初中数学九年级上册

（苏科版）

1.3 1.3 菱形的性质菱形的性质1.3 1.3 菱形的性质菱形的性质

1. 菱形形的定义是如何描述的？

复习与引入

有一组邻边相等的平行四边形叫菱形 .

2. 菱形有哪些性质？复习与引入

A CO

D

B角 对角相等；邻角互补

边 对边平行且四条边都相等

对角线 互相垂直平分且每条对角线平分一组对角

对称性 轴对称图形 ；中心对称图形

S 菱形 ABCD= AC×BD 2

1

你能说出矩形与菱形的性质有哪些区别吗？

矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分；

菱形的四条边都相等，对边平行，对角相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分它的一组对角 .

菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半 .

已知菱形的两条对角线长分别为 6 和 8 ，由此你能获得有关这个菱形的哪些结论？

你能求得这个菱形的边长、周长、面积吗？

课堂练习 1. 己知：如图，菱形 ABCD 中，∠

B=60° ， AB ＝ 4 ，则以 AC 为边长的正方形 ACEF 的周长为 .

• 2 ．已知四边形 ABCD 是菱形， O 是两条对角线的交点， AC=8cm ， DB=6cm ，这个 � 菱形的边长是 ________cm ．

• 3 ．已知菱形的边长是 5cm ，一条对角线长为 8cm ，则另一条对角线长为 ______cm ．

• 4 ．四边形 ABCD 是菱形，∠ ABC=120° ，AB=12cm ，则∠ ABD 的度数为 _____ ， � DAB∠ 的度数为 ______ ；对角线 BD=_______ ， AC=_______ ；菱形 ABCD 的面积为 _______ ．

如图， 3 个全等的菱形构成的活动衣帽架，顶点 A 、E 、 F 、 C 、 G 、 H 是上、下两排挂钩，根据需要可以改变挂钩之间 的距离 ( 比如 AC 两点可以自由上下活动 ) ，若菱形的边长为 13 厘米，要使两排挂钩之间 的距离为 24 厘米，并在点 B 、 M 处固定，则 B 、 M 之间的距离是多少？

A

B

C

D

G

E F

M

H

F

例 2．已知：如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O， E、 F、 G、 H分别是菱形 ABCD各边的中点， 求证： OE=OF=OG=OH.

F

H

GEO

A

B C

D

已知菱形 ABCD 中，∠ A=72°, 请设计三种不同的分法，将菱形 ABCD 分割成四个三角形，使每个三角形都是等腰三角形（不写画法，在图中注明所分得等腰三角形顶角的度数）

A C

D

B

A C

D

B

A C

D

B

1 ．菱形的性质：　　菱形的四条边都相等；　　菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 .2 ．计算菱形的面积有两种方法，我们在解题过

程中要注意寻求简捷途径，这对于解决数学问题是非常重要的 .3. 菱形的对角线把菱形分成等腰三角形和直角三

角形，所以解决菱形问题，常常可以转化为等腰三

角形或直角三角形问题 .

菱形的判定

(1) 一组邻边相等的平行四边形是菱形 ( 定义 ).(2) 四条边都相等的四边形是菱形；

(3) 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ,

使用判定定理是要注意基础图形是

四边形还是平行四边形

复习与引入

例 1 、如图，△ ABC 中， AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于

点 D ，交 AC 于点 O ， CE∥AB 交 MN于 E ，连结 AE 、 CD ．

（ 1 ）求证： AD ＝ CE ； （ 2 ）填空：四边形 ADCE 的形状是

. 并说明理由。

C

B C

A

E

N

M O

例 2. 已知：如图，在△ ABC 中，∠ ABC=90° ， AD 是角平分线，点 E 、 F 分别在 AC 、 AD 上，且 AE=AB ， EF∥BC 。

求证：四边形 CDEF 是菱形。

DCB

A

EF

1 、已知：如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ， AP∥BD ， DP∥AC ，AP 、 DP 相交于点 P 。求证：四边形 AODP 是菱形。

A

P

D

C B

O

练 习

邻边相等

对角线互相垂直

O

A

D B

C

O

A

D B

C

平行四边形A

D

B

C

平行四边形A B

CD

AD=DC

AC⊥BD

四边相等 O

A

D B

C

四边形A

B

CD AD=DC=CB=BA

对角线互相垂直平分O

A

D B

C

四边形A

B

CD AC⊥BD,AO=CO,BO=DOO

归 纳

尝试练习 1. 已知：如图，在□ ABCD 中，对角线 B

D 平分∠ ABC 。 2. 求证：四边形 ABCD 是菱形。

A

B C

D

2. 已知：平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD,BC 分别交于 E,F 。 求证：四边形 AFCE 是菱形。A

B E

D

C

F

O

1

2证明：平行四边形 ABCD 中

AD∥BC ∴∠1=∠2 ，∠ 3=∠4

4

3

EF 垂直平分 AC ∴AO=CO,AF=CF,∴ △AOF≌△COE ∴ AF=CE

∴ 平行四边形四边形 AFCE 是菱形又 AF∥CE ∴ 四边形 AFCE 是平行四边形

一组邻边相等的平行四边形是菱形

3. 如图，已知 AD 是△ ABC 的角平分线，DE∥AC 交 AB 于 E ， DF∥AB 交 AC 于 F ，求证： AD⊥EF 。 1

2

3

A

B C

E

D

F证明：∵ DE∥AC ,DF∥AB∴ 四边形 AEDF 是平行四边形 ∴ ∠2=∠3

∵ AD 是△ ABC 的角平分线∴ ∠1=∠2∴ ∠1=∠3∴ AE=DE∴ □AEDF 是菱形∴ AD⊥EF

∵DE∥AC

4. 如图 , 在△ ABC 中 , AB=AC, 点 M 在边BC 上 , 过点 M 分别作 AB 、 AC 的平行线 , 与 AC 、 AB 分别相交于点 D 、 E. 当点 M位于 BC 的什么位置时 , 四边形 AEMD 是菱形 ? 请给予证明 .

M

E

D

CB

A

证明：∵ EM∥AC,DM∥AB∴ 四边形 AEMD 是平行四边形若 EM=DM, 则□ AEMD 是菱形∵AB=AC, ∴ ∠B=∠C又∵ EM∥AC,DM∥AB∴∠BEM=∠EMD=∠MDC

∠B=∠C, ∠BEM=∠CDM, EM=DM

在△ BME 和△ CMD 中

∴ △BME≌ △CDM

∴BM=CM

∴ 当 M 为 BC 的中点时，四边形 AEMD 是菱形

4 、已知如图，在△ ABC,∠ACB=900 ，AD 是角平分线，点 E 、 F 分别在 AB 、AD 上，且 AE=AC ， EF∥BC 。

求证：四边形 CDEF 是菱形

O

1 2

A

CB

D

EF

挑战

小 结

1 、菱形的判定定理的证明；2 、菱形与平行四边形的关系。