i e t

/(1 ) ( )t RCCR

ui e t

R

Cu

Si Cu C Ri i,

1Ri

Ci

tO

R

tO

1

tO

(a)单位阶跃波形 (b)电容电压波形 (c)电容、电阻电流波形

如果 iS (tt0) ，在线性非时变电路中，激励延迟 t0 ，响应也延迟 t0 。此时对延迟单位阶跃 (tt0) 的电容电压响应为


0( ) /0(1 ) ( )t t RC

Cu R e t t

电容电流、电阻电流分别为

0( ) /0(1 ) ( )t t RC

Ri e t t

0( ) /0( )t t RC

Ci e t t

Cu1

RiCi

tO

R

tO

1

tO

0( )Si t t 0( )Cu t t 0 0( ) ( )C Ri t t i t t ,

0t0t0t

电路的这种性质称为线性非时变电路的非时变特性，也称为延迟特性。


例 5.5.2 ：在图 (a)所示 RL 电路中，电压源输出为如图 (b)所示的脉冲电压，开关 S 在 t=0时由位置a 闭合到位置 b ，试求零状态响应 i 。

RSi

Su U Lu L

ab

(V)SuU

O 0t (s)t

解：图 (b)所示脉冲电压可表示为

0[ ( ) ( )]Su U t t t (a)

(b)

单位阶跃响应回路电流为 ( / )1

( ) ( ) (1 ) ( )R L ts t i t e tR

延迟单位阶跃 (tt0) 响应回路电流为

0( / )( )0 0 0

1( ) ( ) (1 ) ( )R L t ts t t i t t e t t

R


0t (s)tO

(A)i

0( )i t 根据线性非时变电路的齐次性、可加性和非时变特性，可得

0( )

0 0[ ( ) ( )] (1 ) ( ) (1 ) ( )R Rt t t

L LU U

i U s t s t t e t e t tR R

例 5.5.3：在图 (a)所示电路中， R=2， L1=1H，L2=5H，M=2H， uS=10(t)V ，试求阶跃响应i0、 u0、 i1 和 i2 。 R

Su 0u1L 2L

M 2i1i0i

(a)

解：根据题意有 i0(0+)i0(0-)0

等效电感 21 2

1 2

0.5H2eq

L L ML

L L M


SueqL 0u

0iRR

Su 0u1L 2L

M 2i1i0i

由图 (b)可得电路方程为 (a) (b)

00eq S

diL Ri u

dt 0

0

12 10

2

dii

dt

40

thi Ke齐次解为

0 5Sp

ui

R 特解为

根据 i0(0+)i0(0-)0 可得 K=5

40 5(1 ) ( )Ati e t


40 0 10 ( )Vt

Su u Ri e t 根据 KVL可得

由图 (a)所示电路有 1 2 1 21 2

di di di diL M M Ldt dt dt dt

1 23di di

dt dt

根据 KCL， i0= i1+i2 ，则有 0 1 2di di di

dt dt dt

4 220 2t die

dt

由于 i2(0)=0 ，有 4 42 0

10 2.5(1 ) (t)At t ti e dt e

41 0 2 7.5(1 ) (t)Ati i i e


5.5.4 一阶电路的冲激响应电路在单位冲激电源激励下的零状态响应称为单位冲激响应(impulse response)。单位冲激响应常用符号 h(t) 表示。一、 RC 并联电路的冲激响应

( )Si t Ci Ri

C RCu

单位冲激响应 uC 的电路方程为

1CC S

duC u i

dt R

由于在 t 0+ 时冲激函数 δ(t)恒等于零，所以可把冲激响应理解为是起始于 t=0+ 的零输入响应，而引起这个零输入响应的是 t=0瞬间的冲激 δ(t)在 t=0+ 时建立的电路的初始状态 uC(0+) 。


对电路方程的两边从 t= 0-到 t=0+进行积分

0 0 0

0 0 0

1( )C

C

duC dt u dt t dt

dt R

0

0

1(0 ) (0 ) 1C C CCu Cu u dt

R

1CC S

duC u i

dt R

求 uC(0+):

1(0 )Cu C


当 t ≥0+ 时，单位冲激 (t)=0 ，电路成为由电容初始值uC(0+)=1/C引起的零输入响应。此时的电路方程为

10C

C

duC u

dt R

方程的解为 /1( ) ( )t RC

Ch t u e tC

/1( )t RCC

R

ui e t

R RC /1

( ) ( )t RCCC

dui C t e t

dt RC

/1( )t RCe t

RC

1

RC

1Ci

tO

1

C/1

( )t RCe tC

Cu

tO


二、 RL串联电路的冲激响应

R

Lu L Su t

Ru

Li单位冲激响应 iL 的电路方程为

( )LL

diL Ri tdt

求 iL(0+) 0 0 0

0 0 0( )L

L

diL dt Ri dt t dtdt

1(0 )Li L

( / )1( ) ( )R L t

Lh t i e tL

( / )( ) ( )R L tLL

di Ru L t e t

dt L

1

L1

( )Rt

Le tL

Li

( )Rt

LRe t

L

R

L

1Lu

tO

tO


三、冲激响应与阶跃响应的关系由第一章式 (1.4.24)、 (1.4.25)可知，冲激函数是阶跃函数的导数，阶跃函数是冲激函数的积分

一个线性电路的冲激响应与阶跃响应之间也存在类似的关系

( )( )

ds th t

dt ( ) ( )

ts t h d

或

所以在已知电路阶跃响应的情况下，可对其求导来获得冲激响应；在已知电路冲激响应的情况下，可对其积分来求得阶跃响应。

证明见教材

“ 十一五”国家级规划教材—电路基础例 5.5.4 在图 (a)电路中， uC(0-)=0， C=2F， R=1，电流源波形如图 (b)所示，试求 uC 。

(0 ) 0Cu

Si

C RCu

(a)

Si5

1

2

3 tO4

(b)

解 :RC并联电路单位冲激响应为

/1( ) ( )t RCh t e t

C

根据线性非时变电路的齐次性、可加性和非时变特性，响应 uC 为

25 45 ( ) 4 ( 2) ( ) ( 2)

t t

RC RCCu h t h t e t e t

C C


Cu2.5

1 23

tO1.08

0.92

25 45 ( ) 4 ( 2) ( ) ( 2)

t t

RC RCCu h t h t e t e t

C C

代入已知参数，并分段表示为

/ 20 2 2.5 tCt u e

2/)2(

2/)2(1

2/)2(2/

08.1

)25.2(

25.2)(2

t

t

ttC

e

ee

eetut

“ 十一五”国家级规划教材—电路基础5.5.5 对任意输入的零状态响应（卷积积分）线性非时变电路对输入为任意波形 f(t) 的零状态响应，总可借助于电路的冲激响应 h(t) ，采用卷积积分的方法求取。

( )f t

(0)f ( )f k

2 k n

( )f t

( )af t

tO

1

0

( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

a

n

k

f t f t f p t f p t

f k p t k f k p t k

于是对于每一个脉冲输入 p(tk) ，都可求得相应的零状态响应 h(tk) 应用线性非时变电路的齐次性、可加性和非时变特性，可以得到脉冲序列 fa(t)作用于电路的零状态响应ya (t) 为

“ 十一五”国家级规划教材—电路基础1

0

( ) ( ) ( )n

ak

y t f k h t k

)()()()()0 tytytftfn aa 时，（即当

0( ) ( ) ( )

ty t f h t d

这个积分称为卷积积分 (convolution integral)，简称卷积 (convolution)

卷积积分可简写成 ( ) ( )* ( )y t f t h t

0( ) ( ) ( ) ( ) ( )* ( )

ty t h f t d h t f t

卷积积分满足交换律


例 5.5.5 ：在图 (a)电路中， R=5， L=1H ，电流源 iS 波形如图 (b)所示，试用卷积求零状态响应iL 。

(A)Si

0I

O 1 (s)t

LiSi

LRu

(a)

(b)

解：先求出单位冲激响应电感电流 h(t)

( / ) 5( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )R L t tLs t i e t e t

单位阶跃响应电感电流 s(t) 为

5 5 5( )( ) (1 ) ( ) 5 ( ) 5 ( )t t tds th t e t e t e t

dt

（ 1 ） 0 t 1 时， iS=I0t ，

5( ) 50 00 0

( ) ( ) 5 ( 0.2 0.2 )At t t t

L Si i h t d I e d I t e

5 5 5( )( ) (1 ) ( ) 5 ( ) 5 ( )t t tds th t e t e t e t

dt


1 (s)tO

(A)Li

（ 2 ）当 t 1 时， iS=0 ， 1

0 0 1

1 15( ) 5 5 5 5( 1)0 0 00 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

5 0 5 (0.8 0.2 ) A

t t

L S S S

t t t

i i h t d i h t d i h t d

I e d I e e d I e e

零状态响应 iL 的波形如图所示

卷积积分实质上是求函数 f()h(t) 在由 0到 t 的定积分，只不过被积函数还与积分上限有关。因此卷积积分可以用图解方法来计算线性非时变电路的零状态响应。


例 5.5.6：某线性非时变电路在 t=0时刻接入的输入波形 iS 如图 (a)所示，电路的冲激响应 h(t) 如图(b)所示，试求零状态响应 y(t) 。

( )Si

1

O 1 2

( )h 2

O 1

2

( )h

1 O 1t

1( )h t 2

O 1 2

( )Si

11 t

1( ) ( )Si h t

1

(a) (b) (c) (d)( )y t

O

2

1t 2t 3t t1 2 3

2( )h t

( )Si 1

O 2 2t

2

21t

2( ) ( )Si h t 3( )h t

( )Si 1

O 1

3t

2

231t

3( ) ( )Si h t

(e) (f) (g)


5.6 一阶动态电路的全响应动态电路在非零原始状态的情况下，由输入激励和原始状态共同引起的响应，称为全响应 (complete response)。5.6.1 一阶电路在阶跃电源激励下的全响应

( )S Si I t

0(0 )

Cu U

Ci Ri

C RCu

假定电路原始状态 uC(0-)=U0

RC 并联电路的方程为 1C

C S

duC u I

dt R

以下将重点讨论全响应与零输入响应和零状态响应的关系

“ 十一五”国家级规划教材—电路基础（ 1 ）当 iS=0 时，仅由电路原始状态 uC(0-)=U0引起的响应是零输入响应 uCzi ，其对应的电路方程为

10Czi

Czi

duC u

dt R

（ 2 ）当 uC(0-)=0 ，仅由阶跃电流源 iS引起的响应是零状态响应 uCzs ，其对应的电路方程为

1CzsCzs S

duC u I

dt R

( ) 1( )Czi Czs

Czi Czs S

d u uC u u I

dt R

相加，则有


根据微分方程解的唯一性充分条件，比较下面两方程

( ) 1( )Czi Czs

Czi Czs S

d u uC u u I

dt R

1CC S

duC u I

dt R

可得： C Czi Czsu u u

全响应 = 零输入响应 + 零状态响应

上述结论对所有线性动态电路都是成立的。


( )S Si I t

0(0 )

Cu U

Ci Ri

C RCu

/ /0 (1 ) ( 0)t RC t RC

C Czi Czs Su u u U e RI e t

/0

t RCCziu U e零输入响应为：

/(1 )t RCCzs Su RI e

零状态响应为：

所以，全响应 uC 为：

Cu0U

SRICu

tOCziuCzsu

全响应波形的分解


全响应与输入激励和初始值之间的关系都不满足齐次性和可加性。因此，一阶线性电路的全响应既不是输入的线性函数，也不是初始值的线性函数。

全响应也可分解为： /

0( ) t RCC Ch Cp S Su u u U RI e RI

即一阶常系数线性非齐次微分方程的通解 uC ，也可以表示为齐次解 uCh 和特解 uCp 的合成。

全响应 = 自由响应 + 强制响应

全响应 = 暂态响应 + 稳态响应0 SU RI Cpu

Chu

Cu0U

SRICu

tO全响应波形的合成


5.6.2 一阶电路的经典方法动态电路响应的求取，可以通过列写电路微分方程并计算齐次解（暂态响应）和特解（稳态响应）的方法得到，这种方法称经典方法 (classical method) 例 5.6.1：在图示电路中， uS1=40V， uS2=180V， R1=10， R2=30， R3=400k， R4=400k， C=0.5F， t=0 时开关 S 换路，换路前电路已稳定。试求 uC和 iC 。

2SuCi

C

2R

Cu

3R 1R

1Su4R 4i

3i S( 0)t 解：根据换路前电路有 uC(0-) 30V

uC(0+)uC(0-)30 V


2SuCi

C

2R

Cu

3R 1R

1Su4R 4i

3i S( 0)t 换路后电路，根据 KVL有

3 3 2C SR i u u

根据 KCL有3 4 2( )C C SR i i u u

33 2

4

( 1)CC S

du RR C u u

dt R

0.2 2 180VCC

duu

dt

由特征方程 0.2s+20 ，求得特征根 s 10


uC 的暂态分量为 10tCtu Ke

uC 的稳态分量为 90VCsu

1090 120 V ( 0)tC Ct Csu u u e t

10600 ( )μAtCC

dui C e t

dt


例 5.6.2 如图 (a)所示电路，称为积分电路。已知输入电压 ui 的波形如图 (b)所示，且 uC(0-)=0V ，试求输出电压 uo 的波形。

Ci

iu

CRRi

ou

Cu

(a)

解：对图 (a)电路，根据运放的“虚短”和“虚断”的概念，有

iR C o C

ui i u u

R ，

1 t

C Cu i dtC

又由电容的电压电流关系

已知： uC(0+)=uC(0-)=0V

o i0 0

1 1 1 (0 )

t t t

C C Cu i dt u i dt u dtC C RC


即输出电压为输入电压的积分，故称为积分电路

OA

A

4T3T2TT

iu

t

(b)

o i0 0

1 1 1 (0 )

t t t

C C Cu i dt u i dt u dtC C RC

（ 1 ）当 0+≤t≤T 时 o A

u tRC

（ 2 ）当 T< t≤2T 时

o i o

1 ( ) ( )

t

T

Au u dt u T T t

RC RC

依此类推，可得出输出电压 uo

的波形如图 (c)所示

OAT

RC

4T3T

2TT t

ou

(c)


例 5.6.3 ：如图 (a)所示电路，称为微分电路。已知输入电压 ui 的波形如图 (b)所示，为正弦波形，试求输出电压 uo 的波形。

Ci

iuC

RRi

ou

Cu

(a)

解：对图 (a)电路，根据运放的“虚短”和“虚断”的概念，有

o iC R R Ci i u u u u ，，

又由电容的电压电流关系 CC

dui C

dt

C io R

du duu Ri RC RC

dt dt

O

A

32

iu

t

(b)即输出电压为输入电压的微分，故称为微分电路


O

A

32

iu

t

(b)

已知： ui=Asint

cosou A t

其波形如图 (c)所示。 ou

O

A

32 t

(c)

例 5.6.2和例 5.6.3介绍的积分电路和微分电路在自动控制系统中常用作调节环节，它们还广泛应用于波形的产生和变换以及仪器仪表之中。


5.6.3 一阶电路的三要素法三要素法是跳过建立电路微分方程，直接由给定的一阶电路求三个要素，并列写出响应的数学表达式。经典方法表明，任意一个一阶电路的全响应 y 总可表示成暂态响应 yt 与稳态响应 ys 之和，即

t sy y y

暂态响应的形式总是 /tty Ke

根据初始条件可得 (0 ) (0 )sK y y

/[ (0 ) (0 )] tt sy y y e

稳态响应 ys 与激励具有相同的形式


/[ (0 ) (0 )] ts sy y y e y

t sy y y 由

只要求得 y(0+)、 ys(t) [ys(0+)是 t＝ 0+时 ys(t) 的值 ] 和三个量即可得到全响应 y ，这三个量称为确定响应 y 的三要素。

三要素中是电路的时间常数，为 =RC 或者 =L/R ，其中 R 为从电容或电感元件两端看进去的等效电阻

当为直流或阶跃电源输入时，响应的稳态解是常量

有 ( ) (0 ) ( )s sy t y y /( ) [ (0 ) ( )] ( )ty t y y e y


例 5.6.4 ：在图 (a)所示电路中，电压源US=100V， R1=R2=30， R3=20， L=1H 。开关 S在 t=0时闭合，闭合前电路处于稳定状态。试用三要素法求电路中的电流 i1、 i2和 i3 。

解：由图 (b)，求得 31 3

(0 ) (0 ) 2ASL

Ui i

R R

3(0 ) (0 ) (0 ) 2AL Li i i

由图 (C)，得 3

1 2 1 2 3

(0 ) 2

( ) (0 ) (0 ) S

i

R R i R i U

1i

2i

3i1R

2R

3R

LSU

S( 0)t

3(0 )i

3R

1R

SU

1(0 )i

1(0 )i 3(0 )i

3(0 )i

1R

2R

3R

SU

(a) (b)t=0- (c)t=0+


3

1 2 1 2 3

(0 ) 2

( ) (0 ) (0 ) S

i

R R i R i U

i1(0+)=2.67A

1( )i

2 ( )i

3( )i 2R3R

SU

1R 3R

1 2//R R R L

eqR

(d) t=∞ (e)等效电阻电路

由图 (d)，可求得 11 2 3

( ) 2.38A( // )

SUiR R R

根据分流关系，有 23 1

2 3

( ) ( ) 1.43AR

i iR R

由图 (e)，求时间常数。 3 1 2

1s

( // ) 35eq

L L

R R R R


根据三要素法可得电流 i1、 i3和 i2 分别为 / 35

1 1 1 1 +( ) [ (0 ) ( )] 2.38 0.29 A ( 0 )t ti i i i e e t

/ 353 3 3 3( ) [ (0 ) ( )] 1.43 0.57 A ( 0)t ti i i i e e t

352 1 3 (0.95 0.28 ) ( )Ati i i e t


例 5.6.5 在图所示运算放大器电路中，阶跃电压源uS=3(t)V， R1=10k， R2=20k， R3=20k， R4=50k， C=1F 。试求阶跃响应 uC和 uo 。

1u1R

4R

Su 2R

C

ou

Cu

3R

解：阶跃响应为零状态响应，有 uC(0-)=0

uC(0+)=uC(0-)=0

根据“虚断”，流经理想运算放大器的电流为零。

3 64 50 10 10 0.05sR C

运放反馈电路元件构成一个 R4C 电路，其时间常数

由于输入回路没有动态元件，有 1 1(0 ) ( ) 2Vu u


根据“虚短”，由 KVL可得

1u1R

4R

Su 2R

C

ou

Cu

3R1 C ou u u

由于 uC(0+)=0 ， u1(0+)=2V uo(0+)=2V 。

电路稳定后，电容等效为开路，运放电路为同相放大电路 4

13

50( ) (1 ) ( ) (1 ) 2 7V

20o

Ru u

R

1( ) ( ) ( ) 2 7 5VC ou u u 根据三要素法公式

20 20[0 ( 5)] 5 5(1 ) ( )Vt tCu e e t

20 20(2 7) 7 (7 5 ) ( )Vt tou e e t


例 5.6.6：在图示电路中， uS1=40V， uS2=Umcos(t+)=180cos(10t+75)V，R1=10， R2=30， R3=400k， R4=400k， C=0.5F， t=0 时开关 S 换路，换路前电路已稳定。试用三要素法求 uC和 iC

2SuCi

C

2R

Cu

3R 1R

1Su4R 4i

3i S( 0)t 解：由换路前电路，可得uC(0-)= 30V

(0 ) (0 ) 30VC Cu u

时间常数 3 43 4

3 4

( // ) 0.1sR R

R R C CR R

稳态响应 uCs 是与输入 uS2同频率正弦量，设为

cos( )Cs ms su U t

“ 十一五”国家级规划教材—电路基础稳态响应 uCs 必须满足电路方程，即

33

4

( 1) cos( )CsCs m

du RR C u U t

dt R

2 23 4 3 43

4 3 4

( ) ( ) cos( arctan ) cos( )ms s m

R R R RU R C t C U t

R R R

2 23 43

4

18063.64V

8( )

mms

UU

R RR C

R

3 4

3 4

arctan arctan1 75 45 30s

R RC

R R

(0 ) cos 55.1VCs ms su U / 10[ (0 ) (0 )] 63.64cos(10 30 ) 85.1 V ( 0)t t

C C s C C su u u u e t e t

“ 十一五”国家级规划教材—电路基础例 5.6.7 图 (a)所示电路，开关 S 在 t=0时闭合， S闭合前电路处于稳定状态。已知iS=10A， C1=0.3F， C2=0.2F， R1=(1/2)， R2=(1/3)，试求 t 0 时的 uC 和 iC1， iC2 。解：由换路前电路，可得

uC1(0-)=5V ， uC2 (0-)=0 V

所以 uC1(0-)≠uC2(0-)

换路后 uC1(0+)=uC2(0+) 由于换路，强迫电容电压发生有限跳变

S( 0)t Si

1C1Cu

1Ci

1R 2R 2C

2Ci

2Cu

(a)

Si

1C1Cu

1Ci

1R 2R 2C

2Ci

2Cu5 ( )t

(b)t 0+

由图 (b)有 uC2= uC15ε(t)


Si

1C1Cu

1Ci

1R 2R 2C

2Ci

2Cu5 ( )t

(b)t 0+

根据 KCL求得电路节点方程

1 1 1 11 2

1 2

5 ( ) 5 ( )10C C C Cu du u t u t

C CR dt R dt

0 01 1 1 1

1 20 01 2

5 ( ) 5 ( )[ ] 10C C C Cu du u t u t

C C dt dtR dt R dt

01 1

01 2

( ) 0C Cu udt

R R

1 1 1 2 1 1(0 ) (0 ) (0 ) (0 ) 5 ( 0 ) 5 ( 0 ) 0C C C CC u u C u u

uC1(0+)=uC2(0+)=3V 。

0

010 0dt


10AC

CuR

0.2 0.5F

Sit0+ 时的等效电路 (c) ，可求得

(c)

uC()=2V ， =RC=0.1S 。10(2 )V ( 0 )t

Cu e t 根据三要素法有

10

1 5 ( ) (2 ) ( )VtCu t e t

102 (2 ) ( )Vt

Cu e t

10 1011 1

10 1022 2

0.3 5 ( ) 3 ( ) 10 ( ) 0.6 ( ) 3 ( )A

0.2 3 ( ) 10 ( ) 0.6 ( ) 2 ( )A

t tCC

t tCC

dui C t t e t t e t

dtdu

i C t e t t e tdt


5.7 二阶动态电路的响应用二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。二阶电路一般含有两个独立储能元件。 RLC串联电路和 RLC并联电路是最简单的二阶电路。本节主要讨论 RLC电路的响应。5.7.1 二阶 RLC电路的零输入响应

C RCu0SU US( 0)t

LCi

Ri Li

C RCu0(0 )Cu U L

Ci Ri Li

(a) t 0- (b) t 0+由图 (a)可知 uC(0-)=U0 ， iL(0-)=0

换路后，根据换路定律有 uC(0+)= uC(0-)=U0

iL(0+)= iL(0-)=0


C RCu0(0 )Cu U L

Ci Ri Li

(b) t 0+

2

20L L

L

d i diLLC i

dt R dt

由换路后电路，可得方程为

为二阶常系数线性齐次微分方程

2 1 0L

LCs sR

特征方程

0

1 1

2RC LC ，令

21,2

1 1 1( )

2 2s

RC RC LC

21 0

22 0

s

s


根据和 0 的相对大小， s1和 s2 可以是两个不相等的负实根、两个相等的负实根、一对共轭复根和一对共轭虚根等四种情况。与此相对应， RLC并联电路的零输入响应有过阻尼 (overdamped)，临界阻尼(critically damped)，欠阻尼 (underdamped)和无阻尼 (non-damped)等四种情况。下面分别讨论这四种情况。

特征根 s1和 s2 是两个不相等的负实根

方程的通解为 1 21 2

s t s tLi K e K e

1.过阻尼情况 0 ，即电路参数满足 1

2

LR

C

其中 K1和 K2 为待定常数，由初始条件来确定。


初始条件为 iL(0+)=0 ， 0

0

L

t

Udi

dt L

1 2

01 1 2 2

0

(0 ) 0L

L

t

i K K

UdiK s K s

dt L

过阻尼情况下的零输入响应电感电流为

01

1 2

02

1 2

1

1

UK

s s L

UK

s s L

1 20

1 2

( ) 0)( )

s t s tL

Ui e e t

L s s

其它电路变量的零输入响应

1 201 2

1 2

( ) 0)s t s tLC L

Udiu u L s e s e t

dt s s


其它电路变量的零输入响应

1 201 2

1 2

( ) ( )( )

s t s tCR

u Ui s e s e t

R R s s

1 22 201 2

1 2

( ) ( )s t s tCC

du CUi C s e s e t

dt s s

Omt 2 mt t

0CP

0LP

0RP

0CP

0LP

0RP

0CP

0LP

0RP

0

0

P

P

一致参考方向下，

吸收功率，

发出功率。

2 mt

C L R Cu i i i, , ,

O mt t

Li

Ci

,R Ci u


下面分析零输入响应电容电压 uC 和电感电流 iL 波形的变化规律。

（ 2 ）设在 t=tm 时， uC 为零值， iL 达最大值。

（ 1 ）在 t=0+ 时， uC(0+)=U0和 iL(0+)=0 ，即为电路的初始状态。

/C Lu Ldi dt

( / ) 0Ldi dt

，当 uC=0 时正好对应于

，满足 iL 达最大值的条件。

因为

1 201 2

1 2

( )m ms t s tC

Uu s e s e

s s

2

1 2 1

1lnm

st

s s s


（ 3 ）在 t=2tm 时， uC 达极值， ( / ) 0Cdu dt 2

1 2 1

2ln 2 m

st t

s s s

所以 t=2tm 也正是电感电流 iL 波形的拐点位置

2 2( / ) 0Ld i dt ( / ) 0Cdu dt

（ 4 ）当 t→时，电容电压和电感电流都趋于零。

过阻尼情况下， RLC并联电路的放电过程有三个阶段

(1) 0+ t tm 阶段，电容向外发出功率，提供能量，电感和电阻吸收功率，吸收能量。


(2) tm t 2tm 阶段电感向外发出功率，提供能量，电容和电阻吸收功率，吸收能量。 (3) t 2tm 阶段电容和电感都向外发出功率，提供能量，只有电阻吸收功率，吸收能量。

在整个放电过程中，电感和电容都只有一次充电过程，并没有出现反复的充电。如图所示，响应波形最多只有一次改变方向，穿过横轴。所以这种情况称为非振荡情况或过阻尼情况。

2 mt

C L R Cu i i i, , ,

O mt t

Li

Ci

,R Ci u


2.临界阻尼情况 =0 ，即电路参数满足 1

2

LR

C

特征根 s1和 s2 是两个相等的负实根， s1=s2= ，

方程的通解为 1 21 2 1 2( )s t s t t

Li K e K te K K t e

1

02 1

0

(0 ) 0L

L

t

i K

UdiK K

dt L

01 20

UK K

L ，

0 0)tL

Ui te t

L

0 ) 0)tLC L

diu u L U t e t

dt


由于 =0 时正好处于振荡与非振荡两种情况之间，所以称为临界情况，或临界阻尼情况。这种情况下电容电压 uC 和电感电流 iL 波形与图 (a)所示波形相似，也是非振荡的。

3.欠阻尼情况 0 ，即电路参数满足 1

2

LR

C

特征根 s1和 s2 为一对共轭复根，为2 2

1 0

2 22 0

( )

( )

d

d

s j j

s j j

2 20d

方程的通解为 1 21 2

s t s tLi K e K e

0d


利用欧拉公式，上式可变换成cos( )t

L di Ke t

(0 ) cos 0Li K K 0 ，因此 = 90 由初始条件

0

0

( cos sin )Ld

t

UdiK

dt L

0

d

UK

L

0 0cos( 90 ) sin 0)t tL d d

d d

U Ui e t e t t

L L

)0()sin(00 tteU

dt

diLuu d

t

d

LLC


0

20

0

sin( ) cos( )]

sin( 2 ) ( )

t tCC d d d

d

td

d

dui C C U e t e t

dt

C U e t t

C L R Cu i i i, , ,

O

0 t

d

Ue

L

Li

CuCi

dt2

0t

d

U e

欠阻尼情况下的零输入响应电容电压和电感电流都是振幅按指数规律衰减的正弦函数或余弦函数，即放电过程是一种周期性（振荡性）的放电，或欠阻尼放电。


4.无阻尼情况 =0 ，即电路参数满足 R=

特征根 s1和 s2 为一对共轭虚根， s1j0， s2 j0

方程的解为 0cos( )Li K t

0 0 90K U L / ，由初始条件可得

0 0cos 0)LC

diu L U t t

dt

0 00 0

0 0

cos( 90 ) sin 0)L

U Ui t t t

L L

电容电压和电感电流均为不衰减的正弦量。


从上面的分析可看出 , 四种不同情况与电路方程特征根 s1和 s2 的取值有关。因为 s1和 s2 取决于电路的结构和元件的参数，可以是负数、复数或纯虚数，所以它们在复数平面（亦称为 s 平面）上的位置是不同的 , 其相应的零输入响应也不同。

OO

Li

t1s2s

Im

Re

s平面

可以明确地作出以下的结论：（ 1 ）当电路方程的特征根位于 s 平面的负实轴上，电路的零输入响应必是衰减非周期性（非振荡性）类型的，或者说是过阻尼型的（其中包括临界阻尼型）。


（ 2 ）当电路方程的特征根位于开左半 s 平面内，但不包括位于负实轴上，电路的零输入响应必是衰减周期性（振荡性）类型的，或者说是欠阻尼型的。

1 2s s

Im

Re

s平面

OO

Li

t

a

dj

dj

s平面Im

ReO O

Li

t

1s

2s


0j

0j

Li

tOO Re

Im s平面

（ 3 ）当电路方程的特征根位于 s 平面的虚轴上，电路的零输入响应必是无衰减周期性（振荡性）类型的，或者说是无阻尼型的。

（ 4 ）当电路方程的特征根位于开右半 s 平面内，电路方程的解是不收敛的，响应波形是发散的。


5.7.2 二阶 RLC电路的零状态响应以单位阶跃响应和单位冲激响应为例来分析二阶 RLC电路的零状态响应。

一、 RLC串联电路的单位阶跃响应CR

LuSu LCuRu

i根据 KVL和支路电压电流关系 , 可得

2

21C C

C

d u duLC RC u

dt dt

二阶常系数线性非齐次微分方程初始条件为 : uC(0+)=uC(0-)=0

iL(0+)=iL(0-)=0


方程的解为 C Ch C pu u u

齐次解为 1 21 2

s t s tChu K e K e

特征方程 2 1 0LCs RCs

特征根 ( 固有频率 ) 2

1 0

22 0

s

s

与 RLC并联电路的情况一样， RLC串联电路的固有频率 s1 和 s2 也可以是两个不相等的负实数，两个相等的负实数，一对共轭复数和一对共轭虚数。


单位阶跃激励下的稳态分量 uCp=1

1 21 2 1s t s t

C Ch Cpu u u K e K e

根据初始条件 , 有 1 2

1 1 2 20

(0 ) 1 0

0

C

C

t

u K K

duK s K s

dt

2 11 2

1 2 2 1

s sK K

s s s s

，

1 22 1

1 2

1( ) 1 ( )s t s t

Cu s e s e ts s

电容电压为


RLC串联充电电路也可以区分为 :

0 2 /R L C

0 2 /R L C

0 2 /R L C

2.临界阻尼 (即

3.欠阻尼 ( 即4.无阻尼 =0(即 R=0)

1.过阻尼电路参数满足

下面仅讨论过阻尼和欠阻尼两种不同情况的阶跃响应。

1.过阻尼由电容电压 , 可求得 :

1 21 2

1 2

( ) ( )( )

s t s tCL

du s si i C e e t

dt L s s


O1s2s

Im

Re

s平面

Li

1

O t

Cu

由于 s1＜ 0、 s2＜ 0及 |s2|＞ |s1| 1 2s t s te e >0

使电容电压 uC 和电感电流 iL永远不改变方向。电容元件在全部时间内一直在充电。


2.欠阻尼2 2

1 0

2 22 0

( )

( )

d

d

s j

s j

或表示成极坐标形式

)90(01

)90(01

j

j

es

es

其中 = arctan( /d) 单位阶跃响应电容电压为

( 90 ) ( 90 )0

0

11 ( )

2

1 sin( 90 ) ( )

d dj j t j j ttC

d

td

d

u e e e tj

e t t


01 cos( ) ( )td

d

e t t

根据电容的电压电流关系 /Ci Cdu dt1

( sin ) ( )tL d

d

i i e t tL

O

Li

ta

dj

dj

s平面Im

ReO

1s

2s

0

Cu

1

tO


二、 RLC并联电路的冲激响应 RLC并联电路的冲激响应，是指 RLC并联电路对单位冲激电流激励的零状态响应。

Si

C RCu L

Ci Ri Li

(a) t 0-

1. 经典方法由 (a)图可得在 t=0+ 时引起 uC(0+)=1/C 初始电压。

因为电容电压是有限跳变，所以电感电流是连续量， iL(0+)= iL(0-)=0

0

(0 ) 1CL

t

udi

dt L LC


1(0 )Cu C C RCu L

Ci Ri Li

(b) t 0+

由 (b)可得，电路方程为 2

20L L

L

d i diLLC i

dt R dt

与前面零输入响应分析相同，将初始电压 U0改为 1/C

1 2

1 2

1( ) ( )

( )s t s t

Li e e tLC s s

即可得过阻尼情况下冲激响应

可得欠阻尼情况下冲激响应 1 1

cos( 90 ) ( sin ) ( )t tL d d

d d

i e t e t tLC LC


2. 阶跃响应求导方法前面的分析已得出 RLC并联电路在过阻尼情况下的阶跃响应为

1 22 1

1 2

1( ) ( ) ( ) 1 ( )s t s t

Ls t i t s e s e ts s

则过阻尼情况下的冲激响应为

1 2 1 21 22 1

1 2 1 2

( )( )

1( ) 1 ( ) ( ) ( )s t s t s t s t

ds th t

dt

s ss e s e t e e t

s s s s

1 2 1 2

20

1 2 1 2

1( ) ( ) ( ) ( )

( )s t s t s t s te e t e e t

s s LC s s


0( ) ( ) 1 cos( ) ( )tL d

d

s t i t e t t

RLC并联电路在欠阻尼情况下的阶跃响应为

0 0

( )( )

1 cos( ) ( ) 1 cos( ) ( )t td d

d d

ds th t

dt

de t t e t t

dt

则欠阻尼情况下的冲激响应为

利用关系式 cosd/0 和 sin/0 ，

)()sin1

()( tteLC

th dt

d


5.7.3 二阶 RLC电路的全响应

Ci Ri Li

C R Lu

Si 输入激励为电流源 iS=(t) uC(0-)=U0， iL(0-)=0 。

RLC并联电路方程为 2

21L L

L

d i diLLC i

dt R dt

电路方程的通解为 L Lh L pi i i

1 21 2 1s t s t

L Lh L pi i i K e K e


根据初始条件，有 1 2

01 1 2 2

0

(0 ) 1 0L

L

t

i K K

UdiK s K s

dt L

2 0 1 01 2

1 2 1 2

/ /s U L s U LK K

s s s s

，

得全响应电感电流为 1 22 0 1 0

1 2 1 2

/ /( 1) ( 0)s t s t

L

s U L s U Li e e t

s s s s

零输入响应电感电流为

1 20

1 2

( ) ( 0)( )

s t s tLzi

Ui e e t

L s s


零状态响应电感电流为

1 22 1

1 2

1( ) 1 ( )s t s t

Lzsi s e s e ts s

例 5.7.1 在图 (a)电路中， uS=200V， uS0=100V，R1=30， R2=10， L=100mH， C=1000F， t=0 时开关 S 换路，换路前电路已稳定。试求换路后的电流 iL 。

1R

2R C

LLi

Cu

( 0)S t

0SuSu

解：根据题意

求得电路原始状态为uC(0-)=100V ，

iL(0-)=uS /(R1+R2)=5A


1R

2R C

L

Cu

CiLi

Su

(b) t 0+

对图 (b)根据 KVL，由外回路有

1L

L C S

diR i L u u

dt

对方程求导有 2

1 20CL L idi d i

R Ldt dt C

2

12L L

C

d i dii LC RC

dt dt

根据 KVL，由内回路有

1 2 ( )LL L C S

diR i L R i i u

dt


将电容电流 iC 代入上式2

1 2 2 2 12L L L

L L S

di d i diR i L R i R LC R RC u

dt dt dt

24 5

2400 4 10 2 10L L

L

d i dii

dt dt

特征方程为 2 400 40000 0s s

1 2 200s s

该特征根为重根，电路处于临界阻尼情况

电路方程的解 L Lh L pi i i 齐次解 iLh 1 2

1 2s t s t

Lhi K e K te


1R

Su (0 )Cu

(0 )Li

(0 )Lu

(c) t=0+

根据图 (c)，求得 t =0+ 时的电感电压为

1(0 ) (0 ) (0 ) 150L S L Cu u R i u

根据初始条件 iL(0+)=5 ，0

(0 )1500L L

t

di u

dt L

t=时的稳态解 5

4

2 105

4 10Lpi

通解为 1 21 2 5s t s t

Li K e K te

根据初始条件可得 1

20

(0 ) 5 5

1500

L

L

t

i K

diK

dt


可解得 K1=0， K2=1500 。

全响应电流 iL 为200(1500 5)A ( 0)t

Li te t


5.8 高阶电路的响应二阶和二阶以上的电路称为高阶电路。一般情况下，高阶电路需要用一组联立的微分方程描述，经过变换，可得到只含单个电路变量的高阶微分方程。

为了方便，这里对高阶电路响应的讨论，仅限于单输入单输出的线性非时变电路；独立电源的激励波形可以是直流、正弦量、阶跃函数、冲激函数或一个任意时间 t 的函数。

对于单输入的 n 阶线性非时变电路 1 1

1 0 11 1

n n m m

n mn n m m

d y d y d w d wa a y b b b w

dt dt dt dt


5.8.1 初始值的确定

在没有冲激电流（或阶跃电压）强迫并接于电容的情况下，电容两端的电压 uC （或电荷 q ）是连续量，不发生跳变；在没有冲激电压（或阶跃电流）强迫串接于电感的情况下，电感中的电流iL （或磁通）是连续量，不发生跳变。这时有

(0 ) (0 ) (0 ) (0 )C C L Lu u i i ，

分别用电压值为 uC(0+) 的电压源置换电容支路，用电流值为 iL(0+) 的电流源置换电感支路，以得到 t=0+ 时刻的电路，再根据基尔霍夫定律和支路电压电流关系决定 t=0+ 时刻的其它电流、电压的初始值。

2.其它变量初始值的确定：

1. 电容电压和电感电流初始值的确定：


当电路中有冲激电流（或阶跃电压）强迫并接于电容，以及冲激电压（或阶跃电流）强迫串接于电感时， uC和 iL 就要发生跳变。这时可借助电路方程等号两端奇异函数项系数平衡等方法做出判断，以确定 t=0+ 时刻的初始条件。例 5.8.1 电路方程为

2

1 2 02

d y dy dwa a y b

dt dt dt

已知输入为单位阶跃 w(t)=(t)， t=0- 时电路处于零状态。试确定 t=0+ 时的初始条件解：将 w(t)=(t) 代入电路方程，有

2

1 2 02

( )d y dy d ta a y b

dt dt dt


由电路方程可以看出，在等式的右端 b0(t) 。从方程两边对应项平衡考虑，等式左端也应有对应的冲激函数项，且它只能出现在最高阶次项（即 d2y/dt2 ）中。

由此可推出 y 不发生跳变有 y(0+)= y(0-)=0。

00 0 0t t t

dy dy dyb

dt dt dt

00

(0 ) 0t

dyy b

dt

，

对电路方程两边从 0- 到 0+ 积分有

因此，初始条件为


5.8.2 零输入响应当 w=0 时的响应为零输入响应。于是电路方程成为 n 阶常系数线性齐次微分方程。

11 1

n nn ns a s a s a

该方程的特征多项式是 s的 n次多项式

特征根 sj（ j=1， 2，…， n ）。如果所有的固有频率都不相等，则零输入响应 yzi 是指数项的函数，为

1

j

ns t

zi jj

y K e

待定常数 Kj 由初始条件来确定


如果有些固有频率重合，则零输入响应 yzi 中将含有t 的幂的表达式。例如 s1 是特征多项式的三重零点，其余特征根均不相等，则

1

31

1 4

j

ns ts tj

zi j jj j

y K t e K e


5.8.3 零状态响应如果电路方程中电路变量 y 的所有固有频率都不相等，则零状态响应 yzs 的表示形式为

1

( ) ( )j

ns t

zs j pj

y K e y t

式中待定常数 Kj由 n 个初始条件1

10 0

(0 )n

nt t

dy d yy

dt dt

，，，确定

若已知电路的冲激响应 y(t)=h(t) ，则零状态响应可以用卷积积分方法求取

0( ) ( )

t

zsy w h t d

如果 w(t) 在 0 或 t 时刻存在冲激，为考虑该冲激的作用，积分的上、下限应修改为 0- 和 t+ 。


5.8.4 冲激响应输入为单位冲激 w(t)=(t) ，则电路的零状态响应yzs(t)=h(t) 称冲激响应。

就 t 0而言，冲激响应恒等于零输入响应

1

( ) ( ) ( )j

ns t

jj

h t K e t

上式中 n 个待定系数 Kj 可由 n 个初始条件加以确定，所以求取冲激响应的关键问题是如何求取初始条件。

下面主要讨论（ 1 ）平衡系数法，（ 2 ） 0+ 条件法和（ 3 ）线性叠加法等三种求解冲激响应的方法。


2

24 3 2

d y dy dwy w

dt dt dt

例 5.8.2 对于一个给定的电路，设描述输入 w 与输出y 间关系的微分方程为

试求电路的冲激响应 h(t) 。解：由方程求得变量 y 的特征根为 1 21 3s s ，

31 2( ) ( ) ( )t th t K e K e t

31 2 1 2

( )( ) ( ) ( 3 ) ( )t tdh tK K t K e K e t

dt

23

1 2 1 2 1 22

( )( ) '( ) ( 3 ) ( ) ( 9 ) ( )t td h tK K t K K t K e K e t

dt

（ 1 ）平衡系数法


将 w(t)=(t)和 y(t)= h(t) 代入方程 2

24 3 2

d y dy dwy w

dt dt dt

等号左边为 1 2 1 2( ) '( ) (3 ) ( )K K t K K t

等号右边为 '( ) 2 ( )t t

使方程等号左右两边’ (t) 的系数以及 (t) 的系数对应相等，得到方程组为

1 2

1 2

1

3 2

K K

K K


31( ) ( ) ( ) ( )

2t th t y t e e t

1 21/ 2 1/ 2K K ，

解得所以，冲激响应为


例 5.8.3 电路如图所示，已知 R1=R2=2， L=(5/6)H，C=(1/5)F ，试求冲激响应 uC 。

( )tCu

1R C2RL

Li解：电路 KCL方程为

1 2

0C CLL

u duui C

R R dt

KVL方程

( )L Cu u t

2

21 2 1

1 1 1 1 1( ) '( ) ( )C C

C

d u duC u t t

dt R R dt L R L

2

22 10 12 5 '( ) 12 ( )C C

C

d u duu t t

dt dt


特征根为 1 22 3s s ，

2 31 2( ) ( )t t

Cu K e K e t

用平衡系数法求待定系数 K1 和 K2

对上式 uC 求导

2 31 2 1 2( ) 2 3 ( )t tCdu

K K t K e K e tdt

2

2 31 2 1 2 1 22

'( ) 2 3 ( ) 4 9 ( )t tCd uK K t K K t K e K e t

dt

代入电路方程，有

1 2 1 22( ) '( ) (6 4 ) ( ) 5 '( ) 12 ( )K K t K K t t t


1 2

1 2

2 5

6 4 12

K K

K K

2 3( ) ( 1.5 ) ( )t tCh t u e e t

使方程等号左右两边对应项系数相等，得到方程组为

1 1K 2 1.5K

解得因此，冲激响应为


（ 2 ） 0+ 条件法： 0+ 条件方法是通过不断地对电路方程两边从 0- 到 0+进行积分，用以确定 t=0+ 时的初始条件，然后用求得的结果确定待定系数 K 。例 5.8.4 仍以例 5.8.2的电路方程进行讨论。

2

2

( ) ( ) ( )4 3 ( ) 2 ( )

d h t dh t d th t t

dt dt dt

解：将 w(t)=(t)和 y(t)= h(t) 代入方程，有

对于零状态响应， t=0- 时，冲激响应 h(t) 及其各阶导数的原始值均为零，即

0

(0 ) 0t

dhh

dt

1 21 3s s ，3

1 2( ) ( ) ( )t th t K e K e t 已知

可得：


对方程两边从 0-到 t 进行积分 2

20 0( 4 3 ) ( 2 )

t td h dh dh dt dt

dt dt dt

0

( )4 ( ) 3 ( ) ( ) 2 ( )

tdh th t h t dt t t

dt

对上式再次从 0-到 t 积分，有

0 0 0( ) 4 ( ) 3 ( ) ( ) 2

t t th t h t dt h t dtdt t t

令 t=0+

0

4 (0 ) 2t

dhh

dt

(0 ) 1h


0

(0 ) 1 2t

dhh

dt

，

解得初始条件

1 2 1/ 2K K

解得 31

( ) ( ) ( ) ( )2

t th t y t e e t

因此，冲激响应为

1 2

1 20

(0 )

2t

h K K

dhK K

dt


例 5.8.5 电路如图所示，已知R1=1， R2=2， L=1H， C=1F ，试求冲激响应 iL 。

( )Li t

( )t

( )Cu tCL

1R2R解：电路方程为

2

23 2 '( ) ( )L L

L

d i dii t t

dt dt

特征根 1 20.38 2.62s s ，

0.38 2.621 2( ) ( )t t

Li K e K e t 方程通解为

对电路方程两边从 0-到 t 进行积分 2

20 0( 3 ) (2 )

t tL L

L

d i di di dt dt

dt dt dt


03 2 ( ) ( )

tL

L L

dii i dt t t

dt

对上式再次从 0- 到 t 积分，有

0 0 03 2 ( )

t t t

L L Li i dt i dtdt t t

0

3 (0 ) 1LL

t

dii

dt

(0 ) 2Li

令 t=0+ ，有

和

0

(0 ) 2 5LL

t

dii

dt

，解得初始条件

1 2

1 20

(0 )

0.38 5

L

L

t

i K K

diK K

dt


1 0.107K 2 1.893K

解得因此，冲激响应为

0.38 2.62( ) (0.107 1.893 ) ( )t tLh t i e e t A


（ 3 ）线性叠加法：线性叠加方法是根据线性方程解的齐次性和可加性来求解冲激响应

例 5.8.6：以例 5.8.2的电路方程为例，应用线性叠加方法进行讨论。解：首先求解方程

2

2

( ) ( )4 3 ( ) ( )

d h t dh th t t

dt dt

特征根 s1= 1 ， s2= 3 3

1 2( ) ( ) ( )t th t K e K e t

对式两边从 0-到 0+进行积分可得 0 0 0

1t t t

dh dh dh

dt dt dt

31 2 1 2

( )( ) 3 ( )t tdh t

K K t K e K e tdt


1 2

1 2 1

K K

K K

令 t=0+ ，得方程组

1 2 1/ 2K K

解得

31( ) ( ) ( )

2t th t e e t

根据线性方程解的齐次性和可加性

3 3

3

( )( ) 2 ( )

1(3 ) ( ) ( 3 ) ( )

21

( ) ( )2

t t t t

t t

dh ty t h t

dt

e e t e e t

e e t


例 5.8.7 电路如图所示，已知 R1=R2=2， L=(5/6)H，C=(1/5)F ，试求冲激响应 iL(t) 。

Li

1R( )t

CuC

L

2R

解：电路方程为2

25 25 30 6 '( ) 15 ( )L L

L

d i dii t t

dt dt

首先求解方程 2

2

( ) ( )5 25 30 ( ) ( )d h t dh t

h t tdt dt

对求解方程两边从 0-到 0+进行积分可得

0 0 0

5 5 5 1t t t

dh dh dh

dt dt dt


0

1

5t

dh

dt

特征根为 1 22 3s s ，

所以有 2 31 2( ) ( ) ( )t th t K e K e t

2 31 2 1 2

( )( ) ( ) ( 2 3 ) ( )t tdh tK K t K e K e t

dt

令 t=0+ ，因为已知 h(0+)=0 ，0

1

5t

dh

dt

1 2

1 22 1/ 5

K K

K K


1 2 1/ 5K K

解得 2 31

( ) ( )5

t th t e e t

因此

根据线性方程解的齐次性和可加性，电路方程的解为

3 2 2 3

2 3

( )6 15 ( )

6(3 2 ) ( ) 3( ) ( )

53

( ) ( )A5

L

t t t t

t t

dh ti h t

dt

e e t e e t

e e t

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第二篇 动 态 电 路

第二篇动态电路