第十一章 应力与应第十一章 应力与应变理论变理论

塑性成形是利用金属的塑性，在外力作用下使其成形的一种加工方法。作用于金属的外力可分为两类：1 作用在金属表面上的力，称为面力或者接触力，它可以是集中力，一般情况下是分布力。面力可以分为作用力、反作用力和摩擦力。作用力是由塑性加工设备提供的，用于使金属坯料发生塑性变形。反作用力是工具反作用于金属坯料的力。一般情况下，作用力与反作用力互相平行，并组成平衡力系。摩擦力是金属在外力作用下产生塑性变形时，在金属与工具的接触面上产生阻止金属流动的力。该力的存在往往引起变形力的增加，对金属的塑性成形往往是有害的。2 作用在金属物体每个质点上的力，称为体积力。体积力是与变形力内各质点的质量成正比的力，如重力、磁力和惯性力等。

第一节 应力空间

一 应力的概念

在外力的作用下，变形体内各质点就会产生相互作用的力，称为内力。单位面积上的内力称为应力。图 11-1a 在 F 面上围绕 Q 点取一很小的面积 ΔF ，该小面积上内力的合力为 ΔP ，则定义

为截面 F 上 Q 点的全应力。全应力 S 是一个矢量，可以分解成两个分量，垂直于截面的正应力 σ 和平行于截面的切应力 τ 。显然有

图 11-1 面力、内力和应力

一 应力的概念

若将截取的下半部分放入空间坐标系 Oxyz 中，并使截面 F 的法线方向 N 平行于 y 轴（图 11-1 b ），则全应力 S 在三个坐标轴上的投影称为应力分量，它们是 σy 、 τyx 、 τ yz 。在变形体内各点的应力情况一般是不同的。对于任一点而言，过 Q 点可以作无限多的切面，在不同方向的切面上， Q 点的应力是不同的。仅用某一个切面的应力不足以全面表示该点的应力情况。为了全面表示一点的应力情况，下面引入点的应力状态的概念。

设在直角坐标系 Oxyz 中有一承受任意力系的变形体，过变形体内任意点 Q 切取一六面体作为单元体，其棱边分别平行于三坐标轴。在互相垂直的微分面上的全应力都可以按坐标轴方向分解成一个正应力和两个切应力分量，这样，在三个互相垂直的微分面上就有三个正应力分量和六个切应力分量，共计 9 个应力分量，

它们是 σxx,σyy,σzz,τxy,τyx,τyz,τzy ， τzx,τxz 。它们可以完整地描述一点的应力状态，如图 11-2 所示。按应力分量的符号规定，两个下角标相同的正应力分量，例如 σxx 表示 x 面上平行于 x 轴的正应力分量，可简写为 σx ；两个下角标不同的是切应力分量，例如 τxy 表示 x 面上平行于 y 轴的切应力分量。将 9 个应力分量写成矩阵的形式为：

二、直角坐标系中一点的应力状态

图 11-2 直角坐标系中单元体的应力分量

二、直角坐标系中一点的应力状态

应力分量有正、负号，确定方法为：当单元体的外法线指向坐标轴正向的微分面叫做正面，反之为负面。在正面上指向坐标轴正向的应力分量取正号，指向相反方向的取负号。负面上的应力分量则相反。按此规定，正应力分量以拉为正，以压为负。由于单元体处于静力平衡状态，故绕单元体各轴的合力矩等于零，由此导出切应力互等定理：

实际上，一点的应力状态中的 9 个应力分量只有 6 个是互相独立的，它们组成对称的应力张量 σij

若过一点的三个互相垂直的微分面上的九个应力分量已知，则借助静力平衡条件，该点任意方向上的应力分量可以确定。

二、直角坐标系中一点的应力状态如图 11-3 所示，设过 Q 点任一斜切面的法线 N 与三个坐标轴的方向余弦为 l ， m ， n ， l=cos(N,x); m=cos(N,y); n=cos(N,z) 。 若斜微分面ABC 的面积为 dF ，微分面 OBC(x 面 ) 、 OCA(y 面 ) 、 OAB(z 面 ) 的微分面积分别为 dFx 、 dFy 、 dFz ，则各微分面之间的关系为：dFx=ldF ； dFy= mdF ； dFz=ndF又设斜微分面 ABC 上的全应力为 S ，它在三坐标轴方向上的分量为 Sx 、Sy 、 Sz ，由静力平衡条件 ΣPx = 0 ，得：

整理得：

图 11-3 任意斜切微分面上的应力

用角标符号简记为显然，全应力

二、直角坐标系中一点的应力状态

斜微分面上的正应力 σ 为全应力 S 在法线 N 方向的投影，它等于 S x , S y, S z 在N 方向上的投影之和，即：

斜切微分面上的切应力为：

所以，已知过一点的三个正交微分面上 9 个应力分量，可以求出过该点任意方向微分面上的应力，也就是说，这 9 个应力分量可以全面表示该点应力状况，亦即可以确定该点的应力状态。如果质点处于受力物体的边界上，则斜切微分面 ABC 即为变形体的外表面，其上的表面力（外力） T 沿三坐标轴的分量为 Tx 、 Ty 、 Tz ，其值为

简记为 上式称为应力边界条件。

三、张量和应力张量

1 角标符号和求和约定 成组的符号和数组用一个带下角标的符号表示，这种符号叫角标符号。用角标符号表示物理量在坐标系中的分量，可以使冗长繁杂的公式在形式上变得简洁明了。如直角坐标系的三根轴 x 、y 、 z ，可写成 x1 、 x2 、 x3 ，用角标符号简记为 xi (i ＝ 1,2,3) ；空间直线的方向余弦 l 、 m 、 n 可写成 lx 、 ly 、 lz ，简记为 li (i ＝ x 、 y 、z) 。如果一个坐标系带有 m 个角标，每个角标取 n 个值，则该角标符号代表着 个元素，例如 σij (i,j = x,y,z) 就包含有 9 个元素 , 即 9 个应力分量。在运算中，常遇到 n 个数组各元素乘积求和的形式，例如：

为了省略求和记号 Σ ，可以引入如下的求和约定：在算式的某一项中，如果有某个角标重复出现，就表示要对该角标自 1 到 n 的所有元素求和。根据这一约定，上式可简记为：上述重复出现的角标叫哑标，而在用角标表示的算式中有不重复出现的角标，称为自由标。自由标不包含求和的意思，但可以表示该等式代表的个数。在一个等式中，要分清哑标和自由标。

三、张量和应力张量2 、张量的基本概念 有些简单的物理量，只需要一个标量就可以表示，如距离、时间、温度等。有些物理量是空间矢量，如位移、速度和力等，需要用空间坐标系中的三个分量来表示。更有一些复杂的物理量，如应力状态、应变状态，需要用空间坐标系中的三个矢量，即 9 个分量才能完整地表示，这就需要引入张量的概念。张量是矢量的推广，可定义为由若干个当坐标系改变时满足转换关系的所有分量的集合。广义地说，绝对标量就是零阶张量，其分量数目为 ；矢量就是一阶张量，有 个分量；应力状态、应变状态是二阶张量，有 个分量。

表 11-1 新旧坐标系间的方向余弦

三、张量和应力张量

设有某物理量 P ，它关于 xi(i = 1,2,3) 的空间坐标系存在 9 个分量 Pij (i, j = 1, 2,3) 。若将 xi 空间坐标系的坐标轴绕原点 O 旋转一个角度，则得到新的空间坐标系 xk (k = 1',2',3') ， 如图 11-1 所示。新坐标系 xk 的坐标轴关于原坐标系 xi 的方向余弦可记为 lki 或 llj (k, l = 1',2', 3' ；i, j = 1,2,3 ）。由于 cos(xk , xi ) = cos(xi, xk ) ，所以 lki = lik ， llj = ljl 。物理量 P 在新坐标系 xk 的九个分量为 Pkl (k ， l = 1',2',3') 。若这个物理量 P 在坐标系 xi 中的 9 个分量 Pij 与坐标系 xk 中的九个分量 Pkl 之间存在下列线性变换关系：

这个物理量被定义为张量，可用矩阵表示

Pij 所带的下标数目是 2 个，称为二阶张量。张量是满足一定的坐标转换关系的分量所组成的集合，它的重要特征是在不同的坐标系中分量之间可以用一定的线性关系来换算。上式为二阶张量的判别式。

三、张量和应力张量

3 、张量的基本性质张量具有以下一些基本的性质：1) 张量不变量 张量的分量一定可以组成某些函数 f (Pij ) ，这些函数值与坐标轴无关，它不随坐标而改变，这样的函数，叫做张量不变量。二阶张量存在三个独立的不变量。2) 张量可以叠加和分解 几个同阶张量各对应的分量之和或差定义为另一个同阶张量。两个相同的张量之差定义为零张量。3) 张量可分为对称张量、非对称张量、反对称张量 若张量具有性质 Pij

= Pji ，就叫对称张量；若张量具有性质 Pij=−Pji ，且当 i=j 时对应的分量为 0 ，则叫反对称张量；如果张量 Pij≠Pji ，就叫非对称张量。任意非对称张量可以分解为一个对称张量和一个反对称张量。4) 二阶对称张量存在三个主轴和三个主值 如果以主轴为坐标轴，则两个下角标不同的分量均为零，只留下两个下角标相同的三个分量，叫作主值。

三、张量和应力张量

4 、应力张量 设受力物体内一点的应力状态在 xi(i=x,y,z) ，坐标系中的九个应力分量为 σij(i,j=x,y,z) ，当 xi 坐标系转换到另一坐标系 xk(k=x’,y’,z’) ，其应力分量为 σkr(k,r= x’,y’,z’) ， σij 与 σkr 之间的关系符合数学上张量之定义，即存在线性变换关系式，即有： σkr= σijlkilrj(i,j=x,y,z; k,r= x’,y’,z’)因此，表示点应力状态的九个应力分量构成一个二阶张量，称为应力张量，可用张量符号 σij 表示，即

每一分量称为应力张量之分量。根据张量的基本性质，应力张量可以叠加和分解、存在三个主轴 (主方向 ) 和三个主值 (主应力 ) 以及三个独立的应力张量不变量。

四、主应力、应力张量不变量和应力椭球面1 、主应力 由上节分析可知，如果表示一点的应力状态的九个应力分量为已知，则过该点的斜微分面上的正应力 σ 和切应力 τ 都将随法线 N 的方向余弦 l,m, n 而改变。特殊情况下，斜微分面上的全应力 S 和正应力 σ 重合，而切应力 τ= 0 。这种切应力为零的微分面称为主平面，主平面上的正应力叫做主应力。主平面的法线方向称为应力主方向或应力主轴。图 11-5 中的三个主平面互相正交，设斜微分面 ABC 是待求的主平面，面上的切应力为 0 ，正应力即为全应力， σ = s 。于是，主应力在三个坐标轴上的投影为

图 11-5 主平面上的应力

左式整理得

四、主应力、应力张量不变量和应力椭球面上式是一齐次线性方程组， l, m ， n 为未知数，其解为应力主轴方向。此方程组的一组解为 l = m = n = 0 ，但由解析几何可知，方向余弦之间必须满足即 l, m, n 不能同时为零，必须寻求非零解。为了求得非零解，只有满足齐次线性方程组式的系数组成的行列式等于零的条件，即

展开行列式，整理后得

令

上式可写成

即应力状态特征方程

四、主应力、应力张量不变量和应力椭球面2 、应力张量不变量 对于一个确定的应力状态，主应力只有一组值，即主应力具有单值性。由此，上式中的系数 J1 、 J2 、 J3 也应是单值的，而不随坐标系而变。由此得出重要结论：尽管应力张量的各分量随坐标而变，但组成的函数值是不变的，所以将 J1 、 J2 、 J3 称为应力张量第一、第二、第三不变量。如果取三个主方向为坐标轴，并用 1 、 2 、 3 代替 x, y, z ，这时应力张量可写为

在主轴坐标系中斜微分面上的正应力和切应力为

因此，应力张量的三个不变量为

四、主应力、应力张量不变量和应力椭球面3 、应力椭球面

四、主应力、应力张量不变量和应力椭球面4、主应力图 受力物体内一点的应力状态可用作用在单元体上的主应力来描述，只用主应力的个数及符号来描述一点的应力状态的简图称为主应力图。其表示出主应力的个数及正负号，并不表明作用应力的大小。主应力图共有 9 种 (图 11-6)，其中三向应力状态的四种，两向应力状态的三种，单向应力状态的两种。在两向和三向主应力图中，各向主应力符号相同时，称为同号主应力图，符号不同时称为异号主应力图，根据主应力图，可定性比较某一种材料采用不同的塑性成形工序加工时塑性和变形抗力的差异。

五、主切应力和最大切应力与斜微分面上的正应力一样，切应力也随斜微分面的方位而改变。使切应力数值达到极大值的平面称为主切应力平面，其上所作用的切应力称为主切应力。经分析，在主轴空间中，垂直一个主平面而与另两个主平面交角为 45° 的平面就是主切应力平面，如图 11-7 所示。该面上的主切应力为

主切应力角标表示与主切应力平面呈 45°相交的两主平面的编号。三个主切应力平面也是互相正交。主切应力中绝对值最大的一个称为最大切应力，用 τmax 表示。设三个主应力的关系为 σ1>σ2>σ3 ，则

五、主切应力和最大切应力

图 11-7 主切应力平面上的正应力

将主切应力平面的方向余弦的不同组合代入式 P9可以解出作用于主切应力平面上的正应力值和主切应力值，即

将上述求解结果列于下表

图 11-7 所示的坐标平面上，垂直于该主平面的主切应力平面有两组，将各组平面的正面和负面都表示出来，构成一个四边形，在这个主切应力平面上的正应力相等。

六、应力偏张量和应力球张量应力张量和矢量一样可以分解成应力偏张量和应力球张量。设 σm 为三个正应力分量的平均值，称平均应力（或静水压力），即

是不变量，与所取的坐标无关。对于一个确定的应力状态，它是单值的。设

则，根据张量的性质，可将应力张量分解成两个张量之和：

或

式中， δij 是克氏符号，也称单位张量，当 i =j 时，δij = 1 ；当 i ≠j 时， δij = 0，即

六、应力偏张量和应力球张量式 中的后一张量 δijσm ，表示的是一种球应力状态，也称静水应力状态，称为应力球张量，其任何方向都是主方向，且主应力相同，均为平均应力 σm 。球应力状态的特点是在任何切平面上都没有切应力，所以不能使物体产生形状变化，而只能产生体积变化，即不能使物体产生塑性变形。上式中的第二项称为应力偏张量，它是由原应力张量 σij减去应力球张量δijσm后得到的。应力偏张量 的切应力分量、主切应力、最大切应力及应力主轴等都与原应力张量相同。因此，应力偏张量只使物体产生形状变化，而不能产生体积变化。材料的塑性变形是由应力偏张量引起的。应力偏张量是二阶对称张量，它同样存在三个不变量，分别用 J1’、J 2’、 J3’表示。将应力偏张量的分量代入应力状态特征方程，得

六、应力偏张量和应力球张量对于主轴坐标系，有

应力偏张量对塑性加工是一个十分重要的概念，可以用来表示不同的变形类型。

七、等效应力

在力学分析中，材料的各种极限值，如 σs、 σb ，通常是在单向拉伸、压缩试验中测出的。为了使塑性变形中的复杂应力状态能与这些极限值相比较，人们引入“等效应力”的概念，把复杂应力状态的应力值折合成单向应力状态的应力值。等效应力在主轴坐标系中定义为

在任意坐标系中定义为

等效应力不能在特定微分平面上表示出来，但它可以在一定意义上“代表”整个应力状态中的偏张量部分，因而与材料的塑性变形密切有关。人们把它称为广义应力或应力强度。等效应力也是一个不变量。对于单向应力状态，设 代入主轴坐标系中等效应力的定义式，可得： σ1= 。由此可见，等效应力 等于单向均匀拉伸（压缩）时的应力 σ1 。

八、应力莫尔 (Mohr) 圆

九、应力平衡微分方程一般认为，应力是坐标的连续函数，即 。

设受力物体中有一点 Q ，坐标为 x ， y ， z ，应力状态为 σij ，在 Q 点的无限邻近处有一点 Q’ ，坐标为 (x+dx) 、 (y+dy) 、 (z+dz) ，则形成一个边长为 dx 、 dy 、 dz 的平行六面体，图 11-8 。由于坐标的微量变化， Q’ 点的应力要比 Q 点的应力增加一个微量，即为 σij+dσij 。例如，在 Q’点的 x 面上，由于坐标的变化，其正应力分量将为

Q’点的应力状态因此可以写为

单元体六个面上的应力分量，如图 11-8 所示。

九、应力平衡微分方程

图 11-8 静力平横状态下的六面体上的应力

因为六面体处于静力平衡状态，则由平衡条件 ΣPx = 0 , 有

由此得

同理，由 ΣPy = 0 和 ΣPz = 0 ，可得质点的应力平衡微分方程的另外两个等式，合并写为

简记为

在单元体平面上，切应力互等定律同样成立，即下式。

九、应力平衡微分方程例 11-1 在直角坐标系中，一点的应力状态表示成张量的形式为要求 : 1 ）画出该点的应力单元体；2 ）用应力状态特征方程求出该点的主应力和主方向；3 ）画出该点的应力莫尔圆，并在应力莫尔圆上标出应力单元体的微分面（即 x 、 y 、 z 平面）。

解： 1 ）应力单元体如右图 11-11 所示。

2 ）将各应力分量代入应力张量不变量的应力状态特征方程式，可得：

代入应力状态特征方程，得： 或解得将应力分量代入式齐次线性方程组联合写成方程组：

九、应力平衡微分方程为求主方向，可将解得的三个主应力值，分别代入上述方程组的前三式中的任意两式，并与第四式联立求解，可求得三个主方向的方向余弦为对于 σ1 ：对于 σ2 ： 对于 σ3 ：

3 ）根据三个主应力值，求得三个圆的圆心分别为 O1(5,0),O2(2.5,0),O3(-2.5,0) 三个圆的半径分别为： 5,7.5,2.5 。应力单元体的微分面在应力莫尔圆上的位置见图 11-12 的标示。

图 11-12 应力莫尔圆

第二节 应变空间

物体在力的作用下内部质点的相对位置和形状发生变化，即产生了变形。应变是一个表示变形大小的物理量。类似于点的应力状态，点的应变状态也是二阶对称张量，故与应力张量有很多类似的特性。但应变分析主要是几何学和运动学问题，它和物体中的位移场或速度场有密切的联系；同时，对于小变形和大变形，其应变的表示方法是不同的；对于弹性变形和塑性变形，考虑的角度也不尽相同，解决弹性和小塑性变形问题时主要用全量应变，而解决塑性成形问题时主要用应变增量或应变速率。应变状态分析的最主要的目标是建立应变及应变速率的几何方程，并为描述应力与应变关系作准备。

一、应变的概念1 定义 (以单向均匀拉伸为例，如图 P253 11-18—单向拉伸杆件 )(1) 工程应变 (相对应变、条件应变 ) ε-- 每单位原长的伸长量

(2) 对数应变 ( 自然应变、真空应变 ) ε* -- 代表一尺寸的无限小增量与该变形瞬时尺寸的比值的积分

0

0

=l l

l

00

*l

l

dl lIn

l l

2 3 4 10

0 0

( 1)* ln ln( 1) ln( 1)

2 3 4

n nl ll

l l n

工程应变的无限小增量表示直线单元长度的变化与它原来长度 l0 之比，即

0

0

=l l

l 0

0 0

( )l l dl

d dl l

对数程应变的无限小增量表示直线单元长度的变化与它的瞬时长度之比，即

*

0

(ln ) [ln(1 )]1

l dl dd d d

l l

一、应变的概念

2 分析(1) 工程应变—不能表示变形的真实情况，变形程度越大，误差越大。当变形程度小于 10% 时， ε与 ε*的数值比较接近；反之，误差逐渐增加。(2) 对数应变为可加应变，工程应变为不可加应变。(3) 对数应变为可比应变，工程应变为不可比应变。如某物体拉长一倍后 ε 拉 =1=100%；缩短一倍后 ε 压 =-0.5=-50%。拉长一倍与压缩一倍，物体的变形程度应该是一样的 (体积不变 )。然而，如用工程应变表示拉压的变形程度，则数值相差悬殊，失去可以比较的性质。但用对数应变表示拉压两种不同性质的变形程度，并不失去可以比较的性质。如某物体拉长一倍后 ε* 拉 =ln2=69%；缩短一倍后 ε* 压 =ln1/2=-69%。

对于微小应变，用上述两种量度求出来的应变（和应变增量）值几乎是一样的。

二、应变与位移的关系变形体内质点 M （ x ， y ， z ）变形后移动到M1 ，把它们在变形前后的直线距离称为位移，如图 1a 中的 MM1 ，位移是矢量。在坐标系中，一点的位移矢量在三个坐标轴上的投影称为该点的位移分量，用 u 、 v 、w 表示，或用角标符号 ui 表示，如图 1b 所示。

图 1 受力物体内一点的位移及分量

根据连续性假设，位移是坐标的连续函数，而且一般都有一阶偏导数，即：

或物体中某点产生了位移，还不表明物体产生了变形，只有质点间产生相对位移，才会引起物体变形。例如，与 M 相邻质点 M′(x+dx, y+dy, z+dz) 在变形中产生位移矢量 u′ ，即 u+δu ，和 M 相比，产生了位移增量 δu ，或M′ 与 M 之间相对位置变化量。如果 δu = 0 ，两质点间没有相对位移， MM′没有产生变形，仅仅产生了刚体移动。

二、应变与位移的关系图 2a 中设单元体平面 PABC 仅仅在 xy 坐标平面内发生了很小的拉变形，变成了 P1A1B1C1 。单元体内各线元长度都发生了变化，例如线元 PB 由原来 r 变成 r1=r +δr ，于是把单位长度的变化

定义为线元 PB 的线应变。对于平行于坐标轴的线元分别有

又设：该单元体在 xy 平面内发生了角度的变化 ( 切变形 ) ，图 2b ，线元PC 和 PA 所夹的直角缩小了 φ ，相当于 C 点在垂直于 PC 方向偏移了 δrτ ，表明变形后两棱边 PC 和 PA 的夹角减小了 φyx ，称为工程切应变。图 15-2b 所示的 φyx 可以看成是由线元 PA 和 PC 同时向内偏移相同的角度 γxy 和 γyx 而成，如图 2c 所示，且

把 γxy 和 γyx 定义为切应变。 γxy 表示 x 方向的线元向 y 方向偏转的角度。

二、应变与位移的关系

图 2 单元体在 xy 坐标平面内的变形

三、应变张量分析如图 3 所示，在直角坐标系中切取一平行于坐标平面的微分六面体 PABC-DEFG ，边长分别为 rx 、 ry 和 rz ，小变形后移至 P1A1B1C1−D1E1F1

G1 ，即变成一斜平行六面体。这时，单元体同时发生了线变形、剪变形、刚性平移和转动。设单元体先平移至变形后的位置，然后再发生变形，其变形可以分解为：(1) 在 x 、 y 、 z 方向上线元的长度发生改变，其线应变分别为

图 3 单元体的变形

(2) 单元体分别在 x 面、 y 面和 z 面内发生角度偏转，产生切应变为

三、应变张量分析和一点的三个互相垂直的微分面上 9 个应力分量决定该点的应力状态一样，质点的三个互相垂直方向上的 9 个应变分量确定了该点的应变状态。已知这九个应变分量，可以求出给定任意方向上的应变，这表明对应不同坐标系应变分量之间有确定的变换关系。这 9 个应变分量组成一个应变张量，由于其中 γij =γji ，故应变张量也是二阶对称张量，可用 εij 表示为

或

应变张量与应力张量具有同样的性质，主要有：(1)存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只有主应变而无切应变。用 表示主应变，则主应变张量为：主应变可由应变状态特征方程求得

三、应变张量分析(2) 存在三个应变张量不变量 I1 、 I2 、 I3 ，且

对于塑性变形，由体积不变条件， I1= 0

(3) 在与主应变方向成 45° 方向上存在主切应变，其大小为

若 ，则最大切应变为

三、应变张量分析(4) 应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量

式中， 为平均应变；为应变偏张量，表示变形单元体形状变化；

为应变球张量，表示变形单元体体积变化。(5) 存在应变张量的等效应变

等效应变的特点是一个不变量，在数值上等于单向均匀拉伸或均匀压缩方向上的线应变 。等效应变又称广义应变，在屈服准则和强度分析中经常用到它。

三、应变张量分析(6)与应力莫尔圆一样，可以用应变莫尔圆表示一点的应变状态。设已知主应变 和 的值，且 ， 可以在 ε −γ 平面上，分别以

为圆心，以为半径画三个圆，如图 4 ，

称为应变莫尔圆。

图 4 应变莫尔圆

所有可能的应变状态都落在阴影线范围内。由图可知，最大切应变为

三、应变张量分析 -- 塑性变形体积不变条件

设单元体的初始边长为 dx 、 dy 、 dz ，则变形前的体积为

小变形时，可以认为只有线应变引起边长和体积的变化，而切应变所引起的边长和体积的变化是高阶微量，可以忽略不计。因此变形后的单元体体积为

单元体体积的变化（单位体积变化率）在塑性成形时，由于物体内部质点连续且致密，可以认为体积不发生变化，因此

上式称为体积不变条件。它表明，塑性变形时三个正应变之和等于零 , 说明三个正应变分量不可能全部同号。

四、小应变几何方程、应变连续方程1 小应变几何方程 物体变形后，体内各质点产生了位移，并因此而产生应变。因此，位移场与应变场都是空间坐标的连续函数，可以用位移表示应变。下面先看图 5 。

图 5 位移分量与应变分量的关系

设单元体棱边长度为 dx 、 dy 、 dz ，它在 xoy 平面上的投影为 abdc ，变形后的投影移至 a1b1d1c1, a 点变形后移到 a1 点后，所产生的位移分量为 u 、 v ，则 b 点和 c 点的位移增量为

四、小应变几何方程、应变连续方程根据图中的几何关系，可以求出棱边 ac(dx) 在 x 方向的线应变 εx 为

以及棱边 ab(dy) 在 y 方向的线应变

由图中的几何关系，可得

因为 ，其值远小于 1 ，所以有

同理得

则工程切应变为

四、小应变几何方程、应变连续方程切应变为

按照同样的方法，由单元体在 yoz 和 zox 坐标平面上投影的几何关系，得其余应变分量与位移分量之间的关系式，综合在一起为

用角标符号可简记为

上式六个方程表示小变形时位移分量和应变分量之间的关系，是由变形几何关系得到的，称为小应变几何方程，又称柯西几何方程。如果物体中的位移场已知，则可由上述小应变几何方程求得应变场。

四、小应变几何方程、应变连续方程2 应变连续方程 由小应变几何方程可知，三个位移分量一经确定，六个应变分量也就确定，显然，它们不应是任意的。只有这六个应变分量之间满足一定的关系，才能保证变形体的连续性。应变分量之间的关系称为应变连续方程或应变协调方程。将上式几何方程中的 εx 、 εy 分别对y 、 x 求两次偏导数，可得：

两式相加，得

即

同理可得另外两式，连同上式综合在一起可得

四、小应变几何方程、应变连续方程左式表明，在坐标平面内，两个线应变分量一经确定，则切应变分量也就确定。同理，如果对上式中的三个切应变等式分别对 x 、 y 、 z 求偏导，得：

将上面的前两式相加后减去第三式，得再对上式两边对 y 求偏导数，得

与另外两式组合得

四、小应变几何方程、应变连续方程上式表明，在物体的三维空间内的三个切应变分量一经确定，则线应变分量也就确定。上面两式统称变形连续方程或应变协调方程。变形连续方程的物理意义表示：只有当应变分量之间满足一定的关系时，物体变形后才是连续的。否则，变形后会出现“撕裂”或“重叠”，变形体的连续性遭到破坏。同时还应指出，如果已知一点的位移分量 ui ，则由几何方程求得的应变分量 εij自然满足连续方程。但如果先用其它方法求得应变分量，则只有满足上述应变连续方程，才能由几何方程求得正确的位移分量。

例 设一物体在变形过程中某一极短时间内的位移为

试求：点Ａ（ 1, 1, 1 ）与点 B （ 0.5, － 1, 0 ）的应变值。

四、小应变几何方程、应变连续方程解 由小变形几何方程式求得应变分量为

将点 A 的坐标值 (1, 1, 1) 代入上式，得点 A 处的应变值

将点 B 的坐标值（ 0.5, － 1, 0 ）代入上式，得点Ｂ处的应变值

五、应变增量张量和应变速率张量1 应变增量张量 物体在变形过程中，在某一极短的瞬时 dt ，质点产生的位移改变量称为位移增量。产生位移增量以后，变形体内各质点就有了相应的无限小应变增量，用 dεij 表示。在此，瞬时产生的变形当然可视为小变形，可以仿照小变形几何方程写出应变增量的几何方程，只需将 dui 代替 ui ， dεij 代替 εij 即可，即

简记为

一点的应变增量也是二阶对称张量，称为应变增量张量，记为

五、应变增量张量和应变速率张量

应变增量是塑性成形理论中最重要的概念之一。塑性变形是一个大变形过程，在变形的整个过程中，质点在某一瞬时的应力状态一般对应于该瞬时的应变增量。可以采用无限小的应变增量来描述某一瞬时的变形情况，而把整个变形过程看作是一系列瞬时应变增量的积累。2 应变速率张量 单位时间内的应变称为应变速率，又称变形速度，用 表示，单位为 s−1 。设在时间间隔 dt 内产生的应变增量为 dεij ，则应变速率为 ij

ij

d

dt

应变速率与应变增量相似，都是描述某瞬时的变形状态。相类似，应变速率

1

2ij ji

ijj i

d uu

dt x x

一点的应变速率也是二阶对称张量，称为应变速率张量应该注意，应变速率 是应变增量 dεij 对时间的微商，通常并不是全量应变的微分。应变速率张量与应变增量张量相似，用来描述瞬时变形状态。

ij

ijx xy xz

ij y yz

z