第八章 环 和 域第八章 环 和 域8.1 环8.1 环8.2 子环与理想8.2 子环与理想8.3 环同态与环同构8.3 环同态与环同构8.4 域8.4 域8.5 有限域8.5 有限域

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8.1 8.1 环环定义定义 8.1.18.1.1 给定给定 <<RR ，， ++ ，， ·>·> ，其中，其中 ++ 和和 ··

都是二元运算，若①都是二元运算，若① <<RR ，， +>+> 是是 AbelAbel 群，②群，② <<RR ，， ·>·> 是半群，③是半群，③ ·· 对于对于 ++ 是可分配的，则称是可分配的，则称 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 是环。是环。

为了方便，通常将为了方便，通常将 ++ 称为加法，将称为加法，将 ·· 称为乘称为乘法，把法，把 <<RR ，， +>+> 称为加法群，称为加法群， <<RR ，， ·>·> 称为乘称为乘法半群。而且还规定，运算的顺序先乘法后加法。法半群。而且还规定，运算的顺序先乘法后加法。

环的加法群的幺元或加法零元称为环环的加法群的幺元或加法零元称为环的零元，以的零元，以 00 示之。若示之。若 aa∈∈RR ，则其加法，则其加法逆元以逆元以 --aa 表之。表之。

常常又根据环中乘法半群满足不同性常常又根据环中乘法半群满足不同性质，将环冠于不同的名称。质，将环冠于不同的名称。

定义定义 8.1.28.1.2 给定环给定环 <<RR ，， ++ ，， ·>·> ，若，若 <<RR ，， ·>·>是可交换半群，则称是可交换半群，则称 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 是可交换环；若是可交换环；若<<RR ，， ·>·> 是独异点，则称是独异点，则称 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 是含幺环；是含幺环；若若 <<RR ，， ·>·> 满足等幂律，则称满足等幂律，则称 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 是布尔是布尔环。环。

通常用通常用 11 表示表示 <<RR ，， ·>·> 的幺元。在的幺元。在 <<RR ，， ·>·> 中，中，若若 aa∈∈RR 的逆元存在，则以的逆元存在，则以 aa-1-1 表示其乘法逆元。表示其乘法逆元。

定理定理 8.1.18.1.1 < <RR,+,·>,+,·> 是环是环 ((aa)()(aa∈∈RR→→aa·0=0··0=0·aa==

0)0)

下面讨论加法逆元的性质，为方便记，下面讨论加法逆元的性质，为方便记， aa+(-+(-bb))

表成表成 aa--bb 。。定理定理 8.1.28.1.2 < <RR ，， ++ ，， ·>·> 是环是环 ((aa)()(bb)()(aa ，， bb

∈∈RR→-(→-(aa··bb)=)=aa·(-·(-bb)=(-)=(-aa)·)·bb

同理 同理 -(-(aa··bb)=(-)=(-aa)·)·bb

推论推论 11 ( (aa)()(bb)()(aa ，， bb∈∈RR→(-→(-aa)·(-)·(-bb)=)=aa··bb))

推论推论 22 ( (aa)()(bb)()(cc)()(aa ，， bb ，， cc∈∈RR→(→(aa·(·(bb--cc)=)=aa··bb--aa··cc) ((∧) ((∧ bb--cc)·)·aa==bb··aa--cc··aa))))

由定理由定理 8.1.18.1.1 可知，环中任二元素相乘，若其中可知，环中任二元素相乘，若其中至少有一个为零元，则乘积必为零元。但反之未必至少有一个为零元，则乘积必为零元。但反之未必真，这是因为在环中，两个非零元的乘积可能为零真，这是因为在环中，两个非零元的乘积可能为零元，这便引出环的零因子的概念。元，这便引出环的零因子的概念。

定义定义 8.1.38.1.3 给定环给定环 <<RR ，， ++ ，， ·>·> ，则环，则环 <<SS ，，++ ，， ·>·> 中有零因子中有零因子 :=(:=(aa)()(bb)()(aa ，， bb∈∈RR∧∧aa≠0≠0

∧∧bb≠0→≠0→aa··bb=0)=0)

并称该环为含零因子环，并称该环为含零因子环， aa 和和 bb 是零因子。是零因子。注意，零因子其自身非零也。注意，零因子其自身非零也。

定 理定 理 8.1.38.1.3 给 定 环给 定 环 <<RR ，， ++ ，， ·>·> ， 则， 则 <<RR ，，++ ，， ·>·> 为无零因子环为无零因子环 <<RR ，， ·>·> 满足可约律。满足可约律。

定义定义 8.1.48.1.4 给定可交换含幺环给定可交换含幺环 <<RR ，， ++ ，， ·>·> ，若，若<<RR ，， ++ ，， ·>·> 无零因子，则称无零因子，则称 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 为整环。为整环。

由定义由定义 8.1.38.1.3 知道，环中可约律与无零因子是等知道，环中可约律与无零因子是等价的，因此整环是无零因子可交换含幺环或者说是满价的，因此整环是无零因子可交换含幺环或者说是满足可约律可交换含幺环。足可约律可交换含幺环。

下面再给出一个定理以结束本节。下面再给出一个定理以结束本节。定理定理 8.1.48.1.4 给定含幺环给定含幺环 <<RR ，， ++ ，， ·>·>

且且 RR≠≠{{0}0} ，则，则 ||RR|≥2|≥2 。。

8.2 8.2 子环与理想子环与理想与讨论群与子群一样，对于环也要讨论子与讨论群与子群一样，对于环也要讨论子

环。环。定义定义 8.2.18.2.1 给定环给定环 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 和非空集和非空集

合合 SSRR ，若，若 <<SS ，， +>+> 是是 <<RR ，， +>+> 的子群，的子群， <<SS ，， ·>·> 是是 <<RR ，， ·>·> 的子半群，则称的子半群，则称 <<SS ，， ++ ，， ··>> 是是 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 的子环。的子环。

这里也有平凡子环与真子环之说，与平凡子这里也有平凡子环与真子环之说，与平凡子群和真子群类似。群和真子群类似。

由环的定义知道，若由环的定义知道，若 <<SS ，， +>+> 为群为群 <<RR ，， +>+>的子群，的子群， <<SS ，， +>+> 是是 <<RR ，， ·>·> 的子半群，在的子半群，在 RR 上上乘法对于加法分配律成立，则乘法对于加法分配律成立，则 <<SS ，， ++ ，， ·>·> 是是 <<RR ，，++ ，， ·>·> 的子环。显然由于的子环。显然由于 SSRR 而分配律、结合律而分配律、结合律在在 RR 中成立。则在中成立。则在 SS 中亦成立。于是，子环可定中亦成立。于是，子环可定义如下：义如下：

若若 (1)(1)≠≠SSRR

(2)<(2)<SS ，， +>+> 是是 <<RR ，， +>+> 的子群的子群(3)(3)SS 对对 ·· 满足封闭性满足封闭性

则则 <<SS ，， ++ ，， ·>·> 为为 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 的子环。的子环。由此及上节定理由此及上节定理 7.6.37.6.3 ：： <<SS ，⊙，⊙ >> 是是 <<RR ，⊙，⊙

>> 的子群的充要条件是对任意的子群的充要条件是对任意 aa ，， bb∈∈SS 则则 aa⊙⊙bb-1-1∈∈SS ，便可得到下面定理。，便可得到下面定理。

定理定理 8.2.18.2.1 给定环给定环 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 及及≠≠ SSRR ，，则则 <<SS ，， ++ ，， ·>·> 是是 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 的子环的子环 ((aa)()(bb)()(aa ，，bb∈∈SS→→aa--bb∈∈SS∧∧aa··bb∈∈SS))

本定理表明本定理表明 <<SS ，， ++ ，， ·>·> 为为 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 的子环的子环的主要条件是的主要条件是 SS 对减法运算封闭和对减法运算封闭和 SS 对乘法运算封闭。对乘法运算封闭。

由此看出，含幺环的子环未必也含幺元，因为由此看出，含幺环的子环未必也含幺元，因为 <<II,+,·>,+,·> 是含幺元是含幺元 11 的环，其子环的环，其子环 <<EE,+,·>,+,·> 不再含乘法幺不再含乘法幺元。元。

下面引进一种特殊的子环，称之为理想，理想下面引进一种特殊的子环，称之为理想，理想在环中与正规子群对于群的地位相仿。在环中与正规子群对于群的地位相仿。

定义定义 8.2.28.2.2 设设 <<TT ，， ++ ，， ·>·> 为为 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 的的子环，若对于子环，若对于 TT 中任何元中任何元 tt 和和 RR 中任何元中任何元 aa ，有，有 aa··tt∈∈TT 且且 tt··aa∈∈TT ， 则 称， 则 称 <<TT ，， ++ ，， ·>·> 为 环为 环 <<RR ，，++ ，， ·>·> 的理想。的理想。

显然，若显然，若 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 是可交换环，是可交换环， aa··tt∈∈SS或或 tt··aa∈∈SS 只要其一即可。只要其一即可。

由定义可知，若由定义可知，若 <<TT ，， ++ ，， ·>·> 为理想，则为理想，则 RR

中任二元素相乘时，若至少有一个元素属于中任二元素相乘时，若至少有一个元素属于 TT ，，则乘积必属于则乘积必属于 TT 。。

当当 <<SS ，， ++ ，， ·>·> 是环是环 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 的子环时，的子环时，要求要求 SS 对于乘法运算封闭；而当对于乘法运算封闭；而当 <<TT ，， ++ ，， ·>·> 是是环环 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 的理想时，要求更强的封闭性，的理想时，要求更强的封闭性，即即 TT 对于乘上对于乘上 RR 中任一元素的运算封闭。中任一元素的运算封闭。

注意到子环与理想的定义，不难证明如下定注意到子环与理想的定义，不难证明如下定理：理：

定理定理 8.2.28.2.2 给定环给定环 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 及及≠≠ TT

RR ，则，则 <<TT ，， ++ ，， ·>·> 为环为环 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 的理想的理想

((tt)()(tt11)()(aa)()(tt ，， tt11∈∈TT∧∧aa∈∈RR→(→(tt--tt11)∈)∈TT∧∧tt··aa∈∈TT∧∧aa··tt∈∈TT))

定义定义 8.2.38.2.3 令令 <<TT ，， ++ ，， ·>·> 是环是环 <<RR ，， ++ ，， ·>·>之理想，若在之理想，若在 TT 中存在元中存在元 gg ，使得，使得 TT==RR··gg ，其中，其中RR··gg={={aa··gg||aa∈∈RR}} ，则称，则称 <<TT ，， ++ ，， ·>·> 为环为环 <<RR ，，++ ，， ·>·> 的主理想。并称的主理想。并称 gg 为为 <<TT ，， ++ ，， ·>·> 的生成的生成元或说由元或说由 gg 生成生成 <<TT ，， ++ ，， ·>·> ，常常用，常常用 ((gg)) 表示表示 TT 。。

对于环对于环 <<II ，， ++ ，， ·>·> 来说，它有个有趣的性质来说，它有个有趣的性质即它的所有理想均为主理想。因此有下面待证定理。即它的所有理想均为主理想。因此有下面待证定理。

定理定理 8.2.38.2.3 设设 <<LL ，， ++ ，， ·>·> 为环为环 <<II ，， ++ ，， ·>·> 之理之理想，则存在想，则存在 ii∈∈II++ ，使得，使得 LL=(=(ii)) 。即。即 <<II ，， ++ ，， ·>·> 的每个的每个理想皆为主理想。理想皆为主理想。对于任一环的理想，读者不难证明下面定理：对于任一环的理想，读者不难证明下面定理：定理定理 8.2.48.2.4 若若 <<TT11 ，， ++ ，， ·>·> 与与 <<TT22 ，， ++ ，， ·>·> 同为同为环环 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 之理想，则之理想，则 <<TT11∩∩TT22 ，， ++ ，， ·>·> 亦为环亦为环 <<

RR ，， ++ ，， ·>·> 之理想。之理想。定理定理 8.2.58.2.5 若若 <<TT ，， ++ ，， ·>·> 为含幺环为含幺环 <<RR ，， ++ ，， ·>·>之任一真理想，则之任一真理想，则 TT 中任一元素均无乘法逆元。中任一元素均无乘法逆元。

现在用现在用 RR//TT 表示群表示群 <<RR ，， +>+> 中中 TT 的所有不同陪的所有不同陪集的簇。首先定义集的簇。首先定义 RR//TT 中的加法 如下：中的加法 如下：

((aa++TT))((bb++TT)=()=(aa++bb)+)+TT

则则 <<RR//TT ，， >> 是是 AbelAbel 群。群。其次定义其次定义 RR//TT 中的乘法⊙如下：中的乘法⊙如下：((aa++TT) (⊙) (⊙ bb++TT)=()=(aa··bb)+)+TT

则则 <<RR//TT ，⊙，⊙ >> 是半群。是半群。

定理定理 8.2.68.2.6 若若 <<TT ，， ++ ，， ·>·> 是环是环<<RR ，， ++ ，， ·>·> 的理想，则的理想，则 <<RR//TT ，，，，⊙⊙ >> 是商环。是商环。

８８ .. ３ 环同态与环同构３ 环同态与环同构定义定义 8.3.18.3.1 给定环给定环 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 与与 <<SS ，，，，

⊙⊙ >> ，则环，则环 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 环环 <<SS ，，，⊙，⊙ >:=>:=((ff)()(ff∈∈SSRR (∧(∧ aa)()(bb)()(aa ，， bb∈∈RR→(→(ff((aa++bb)=)=ff((aa))ff((bb)∧)∧ff((aa··bb)=)=ff((aa)⊙)⊙ff((bb)))))) 称称 ff 为从环为从环 <<RR ，， ++ ，， ·>·>到环到环 <<SS ，，，⊙，⊙ >> 的环同态映射。的环同态映射。

又若又若 ff 为双射，则环为双射，则环 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 环环 <<SS ，，，，⊙⊙ >> ，此时称，此时称 ff 为从为从 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 到到 <<SS ，，，⊙，⊙ >> 的的环同构映射。环同构映射。

不难看出，环同态意味着群同态与半群同态，而不难看出，环同态意味着群同态与半群同态，而且且 ff 还能保持可分配性，即对任意还能保持可分配性，即对任意 aa ，， bb ，， cc∈∈RR ，则，则

ff((aa·(·(bb++cc))=))=ff((aa)⊙)⊙ff((bb++cc))

==ff((aa) (⊙) (⊙ ff((bb))ff((cc))))

=(=(ff((aa)⊙)⊙ff((bb))))((ff((aa)⊙)⊙ff((cc))))

定义定义 8.3.28.3.2 若若 ff 为从环为从环 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 到环到环 <<

SS ，，，⊙，⊙ >> 的环同态映射，的环同态映射， 00SS 为环为环 <<SS ，，，⊙，⊙>> 的零元，则集合的零元，则集合 KKff={={kk||ff((kk)=0)=0SS∧∧kk∈∈RR}} ，称为环，称为环同态映射同态映射 ff 的核。的核。

关于环同态、环同构有群同态、群同构类似关于环同态、环同构有群同态、群同构类似的定理，今仅叙述如下而其证明留给读者。的定理，今仅叙述如下而其证明留给读者。

定理定理 8.3.18.3.1 若若 ff 为从环为从环 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 到环到环 <<SS ，，，⊙，⊙>> 的环同态映射，且的环同态映射，且 00RR ，， 00SS ，， 11RR ，， 11SS 分别为两个环的零分别为两个环的零元和幺元，则元和幺元，则

(1) (1) ff(0(0RR)=0)=0SS

(2) (2) ff(-(-aa)=-)=-ff((aa))

(3) <(3) <KKff ，， ++ ，， ·>·> 是是 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 的子环的子环(4) <(4) <ff((RR)) ，，，⊙，⊙ >> 是是 <<SS ，，，⊙，⊙ >> 的子环的子环(5) (5) ff 为单射为单射 KKff={0={0RR}}

又若又若 ff 为双射，即为双射，即 ff 为环同构映射，则为环同构映射，则(6) (6) ff(1(1RR)=1)=1SS

(7) (7) 若若 aa∈∈RR 有乘法逆元有乘法逆元 aa-1-1 ，， ff((aa-1-1)=)=ff((aa))-1-1 。。此外，由此外，由 (2)(2) 可证环同态映射保持减法运算，可证环同态映射保持减法运算，

因为对任意因为对任意 aa ，， bb∈∈RR ，， ff((aa--bb)=)=ff((aa+(-+(-

bb))=))=ff((aa))ff(-(-bb)=)=ff((aa))(-(-ff((bb))=))=ff((aa)-)-ff((bb))

下面定理揭示了环同态映射的核有理下面定理揭示了环同态映射的核有理想结构。想结构。

定理定理 8.3.28.3.2 若若 ff 为从环为从环 <<RR ，， ++ ，， ·>·>

到环到环 <<SS ，，，⊙，⊙ >> 的环同态映射，则的环同态映射，则 <<KKff ，，++ ，， ·>·> 为为 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 之理想。之理想。

8.4 8.4 域域对于环对于环 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 施加进一步限制，即施加进一步限制，即

<<RR--{{0}0} ，， ·>·> 是可交换群，便得到另外一个代数是可交换群，便得到另外一个代数结构——域。结构——域。

定义定义 8.4.18.4.1 给定可交换环给定可交换环 <<RR ，， ++ ，， ·>·> ，，若若 <<RR-{0}-{0} ，， ·>·> 为群，则称为群，则称 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 为域。为域。

下面定理证明了域中无零因子，因而域中可约律下面定理证明了域中无零因子，因而域中可约律成立。成立。

定理定理 8.4.18.4.1 < <FF ，， ++ ，， ·>·> 为域为域 ((aa)()(bb)()(aa ，， bb∈∈FF∧∧aa··bb=0→(=0→(aa=0∨=0∨bb=0))=0))

定理定理 8.4.28.4.2 设设 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 是无零因子环，若是无零因子环，若 11<|<|RR|<|<nn ，， nnNN++ ，则，则 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 是域。是域。

该定理说明了，元素大于该定理说明了，元素大于 11 的有限无零因子环是的有限无零因子环是域。域。

定理定理 8.4.38.4.3 设设 <<KK ，， ++ ，， ·>·> 是域，是域， RRKK ，且，且<<RR ，， ++ ，， ·>·> 是交换环，是交换环，

FF={ |={ |aa,,bbRRbb0}0} ，则，则 <<FF ，， ++ ，， ·>·> 是交换是交换域，且域，且 RRFF 。并称。并称 FF 是包含是包含 RR 的商域，简称的商域，简称 FF 是是RR 的商域。的商域。

由定理证明可得出：①只要由定理证明可得出：①只要 RR 能够嵌入一域能够嵌入一域中，则中，则 RR 的商域的商域 FF 必存在，并且商域必存在，并且商域 FF 的构造完的构造完全由全由 RR 确定。因此，确定。因此， RR 的商域都同构，进而可知的商域都同构，进而可知同构环的商域也是同构的。②任一域同构环的商域也是同构的。②任一域 KK 若包含若包含 RR ，，也就包含也就包含 RR 的商域的商域 FF ，因此，，因此， FF 是包含是包含 RR 的最小的最小域。如有理数域域。如有理数域 QQ 是整数环是整数环 ZZ 的商域，它包含的商域，它包含 ZZ

的最小域。的最小域。

定理定理 8.4.48.4.4 给定环给定环 <<ZZnn ，， ++nn ，， ··nn>> ，则，则 <<ZZnn ，， ++

nn ，， ··nn>> 为域为域 nn 为素数。为素数。域与其理想之间有着很有趣的关系。域与其理想之间有着很有趣的关系。定理定理 8.4.58.4.5 给定可交换含幺环给定可交换含幺环 <<RR ，， ++ ，， ·>·> ，，

则则 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 为域为域 <<RR ，， ++ ，， ·>·> 不具有真理想。不具有真理想。

8.5 8.5 有限域有限域定义定义 8.5.18.5.1 给定域给定域 <<FF ，， ++ ，， ·>·> ，若，若 ||FF|<|<nn ，，

nnNN++ ，则称，则称 <<FF ，， ++ ，， ·>·> 是有限域，或伽罗是有限域，或伽罗瓦瓦 ((GaloisGalois)) 域。域。根据根据 8.48.4 节中定理节中定理 8.4.48.4.4 可知，当可知，当 pp 是素数是素数时，时， <<ZZpp,+,+pp,·,·pp>> 是有限域，并记为是有限域，并记为 GFGF((pp)) 。。GFGF((pp)) 表明了，若表明了，若 pp 是素数时，则是素数时，则 FF={0,1,={0,1,

2,···,2,···,pp-1}-1} 在在 modmod pp 的意义下关于加法的意义下关于加法 ++ 和乘法和乘法 ··构成域。构成域。

定义定义 8.5.28.5.2 设设 <<FF ，， ++ ，， ·>·> 是域，是域， EEFF 。若对。若对任意任意 aa,,bbEE ，有，有 aa--bbEE ，且当，且当 bb00 时有时有 aa··bb-1-1EE ，则，则称称 <<EE ，， ++ ，， ·>·> 是域是域 <<FF ，， ++ ，， ·>·> 的子域，称的子域，称 <<FF ，，++ ，， ·>·> 是域是域 <<EE ，， ++ ，， ·>·> 的扩张。也简称的扩张。也简称 EE 是是 FF 的子的子域，域， FF 是是 EE 的扩张。若的扩张。若 <<EE∪∪{{}},+,·>,+,·> 是域，且是域，且 FF==EE∪∪{{}} ，则，则 FF 是是 EE 的单扩张，并记为的单扩张，并记为 FF==EE(()) ，称，称是是 FF

关于关于 EE 的本原元素。的本原元素。

定义定义 8.5.38.5.3 若一域除自身外不再包含其他若一域除自身外不再包含其他子域，或只有自身做子域的域，称它为素域。子域，或只有自身做子域的域，称它为素域。

例如，实数域例如，实数域 RR 中的在理数域中的在理数域 QQ 是素域，是素域，<<ZZpp,+,+pp,·,·pp>> 是素域。是素域。

定理定理 8.5.18.5.1 任何域包含一个且仅一个素域任何域包含一个且仅一个素域

定义定义 8.5.48.5.4 设设 <<FF ，， ++ ，， ·>·> 是域，是域， ee 是其单位元。是其单位元。若若 ee 的任意倍均异于的任意倍均异于 00 ，则称该域的特征数是，则称该域的特征数是 00 ；若；若 ee的某素数的某素数 pp倍是倍是 00 ，称该域特征数是，称该域特征数是 pp 。。从上面讨论可得出：从上面讨论可得出：定理定理 8.5.28.5.2 设素域设素域 <<EE ，， ++ ，， ·>·> 的特征数是的特征数是 pp ，，则则 <<EE ，， ++ ，， ·>·><<ZZpp,+,+pp,·,·pp>> ；若特征数是；若特征数是 00 ，则，则 <<EE ，，

++ ，， ·>·><<QQ ，， ++ ，， ·>·> 。。注意域与其子域的单位元是一致的，可见域与其注意域与其子域的单位元是一致的，可见域与其子域的特征数是相同的。子域的特征数是相同的。

定理定理 8.5.38.5.3 设设 <<FF ，， ++ ，， ·>·> 是域，是域， nn 是整数，是整数，对任意非零元对任意非零元 aaFF ，若特征数是，若特征数是 00 ，则，则 nana==oo iffiff nn==00 ；若特征数是；若特征数是 pp ，则，则 nana=0 =0 iffiff nn0(mod 0(mod pp)) 。。

由定理可知，特征数是单位元的性质，也是域由定理可知，特征数是单位元的性质，也是域中任意元的公共性质。中任意元的公共性质。

定理定理 8.5.48.5.4 设设 <<FF ，， ++ ，， ·>·> 是有限域，其素域是有限域，其素域<<EE ，， ++ ，， ·>·> ，， ||FF|=|=qq ，则特征数，则特征数 pp00 ，且，且 qq==ppnn ，，其中其中 nn 是是 FF 关于关于 EE 的底之元数。的底之元数。

定理定理 8.5.58.5.5 设设 <<FF ，， ++ ，， ·>·> 是域，是域， ||FF|=|=qq ，则，则 FF

的元是由多项式的元是由多项式 xxqq--xx 的根所组成。的根所组成。定理定理 8.5.68.5.6 元数相等的有限域是同构的。在同元数相等的有限域是同构的。在同

构意义下，只有唯一的元素是构意义下，只有唯一的元素是 ppnn 的有限域，其中的有限域，其中 pp

为素数。该有限域表为为素数。该有限域表为 GFGF((ppnn)) 。。