LINGO 在图论中的应用

一、最短路问题

A G

F

E

D

C

B2

4

1

2

3

1

3

3

1

3

4

目标函数是最短路上的各条弧的长度之和 ( 总里程 ) 最小，于是最短路问题可以用如下 0 － 1 规划来描述：

式中 表示全体边的集合 。

.10

,1,1

,1,

,min

),(),1(1

),(),(

),(

或ij

Enjjn

Ejj

Ejiji

Ejiij

Ejiijij

X

XX

NiXX

XWz

},,{ 21 eeE

0 － 1 规划法建模

对于上例，编写 LINGO 程序如下：model:sets:cities/A,B,C,D,E,F,G/; ! 定义 7 个城市 ; roads(cities,cities)/ A,B A,C B,D B,E B,F C,D C,E C,F D,G E,G F,G/: W, X;! 定义哪些城市之间有路相联， W 为里程， X 为 0 －

1 型决策变量 ;endsetsdata: W=2 4 3 3 1 2 3 1 1 3 4;enddata

N=@SIZE(CITIES);

MIN=@SUM(roads:W*X);

@FOR(cities(i) | i #GT# 1 #AND# i #LT# N:

@SUM(roads(i,j): X(i,j))=@SUM(roads(j,i): X(j,i)));

@SUM(roads(i,j)|i #EQ# 1:X(i,j))=1;

@SUM(roads(i,j)|j #EQ# N:X(i,j))=1;

end

计算结果与动态规划法相同．程序中的最后一个约束方程可以去掉，因为有了前面两个约束条件( 共 n-1 个约束方程 ) 可以导出最后一个约束方程，即终点的约束方程与前面 n-1 个约束方程线性相关．保留该约束方程， LINGO 求解时也不会产生任何问题，因为 LINGO 会自动删除多余的方程．

该方法与前面的方法相比，灵活性稍差，它一次只能求出指定起点到指定终点的最短路，如果更改起点，则必须改动程序然后重新求解．

二、 旅行售货商模型旅行售货商问题 (又称货郎担问题， Travelin

g Salesman Problem 简称 TSP 模型），是运筹学的一个著名命题。

模型：有一个推销商，从某个城市出发，要遍访若干城市各一次且仅一次 ，最后返回出发城市。已知从城市 i 到 j 的旅费为 Cij ，问他应按怎样的次序访问这些城市，使得总旅费最少？

称能到每个城市一次且仅一次的路线为一个巡回 ( 圈 ) 。

TSP 是典型的组合优化问题，也是公认的 NP 完全难题。

不算出发地。 n 个城市有 (n-1)! 种排列方法，每一种旅行路线是排列中的一种，当 n 变大时，计算量呈指数增长，穷举法所费时间是难以承受的。

为此，多年以来有许多人研究了一些近似算法。

我们把 TSP 问题转化为 0-1 规划，然后用 LINGO 来求解。

1. 方法一：判断各边是否包含在旅行路线中引入 0-1 整数变量 xij( 且 i≠j) ： xij=1 表示路

线从 i 到 j ，即边 i-j 在旅行路线中，而 xij＝ 0

则表示不走 i-j路线

目标函数

首先必须满足约束条件：对每个城市访问一次且仅一次。从城市 i 出发一次 ( 到其它城市去 ), 表示为

n

i

n

jijijxcz

1 1

min

ijnixn

jji

,,,2,1,1

1

引入 0-1 整数变量 xij( 且 i≠j) ： xij=1 表示路线从 i到 j， xij＝ 0 则表示不走 i-j路线

目标函数

首先必须满足约束条件：对每个城市访问一次且仅一次。从城市 i 出发一次 ( 到其它城市去 ), 表示为

从某个城市到达 j一次且仅一次，表示为：

以上建立的模型类似于指派问题的模型，对 TSP 问题只是必要条件，并不充分。

n

i

n

jijijxcz

1 1

min

ijnixn

jji

,,,2,1,1

1

jinjxn

iji

,,,2,1,1

1

例如，用图示路线连接六个城市，满足以上两个约束条件，但这样的路线出现了两个子回路，两者之间不通，不构成整体巡回路线。

为此需要考虑增加充分的约束条件以避免产生子巡回。下面介绍一种方法：

增加变量 ui,i=2,3,…,n ，（它的大小可以取整数：例如从起点出发所达到的城市 u=2, 依此类推）。

3

1 2 4 5

6

附加约束条件：ui-uj+nxij≤n-1,i=1,…,n， j=2,…,n，且 i≠j 。

TSP 问题可以表示为规划：

n

i

n

jijijxcz

1 1

min

niunjixjinjninnxuu

ijnix

jinjx

iij

jiji

n

jji

n

iji

,,2,1,0,,,2,1,,1,0,,,2,,,1,1

,,,2,1,1

,,,2,1,1

1

1

TSP 问题的 LINGO 模型! 旅行售货员问题 ;model:sets: city / 1..6/: u;! 定义 6 个城市 ; link( city, city): dist, ! 距离矩阵 ; x; ! 决策变量 ;endsets n = @size( city);

data: !距离矩阵 ; dist =0 702 454 842 2396 1196 702 0 324 1093 2136 764 454 324 0 1137 2180 798 842 1093 1137 0 1616 1857 2396 2136 2180 1616 0 2900 1196 764 798 1857 2900 0; ! 这里可改为你要解决的问题的数据 ;enddata ! 目标函数 ; min = @sum( link: dist * x);

@FOR( city( K): !进入城市 K; @sum( city( I)| I #ne# K: x( I, K)) = 1; !离开城市 K; @sum( city( J)| J #ne# K: x( K, J)) = 1; ); ! 保证不出现子圈 ;@for(city(I)|I #gt# 1: @for( city( J)| J#gt#1 #and# I #ne# J: u(I)-u(J)+n*x(I,J)<=n-1); ); !限制 u 的范围以加速模型的求解，保证所加限制并不排除

掉 TSP 问题的最优解 ; @for(city(I) : u(I)<=n-1 ); @for( link: @bin( x));! 定义 X 为 0\1 变量 ;end

计算结果：目标函数值： 6610路线： 1-3-6-2-5-4-1

2. 方法二：对城市排序，找出最优排序在现实中的城市交通图中，有些城市之间有

直接道路，有些则没有，如果两点之间没有直接的通路，则两点之间的距离取最短路（经过其它点），即用任意两点之间的最短路 Cij作为图的距离矩阵，于是该图可以看成是一个完全图（即任意一对顶点都有一条边相连的图），此时形式上的环形巡回路线实际上个别点有可能不止经过一次。

设某个城市为旅行的出发地和终点（相当于总部所在地），旅行者从该城市出发到其它 n

个城市各一次且仅一次，最后回到出发地。我们把行进路线分成 n 步，每一步到一个城市（第 n+1 步返回出发地），于是一条旅行路线就相当于 n 个城市的一种排列， n 个城市共有n! 种排列方式。排序不同则总里程（或费用）可能不同，总里程（或总费用）最小的排序就是我们要寻找的最优路线。

引入 0-1 型决策变量 Xkj，下标 k 表示旅行的步数，下标 j 表示到达哪一个城市， Xkj=1 表示旅行者第 k个目的地（到达点）是城市 j， Xkj=

0 则表示否。用 lj表示总部到各城市的距离，用Cij表示城市 i与城市 j之间的最短路。

从出发地到第 1 个点的路程为

从最后一个点返回出发地的里程为

n

jjj Xl

11

n

jnjj Xl

1

假设在第 k步邮车达到城市 i ，在第 k+1 步达到支局 j ，即 Xki=Xk+1,j=1 ，则走过的里程为：

Cij·Xki·Xk+1,j

从第 1 点到第 n 点走过的总里程为

目标函数为

1

1 1 1,1

n

k

n

i

n

jjkikij XXC

1

1 1 1,1

11 )(min

n

k

n

i

n

jjkikij

n

jnjjj XXCXXlZ

约束条件有以下 2 条：(1) 每一步到达一个城市，即

(2) 每一个城市必须到一次且只需一次，即

n

jkj nkX

1

,,2,1,1

n

kkj njX

1

,,2,1,1

综上所述，可以把 TSP 问题转化成如下非线性 0-1 规划

其它约束条件

10

,,2,1,1

,,2,1,1

.s.t

)(min

1

1

1

1 1 1,1

11

或kj

n

kkj

n

jkj

n

k

n

i

n

jjkikjinj

n

jjj

X

njX

nkX

XXCXXlL

以上规划种允许包含其它约束条件。用 LINGO 可以求解该规划，举例如下。某县邮局和 10 个乡镇支局组成该县的邮政运

输网络，已知县局到各支局的距离和支局之间的距离矩阵（数据在程序中）。用一辆邮车完成邮件运输任务，邮车从县局出发到各支局去一次且只需一次，最后回到县局，求总路程最短的行驶路线。

编写 LINGO 程序如下：MODEL:

SETS:

CITY/1..10/: JL;

STEP/1..10/;

LINE( STEP, CITY): X;

LINKS(CITY,CITY):C;

ENDSETS

DATA: JL=71,56,27,30,28,26,15,9,30,27; C= 0,15,44,47,64,83,86,75,93,98 15,0,29,32,49,68,71,60,78,83 44,29,0,20,37,53,42,31,49,54 47,32,20,0,17,36,42,39,60,57 64,49,37,17,0,19,37,37,58,55 83,68,53,36,19,0,18,35,56,47 86,71,42,42,37,18,0,24,38,29 75,60,31,39,37,35,24,0,21,26 93,78,49,60,58,56,38,21,0,29 98,83,54,57,55,47,29,26,29,0;ENDDATA

@FOR( LINE : @BIN( X));

M1=@SIZE(STEP);

@FOR(CITY(I): @SUM(STEP(N): X(N,I)) = 1);

@FOR(STEP(N):@SUM(CITY(I):X(N,I))=1);

L1=@SUM(CITY(I):(X(1,I)+X(M1,I))*JL(I));

LX=@SUM(STEP(N)|N#LT#M1:@SUM(LINKS(I,J):C(I,J)*X(N,I)*X(N+1,J)));

MIN=L1+LX;

END

在程序运行前需要对 LINGO 的参数作必要的设置。对于非线性规划， LINGO 提供两种求解方法，一

种是“ Global Solver” （称为全局优化求解器），另一种是“ Multistart Solver” （称为多起点算法），全局优化求解器优点是确保找到全局最优解，缺点是有时需要较长运行时间。多起点算法的优点是节省运行时间，但不能保证找到的解就是全局最优解，多设置起点数往往找到的解就是全局最优解。

点击菜单“ Options” ，再打开全局优化求解器“ Global Solver” 选项，可以选或不选“ Global Solver” ，当选择多起点算法“ Multistart Solver” 时，需要设置起点数，若选择“ Solver Decides” 表示由LINGO 决定。

对以上程序，我们选择“ Global Solver” ，点击菜单“ Options” ，在全局优化求解器“ Global Solver” 选项框内打“√”，再点击“确定”。

运行以上程序，费时 4 分多钟，得到最优解：目标函数值（总路程） 260 公里邮车的行驶路线为：县局→8→9→10→7→6→5→4→1→2→3→县局