1

LIUTI LIXUE BENG YU FENGJI

高等职业技术教育建筑设备类类专业规划教材高等职业技术教育建筑设备类类专业规划教材

第一部分 流体力学2 流体静力学

流体力学 泵与风机流体力学 泵与风机

2

【知识点】作用在流体上的力；静压强基本特性；静压强基本方程式；压强的基准和量度方法； 液柱式测压计的原理； 作用于平面上静止液体总压力的计算；作用在曲面上静止液体总压力的计算等。 【能力目标】掌握：流体静压强的基本概念、基本特性，流体静压强基本方程及其在工程中的应用，压强的两种基准和三种量度方法；理解：液柱式测压计的测压原理；作用在流体上的力；熟练应用：能够熟练绘制静压分布图，计算作用于平面上和曲面上的液体总压力。

2 流体静力学

3

流体静力学研究流体在静止或相对静止状态下的力学规律及其实际应用。静止或相对静止的流体中，各质点间不存在相对运动，无论粘滞性多大，均没有切力。又因为流体不能承受拉力，因此静止流体中只存在压力作用，所以流体静力学的主要任务是研究流体内部静压强的分布规律，并在此基础上解决一些工程实际问题。流体静力学是流体力学的基础，它总结的规律可以用于整个流体力学中。

2 流体静力学

4

2.1 作用在流体上的力11

2.2 流体静压强及其特性22

2.3 流体静压强的分布规律33

2.4 压强的测量44

2.5 作用于平面上的液体总压力55

2 流体静力学

2.6 作用于曲面上的液体总压力66

5

作用在流体上的力是流体运动状态变化的重要外因，因此在研究流体运动规律时，必须分析作用在流体上的力。根据力作用方式的不同，作用在流体上的力可分为表面力和质量力。

作用于流体（或分离体）表面上的力称为表面力。流体的面积可以是流体的自由表面也可以是内部截面积（如图2.1所示的隔离体面积 ΔA) ，因为流体内部几乎不能承受拉力，所以作用于流体上的表面力只可分解为垂直于表面的法向力和平行于表面的切向力。

2.1 作用在流体上的力

2.12.1.1.1 表面力表面力2.12.1.1.1 表面力表面力

6

作用于流体的法向力即为流体的压力，作用于流体的切向力即为流体内部的内摩擦力。在流体内部，表面力的分布情况可用单位面积上的表面力，即应力来表示。单位面积上的压力称为压应力 ( 或压强 ) ，以 p 表示；单位面积上的切向力称为切应力，以 τ 表示。

2.1 作用在流体上的力

7

作用于流体的每一质点或微团上的力称为质量力。例如重力场中地球对流体的引力所产生的重力 (G=mg) 、直线运动的惯性力 (F=ma) 和旋转运动中的离心惯性力 (F=mrω2) 等 ( 式中 ω 是角速度 ) 。质量力常用单位质量力来表示。若某均质流体的质量为 m ，所受的质量力为 F 。则单位质量力为：

2.12.1.2.2 质量力质量力2.12.1.2.2 质量力质量力

m

Ff

2.1 作用在流体上的力

8

设 F 在三个空间坐标轴上的分量分别为 Fx 、 Fy 、 Fz ，则 f 在相应的三个坐标轴上的分量 X 、 Y 、 Z 分别可表示为：

单位质量力的单位与加速度的单位相同，即 m/s2。

m

FX x

m

FY y

m

FZ z

2.1 作用在流体上的力

9

假设有一个盛满水的水箱，如果在侧壁上开个小孔，水会立即喷出来，这就说明静止的水是有压力的。事实上处于静止状态下的流体，不仅对与之相接触的固体边壁有压力作用，而且在流体内部，相邻的流体之间也有压力作用。这种压力称为流体静压力，用 P 表示。 静止流体作用在单位面积上的流体静压力称为流体静压强，用 p 表示。

2.22.2.1.1 流体静压强的定义流体静压强的定义2.22.2.1.1 流体静压强的定义流体静压强的定义

2.2 流体静压强及其特性

10

如图 2.2 所示，在静止或相对静止的均质流体中，任取一体积 V ，该流体所受四周流体的作用力以箭头表示。设用一平面 ABCD 将此流体分为Ⅰ，Ⅱ两部分，假设移去Ⅰ部分，以等效力代替它对Ⅱ部分的作用，显然，余留部分仍保持原有的平衡状态。从平面 ABCD 上取一小块面积 ΔA ， a 点是该平面的几何中心，令力 ΔP为移去流体作用在面积 ΔA上的总作用力。

2.2 流体静压强及其特性

11

在流体力学中，力 ΔP 称为面积 ΔA 上的流体静压力，作用在面积 ΔA 上的平均流体静压强简称平均压强。即：

当作用面 ΔA 无限缩小至 a 点时，平均压强 ΔP/ΔA 比值趋近于某一个极限值，此极限值称为 a 点的流体静压强，以 p 表示。即：

A

Pp

A

Pp

aA

lim

2.2 流体静压强及其特性

12

从上式可以看出，流体的静压力和流体静压强都是压力的一种量度。但它们是两个不同的概念。流体静压力是作用在某一面积上的总压力；而流体静压强则是作用在某一面积上的平均压强或某一点的压强。因此它们的计量单位也不相同。国际单位制中，压力 P 的单位是牛顿 (N) 或千牛顿 (kN) ；静压强的单位是帕斯卡，简称帕 (Pa) ， 1Pa＝1N/m2 。有时也用千帕 (kPa) ，或巴 (bar) ， 1kPa＝1kN/m2=103Pa ， 1bar=105Pa ；在工程单位制中，流体静压力的单位常用千克力 (kgf) ，流体静压强的单位常用千克力 / 平方厘米 (kgf/cm2) 等。

2.2 流体静压强及其特性

13

流体静压强有两个重要的特性：(1) 流体静压强的方向必然是垂直指向受压面的，即与受压面的内法线方向一致。如图2.3所示，假设流体静压力 P 的方向是任意的，根据力学知识，我们将 P 可以分解为垂直于作用面的法向分力 Pcosθ 和平行于作用面的切向分力 Psinθ 。静止流体是不能承受拉力和切力的，所以切向分力为零，即 θ 角为 0° ，所以流体静压强的方向只能是垂直指向作用面的。

2.22.2.2.2 流体静压强的特性流体静压强的特性2.22.2.2.2 流体静压强的特性流体静压强的特性

2.2 流体静压强及其特性

14

2.2 流体静压强及其特性

15

(2) 在静止或相对静止的流体中，任一点各方向的流体静压强大小均等。在静止流体中任取一微小三棱柱，它在垂直于纸面方向有高度为 dl ，设柱体底面三边的长度分别为 da ，db ， dc ，作用在三个微小侧面上的压强分别为 p1 ，p2 ， p3 ，如图 2.4(a)所示，于是作用在这三个面上的压力分别为

dadlpP 11 dbdlpP 22 dcdlpP 33

2.2 流体静压强及其特性

16

这个三棱柱的重量 dG 是三阶无限小量，可以略去不记。由于这三个压力处于平衡状态，据力学原理，必然组成一闭合力三角形，如图2.4(b)所示，根据几何学，这两个三角形相似，即

则有 p1dl＝ p2 dl＝ p3 dl

即 p1＝ p2＝ p3

dc

P

db

P

da

P 321

2.2 流体静压强及其特性

17

当三棱柱体积无限缩小向 O 点趋近时， p1 ， p2 ， p3 表示的是 O 点的压强。而三棱柱是任取的，这就证明了静止流体内任一点各方向的流体静压强均相等，与作用面的方位无关；当所取点的位置不同时，所对应的 p 也不同，因而流体静压强只与点的位置有关，仅是位置的函数，即 p=f(x ， y ，z) 。根据流体静压强的特性，在实际工程中进行受力分析时，可画出不同作用面上流体静压强的方向，如图 2.5 所示。

2.2 流体静压强及其特性

18

由于流体本身有重量和易流动，对容器的底部和侧壁产生静压强，现在来分析静压强的分布规律。假设在容器侧壁上开三个小孔，如图2.6所示，容器内灌满水，然后把三个小孔的塞头打开，这时可以看到水流分别从三个小孔喷射出来，孔口愈低，水喷射愈急。这个现象说明水对容器侧壁不同深处的压强是不一样的，即压强随着水深的增加而增大，如果在容器侧壁同一深度处开几个小孔，则我们可以看到从各孔口喷射出来的水流都一样，这说明水对容器侧壁同一深度处的压强相等。

2.3 流体静压强的分布规律

2.32.3.1.1 流体静压强基本方程式流体静压强基本方程式2.32.3.1.1 流体静压强基本方程式流体静压强基本方程式

19

2.3 流体静压强的分布规律

20

在静止液体内，任意取一微小圆柱体如图 2.7 所示，设微小圆柱体端面积为 dA ，长为 ΔL ，圆柱体轴线与垂直面夹角为 θ 。现在来分析作用在液体柱上的力。（ 1 ）表面力周围的静止液体对圆柱体作用的表面力有侧面压力及两端面的压力。作用在液柱两端的压力沿轴向从端面反方向，作用的压力分别为 P1 和 P2 ；作用在液体柱侧面上的压力，垂直指向作用面，所以侧面压力与轴向正交，沿轴向分力为零。 （ 2 ）质量力静止液体受的质量力只有重力 G ，而重力的方向铅垂向下作用，与轴线夹角为 θ ， G 可以分解为平行于轴向的力 Gcosθ 和垂直于轴向的力 Gsinθ 。

2.3 流体静压强的分布规律

21

由于液体是处于静止状态的，所以根据力的平衡原理，该微小圆柱体的受力在任何方向上都应平衡，列沿轴线方向的平衡方程式：

因为微小圆柱体的端面面积 dA很小，可以认为断面上压强是处处相等的。则得到 P1=p1dA

P2=p2dA

式中 p1、 p2分别表示圆柱体两端上的压强。

0cos12 GPP

2.3 流体静压强的分布规律

22

微小圆柱体为均质液体，所以所受的重力为液体的容重乘以圆柱体的体积，即 G=γΔLdA ，则

消去 dA 整理得：

而 ，所以

0cos12 LdAdApdAp

0cos12 Lpp

hL coshpp 12

hpp 12hp 或写成 即 （式 2.5 ）

2.3 流体静压强的分布规律

23

因为倾斜圆柱体是任意选取的。因此上式具有普遍意义，即静止液体中任两点的压强差等于两点深度差乘以容重。现在，把压强关系式应用于静止液体内某一点的压强。如图2.8所示，根据式（2.5）得：

式中 p—— 静止液体内某点的压强， Pa ； p0—— 静止液体的液面压强， Pa ； γ—— 液体的容重， N/m3； h—— 该点在液面下的深度， m 。

hpp 0 （式 2.6 ）

2.3 流体静压强的分布规律

24

这就是液体静力学的基本方程式。它表示静止液体中，压强随深度的变化规律。从式（2.6）可以得出以下结论：（ 1 ）静止液体中任一点的压强由液面压强 p0 和该点在液面下的深度与容重的乘积 γh 两部分组成。压强的大小与容器的形状无关，即只要知道液面压强 p0 和该点在液面下的深度 h ，就可求出该点的压强。（ 2 ）液面压强 p0增大或减小时，液体内各点的流体静压强亦相应的增加或减少，即液面压强的增减将等值传递到液体内部其余各点。（ 3 ）液体中的压强的大小是随着液体深度逐渐增大的。当容重一定时，压强随水深按线性规律增加。在实际工程中修堤筑坝，愈到下面的部分愈要加厚，以便承受逐渐增大的压强，其道理也在于此。

2.3 流体静压强的分布规律

25

【例题 2.1 】敞口水池中盛水如图 2.9 所示。已知液面压强 p0=98.07kN/m2 ，求池壁 A 、 B 两点、 C 点以及池底 D 点所受的静水压强。

2.3 流体静压强的分布规律

26

关于压强的作用方向，静压强的作用方向垂直于作用面的切平面且指向受力物体（流体或固体）系统表面的内法线方向。 A 、 B 、 D 三点在容器的壁面上，液体对固体边壁的作用和方向如图2.9中所示， C 点在各个方向上的静压强相等。液体静力学基本方程（式2.6）还有另一种形式，如图2.10所示，设水箱水面的压强为 p0，水中 1 、 2 点到任选基准面 0-0 的高度为 Z1 、 Z2 ，压强为 p1、 p2，将式中的深度 h1、 h2

分别用高度差（ Z0-Z1）和（ Z0-Z2）表示后得： p1＝ p0+γ （ Z0-Z1） p2＝ p0+γ （ Z0-Z2）

2.3 流体静压强的分布规律

27

上式除以容重 γ ，并整理后得：

两式联立得：

0

01

1

pZ

pZ

0

02

2

pZ

pZ

0

02

21

1

pZ

pZ

pZ 图 2.10 流体静力学

方程推证

2.3 流体静压强的分布规律

28

水中 1 、 2 点是任选的，故可将上述关系式推广到整个液体，得出具有普遍意义的规律，即：

（常数）

这就是液体静力学基本方程的另一种形式，它表示在同一种静止液体中，不论哪点的 总是一个常数。

Cp

Z

)(p

Z

（式 2.7 ）

2.3 流体静压强的分布规律

29

2.3.2.1 物理意义方程式 中，从物理的角度来说， Z项是单位重量液体质点相对于基准面的位置势能， p/γ项是单位重量液体质点的压力势能， 项是单位重量液

体的总势能， 表明在静止液体中，各液体质点单位重量的总势能均相等。

2.32.3.2.2 静压强基本方程式的意义静压强基本方程式的意义2.32.3.2.2 静压强基本方程式的意义静压强基本方程式的意义

Cp

Z )(

p

Z

Cp

Z )(

2.3 流体静压强的分布规律

30

2.3.2.2 几何意义式（2.7）中各项的单位都是米（ m ），具有长度量纲 [L] ，表示某种高度，可以用几何线段来表示，流体力学上称为水头。 Z 为该点的位置相对于基准面的高度，称为位置水头， p/γ 是该点在压强作用下沿测压管所能上升的高度，称为压强水头， 称为测压

管水头，它表示测压管液面相对于基准面的高度。所谓测压管是一端与大气相通，另一端和液体中某一点相接的管子，如图2.11所示， 在该图中，表

示同一容器的静止液体中，所有各点的测压管水头均相等。因此，在同一容器的静止液体中，所有各点的测压管液面必然在同一水平面上，测压管水头中的压强 p 必须采用相对压强表示。

p

z

Cp

z )(

2.3 流体静压强的分布规律

31

以上规律是对液体分析得到的，对于不可压缩气体也同样适用。只是气体的容重较小，所以在高差不是很大的时候，气体所产生的压强很小，认为 γh=0 。压强基本方程式简化为

即认为空间各点的压强相等。但是如果高差超过一定的范围时，还应使用公式 (2.6 ) 来计算气体压强。

图 2.11 测压管水头

0pp ( 式 2.8)

2.3 流体静压强的分布规律

32

2.3.3.1 等压面在静止液体中，由压强相等的点组成的面称为等压面。根据流体静力学基本方程（ 2.6 ）可知，在连通的同种静止液体中，深度 h 相同的各点静压强均相等。由此可得以下结论：(1) 在连通的同种静止液体中，水平面必然是等压面；(2) 静止液体的自由液面是水平面，该自由液面上各点压强均为大气压强，所以自由液面是等压面；(3) 两种不同液体的分界面是水平面，故该面也是等压面。

2.32.3.3.3 等压面 连通器 帕斯卡定律等压面 连通器 帕斯卡定律2.32.3.3.3 等压面 连通器 帕斯卡定律等压面 连通器 帕斯卡定律

2.3 流体静压强的分布规律

33

现在以图2.12来具体分析判断等压面。图2.12(a)中，位于同一水平面上的 A 、 B 、 C 、 D 各点压强均相等，通过该四点的水平面为等压面。图 2.12(b) 中，由于液体不连通，故位于同一水平上的 E 、 F 两点的静水压强不相等，因而通过 E 、 F 两点的水平面不是等压面。图 2.12(c) 中，连通器中装两种不同液体，且 ρ 水>ρ 油，通过两种液体的分界面的水平面为等压面，位于该水平面上的 G 、 H 两点压强相等。而穿过两种不同液体的水平面不是等压面，位于该水平面上方的 I 、 J 两点压强则不等。

2.3 流体静压强的分布规律

34

2.3 流体静压强的分布规律

35

2.3.3.2 连通器所谓连通器就是液体自由表面以下互相连通的两个（或几个）容器。分三种情况：（ 1 ）第一种情况，两个相连的容器，Ⅰ和Ⅱ中，盛有同一种液体（ γ1=γ2）且面上压强相等（ p01=p02），如图 2.13 所示。由于液体处于平衡状态，根据静压强的第二个特性， A 点左右两侧的静压强相等，所以 pA1=pA2

p01+γ1h1=p02+γ2h2

因为 γ1=γ2， p01=p02

所以 h1=h2 （式 2.9 ）

2.3 流体静压强的分布规律

36

此式说明，对于盛有相同液体，且自由表面上气体压强相等的连通器，其液体自由表面高度相等。工程上广泛应用的水位计，如锅炉汽泡水位计、汽轮机油箱油位计等，就是利用此原理制成的。 图 2.13 连通器情况一

2.3 流体静压强的分布规律

37

（ 2 ）第二种情况，在连通器中盛有相同液体 (γ1=γ2=γ) ，但自由表面上的气体压强不相等（ p01≠p02），如图 2.14 ，此时，可写出 A 点左右两侧静压强平衡方程式

或 且

式 (2.10) 说明，对于盛有相同液体的连通器，其自由表面上的气体压强差，等于连通器两容器中液体自由表面高度差所产生的压强值。工程上常用的 U形管，就是根据这个原理测量压强的。

22021101 hphp hhhpp )( 120201

21 hh （式 2.10 ）

2.3 流体静压强的分布规律

38

图 2.15 连通器情况三图 2.14 连通器情况二

2.3 流体静压强的分布规律

39

(3)第三种情况，在连通器的两个容器中盛有两种不同的液体 (γ1≠γ2) ，但自由表面上的压强相等（ p01=p02 ），如图 2.15 所示，在这种情况下 A 点左右两侧静压强分别为

hhppA 111011 hhppA 122022

21 AA pp hhphhp 1220211101 ∴

∴ 2211 hh

1

2

2

1

h

h或 （式 2.11 ）

2.3 流体静压强的分布规律

40

2.3.3.3 帕斯卡定律根据流体静力学基本方程

可知，液面压强 p0与液柱所具有的重量 γh 无关，如果液面压强 p0增大（或减小） Δp ，则液体内任意点的压强都将同时增大（或减小）同样大小的 Δp 。因此可以得出结论：静止流体内任一点的压强变化，会等值传递到流体的其他各点。这就是著名的帕斯卡原理。水压机、液压千斤顶及液压传动装置都是利用这一原理设计的。

hpp 0

2.3 流体静压强的分布规律

41

图 2.16 所示为水压机原理图，有两个尺寸不同，彼此连通的圆筒和一对活塞组成，筒内充满水。已知大小活塞面积分别为 A1、 A2，忽略两活塞重量及其与圆筒摩擦力的影响，小活塞上加力 P1，在 P1的作用下，小活塞 A1上产生的静水压强为

按帕斯卡原理， p 将等值传递到 A2 上，所以

可见，大活塞上所产生的力 P2 是小活塞作用力 P1 的 倍。

1

1

A

Pp

11

222 P

A

ApAP

1

2

A

A

2.3 流体静压强的分布规律

42

【例题 2.2 】 容重为γa和 γb的两种液体，装在图 2.17 所示的容器中，各液面深度如图所示，两端自由液面上气体压强均为 p0，若 γb为已知，求 γa及 pA。

2.3 流体静压强的分布规律

43

在实际计算中，不同情况的流体静压强需采用不同的基准来计量。通常压强的计算基准有以下两个。（ 1 ）绝对压强：以没有气体分子存在的绝对真空状态作为零点起算的压强称为绝对压强，以符号表示。当要解决的问题涉及流体本身的性质时，采用绝对压强，例如采用气体状态方程式进行计算时。在表示某地当地大气压强时也采用绝对压强值。

2.4 压强的测量

2.42.4.1.1 压强的两种计量基准压强的两种计量基准2.42.4.1.1 压强的两种计量基准压强的两种计量基准

44

（ 2 ）相对压强：以当地大气压 pa 作为零点起算的压强，称为相对压强，以符号 p 表示。在工程上，相对压强又称表压。采用相对压强表示时，则大气压强为零，即 pa=0 。相对压强、绝对压强和当地大气压强三者的关系是：

注意，此处的 pa 是指大气压强的绝对压强值。 （ 3 ）真空压强：若流体某处的绝对压强小于当地大气压强时，则该处处于真空状态，其真空程度一般用真空压强 pv 表示。

appp '（式 2.12 ）

'ppp av

ppv （式 2.13 ） （式 2.14 ）

2.4 压强的测量

45

图 2.18 表示了上述三种压强之间的关系。在实际工程中常用相对压强。这是因为在自然界中，物体均放置处于大气压中，所感受到压强大小也是以大气压为基准的，在以后讨论问题时，如不加以说明，压强均指相对压强。

2.4 压强的测量

46

工程上常用的压强计量单位有三种。（ 1 ）应力单位根据压强的定义，用单位面积上的力来表示压强的大小。在国际单位制中用 N/m2 ，即 Pa 来表示。压强很高时，用 Pa数值太大，这时可用 kPa 或 MPa 。在工程制单位中，用 kgf/m2 或 kgf/cm2 。

2.42.4.2.2 压强的计量单位压强的计量单位2.42.4.2.2 压强的计量单位压强的计量单位

2.4 压强的测量

47

（ 2 ）液柱单位压强可用测压管内的液柱高度来表示。将液柱高度乘以该液体的容重即为压强。常用的液柱高度为水柱高度或汞柱高度，其单位为 mH2O(米水柱 ) ， mmH2O(毫米水柱 ) 和 mmHg （毫米汞柱）。 1mH2O = 9807N/m2 = 1000kgf/m2

1mmH2O = 9.807N/m2 = 1kgf/m2

1mmHg = 133N/m2 = 13.6kgf/m2

2.4 压强的测量

48

（ 3 ）大气压单位压强的大小也常用大气压的倍数来表示，其单位为标准大气压和工程大气压。国际上规定温度为 0℃ ，纬度 45° 处海平面上的绝对压强为标准大气压，用符号atm 表示，其值为 101.325kPa ，即 1atm=101.325kPa 。而在工程上，为了计算方便，规定了工程大气压，用符号 at 表示，其值为 98.07kPa ，即 1at=98.07kPa 。换算关系为：1atm = 101325Pa = 10.33mH2O = 760mmHg

1at = 98070Pa = 10mH2O ＝ 736mmHg

2.4 压强的测量

49

表 2.1列出了国际单位制和工程单位制中各种压强的换算关系，以供换算用。

压强单位

标准大气压（ 1.03×104kgf/m2 ）

工程大气压（ 104kgf/m2 ）

Pa（ N/m2 ）

bar（ 105N/m2 ） mmH2O mmHg

换算关系

1 1.03 101325 1.01325 10332 760

9.68×10-1 1 9.807×104 0.9807 104 735.6

9.68×10-3 10-1 9807 9.807×10-2 103 7.356×10-2

9.68×10-5 10-4 9.807 9.807×10-5 1 7.356×10-5

1.32×10-3 1.36×10-3 133.33 1.33×10-3 13.595 1

表 2.1 压强单位的换算关系

2.4 压强的测量

50

【例题 2.3】如图 2.19 中所示的容器中，左侧玻璃管的顶端封闭，其自由表面上气体的绝对压强 =0.75at ，右端倒装玻璃管内液体为水银，水银高度 h2=0.12m ，容器内 A 点的淹没深度 hA=2.00m 。设当地大气压为 1at ，试求：（ 1 ）容器内空气的绝对压强和真空压强 p02V ；(2)A 点的相对压强 pA ；（ 3 ）左侧管内水面超出容器内水面的高度 h1 。

2.4 压强的测量

51

流体压强的测量仪器可分为三类：金属式测压计、电测式测压计、液柱式测压计。金属式中压强使金属元件变形，从而测出表压力（即相对压强），量程较大。电测式利用传感器将压强转化为电阻电容等电量，便于自控。液柱式测压计方便直观，精度较高但量程较小因而常用于实验室测量，工程中也有应用。下面介绍几种常见的测压计。

2.42.4.3.3 液柱式测压计液柱式测压计2.42.4.3.3 液柱式测压计液柱式测压计

2.4 压强的测量

52

2.4.3.1 测压管这是一种最简单的量测仪器，一端连接在需测定的管道或容器的侧壁上，另一端开口和大气相通，如图 2.20 （ a ）所示。与大气相接触的液面相对压强为零，根据液体在玻璃管中上升的高度 hA ，可得出 A 点相对压强为

为了消除毛细作用对测压管水面上升的影响造成读数不够准确的现象，一般规定测压管的内径不得小于 5mm ，通常采用直径为 10mm左右的玻璃管作为测压管。测压管通常用来测量较小的压力，一般不超 2mH2O 。当测量的压强较大时，其解决办法是采用容重较大的液体，这样就可以使测压管高度大大缩短。

AA hp

2.4 压强的测量

53

图 2.20 测压管及 U 形测压管

2.4 压强的测量

54

2.4.3.2 U 形管测压计如图 2.20 （ b ）、（ c ）、（ d ）所示，一个内装某种液体的 U形管，管子一端与大气相通，另一端则与容器相连接，当一端与被测点 A连接后，在流体静压强的作用下， U形管内的液体就会上升或下降。如果测定气体压强，可以采用 U形管盛水，如图 2.20（ b ）。此时所测量的压强为容器中气体压强值，因为在气体高度不大时认为静止气体充满的空间各点压强相等。图中 A 点压强恰好低于大气压，则其相对压强或真空度分别为

,'AA hp ,'Av hp

2.4 压强的测量

55

如果测压管中的液体压强较大，对于水来说，测压管高度太大，使用和观测非常不便，因此常用水银 U形管测压计。如图 2.20 （ c ）、（ d ）所示，在某水管中 A 的压强，若大于大气压强，则 U形管左管液面低于右管液面，如图 2.20 （ c ）；若小于大气压强，则U形管左管液面高于右管液面， A 点为负压出现真空，此时可称为 U形管真空计，如图 2.20 （ d ）。需要指出的是，等到 U形管中水银面平衡不动时才能读数。取等压面 1-1 如图 2.20 （ c ）所示，设液体容重为 γ ，水银容重为 γHg ，则根据静压强基本方程式可得

2.4 压强的测量

56

而

所以

当管道或容器中为气体，因气体容重较小，气柱高度可以忽略不计。此时，

11 hp Hg

21 hpp A

21 hhp HgA

1hp HgA

2.4 压强的测量

57

2.4.3.3 U 形管差压计差压计（又称比压计）是测量两处压强差的仪器，如图 2.21 所示。将 U形管的两端分别接到需要量测的A 、 B 点上，当 U形管中水银面平衡不动时，根据水银面的高度差即可计算 A 、 B 的压强差。在图中，取等压面 0-0 ，根据静压基本方程式，左右两管中 1 、 2 两点的压强为：

由于 1 、 2 两点都在等压面 0-0 上， p1 = p2 ，因此

311 hhpp AAA

322 hhpp HgBB

3231 hhphhp HgBBAAA

2.4 压强的测量

58

A 、 B 两点的压强差

若 ，则

若 ，又 ，

即 A 、 B 两点位于同一高程

与水银测压计一样，若两个管道或容器中都为气体，则气柱高度、和都可以忽略不计，则

)( 3132 hhhhpp AHgBBA

BA

312 )()( hhhpp HgBA

BA 21 hh

3)( hpp HgBA

3hpp HgBA 图 2.21 差压计

2.4 压强的测量

59

2.4.3.4 斜管微压计在量测微小压强时，为了提高测量精度，经常采用微压计。常用的是一种斜管微压计。如图 2.22 所示，左端容器与需要量测压强的点相连，右端玻璃管改为斜放，设斜管与底板的夹角为，斜管读数为，则容器与斜管液面的高度差，由于 <90°, ，所以必大于 h ，量测同一微小压强，斜管读数比用直管量测的读数 h 要大，这就使读数可以精确些。

图 2.22 微压计

2.4 压强的测量

60

图 2.22 中，根据静压基本方程式，等压面上的压强为

由于 p2 = pa ，所以微压计量测的绝对压强与相对压强为

微压计常用来量测通风管道的压强，因空气容重与微压计内液体容重相比要小得多，空气的重力影响可以不考虑，可以将微压计液面上的压强就看作是通风管道量测点的压强。为了量测精确，微压计必须保持底板水平，如图 2.22 所示可以用螺旋来调整。

sin221 lphpp

sin'1 lpp a

sin1 lp （式 2.16 ）

2.4 压强的测量

61

2.4.3.5 金属测压计金属测压计，可用于测量真空度或 1~1000MPa 的压强。其优点是携带方便，装置简单。最常用的是弹簧测压计，它的主要感应元件是由一根扁圆形或椭圆形截面的弹性管子弯成圆弧形而成。管子一端封闭，另一端开口，固定在仪表基座上，并与被测定压强的液体连通。封闭端有细齿与齿轮连接。如图 2.23 所示。

2.4 压强的测量

62

2.4.3.6 真空计真空计有液体真空计与金属真空计两种，其构造与上述液柱测压计和金属测压计相同。【例题 2.4】 如图 2.24 所示，用水银测压计量测容器内气体的压强。已知测压计水银面高度差见图 2.24（ a ） h=30cm ，图 2.24 （ b ） h=12cm ，试求容器内气体的压强分别为多少。

2.4 压强的测量

63

【例题 2.5 】在通风管道上连接一个微压计，量测 A点的风压，如图 2.25 所示。若斜管倾斜 α=30° ，读数 l=20cm ，微压计内液体是酒精，容重 γC2H5OH=7.85kN/m3，试求通风管道 A 点的相对压强。【例题 2.6】 当量测密闭容器的压强较高时，为了增加量程，可用复式水银测压计，如图 2.26 所示。若各玻璃管中液面高程的读数为：▽ 1=1.5m ，▽ 2=0.2m ，▽ 3=1.2m ，▽ 4=0.4m ，▽ 5=2.1m ，试求容器水面上的相对压强 p5 。

2.4 压强的测量

64

2.4 压强的测量

65

液体静压强分布图是根据流体静压强特性和流体静压强基本方程式绘制的，用具有一定长度的有向比例线段表示流体静压强的大小及方向的形象化的几何图形称为液体静压强分布图。如图 2.27 所示， AB 为一铅垂直壁，其左侧受到水的压力作用。液体静压强分布图的绘制方法如下：以自由液面与铅垂直壁的交点为坐标原点，横坐标为压强 p ，纵坐标为水深 h ，压强与水深按线性规律变化，在自由液面上， h=0 ， p=0 ；在任意深度 h 处， p=γh ，连接 AE ，即得到相对压强分布图三角形 ABE 。液面压强 p0 根据帕斯卡等值传递原理，其压强分布图为平行四边形 ACDE 。

2.5 作用于平面上的液体总压力

2.52.5.1.1 总压力的大小和方向总压力的大小和方向2.52.5.1.1 总压力的大小和方向总压力的大小和方向

66

在工程实践中，受压面四周都处于大气中，各个方向的大气压力可以相互抵消，故对工程计算有用的部分只是相对静压强分布图，即三角形 ABE。

2.5 作用于平面上的液体总压力

67

图 2.28 绘出了几种有代表性的相对静压强分布图。

图 2.28 几种水静压强分布图的画法

2.5 作用于平面上的液体总压力

68

放置在水中任意位置的任意形状的倾斜平面 ab ，该平面与水面的夹角为 α ，如图 2.29 所示，平面面积为 A 。平面的左侧承受水的压力作用，水面压强为大气压强 pa 。由于 ab 面的右侧也有大气压强 pa 作用，所以在讨论液体的作用力时只要计算相对压强所引起的液体总压力。现取平面的延长面与水面的交线为 Ox轴（ Ox 轴垂直于纸面），垂直于 Ox 轴沿该平面向下为 Oy 轴，并将 Oxy 平面绕 Oy 轴旋转 90° ，受压平面就在 Oxy 平面上清楚地表现出来了。如图 2.29 所示。

图 2.29 平面液体压力分析

2.5 作用于平面上的液体总压力

69

在 ab 平面内任意取一微小面积 dA ，其中心点 A 在水面下的深度为 h ，纵坐标为 y ，由于所取得微小面积尺寸很小，故可以认为微小面积上所有点的静压强均相等，且与轴线上各点的压强相同，则作用在 dA 上的液体压力：

由于 ab 为一平面，故根据静压强基本特性，流体静压强垂直指向作用面，可以判断各微小面积 dA 上的液体压力 dP 的方向是相互平行的，所以作用在整个受压面 A 上的液体总压力等于各微小面积 dA 上的液体压力 dP 的代数和，即求平面上总静压力问题，实际上是求平行力系合力问题。

hdApdAdP

2.5 作用于平面上的液体总压力

70

作用在平面上的总静压力 P 为：

式中 ，为受压面积 A 对 Ox轴的静矩，根据力学原理，它等于受压面积 A 与其形心坐标 yc的乘积，即

故

而其中

AAA

ydAdAyhdAdPP sinsin

A

ydA

AyydA c

A

AyP c sin

cccc phhy ,sin

2.5 作用于平面上的液体总压力

71

所以平面上所受液体总压力大小的计算公式为

式中： P—— 平面上所受的液体总压力， N 或 kN ；γ—— 液体容重， N/m3 ；hc—— 受压面形心 C 点在液面下的淹没深度， m ； pc—— 受压面形心 C 处的液体静压强， N/m2 或 kN/m2 。式（ 2.17 ）表明，作用在任意形状平面上的液体总压力的大小，等于受压面形心点液体静压强与其面积的乘积。

ApP c（式 2.17 ）

2.5 作用于平面上的液体总压力

72

当受压壁面水平放置，即当所讨论的面积是容器的底壁时，该壁面是压强均匀分布的受压面，如图 2.30 所示。若容器形状不同，但底面积相等，装入的又是同一种液体，其液深也相同，自由表面上均为大气压，则液体作用在底面上的总压力必然相等。因而，容器底面所受压力的大小仅与受压面的面积大小和液体深度有关，而与容器的容积和形状无关。由于静止液体不存在切向力，故液体总压力 P 的方向总是垂直指向受压面。

图 2.30 作用在容器底面上的液体总压力

2.5 作用于平面上的液体总压力

73

总压力 P 的作用点称为压力中心，用 D 表示。规则受压面都有对称轴，这时，压力中心位于对称轴上，即D 点在水平方向上的位置就很容易确定，只要再将 D点的垂直坐标找到，作用点的位置就可确定了。 D 点的位置根据合力矩定理（即合力对某一轴的力矩等于各分力对同一轴的力矩的代数和）求得。即

2.52.5.2.2 总压力的作用点总压力的作用点2.52.5.2.2 总压力的作用点总压力的作用点

XAAD JdAydAyyydPPy sinsinsin 2

2.5 作用于平面上的液体总压力

74

由理论力学可知， JX 是受压面面积 A 对 Ox 轴的惯性矩，即：

于是

式（ 2.18 ）表明，总压力作用点 D 的纵坐标 yD 等于受压面积 A 对 Ox 轴的惯性矩与静矩之比。根据惯性矩平行移轴定理：

AX dAyJ 2

Ay

J

Ay

J

P

Jy

c

X

c

XXD

sin

sinsin（式 2.18 ）

AyJJ ccX2

2.5 作用于平面上的液体总压力

75

式中 JC 为面积 A 对通过其形心 C 且与 Ox 轴平行的轴的惯性矩。于是总压力作用点的位置为：

由式（ 2.19 ）可知，由于 总是正值，所以 y

D＞ yc，即总压力作用点 D 一般在受压面形心 C 点之下，只有当受压面为水平面时（即 sinα=0 ）， D 点才与 C 点重合。同理可求出液体总压力作用点 D 的横坐标 xD，实际工程中所遇到的平面多为轴对称平面，其总压力作用点 D必然位于对称轴上，故无需计算 xD。 当受压面为水平面时，作用点的位置在受压面的形心。

Ay

Jy

Ay

AyJy

c

cc

c

ccD

2

Ay

J

c

c

2.5 作用于平面上的液体总压力

76

表 2.2 常见平面的 Jc 及 C 的计算公式

2.5 作用于平面上的液体总压力

77

【例题 2.7 】 如图 2.31 所示，一引水涵洞的进水口设一高度 a 为 2.5m 的矩形平板闸门，闸门宽 b=2m ，闸门前水深 h2=7m ，闸门倾斜角 θ=60° ，试求闸门上所受静水总压力的大小及作用点。 图 2.31 例题 2.7 图

2.5 作用于平面上的液体总压力

78

2.6 作用于曲面上的液体总压力图 2.32 为一母线垂直于纸面（即平行于 Oy 轴）的二向曲面，母线长 b ，曲面的一侧受有液体静压力的作用。现在讨论作用在曲面 AB 上的静水总压力的大小、方向和作用点。

图 2.32 作用在曲面上的液体静压力

2.6 作用于曲面上的液体总压力

79

由于压强与受压面正交，作用在曲面各微小面积上的压力正交于各自的微小面积，其方向是变化的。这样就不能像求平面总压力那样用直接积分求和的办法去求得全部曲面上的总压力。为此，可将曲面 A看作由无数微小面积 dA 所组成，而作用在每一微小面积上的压力 dP 可分解成水平分力 dPx 及垂直分力 dPz ，然后分别积分 dPx 及 dPz得到 P 的水平分力 Px 及垂直分力 Pz 。这样把求曲面总压力的问题变成求平行力系合力 Px 、 Pz 的问题。

2.62.6.1.1 总压力的大小总压力的大小2.62.6.1.1 总压力的大小总压力的大小

2.6 作用于曲面上的液体总压力

80

为此，作许多母线分 AB 曲面为无穷多个微小曲面，以 MN 示其中之一，由于微小面积非常小，所以可以认为它是个平面，其面积为 dA ，水深为 h ，作用在这一微小面积上的力 dP 在水平和垂直方向的投影为：水平分力为 铅直分力为 又因为 则 式中 h 是面积 dA 的形心在液面以下的深度；dAX是 dA 在水平面 xOy 上的投影大小；dAZ是 dA 在水平面 yOz 上的投影大小。

coscos hdAdPdPX

sinsin hdAdPdPZ

XdAdA sin ZdAdA cos

XX hdAdP ZZ hdAdP

2.6 作用于曲面上的液体总压力

81

将上式积分得：

式中 hdAZ为平面 dAZ对水平轴 Oy 的静矩，由理论力学可知，积分 等于曲面 AB 在铅垂平面上的投影面积 AZ对自由液面 y 轴的静矩，它等于 AZ

与其形心在水面下的淹没深度 hc之乘积，即 ，以此代入上式，得

ZZ A ZA ZXX hdAhdAdPP

XX A XA XZZ hdAhdAdPP

ZA

ZhdA

ZcA Z AhhdAZ

ZcA ZX AhhdAPZ

（式 2.21 ）

（式 2.22 ）

（式 2.20 ）

2.6 作用于曲面上的液体总压力

82

式中： hc——投影面 Az的形心在液面下的深度， m ； Az—— 受压曲面 AB 在铅直面 yOz 上的投影面面积， m2； γ—— 液体容重， N/m3。由此可见，作用在曲面 AB 上的液体总静压力的水平分力 PX，等于作用于该曲面的垂直投影面上的液体总压力。 PX的作用方向是水平指向受压面，其作用点可按式（ 2.19 ）计算。 对铅直分力 PZ ，由几何学可知，式（ 2.21 ）右边的积分式中 hdAX为作用在微小曲面 MN 上的液体体积。所以 为作用在曲面 AB 上的液体体积 （图 2.33 ），即：

XA

XhdA '''' DBAOABDO

2.6 作用于曲面上的液体总压力

83

式中 hdAX—— 微小曲面MN 所托液体的体积。 ——代表曲面 AB 所托液体的体积，即以截面积为 OABD ，而长为 b 的柱体体积，以 V 表示，称为压力体。式（ 2.23 ）表明，作用在曲面上的液体总静压力的铅直分力PZ，等于该曲面的压力体内液体的重量。

VhdAPXA

Xz

XA

XhdA

图 2.33 曲面上压力体的组成

（式 2.23 ）

2.6 作用于曲面上的液体总压力

84

求 PZ 的关键是求出压力体的体积。压力体即以曲面为底，以其在自由面或其延长面上的投影面为顶，曲面四周各点向上投影的垂直母线作侧面所包围的一个空间体积。PZ 的作用线通过压力体的重心。

图 2.34 压力体

2.6 作用于曲面上的液体总压力

85

如果压力体和水体位于受压面的同侧，液体位于受压曲面的上方，在压力体内充满液体，称为实压力体，则 PZ的方向向下，如图 2.34 （ a ）所示。如压力体和水体位于受压面的两侧，液体位于受压曲面的下方，在压力体内无液体，称为虚压力体，则 PZ的方向向上，如图 2.34 （ b ）所示。 作用在曲面上的静水总压力为

22ZX PPP （式 2.24 ）

2.6 作用于曲面上的液体总压力

86

P 的作用线与水平线的夹角 θ 为

X

Z

P

Parctan （式 2.25 ）

2.62.6.2.2 总压力的方向总压力的方向2.62.6.2.2 总压力的方向总压力的方向

2.6 作用于曲面上的液体总压力

87

P 的作用线必然通过 PX与 PZ的交点，对于圆柱体曲面，必定通过圆心。总压力 P 的作用线与曲面的交点，即为静水总压力的作用点。以上推导的求作用在平面与曲面上的液体总压力 P 的公式只适用于液面压强为大气压。对密闭容器，当液面压强大于或小于大气压时，则应以相对压强为零的液面 ( 即测压管水头所在的液面 )求总压力和压力作用点。这个相对压强为零的液面和容器实际液面的距离为 。

2.62.6.3 .3 总压力的作用点总压力的作用点2.62.6.3 .3 总压力的作用点总压力的作用点

/0 app

2.6 作用于曲面上的液体总压力

88

【例题 2.8】 如图 2.35 所示， AB 为四分之一圆柱体曲面，半径 R=2.5m ，宽 b=4.0m ，A 点的水深 OA=2.0m ，求作用在曲面上的静水总压力及其作用点。

图 2.35 例题 2.8 图

2.6 作用于曲面上的液体总压力

89

【本章小结】本章首先介绍了作用在流体上表面力和质量力，然后围绕流体静压强介绍了其定义、特性、两种基准和三种量度方法以及常用测量仪器等，重点介绍了流体静压强的基本方程式及其在工程中的实际应用，对作用于平面和曲面上液体压力进行了分析，给出了分析思路和计算公式。学习中应该充分掌握流体静压强基本方程的应用方法，能够熟练绘制静压分布图，切实掌握作用于平面上的液体总压力的计算方法。

小 结

90

LIUTI LIXUE BENG YU FENGJI

高等职业技术教育建筑设备类类专业规划教材高等职业技术教育建筑设备类类专业规划教材

武汉理工大学出版社发行部http://www.techbook.com.cn地 址：武汉市武昌珞狮路 122 号邮 编： 430070电 话： 027-87394412 87383695传 真： 027-87397097

流体力学 泵与风机流体力学 泵与风机