第二节平面桁架的内力计算

第二节平面桁架的内力计算一、桁架

3 ）各杆均为二力杆，

1 ）直杆铰接而成；2 ）所有外力均作用于节点上；

第六章静力学专题第六章静力学专题

桁架是工程中的一种常见结构，其特点为：

在计算桁架内力时，规定拉力为正压力为负。说明：

即各杆只承受轴向力（拉力或压力）。

本节主要任务就是计算桁架中各杆所受的轴力

二、节点法

节点法是计算桁架内力的一种基本方法

依次截取各个节点为研究对象，根据平面汇交力系平衡方程计算各杆轴力。

注意：所截取节点上的未知力一般不应超过 2 个。

[ 例 1] 试求图示平面桁架各杆件的内力。

由对称性，易得支座反力

解：

选取桁架整体为研究对象

15kNA BF F

作受力图

2 ）用节点法计算各杆内力

为了方便计算，对桁架各杆编号。

1

23

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1 ）计算支座反力

AF BF

取坐标轴，列平衡方程

先截取节点 B 为研究对象

0,ixF

0,iyF 2 sin 0BF F

1 2 cos 0F F

解得杆 1 、杆 2 内力分别为

1 20 kNF （压）

2 25 kNF （拉）

作受力图，

BF

1F

2F

1

23

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

AF BF

x

y

假设各杆均受拉。

次截取节点 H 为研究对象


0,ixF

0,iyF

2 6sin 0F F

3 2 cos 0F F

作受力图

解得杆 3 、杆 6 内力分别为2 2 25 kNF F 式中，

3 15 kNF （压）

6 20 kNF （拉）

1 20 kNF （压） 2 25 kNF （拉）

2F

6F

3F

1

23

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

AF BF

x

y

再截取节点 G 为研究对象


解得杆 5 、杆 4 内力分别为

5 310 sin 0F F

1 4 5 cos 0F F F

3 15 kNF （压）6 20 kNF （拉）

4 26.67 kNF （压）

2 25 kNF （拉）

作受力图

0,ixF

0,iyF

1 1 20 kNF F 式中，

5 8.33 kNF （拉）

1 20 kNF （压）

3 3 15 kNF F

4F

5F 3F

1F

1

23

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

AF BF

x

y

作受力图


0,iyF 710 0F

解得杆 7 内力为

3 15 kNF （压）

6 20 kNF （拉）

4 26.67 kNF （压）2 25 kNF （拉）

5 8.33 kNF （拉）1 20 kNF （压）

最后截取节点 E 为研究对象

7 10 kNF （压）8F

7F

4F

1

23

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

AF BF

x

y

由于桁架结构及载荷均对称，其他各杆件内力无需再进行计算，可对称地得到，分别为

11 3 15 kNF F （压）10 6 20 kNF F （拉）

8 4 26.67 kNF F （压）

13 2 25 kNF F （拉）

9 5 8.33 kNF F （拉）

12 1 20 kNF F （压）

7 10 kNF （压）

1

23

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

AF BF

x

y

三、截面法

截面法是计算桁架内力的另一种有效方法

截取部分桁架为研究对象，根据平面任意力系平衡方程计算各杆轴力。

注意：所截取部分桁架上的未知力一般不应超过 3 个。

[ 例 2] 试求图示桁架中杆件 1 、 2 、 3 的内力。

列平衡方程，解得支座反力

1

5BF F4

5AF F

解：

选取桁架整体为研究对象

作受力图

1 ）计算支座反力

BFAF

K

2 ）计算指定杆件内力


用截面 m - m 将桁架分割成两部

0,K iM F

0,iyF

1 3 0BF h F a

2 22

0

2

B

hF F

ah

0,G iM F x

y

2F

3F

1F

3

50

2BF h F a

m

m分。取右半部分为研究对象，作受力图。

BF

解得杆件 1 、 2 、 3 的内力分别为

3 2

aF F

h （拉）

22

2

2

5

ah

F Fh

（拉）

1

3

5

aF F

h （压）

K

2F

3F

1F

BF

303

1

2

4

5

l

F

AB

C

D

30

解：

即杆 3 为零杆

[ 例 3] 试计算图示桁架中杆 3 的内力。

由节点法易得

3 0F

3. 注意零杆的判断。

四、几点重要说明

1. 一般应首先求出桁架的支座反力。

2. 作受力图时，应假设所有杆件均受拉。

关于零杆的主要结论：

2 ）三杆节点不受外力作用且其中两杆共线，则第三杆为零杆。

1 ）二杆节点不受外力作用且二杆不共线，则此二杆为零杆。

3 ）二杆节点上有一外力作用，且外力作用线沿其中一根杆的轴线，则另一杆为零杆。应用以上规律，可不经计算直接判断出桁架在给定载荷作用下的零杆。4. 计算结果的表达方式：列表图示

结论：杆 3 、杆 4 为零杆

[ 例 4] 试判断下列桁架中的零杆。

F1

2 3 4 5

6 7

A B

C

DE

F

杆 EI 、 JG 、 GD 、 DJ 、 JO 均为零杆

结论：

杆 2 、 5 、 4 、 3 、 1 、 9 均为零杆

F

12

3 4 5

6 7 8

910

ABC

DEGH

I

结论：

[ 例 5] 图示屋架，已知 F1 = 15 kN ， F2 = 20 kN ， l = 1 m ， h = 3

m 。试求各杆轴力。

解：

杆 EI 、 JG 、 GD 、 DJ 、 JO 均为零杆。

AC D

B

G

O

E I J

2F

1F

l l l l

h

h

1 ）判断零杆

A

C D

B

G

O

E I J

2F

1F

l l l l

h

h

取坐标轴，列平衡方程。

2 ）计算支座反力选取桁架整体为研究对象

0,A iM F

0,iyF

2 21 24 2 0BF l F h l F l

1 2cos 0Ay BF F F F

0,ixF 1 sin 0AxF F

作受力图

式中， 2 2

3sin

5

h

h l

2 2

4cos

5

l

h l

14.69 kNBF 17.31 kNAyF 9 kNAxF

解得支座反力

BFAyF

AxF

x

y

3 ）计算各杆内力

CI OIF F BG OGF F

依次研究 A 、 E 、 C 、 B

四个节点即可。列表计算如下：其中，

3sin

5 4

cos5

3sin

13 2

cos13

注意到， CD BDF F

A

C D

B

G

O

E I J

2F

1F

l l l l

h

h

BFAyF

AxF

杆件内力节点受力图平衡方程(kN)

Ax

y 0xF cos 0AE AC AxF F F

0yF sin 0AE AyF F

32.08ACF

28.85AEF

E

0xF sin 0EO EA ECF F F

0yF 1cos 0ECF F

18.75ECF

40.1EOF

杆件内力节点受力图平衡方程

C

0xF cos 0CI CD CAF F F

0yF sin 0CI CEF F

22.53CIF

19.58CDF

B0yF

sin 0BG BF F 24.48BGF

CDFCAF x

y

x

y

(kN)

可将最终计算结果直接标示在桁架上

FN （ kN ）

[ 例 6] 图示桁架。已知 F1 = 8 kN ， F2 = 12 kN ， l = 2 m ， h1 = 1

m ， h2 = 1.5 m 。试求 CG 杆的轴力。

解：

0,iyF 1sin 0OCF F

作受力图

列平衡方程

解得

1 40kN

sin 3OC

FF

先截取节点 O 为研究对象

OCF

OGF

1F

y

O

列平衡方程

再截取桁架的上半部分为研究对象

0,E iM F

1 2 12 sin 2 0GC OCF l F l F l F l F l

得 CG 杆的轴力

2 sin 4 kNGC OCF F F

◆ 在求解桁架时，也可联合应用截面法及节点法，使求解趋于简捷。

取分离体，作受力图

1F 12F2F 2F

OCFGCF

EBFEDF

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第二节 平面桁架的内力计算

第二节平面桁架的内力计算