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第五章 精密機械隨機控制. R. J. Chang Department of Mechanical Engineering NCPU. § 5.1 機器隨機動態 § 5.2 線上狀態估測 § 5.3 精準機電控制 § 5.4 精準控制模擬. § 5.1 機器隨機動態 (1). 線性動態方程隨機響應： 隨機響應分析包括時域與頻域法；頻域法僅適用於穩態程序，故輸入程序必須為穩態，例如白噪音。而時域法可用於非穩態之輸入程序，例如擴延白噪音 ( Extended white noise ) 。 - PowerPoint PPT Presentation
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第五章 精密機械隨機控制
§ 5.1 機器隨機動態
§ 5.2 線上狀態估測
§ 5.3 精準機電控制
§ 5.4 精準控制模擬
R. J. ChangDepartment of Mechanical Engineering
NCPU
§ 5.1 機器隨機動態 (1)
線性動態方程隨機響應： 隨機響應分析包括時域與頻域法；頻域法僅適用於穩態程序，故輸入程序必須為穩態，例如白噪音。而時域法可用於非穩態之輸入程序，例如擴延白噪音 (Extended white noise) 。 擴延白噪音—噪音瞬間強度即為白噪音之強度，然其強度會隨時間而改變，而其頻譜不存在。• 頻域法 1. SISO 動態方程 w(t) 為穩態隨機程序，則
0( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
tx t h t w d
h t w d
h w t d
h(t)w(t) x(t)
§ 5.1 機器隨機動態 (2)
2. SISO 穩態響應 若 x(t) 為弱穩態程序，則 x(t) 之自相關函數為
1 2 1 2 1 2
( ) [ ( ) ( )]
( ) ( ) ( )
( ) { ( )} ( )
1 ( ) ( )
2
xx
ww
jxx xx xx
jxx xx
R E x t x t
h h R d d
S R R e d
R S e d
由功率頻譜密度函數和自相關函數關係得
F
§ 5.1 機器隨機動態 (3)
則
2
2
( ) ( )
1 [ ( ) ( ) ]
2
( ) ( )
1 [ ( ) ]
2( )
( ) ( ) ( )
jxx xx
j jww
jxx xx
j jxx
xx
xx ww
S R e d
e S H e d d
S R e d
S e d e d
S
S S H
由以上二式之 得
而輸出狀態之均方22 1
(0) [ ( )] ( ) ( )2xx wwR E x t S H d
值為
§ 5.1 機器隨機動態 (4)
例：已知 w(t) 為高斯白噪音，求以下輸出之頻譜及自相關 函數。
2
2
2
-1
-1 -1 -12
( ) ( ) ( )
1 1 ( ) (1)
1 1
( ) { ( )}
1 0.5 0.5 ( ) { } { } { }
1 1 1
( ) 0.5
yy ww
yy
yy yy
yy
yy
S S H
Sj
R S
Rj j
R e
解：
輸出之頻譜－由
得
輸出之自相關函數－由
得
故
F
F F F
w(t)
Rww()()
y(t)1
1s
§ 5.1 機器隨機動態 (5)
3. MIMO 穩態響應
若系統為二階動態方程組如下
H()w(t) , x x
高斯白噪音
2 1
*
2
( ),
[ ( )] 0, [ ( ) ( ) ] ( )
( ) [ ]
( ) ( ) ( )
[ ] ( ) , [ ] ( ) ,
[ ] ( )
T
T
j k jk j k jk
j k jk
Mx Cx Kx w t
E w t E w t w s Q t s
H j M j C K
H QH
E x x d E x x j d
E x x d
其中
則
輸出狀態之頻譜為輸出狀態之協方差為
§ 5.1 機器隨機動態 (6)
• 時域法 1. MIMO 動態方程
1 1
0 1 2
1 2 1 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(0) { ( ), ( ),..., ( )}
( )
[ ( )] 0
[ ( ) ( )] ( ) ( )
n n n n s s
n
T
x t F t x t G t n t
x x x x t x t x t
n t
E n t
E n t n t Q t t t
其中 ，且：擴延高斯白噪音程序具有特性
§ 5.1 機器隨機動態 (7)
2. MIMO 系統之時域解
00 0
0
0 0
0
( ) ( , ) ( , ) ( ) ( )
, ( )
( , )
( , ) ( ) ( , )
( , ) ( )
( ) ( ) ( )
t
t
x xx
x t t t x t G d t
d ndt t
t t
t t F t t t
t t I
x t t P t
其中 稱為擴延維納程序
為基本解矩陣滿足下式
單位矩陣
為高斯分佈，故其解可由平均值 與協方差
完全確定。
§ 5.1 機器隨機動態 (8)
3. 平均值之進展方程0 0
0 0
0 0 0 0
[ ( )] ( , ) [ ( )]
( ) ( , ) ( )
( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
(0)
x x
x x x
x x
E x t t t E x t
t t t t
t t t t F t t t t
t F t t
x t F t x t
x
即
微分表示
即
平均值隨時間進展之關係式，即為原狀態方程不受零均值隨機作用之確定狀態方程的時間響應。
狀態方程與
起始條件
( ) ( ) ( )
(0)
x x
x
t F t t
§ 5.1 機器隨機動態 (9)
4. 協方差之進展方程
0
0 0 0
( ) [( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ]
( ) ( )
( ) ( , ) ( ) ( , )
( , ) ( ) ( ) ( ) ( , )
( )
(
Txx x x
x
Txx xx
t T T
t
xx
P t E x t t x t t
x t t
P t t t P t t t
t G Q t G t d
Leibnitz
P t
由 之解及 之進展式
使用萊布尼茲 法則，對上式微分並合併各項可得
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T Txx xxF t P t P t F t G t Q t G t
§ 5.1 機器隨機動態 (10)
5. 隨機響應之進展方程 協方差隨時間之關係式與平均值之進展方程獨立， 故可以分開求解再疊加，此為線性方程之必然結果。
x (tf )
x(tf )
p(tf )
t t
x(t)
t
Pxx(t) x(t)
ti tf
x(ti )
p(ti )
x (ti )
ti tf ti tf
(σ2)
+3σ
§ 5.1 機器隨機動態 (11)0 0
0
1 1 2
1
0 02
( )
( ) (0), (0), (0)
( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )
( ), ( )
,
0 1
xx xx xx
x x x w t
x t P P P
w t E w t w s Q t t s
x t x t
x x x x
x
x
例：為高斯分佈具協方差 及零均值，為高斯擴延白噪音具 ；
求 之輸出響應。解：以狀態方程表示系統，設
1
2
0 0
0 0
0( )
1
0 2 0 0
1 0 ( )
0 2 2 1
xx xx
xx xx
xx xx
xw t
x
P P
P P Q t
P P
由時域法得
( )
故輸出為高斯密度函數，其均值響應可由線性方程式解出本例為零均值 而協方差可由上式解出。
§ 5.1 機器隨機動態 (12)
擴延非白噪音之建模： 若線性系統包含動態方程與量測方程，當系統輸入為擴延非白噪音程序時，如何求解系統輸出。
• 狀態方程具有擴延非白噪音輸入
整形濾波器
高斯白噪音程序
線性系統非白噪音程序
需經設計之濾波器
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
x t F t x t G t n t
z t H t x t v t
n t
v t
：高斯擴延非白噪音：高斯擴延白噪音
§ 5.1 機器隨機動態 (13)
設計整形濾波器
擴充狀態方程
擴充輸出方程
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
f f f f
f f
x t F t x t G t w t
n t H t x t
w t
：高斯擴延白噪音
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( )
( ) 0 ( ) ( ) ( )f
f f f f
x t F t G t H t x tw t
x t F t x t G t
( )
( ) ( ) 0 ( )( )f
x tz t H t v t
x t
§ 5.1 機器隨機動態 (14)
• 量測方程具有擴延非白噪音輸入
設計整形濾波器
擴充狀態方程
整形濾波器之設計一般以頻譜因子分解法 (Spectral factorization) 設計得穩定極小相位之線性濾波器。
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
x t F t x t G t w t
z t H t x t n t v t n
其中 是高斯擴延非白噪音
( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 ( )
( ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
f f f f f
ff
x t F t x t G t w t
x t F t x t G t w t
x tz t H t H t v t
x t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
f f f f f
f f
x t F t x t G t w t
n t H t x t
§ 5.1 機器隨機動態 (15)
例：設計以下之整形濾波器
2
2
2
2
( ) ( ) ( )
2 ( ) { ( )} ( ) { }
1( ) 2
( )( ) (1 )
2 2 ( ) ( ) (spectral factorization)
(1 ) (1 )
2 ( )
1
zz ww
ww ww w zz
zz
ww w
w w
w
S S H
S R Q S e
SH
S Q
Q QH j H j
j j
QH s
s
解：
由
和
則
即
故 為穩定且極小相位之濾波器
F F
H(s)高斯白噪音 高斯非白噪音
Rww()Qw() Rzz() e ||
§ 5.1 機器隨機動態 (16)
連續系統之離散表示及狀態進展：• 系統離散化 1. 連續系統
1 2 2 1
1 2 2 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ( )] 0, [ ( ) ( )] ( ) ( )
[ ( )] 0, [ ( ) ( )] ( ) ( )
T
T
x t F t x t B t u t G t w t
z t H t x t v t
E w t E w t w t Q t t t
E v t E v t v t R t t t
其中
§ 5.1 機器隨機動態 (17)
2. 離散系統
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1
( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ( )] 0, [ ( ) ( )] ( ) ( )
[ ( )] 0, [ ( ) ( )] ( ) ( )
i i i i i i i d i
i d i i d i
Td i d i d i d i
Td i d i d i d i
x t t t x t t u t t w t
z t H t x t v t
E w t E w t w t Q t t
E v t E v t v t R t t
其中
連續系統
D/A D/A
A/D
A/DD/Au(t) z(t)
x(t)
z(ti)u(ti)
x(ti)
w(ti) v(ti)
v(t)w(t)
§ 5.1 機器隨機動態 (18)
• 離散系統參數 1. 非時變系統參數
1
2
2
0
2
0
1 1
1 1
1( ) ...
2!1
...2!1
...2!
( ) ( )( )
( ) ( )
i
i
F t
t F
t F
t F F td i it
d i i
e I F t F t
e Bd IB t FB t
e Gd IG t FG t
Q t e Q t e d
R t R t
§ 5.1 機器隨機動態 (19)
2. 一階近似參數 當系統之暫態變化，或者系統之緩慢時變遠小於 取樣時間 t 時，離散系統之參數可以下式近似計算。 1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
( , ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
i i i
i i
i i
d i i
d i i
t t I F t t
t B t t
t G t t
Q t Q t t
R t R t
§ 5.1 機器隨機動態 (20)
• 離散系統狀態之進展 1. 平均值進展方程
2. 協方差進展方程
以上之平均值與協方差進展方程無任何相關；只要 分別給定起始狀態之統計訊息即可個別或同時求解。
1 1 1 1 1 1( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( )T Txx i i i xx i i i i d i iP t t t P t t t t Q t t
1 1 1( ) ( , ) ( ) ( ) ( )x i i i x i i it t t t t u t
§ 5.1 機器隨機動態 (21)
非線性動態方程隨機響應： 非線性動態之隨機響應問題，本質上為一非封閉性 (Non-closure) 型之問題，即必須藉助物理或數學近似方能求解。以近似求解之結果，常遭遇的兩個問題為：
1. 輸出響應解的精確性。 2. 系統強健穩定響應解之參數空間。
常用解法－ 高斯封閉法 (Gaussian Closure Method)
非高斯封閉法 (Non-Gaussian Closure Method)
統計線性化法 (Statistical Linearization Method)
最大熵法 (Maximum Entropy Method)
資訊封閉法 (Information Closure Method)
§ 5.2 線上狀態估測 (1)
濾波問題與歷史背景：• 歷史背景
卡曼濾波器之連續動態表示稱為卡曼 - 比西(Palman- Bucy) 濾波器。
高斯靜態數據最小方差處理
維納濾波器穩態連續程序信號估測
線性SISO模型
卡曼濾波器非穩態離散數據動態方程之狀態估測線性MIMO狀態空間
擴展卡曼濾波器非線性系統
1949 1960 197018th
§ 5.2 線上狀態估測 (2)
• 濾波問題 如何設計一濾波器可以使信號與雜訊分離？
• 維納的貢獻 維納將濾波問題視為統計信號估測問題，推導出一 積分方程稱為維納 - 霍夫 (Wiener-Hopf) 方程，可解出穩態連續線性非時變濾波器。
信號雜訊
功率頻譜密度
§ 5.2 線上狀態估測 (3)
統計信號處理：• 一般問題敘述
• 問題類型ˆ (1), (2),..., ( ); ( | (1), (2),..., ( ))z z z k x j z z z k已知 求
時序
信號z(k)
估測ˆ( )x j
k
j
1.預測問題(外插)
時序
信號z(k)
估測ˆ( )x j
k
j
2.濾波問題
時序
時序
信號z(k)
估測ˆ( )x j
k
j
3.勻滑化問題(內插)
時序
時序
§ 5.2 線上狀態估測 (4)
濾波問題之數學描述：• 系統模型
• 起始條件
• 量測模型
1 1 1
d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ( )] 0( )
[ ( ) ( ) ] ( )
n n n n r r n s s
T
x t F t x t dt B t udt t G t d t
E tt
E d t d s Q t dt
為擴延維納程序，具統計特性
0 0 00 0 0 0[ ( )] , [( ( ) )( ( ) ) ]TE x t x E x t x x t x P 和
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
[ ( )] 0( )
[ ( ) ( ) ] ( ) ( )
i i i im m n m
i
i Ti j i i j
z t H t x t v t
E v tv t
E v t v t R t t t
為擴延高斯白噪音，具特性
§ 5.2 線上狀態估測 (5)
卡曼濾波器之推導：• 問題敘述 如何結合所有可獲取的量測數據，以及事先已知之 系統與量測元件之數據傳輸程序，以便得到最精準的系 統狀態估測。• 一般推導法 貝斯 (Bayesian) 法－最完整、假設條件最少的機率理論推 導法。 直交投影法－構建在希爾伯特 (Hilbert) 空間之幾何推導法， 需掌握廣義投影幾何之運算。 最小均方誤差法－推導簡單，但須事先假設估測器之模 型結構，簡化問題為參數優化之代數 推導。
§ 5.2 線上狀態估測 (6)
• 數學推導 1. 連續系統之離散表示
1 1 1
1 1 1 1
( ) ( , ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ( )] [ ( )] 0
( ) 0( ) ( ) ( )
0( )
i i i i i
i i i i
i i
k ki i
kk
x t t t x t w t
z t H t x t v t
E v t E w t
w t QE w t v t k i
Rv t
前一量測點ti-1
ti-1+ ti
+ti-
ti
量測後量測前
目前量測點
時序
§ 5.2 線上狀態估測 (7)
2. 量測前之狀態偏差變量
3. ti量測後得到的新資訊
4. 結合量測前的狀態與量測之更新資訊以估測新狀態
5. 結合量測後之狀態精度表示
ˆ ( ) ( ) ( )
( ) [ ( ) ( )]
[( ( ) ( ))( ( ) ( )) ]
i i i
Ti i i
Ti i i i
e t x t x t
P t E e t e t
E x t x t x t x t
定義：量測誤差
誤差協方差
ˆ ( ) ( ) ( )i i iz t H t x t 更新資訊：
( ) [ ( ) ( )] [( ( ) ( ))( ( ) ( )) ]
[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( )]
( ) ( ) ( )
T Ti i i i i i i
Ti i i i i
Ti i i
P t E e t e t E x t x t x t x t
I K t H t P t I K t H t
K t R t K t
( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ( )]i i i i i ix t x t K t z t H t x t
§ 5.2 線上狀態估測 (8)
6. 參數優化求解 P(ti)
7. 量測後之狀態精度計算
8. 估測狀態與誤差進展
1
( )
( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( )]
( )
i
T Ti i i i i i i
i
P t
K t P t H t H t P t H t R t
K t
使 之對角線元素和為最小，可導出
稱為卡曼增益
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i i
i i i i i
P t K t
P t P t K t H t P t
由 與 式可得
1 1
1 1 1
1 1 1 1
( ) ( , ) ( )
( ) ( , ) ( ) ( )
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )
i i i i
i i i i i
Ti i i i i i i
x t t t x t
e t t t e t w t
P t t t P t t t Q t
§ 5.2 線上狀態估測 (9)
卡曼濾波器循環：
前向投影
1 1
1 1 1 1
ˆ( ) ( , ) ( )
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )
i i i i
Ti i i i i i i
x t t t x t
P t t t P t t t Q t
量測輸入z(ti)並更新狀態估測及協方差
ˆ( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ( )]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
i i i i i i
i i i i i
x t x t K t z t H t x t
P t P t K t H t P t
輸入狀態演進之環境雜訊強度Q(ti-1) 輸入量測狀態z(ti)
輸入狀態量測之環境雜訊強度R(ti)
輸入事先狀態及其精度估測
1 1( ), ( )i it P t x
輸出估測狀態及其精度 ( ), ( )i it P t x
計算卡曼增益1( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( )]T T
i i i i i i iK t P t H t H t P t H t R t
§ 5.2 線上狀態估測 (10)
例：估測常數值
1
1 1 1
2 2
20 0 0
1 1 1 1
2
2
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ( )] 0, [ ( )]
[ ( )] 2, [{ ( ) [ ( )]} ] 0.5
( ) ( ) ( )[ ( ) ( )]
( ) ( )
( )
( ( )
i i
i i i
i i
i i i i i
ii
i
i
x t x t
z t x t v t
E v t E v t
E x t E x t E x t
x t x t K t z t x t
P tK t
P t
P tP t
且
且
卡曼濾波器為
12
1
)
( )i
iP t
§ 5.2 線上狀態估測 (11)
模擬高斯白噪音
v v0.9758, 0.0355
§ 5.2 線上狀態估測 (12)
誤差估測 (初始猜測值 (0) 4)
(a)
(b)
(c)
(a). P 0.01, (b). P 0.05, (c). P Palman gain ;
x
§ 5.2 線上狀態估測 (13) % 原始碼 (for MATLAB 6.5)%clear;clc;N=2001;T0=500; % Recording time lengthtime=[0:T0/(N-1):T0]'; % Time seriesv_sd=1; % Standard deviation of v(t)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%系統方程 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%x=2.*ones(N,1); % Function x(t)zero_e=0.*ones(N,1);v=normrnd(0,v_sd,N,1); % Gaussian white noise, v(t)z=x+v; % Function z(t)z_co=cov(z);v_ba = mean(v);v_co = cov(v);%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 初始條件 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%x_heat1(1,1) = 4;x_heat2(1,1) = 4;x_heat3(1,1) = 4;P(1)=(x_heat1(1,1) - x(1)).^2;P1=0.01;P2=0.05;P3(1)=P(1)./(P(1)+v_sd.^2);%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%機率密度函數 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%wield=abs(max(v)-min(v));deta_w=0.4.*v_co.^0.5;nn=round(wield/deta_w);[p,w]=hist(v,nn);p=p./(N.* deta_w);
%續上頁 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%狀態估測 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%for i=2:N x_heat1(i,1)=x_heat1(i-1,1)+P1.*(z(i-1)-x_heat1(i-1,1)); x_heat2(i,1)=x_heat2(i-1,1)+P2.*(z(i-1)-x_heat2(i-1,1)); x_heat3(i,1,1)=x_heat3(i-1,1)+P3(i-1).*(z(i-1)-x_heat3(i-1,1)); P(i)=(P(i-1).*v_sd.^2)./(P(i-1)+v_sd.^2); P3(i)=P(i)./(P(i)+v_sd.^2);end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 誤差估測 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%e1=x_heat1-x;e2=x_heat2-x;e3=x_heat3-x;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 圖形輸出 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%figure(1);subplot(211);plot(time,v);xlabel('Time in sec');ylabel('v(t)');grid;subplot(212);plot(w,p);grid;legend('Probability Density Function of v(t)',2);figure(2);subplot(311);plot(time,e1,time,zero_e,'r');legend('P = 0.01',1);subplot(312);plot(time,e2,time,zero_e,'r');legend('P = 0.05',1);subplot(313);plot(time,e3,time,zero_e,'r');xlabel('Time in sec');legend('P = Palman gain',1);
§ 5.2 線上狀態估測 (14)
§ 5.2 線上狀態估測 (15)
例：卡曼濾波器應用於兩組統計數據合併之估測已知：兩組數據數據分佈
求：合併兩組數據之最佳統計分佈估測2 2 21 1 2 /( )x x xK 解：卡曼增益
2 21 2 2 1
1 2 1 2 21 2
2 2 2 2 2 2 11 1 1 2
1 2 1
( ), ,
, ( ) ,
( ).
x x x xx x x x x
x x
x x x x x x
K
K
x x K x x
平均值估測 即
1/ 1/變異量估測 即估測值
x0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35p1p2p3
x
0 5 10 15 20 25 30
x1
x2
x2x1
x
機率密度
§ 5.2 線上狀態估測 (16)
非線性系統估測器：• 估測問題 非線性系統方程
線性量測方程
目標函數
0( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ), ( ) (0)
( ) ( )
[ ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ] ( )T Tw u
dx t f x t dt G x t dw t B t du t x t x
w t u t
E dw t dw s Q t dt E du t du t Q t dt
及 分別為零均值擴延維納程序，具強度：
和
( ) ( ) ( ) ( )
( )
[ ( ) ( ) ] ( )Tv
dy t H t x t dt dv t
v t
E dv t dv t Q t dt
為零均值擴延維納程序，具強度：
0
( )
0
min [( ( ) ( )) ( )( ( ) ( )) | ( )], ( )
( ) [ ( ) | ],
T
x tJ E x t x t R t x t x t Y t t tx t
Y t y t t R
為對稱正定矩陣。
§ 5.2 線上狀態估測 (17)
• 最佳估測解 Kolmogorov 與 Kushner 方程
1
( ) ( ( ) ( )) ( ){ ( ) ( ) ( ) }
( ) ( ) ( ) ( )
( ) [ ( ) ( ( ) ( )) | ( )] [ ( ( ) ( ) ( )) | ( )]
[ ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) | ( )]
Tv
TT
Tw
d x t f x t x t dt K t dy t H t x t dt
K t P t H t Q t
P t E x t f x t x t Y t E f x t x t x t Y t
E G x t x t Q t G x t x t Y t
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
( ) [( ( ) ( ))( ( ) ( )) | ( )] [ ( ) ( ) | ( )].
T Tu v
TT
B t Q t B t P t H t Q t H t P t
P t E x t x t x t x t Y t E x t x t Y t
此處
§ 5.2 線上狀態估測 (18)
( 續 ) ( ) ( )
( )
( , 1990)
K t P t
P t
Chang
在以上最佳估測方程中， 為估測器增益方程；
為估測誤差擴延方程，然一般而言， 無法直接封閉求解，必須藉助高斯或非高斯近似封閉法求得次最佳解。擴延卡曼濾波器－估測狀態與誤差協方差方程必須同時求
解。預求增益估測器 －估測狀態與誤差協方差方
程可獨立求解，故估測器增益可預先離線求得，再存表供線上即時估測狀態
使用。
§ 5.3 精準機電控制 (1)
系統範疇：
隨機控制工程
實驗
理論
模擬
隨機動力
工程設計
控制科學
系統結構設計
物理實體實現
最佳狀態估測
最佳控制策略
系統性能評估
隨機系統建模
§ 5.3 精準機電控制 (2)
例：輸入控制信號
切薄片速度
系 統
洋芋片製造
目 的
控制厚度
雜訊
含水量
輸出
厚度
轉盤角度
油門位置
機器每分鐘轉速
刀具位置
輸入電壓
模具尺寸、沖壓壓力金屬沖壓
自動手臂
切割機
自動傳輸
汽車
汽車
改變速度
自動切換齒輪
改變方向
控制尺寸
調整距離
調整尺寸
路況、乘客數、胎壓
齒輪零件
齒輪工具、材料硬度
移動速度
金屬硬度、厚度
路況、乘客數、胎壓
尺寸
移動距離
尺寸
切換齒輪
速度
迴轉半徑
模具尺寸、射出壓力
電鍍時間、電流金屬電鍍
射出成形調整尺寸
控制厚度
塑膠類型
元件瑕疵點 電鍍厚度
尺寸
§ 5.3 精準機電控制 (3)
隨機控制理論：• 非適應控制 1. 最小預測誤差 (Minimum Prediction Error) 控制 最小變異量 (Minimum Variance) 控制 隨模 (Model Reference) 控制 2. 性能與代價優化控制 線性二次高斯 (Linear Quadratic Gaussian, LQG) 控制 廣義預測控制 (Generalized Prediction Control, GPC) 3. 其他控制 非 LQG 控制 協方差設定 (Covariance Assignment) 控制 最小熵 (Minimum Entropy) 控制
§ 5.3 精準機電控制 (4)
• 適應控制 最小預測誤差適應控制 最小變異量適應控制－ 例：自調控制 (Self -Tuning Control) 隨模適應控制 適應極點設定 (Pole Assignment) 控制
§ 5.3 精準機電控制 (5)
控制結構：
外界與控制系統之交互作用將造成控制信號之干擾與控制系統之變異。精密機電控制系統中，干擾信號與變異行為需以隨機理論建模。
控制器 受控機械 響應指令
交互作用
§ 5.3 精準機電控制 (6)
• 隨機調節器
受控機械
控制器
變異
變異
干擾
干擾
機率分佈
輸出設定值 設定值
未控制 受控制
§ 5.3 精準機電控制 (7)
• 自調控制
自調控制為 Astrom 及 Wittenmark 所提出之控制結構， 目前在工業程序控制廠有廣泛的應用。
受控機械
最小二次誤差參數估測
最小變異量控制器
u(t) y(t)
ˆ( )t 參數
§ 5.3 精準機電控制 (8)
• 隨機最佳控制－僅含外在隨機干擾之控制
控制器執行兩項獨立功能： 1.更新 p(x(i)| y(j), u*(j-1), j 1,2,…,i ). 2.由狀態訊息 x(i) 決定最佳控制 u*(i).
控制法則 受控機械(狀態x)
估測器
u* y
p(x | y, u* )
§ 5.3 精準機電控制 (9)
• 隨機適應次最佳控制－含狀態量測隨機外在干擾及系統 內部變異。
由於受控機械之系統參數不確定，若將系統參數視 為新狀態以設計最佳控制器，則本適應控制會成為非線 性控制系統；因此，最佳控制將極難達成！故一般採用 次最佳控制設計。
受控機械(狀態x)
估測受控程序模型
估測器p(x | y,u,)
控制法則
u y
§ 5.3 精準機電控制 (10)
控制器穩定性：• 不同收斂性之關係
m次矩收斂(mth mean)
均方收斂(mean square)
幾乎肯定收斂(almost sure)
機率收斂(convergencein probability)
分佈收斂(convergence
in distribution)
熵值收斂( entropy
convergence)
§ 5.3 精準機電控制 (11)
• 熵值收斂性與穩定性 隨機動態系統的熵函數 (Phillis, 1982)
定義一：隨機系統具有漸近熵穩定性 (asymptotic entropy stability) 若且唯若系統熵函數滿足
定義二：隨機系統為有界漸近熵穩定性 (bounded asymp- totic entropy stability) 若且唯若系統熵函數滿足 下式：
其中 Hss 是一有限的常數。
( ) ( , ) ln ( , )H t p X t p X t dX
lim ( )t
H t
lim ( ) sst
H t H
§ 5.3 精準機電控制 (12)
LQG 問題：• LQG 結構特性
高斯(G)
二次式(Q)
線性(L)
QG
LGLQ
( -
)
ˆ( ) ( )
Certainty
Equivalent
u i x i
確定性等效
僅為之確定函數。
( )
ˆ( ) ( ) , ( )
( ) | ( )
Separable
u i u x i u i
p x i y i
可分離
即
僅為 之
均值函數與其協方差無關。
( )Closure二次矩封閉 ，即閉迴路之二次矩之演進，可由微分方程矩求解。
§ 5.3 精準機電控制 (13)
• 離散 LQG 問題之數學表示
0 0 0
1 1
0 0 0 0
( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
. . : [ ( )], [( )( ) ],
( )
i i i i d i i d i d i
Tx x x
d i
x t t t x t B t u t G t w t
I C E x t P E x x
w t
線性系統方程
為擴延高斯白噪音。
( ) ( ) ( ) ( ), ( )i i i i iz t H t x t v t v t 線性系統量測方程
其中 為擴延高斯白噪音。
§ 5.3 精準機電控制 (14)
1 1 1
1 2
1 ( ), [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]2
1 + ( ) ( ) ( ) | ( )2
,
( ) [ ( ), ( ),..., ( )] .
NT T
i i j j j j j jj i
TN f N N j
f
Tj j
J x t t E x t X t x t u t U t u t
x t X t x t z t
X X U
z t z t z t z t
L
二次代價函數
及 為半正定矩陣 為正定矩陣；其中
*
( )
ˆ ( ) ( ) ( )
ˆ ( )
i
j c j j
j
QG u t
LQG
u t G t x t
x t
問題即為求解 使二次代價函數為最小之解。解
為卡曼濾波輸出
§ 5.3 精準機電控制 (15)
LQG 控制結構
時序延遲 H
Bd
受控機械
x(t)
w(ti-1)
估測器
時序延遲 -H
Bd x(t)
K e
ˆ-z
量測系統
v(ti-1)
-Gc*
u(ti)
x
§ 5.3 精準機電控制 (16)
LQG 與 LQR ：1. 控制系統具全狀態之訊息時， LQG 的解即為 LQR 的解。2. 控制系統之狀態訊息不完全時， LQG回授增益的解即為 LQR 之回授增益解，而回授狀態則由卡曼濾波器提供最 佳之估測狀態。
§ 5.3 精準機電控制 (17)
LQR(Linear Quadratic Regulator) 問題：• 離散系統之設計
1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 0,1,2,..., ;k k k k kx t A t x t B t u t k N 線性系統方程為
1 1 1
( ), ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]2 2
1 ( ) ( );
2
( ) ( )
( ) ( )
NT T
k k i i i i i ii k
TN N
T Ti i
Ti i
J x t u t x t Q t x t u t R t u t
x t S x t
S S Q t Q t
R t R t
代價函數為
與 均是半正定矩陣其中
為正定矩陣
§ 5.3 精準機電控制 (18)
, 0
0 00
1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
= , ( )
T T rN N N N N N N
rr
J x t x t S x t x t P t x t
t tP t S
首先定義
其中 及 則~~~~~~~~~~~~~~~~
1
1, 1 1 1 1 1
1 1 1 0
*1, 1 1, 1 1
( )
*
1 ( ), ( ) ( ) ( ) ( )
21 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2
( ) min{ ( ), ( ) }.
(
N
TN N N N N N N
T T rN N N N N
N N N N N N Nu t
N
J x t u t x t Q t x t
u t R t u t x t P t x t
J x t J x t u t
u t
由最小化之必要條件及充分條件，可求得1
1 1 1 0 1
1 0 1 1 1 1
) [ ( ) ( ) ( ) ( )]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
T rN N N
T rN N N N N
R t B t P t B t
B t P t A t x t F t x t
§ 5.3 精準機電控制 (19)
*1, 1 1 1 1 1 1
1 1 1 0 1 1 1
1 1 1 1
1 ( ) ( ){ ( ) ( ) ( ) ( )
2
[ ( ) ( ) ( )] ( )[ ( ) ( ) ( )]}
1 ( ) ( ) ( ) ( ).
2
T TN N N N N N N N
T rN N N N N N
T rN N N
J x t x t Q t F t R t F t
A t B t F t P t A t B t F t
x t x t P t x t
因此可求得
*
11
1
( ) ( ) ( ).
( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )]
( ) ( ) ( ).
N k N k N k
T rN k N k N k k N k
T rN k k N k
u t F t x t
F t R t B t P t B t
B t P t A t
綜合以上可歸納得最佳控制律：
其中回授增益為
§ 5.3 精準機電控制 (20)
*,
1
0
1 ( ) ( ) ( ) ( );
2
( ) {[ ( ) ( ) ( )] ( )[ ( )
( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )},
( ) .
T rN k N N k N k k N k
r T rk N k N k N k k N k
TN k N k N k N k N k N k
r
J x t x t P t x t
P t A t B t F t P t A t
B t F t Q t F t R t F t
P t S
以及最佳控制的代價函數為
其中最佳控制參數為
以及
§ 5.3 精準機電控制 (21)
• 連續系統之設計
0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), [ , ];fx t A t x t B t u t t t t 線性系統方程為
0
1 1 ( ), ( ), [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )]
2 21
( ) ( )2
( ) ( )
( ) ( )
ft T T
t
Tf f
T T
T
J x t u t t x t Q t x t u t R t u t dt
x t S x t
S S Q t Q t
R t R t
代價函數為
與 均是半正定矩陣其中
為正定矩陣
§ 5.3 精準機電控制 (22)
*
*
* *
1 1 ( ), ( ), , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
( ), [ ( ) ( ) ( )]
( ), ( ), .
(
T Tx
T
x
x
Hamiltonian
x t u t J t x t Q t x t u t R t u t
J x t t A t x t Bu t
J x t t J x t t x
x t
首先由 方程
在此
由最小化之必要條件及充分條件，可求得
H
H
*
* *
* 1 *
* * * 1 * *
), ( ), ,( ) ( ) ( ) ( ), 0.
( )
( ) ( ) ( ) ( ), ,
1 1 ( ), ( ), , .
2 2
x Tx
Tx
T TT Tx x x x
u t J tR t u t B t J x t t
u t
u t R t B t J x t t
x t u t J t x Qx J BR B J J Ax
即
H
§ 5.3 精準機電控制 (23)
* * 1 * *
* *
1 1 ( ), 0
2 2
( ), ( ), .
T TT Tt x x x
t
Hamilton Jacobi Bellman
J x t t x Qx J BR B J J Ax
J x t t J x t t t
故 方程可寫成
在此
*
*
1 ( ), ( ) ( ) ( )
2
1 1 ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
2 2( ) .
T
T Tf f f f f f f
f
J x t t x t P t x t
J x t t x t S x t x t P t x t
P t S
若定義
則邊界條件可改寫成
~~~~~~~~~~~~~~~
§ 5.3 精準機電控制 (24)
1
1
1 1 1 0
2 2 21 1
( ) ( ) [ ( ) ] [ ( ) ].2 2" "
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
T T T T T
T T
T
Hamilton Jacobi Bellman
x Px x Qx x PBR B Px x PAx
P t A t PA PA PA PA
Riccati equation
P t Q t P t B t R t B t P t
故 方程可改寫成
若
則可得著名的
( ) ( ) ( ) ( ) 0.TP t A t A t P t
0
* 1
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
f
f
T
P t t t t t
P t S
u t R t B t P t x t F t x t
求解 可由積分上式從 到 ，再代入邊界
.條件 故最佳控制律為
§ 5.3 精準機電控制 (25)
例：考慮一線性系統，其系統方程為
若代價函數為
其中 T 10 sec ，試模擬最佳控制律之迴授增益F(t) 與最佳控制參數 P(t).
1 2
2 1 2
( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ) ( )
x t x t
x t x t x t u t
2 2 2 21 1 20
110 ( ) [ ( ) 2 ( ) ( )] .
2
TJ x T x t x t u t dt
§ 5.3 精準機電控制 (26)
解：此為 LQR 問題；以下圖說明，即 r(t) = 0！
積分器
A(t)
B(t)
F(t)
r(t)
u*(t) x(t)
受控機械
控制器
1
0 1 0 5 0 1 0 , , , , 1 .
1 2 1 0 0 0 2
( ) ( )0 ( )
( ) ( ) { ( ) ( ) ( ) ( )} .T T
A B S Q R
P t P t tt P t
t
P t t P t Q P t A A P t P t BR B P t t
!!當取樣時間 時， 成立
§ 5.3 精準機電控制 (27)
離散化
1
1
( 1) ( ) { ( ) ( )
( ) ( )} , 2,3,..., .
( ) ,
{ ( 1), ( 2),..., (1)}.
( ) ( ),
T
T
T
P k P k Q P k A A P k
P k BR B P k t for k N
P N S
P N P N P
F k R B P k fo
又邊界條件為 因此可依序求得
且回授增益
1,2,..., 1.r k N
11 12
21 22
1 2
( ) ( ) ( ) , 1,2,3,..., ,
( ) ( )
( ) ( ) ( ) , 1,2,3,..., 1.
P k P kP k for k N
P k P k
F k F k F k for k N
最後以上述演算法撰寫程式：
§ 5.3 精準機電控制 (28)
最佳控制參數 P(t) 之模擬
取樣時間 , t 0.02 sec
§ 5.3 精準機電控制 (29)
迴授增益 F(t) 之模擬
取樣時間 , t 0.02 sec
§ 5.3 精準機電控制 (30)
%原始碼 (for MATLAB 6.5)%clear;clc;T0=10;dt=0.02;N=10./0.02+1;time=[0:T0/(N-1):T0];A=[0,1;-1,-2];B=[0;1];S=[5,0;0,0];Q=[1,0;0,2];R=[1];
P(:,:,N)=[S(1,:);S(2,:)];for i=1:N-1 k=N-i; P(:,:,k) = (Q + P(:,:,k+1)*A + A'*P(:,:,k+1) - P(:,:,k+1)*B*inv(R)*B'*P(:,:,k+1)).*dt; P(:,:,k) =P(:,:,k) + P(:,:,k+1); F(k,:) = inv(R)*B'*P(:,:,k);endfor i=1:N P11(i)=P(1,1,i);P12(i)=P(1,2,i);P22(i)=P(2,2,i);end
figure(1)plot(time,P11,time,P12,time,P22),legend('P_1_1','P_1_2 & P_2_1','P_2_2',2),xlabel('time in sec'),grid;figure(2)plot(time(1:N-1),F(:,1),time(1:N-1),F(:,2)),legend('F_1','F_2',2),xlabel('time in sec'),grid;
§ 5.3 精準機電控制 (31)
LQG-H2-norm 控制 :• 標準控制架構
• 控制器設計 找出一個最佳的 K 使得以下成本函數為最小
• Matlab 設計工具 H2-norm 控制器設計，使用 h2lqg.m
K
P
r
n
d
w
3
2
1
z
z
z
z
u y
AugmentedPlant
Controller
controlsignal
measuredvariable
0cT T
LQG Tc
Q N xJ E x u dt
N R u
§ 5.3 精準機電控制 (32)
全狀態訊息非線性連續系統控制：• 系統模型
• 控制輸入
0
T
T T0
( ) ( ( ), ) ( ( ), ) ( )
0
( ) ( ) ( )
1
2
w
dX t F X t t dt G X t t dW t u t dt
X t X
E dW t dW t Q t dt
J E X t Q t X t u t R t u t dt
*( ) ( ) ( ),
limt
u t K t X t
K K t
,假設為線性優化控制器 則
次優化控制
§ 5.3 精準機電控制 (33)
• 閉回路控制系統
• 閉回路平穩態矩方程
• 平穩態次優化控制的代價函數
• Hamiltonian 函數
( ) ( ( ), ) ( ) ( ( ), ) ( ) dX t F X t t KX t dt G X t t dW t
TT
T
( ) ( )
( ) ( ) 0 w
E F X KX X E X F X KX
G X Q G X
T T0
T T0
0.5
0.5
J E X QX u Ru dt
tr Q K RK E XX dt
T T T
T T T
0.5 ( )
( ) ( ) ( ) . w
tr Q K RK E XX tr E F X KX X
E X F X KX G X Q G X
H
• 由 Hamiltonian 函數最小化必要條件得以下三式§ 5.3 精準機電控制 (34)
10 2 .K RK
H
T T T
T T T
0 ( ) ( )
( ) ( ) 0.w
E F X X E XF X KE XX
E XX K G X Q G X
H
TT T TT T
T T T TT
TT
10 [ ( ( ) )]
[ ] 2 [ ]
[ ( ( ) )][ ]
[ ( ) ( )] 0.[ ] w
dQ K RK F X X
E XX dE XX
dF X X K K
dE XX
dG X Q G X
dE XX
H
§ 5.3 精準機電控制 (35)
• 合併三式成一矩函數方程 在不失一般性下，令拉葛蘭日乘法器矩陣為一對稱 矩陣 T ，則
• 求解控制器增益 由上式求解再代入增益方程可得次優化控制律，但 求解過程一般必須藉助高斯或非高斯密度假設。
T T
1 T
T T
T
T
1 [ ( ) ] [ ( ) ]2 [ ]
2 [ ]
[ ( ) ( )] 0
[ ]w
d F X X d F X XQ R
dE XX dE XX
d G X Q G XdE XX
§ 5.4 精準控制模擬 (1)
精機隨機控制結構與模型：• 受控機械與閉路結構
• 隨機動態模型
控制器 受控機械 響應指令
干擾
: ( ) ( ( ), , )
: ( ( ), , )
, :
x t h x t t
y g x t t
狀態方程式
量測方程式
隨機程序或隨機變數
§ 5.4 精準控制模擬 (2)
高速、高精度進給控制：• 關鍵技術
CNC技術伺服控制技術
伺服放大器數位伺服器 伺服馬達
伺服馬達與驅動器結構震動抑制前饋伺服延遲補償非線性摩擦力補償交互耦合控制
機械設計滾珠螺桿與導軌分析熱變形抑制與補償高剛性進給系統高阻尼進給系統
高速計算與通訊硬體高加插補路徑產生器前視加減速控制
§ 5.4 精準控制模擬 (3)
• 系統分析建模
/摩擦力 餘隙/衝擊效應
感測器
控制器 /驅動器放大器 致動器 機器
環境雜訊
指令誤差
指令
位置輸出
負載干擾熱的雜訊有限位元誤差
§ 5.4 精準控制模擬 (4)
• 誤差分析建模X-Y平台運動控制系統誤差
伺服控制機械傳動 CNC技術
加減速誤差
G codeBlock處理速度過慢
單一進給率
負載慣量
熱變形
摩擦力
背隙
切削力
回授信號雜訊
參數不確定性
軸承摩擦
導軌摩擦
螺帽變形
軸承變形
環境干擾
溫升改變參數
類比元件飄移
未考慮到之動態
結構共振頻率
§ 5.4 精準控制模擬 (5)
機械傳動誤差－ 1.滾珠導螺桿驅動的伺服增益受限於傳動系統的結構撓 性 (Compliance) 或者結構共振頻率；反之線性馬達系統 結構剛性較高。 2.滾珠導螺桿具有背隙、摩擦力，以及滾珠滾動產生的 震動噪音，運動平滑度也比線性馬達差。 3. 其他尚有摩擦力問題、預壓預拉問題、殘留應力問題、 剛性問題與結構共振問題…等 。伺服控制誤差－ 1. 元件誤差 ( 包含伺服馬達本身特性、驅動器內部非線性 特性補償不良、回授元件解析度與頻寬問題與控制器 硬體等 ) 。 2.環境干擾誤差 ( 包含負載慣量變動、接觸工件時的切削 力與工作環境造成回授信號雜訊 ) 。
§ 5.4 精準控制模擬 (6)
3. 參數不確定性 ( 包含系統建模時未考慮到之動態、類比 元件之老化造成參數飄移、溫升造成參數變動等 ) 。 CNC技術誤差－ 傳統的 CNC 數值控制機械，無法直接接受 CAD系統所設計的自由曲面模具資料，只能以微小圓弧或直線逼近所設計的外形，因此有加工時間過長及加工精度不良…等缺點。
§ 5.4 精準控制模擬 (7)
隨機動態方程模擬： 1. 透過密度函數演進方程－差分與擴散方程
2. FPK 方程之數值解－密度函數近似解
3. 直接數值積分與白噪音積分－蒙特卡羅法
§ 5.4 精準控制模擬 (8)
蒙特卡羅模擬法：• 蒙特卡羅循環
擬亂數產生器
線性整型濾波器
非線性轉移函數
隨機動態系統
更新種子且
重複執行
均勻、寬廣的頻譜有限頻寬的頻譜
設定密度分佈移除之趨勢
I.C.
Monte Carlo Run
統計分析
起始種子
+
§ 5.4 精準控制模擬 (9)
至少200 →個 200Runs
ti : {x(1),…, x(N)}
i
不同種子(Seed, i)
ti t
x(t)
1
23
§ 5.4 精準控制模擬 (10)
• 模擬方法 1. 隨機 ( 變數 ) 函數的模擬 －產生 的統計與實現 2. 確定性問題的解答 －狀態方程式與數值積分 3. 大量模擬問題的實現 －蒙特卡羅模擬次數 4. 統計分析的結果 －隨機數值分析 ( 平均值、變異量、值域、時域、頻域 )
§ 5.4 精準控制模擬 (11)
核心技術：• 擬亂數 (Pseudo Random Number)產生器 乘積產生法 xi+1 = A xi ( 模數 M) ，起始種子 x0
即 A xi 除以模數再取其餘數，作為下一次亂數輸入值 A 與 M 之選取 A = 19971, M = 220
A = 1366853, M = 231
A = 65539, M = 230
§ 5.4 精準控制模擬 (12)
• 非線性轉換 將兩組 (0,1)範圍獨立均勻分佈之隨機變數，轉換為 兩組具零均值與單位變異量之獨立高斯分佈隨機變數。
Box-Muller轉換函數1 1 2
2 1 2
2ln(1 ) cos(2 )
2ln(1 ) sin(2 )
y x x
y x x
非線性轉換函數
p(x1)
x1
p(x2)
x2
p(y1)
y1
p(y2)
y2
x1
x2
y1
y2
§ 5.4 精準控制模擬 (13)
• 線性整型濾波器
例：已知 y 的自相關函數 Ryy(t) = exp(-2|t |) 0.5exp(-|t |) ， 設 x 為高斯白噪音，即 Rxx(t) = (t) .
則
H(s)Sxx()
Rxx()
Ryy()
Syy()
3( ) .
( 1)( 2)
sH s
s s
§ 5.4 精準控制模擬 (14)
• 連續隨機程序的離散化
,取樣時距 h
wd(ti)wc(t)
t ti
§ 5.4 精準控制模擬 (15)
• 連續與離散白噪音程序 自相關函數－ 連續白噪音
離散白噪音
功率頻譜密度－ 連續白噪音
離散白噪音
( ) ( )c cw w cR Q
(1 | | ), ( )
0 , d d
dw w
Q h h hR
其他
( )c cw w cS Q
2 4 2 6 4
2
2 21 cos( )( ) ( ...).
2 24 720d d
d dw w
Q Qh h h hS
h h
§ 5.4 精準控制模擬 (16)
等效離散白噪音強度－
一階近似－ 當 h<<1 時 Qc Qd h, 上式亦為 0 時連續與離散 之等效頻譜大小。亦可由 - 函數等效自相關函數的面積 係求得，即
3 2 5 4
( ...).12 360c d
h hQ Q h
0.5 (2 )c dQ Q h
連續白噪音
離散白噪音
Qc
Qc
Rxx() Sxx()
Qd
-h h
Qd h
§ 5.4 精準控制模擬 (17)
• 數值積分法則 1. 確定系統 RK4 (Runge Kutta 4th-order)
0 0
1
2 1
3 2
4 3
1 1 2 3 4
( ) ( ( )), ( ) ,
0.5 ( )
0.5 ( )
0.5 ( )
( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )6
m
n
n
n
n
n n
y t f y t y t y y R
Y y
Y y h f Y
Y y h f Y
Y y h f Y
hy y f Y f Y f Y f Y
h
動態方程－
數值計算－
為數值計算之時距。
§ 5.4 精準控制模擬 (18)
2. 隨機系統 RK4 動態方程－
0 0
( ) ( ) , ( ) , ,
( )
( ) ( ) 0.5 ( ) ( ) .
m
T
Stratonovich
dy f y dt g y dw y t y y R
w t
Ito
g ydy f y g y dt g y dw
y
形式
.為維納程序
對應 形式
§ 5.4 精準控制模擬 (19)
( 續 )
Stratonovich 形式之運算可使用一般微積分公式， 而 Ito 形式則需使用高階修正式。
0
11
1
( ( )) ( ( )) ( ) ( )
(1 )
0.5
0
nNt
i i i iti
i i i
g y dw g y w t w t
t t
Stratonovich
Ito
維納程序積分
,形式,形式
w(ti)
t1
t2
t3
t4 tn
tt0
§ 5.4 精準控制模擬 (20)
數值計算－
1
4 4
11 1
4 4
1 11 1
1
1
2 1 1 1
3 1 2 1 1 1 2
( ) ( )
( ) ( )
, , ,
2( ) ( )
33 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 6
n
n
i n ij j ij jj j
n n j j j jj j
t
t
ij ij j j
n
n
n
Y y h a f Y J b g Y
y y h f Y J g Y
J dw
a b
Y y
Y y hf Y J g Y
Y y hf Y hf Y J g Y J g Y
可有不同的選取，例如以下法則
§ 5.4 精準控制模擬 (21)
( 續 )
當隨機系統僅受到外在隨機激擾時，使用確定系 統之 RK4 法可得到精確的結果。
4 1 1 1 1 3
1 1 2 3 4
1 1 2 3 4
1 1 1
7 1 1( ) ( ) ( )
6 2 2
[ ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( )]4
[ 2 ( ) 6 ( ) 3 ( ) 3 ( )]4
, : (0,1)
n
n n
Y y hf Y J g Y J g Y
hY y f Y f Y f Y f Y
Jg Y g Y g Y g Y
J h g g N
§ 5.4 精準控制模擬 (22)
• 狀態 / 函數 估測
估測器：
不偏的 (Unbiased)
一致性 (Consistent)
有效率的 (Efficient)
x1
2 2x
1
1ˆ.
1ˆ ( )
1
N
ii
N
i xi
xN
xN
例
§ 5.4 精準控制模擬 (23)
例：模擬直流馬達平台控制精準度• 受控機械
Js
1 tk
s
1Rk nk
Rk
eT
bT
Pvxk CMs
1
s
1 xv
F*
馬達轉子轉動慣量 J 2.9310-2 (kg-m2)轉矩常數 Kt 0.82 (N-m/A)
反電動勢常數 Ke 0.82 (V/rad/sec)
電樞電感 L 5.2710-3( H)
電樞電阻 R 1.04 (Ω)
平台質量 M 48.8 (Kg)
平台黏滯摩擦係數 C 1.5104(N-s/m)滾珠導螺桿剛性 Kn 0.4110-6 (N/m)
滾珠導螺桿效率 0.9滾珠導螺桿導程 KR 1.5910-3(m/rad)
§ 5.4 精準控制模擬 (24)
• 蒙特卡羅模擬
H∞ 與 H2 LQG 控制器的輸出機率密度函數
H2 LQG 控制器與 PID 控制器之輸出精度比較
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
x 10-8
0
1
2
3
4
5
6
7
8x 10
7 Probability of LQG & PID error
ERROR
LQG
PID
-3 -2 -1 0 1 2 30
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4Probability of two controller
HinfH2 LQG
§ 5.4 精準控制模擬 (25)
• 結果討論
1. H∞控制器與 H2 控制器在系統輸出精度的表現有類似 的效果。
2. H2 LQG 控制器比 PID 控制器更能提高平台系統的定位 精度。 3. 非線性對定位精度之效應還未能完全模擬確認。
