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第二节 不定积分的计算. 一、第一类换元法. 二 分部积分法. 三 总结. 换元积分法. 一、第一类换元法. 问题. 求导数验证结果. 解决方法. 利用复合函数，设置中间变量. 令. 过程. 换元. 换回原变量. 定理 1. 第一类换元公式 （凑微分法）. 说明：. 使用此公式的目的在于化难为易. 难. 易. 例 1 求. 解 （一）. 解 （二）. 解 （三）. 例 2 求. 解. 一般地. 例 3 求. 解. 例 4 求. 解. 例 5 求. 解. 例 6 求. 解. 例 7 求. 解. 例 9 ：求. - PowerPoint PPT Presentation
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第二节 不定积分的计算
一、第一类换元法
二 分部积分法
三 总结
换元积分法
xdx2cos ,2sin2
1Cx
解决方法 利用复合函数，设置中间变量 .
过程 令 2u x 2 ,du dx
xdx2cos1
cos2
udu 1sin
2u C
Cx 2sin2
1
一、第一类换元法
换元
换回原变量
求导数验证结果问题
dxxxf )()]([ CxF
duuf xu
)]([
])([ )(
第一类换元公式（凑微分法）
说明：使用此公式的目的在于化难为易
CxFCuF
duufdxxxfxu
)]([)(
)()()]([)(
定理1
难易
换元公式可导，则有，具有原函数设 )()()( xuuFuf
例 1 求 .2sin xdx
解（一） xdx2sin )2(2sin21
xxd
;2cos21
Cx
解（二） xdx2sin xdxxcossin2
)(sinsin2 xxd ;sin 2 Cx
解（三） xdx2sin xdxxcossin2
)(coscos2 xxd .cos 2 Cx
例 2 求 .23
1dxx
解 ,)23(23
121
231
x
xx
dxx 23
1dxx
x)23(
231
21
duu1
2
1C|u| ln
2
1.|23|ln
2
1Cx
baxu
duufa
dxbaxf )(
1)(一般地
例 3 求 .)ln21(
1dx
xx
解 dxxx )ln21(
1)(ln
ln211
xdx
)ln21(ln21
121
xdx
xu ln21
duu1
21 Cu ||ln
2
1
.|ln21|ln2
1Cx
一般地 xu
duufdxx
xfln
)(1
)(ln
例 4 求 .)1( 3dxx
x
解 dxxx
3)1(dx
xx
3)1(11
)1(])1(
1)1(
1[ 32 xd
xx
Cxx
2)1(2
1
1
1
例 5 求 .1
22 dxxa
解 dxxa 22
1dx
a
xa
2
22
1
11
ax
d
axa 2
1
11.
1C
a
xarctga
例 6 求 .258
12 dx
xx
解 dxxx 258
12 dx
x
9)4(1
2
dxx
1
34
131
22
34
13
4
131
2
xd
x
.3
4arctan
3
1C
x
例 7 求 .1
1dx
e x
解 dxe x 1
1dx
eeex
xx
1
1
dxee
x
x
1
1 dxee
dx x
x
1
)1(1
1 xx ede
dx
.)1ln( Cex x
例 9 ：求 22 ax
dx
解：原式 dxaxaxa
)11
(2
1
])()(
[2
1
ax
axd
ax
axd
a
caxaxa
|]|ln||[ln2
1
cax
ax
a
||ln2
1
例 12 求
解
.cos11
dxx
dxxcos1
1
dxxx
xcos1cos1
cos1
dxxx
2cos1cos1
dxxx
2sincos1
)(sinsin
1sin
122 xdx
dxx
.sin
1cot C
xx
例 13 求
解
.cossin 52 xdxx
xdxx 52 cossin )(sincossin 42 xxdx
)(sin)sin1(sin 222 xdxx
)(sin)sinsin2(sin 642 xdxxx
.sin71
sin52
sin31 753 Cxxx
说明 当被积函数是三角函数相乘时，可考虑拆开奇次项去凑微分 .
例 14 求
解
.2cos3cos xdxx
)],cos()[cos(21
coscos BABABA
),5cos(cos21
2cos3cos xxxx
dxxxxdxx )5cos(cos21
2cos3cos
.5sin101
sin21
Cxx
例 15 求
解法一 dxxsin
1
.csc xdx
xdxcsc
dxxx2
cos2
sin2
1
2
2cos
2tan
12
xd
xx
2tan
2tan
1 xdx
Cx
|2
tan|ln .|cotcsc|ln Cxx
ctgxxx
x
xx
xx
x
xx
cscsin
cos12
sin2
cos2
2sin
2sin2
2cos
2sin
2tan
:注
.)tanln(secsec Cxxxdx
类似地可推出
解法二 dxxsin
1 xdxcsc dxxx
2sinsin
)(cos
cos11
2 xdx xu cos
du
u211
du
uu 11
11
21
Cu
u
|1|
|1|ln
2
1
.cos1cos1
ln21
Cxx
思考：以下几种形式的积分，如何用凑微分法求积
dxcbxax2
1
cbxax
xdx2
xdx 3sin bxdxax cossin
dxxbxa 2222 sincos
1
dxxa 22
1
dxax 22
1
dx
ax 22
1
dxcbxax
BAx2
Carchxdxx
Cxdxx
1
1;arcsin
1
122
例 16 求
解
.
2arcsin4
1
2
dxx
x
dxx
x
2
arcsin4
1
2 2
2arcsin
21
12
xdxx
)2
(arcsin
2arcsin
1 xdx
.|2
arcsin|ln Cx
问题 ?dxxe x
解决思路 利用两个函数乘积的求导法则 .
设函数 )(xuu和 )(xvv具有连续导数,
,vuvuuv ,vuuvvu
,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部积分公式
一、基本内容 ?cos xdxx ?cos dxxe x
?arcsin xdx ?)1ln( 2 dxxx
二 分部积分法
例 1 求积分 .cos xdxx
解（一） 令 ,cos xu dvdxxdx 2
21
xdxxcos xdxx
xx
sin2
cos2
22
显然， 选择不当，积分更难进行 .vu ,
解（二） 令 ,xu dvxdxdx sincos
xdxxcos xxd sin xdxxx sinsin
.cossin Cxxx
例 2 求积分 .2 dxex x
解 ,2xu ,dvdedxe xx
dxex x2 dxxeex xx 22
.)(22 Cexeex xxx
（再次使用分部积分法） ,xu dvdxe x
总结 若被积函数是幂函数和正 ( 余 ) 弦函数或幂函数和指数函数的乘积 , 就考虑设幂函数为 , 使其降幂一次 ( 假定幂指数是正整数 )
u
例 3 求积分 .arctan xdxx
解 令 ,arctan xu dvx
dxdx 2
2
xdxxarctan )(arctan2
arctan2
22
xdx
xx
dxx
xx
x2
22
11
2arctan
2
dxx
xx
)1
11(
21
arctan2 2
2
.)arctan(21
arctan2
2
Cxxxx
例 4 求积分 .
1
arctan2dx
x
xx
解 ,1
12
2
x
xx
dx
x
xx21
arctan 21arctan xxd
)(arctan1arctan1 22 xdxxx
dxx
xxx 222
11
1arctan1
dxx
xx
2
2
1
1arctan1
令 tx tan
dxx 21
1
tdtt
2
2sec
tan1
1 tdtsec
Ctt )tanln(sec Cxx )1ln( 2
dx
x
xx21
arctan
xx arctan1 2 .)1ln( 2 Cxx
例 5 求积分 .ln3 xdxx
解 ,ln xu ,4
43 dv
xddxx
xdxx ln3 dxxxx 34
41
ln41
.161
ln41 44 Cxxx
总结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .u
例 6 求积分 .)sin(ln dxx
解 dxx)sin(ln )][sin(ln)sin(ln xxdxx
dxx
xxxx1
)cos(ln)sin(ln
)][cos(ln)cos(ln)sin(ln xxdxxxx
dxxxxx )sin(ln)]cos(ln)[sin(ln
dxx)sin(ln .)]cos(ln)[sin(ln2
Cxxx
例 7 求积分 .sin xdxe x
解 xdxe x sin xxdesin
)(sinsin xdexe xx
xdxexe xx cossin xx xdexe cossin
)coscos(sin xdexexe xxx
xdxexxe xx sin)cos(sin
xdxe x sin .)cos(sin2
Cxxe x
注意循环形式
例8 已知)(xf的一个原函数是2xe , 求dxxfx )( .
解 dxxfx )( )(xxdf ,)()( dxxfxxf
,)(2
Cedxxf x
dxxfx )( dxxfxxf )()(
222 xex .2
Ce x
例9 求 nn ax
dxI
)( 22 ,其中n为正整数.
解
即
时有当用分部积分法
,])()(
1[)1(2
)(
)()1(2
)()(
1,
22
2
122122
22
2
122122
dxax
a
axn
ax
x
dxax
xn
ax
x
ax
dx
n
nnn
nnn
.arctan1
,
],)32()(
[)1(2
1
),)(1(2)(
1
11222
211221
n
nnn
nnnn
ICa
x
aI
Inax
x
naI
IaInax
xI
即得并由以此递推
于是
例10 求 dxe x .
解
Cxe
Ctedtete
tdedttedxe
tdtdxtxtx
x
ttt
ttx
)1(2
)1(222
22
,2,, 2 于是则令
三 总结一、换元法 与 隐函数求导，一元函数的微分不变性相关
二 分部积分 与 乘积的求导法则相关
三 不是每个函数的积分都可以写成初等函数
