Динамическая метеорология.

Векторные операции

Кто изобрел вектора?

Мёбиус ввел в математику операции с направленными отрезками

Гамильтон ввел слово вектор и определил скалярное и векторное произведение

Гиббс ввел основные обозначения А·В и АВ

В автором первого русского

учебника по векторному

анализу был Н.Е.Кочин

Чтобы понимать дальнейшее вспомни тригонометрию!

Для чего нужны вектора?- 1

Для сокращения записи уравнений

Для чего нужны вектора?- 2

Чтобы не зависеть от системы координат при записи фундаментальных законов и понятий

Вихрь в декартовых прямолинейных координатах

Вихрь в ортогональных криволинейных координатах

Эти вектора и равенства с ними нужно знать и уметь

употреблять

Векторная запись формул и уравнений применяется для краткости.

Но для расчетов необходимо переходить к координатной записи.

Следует уметь читать векторную запись и знать правила перехода к координатной!

Вектор это величина, которая характеризуется не только размерами, но и направлением.

Обозначаем жирными прописными буквами! Вектора – это реальные

объекты, их можно складывать (по правилу параллелограмма)

Примеры векторов: перемещение r, скорость v, ускорение a, сила f

Обозначения: Скорость V={u,v,w}={u1, u2, u3}= ui (i=1,2,3)

НЕ все есть ВЕКТОР!

Если хочешь быть вектором, то складывайся по правилу

параллелограмма• Контрпример 1: Скаляры: длина -l,

масса -m, температура-t. Объединив их в одно множество {l,m,t} получим формальный , а не реальный вектор не получить! Почему?

• Контрпример 2: Набор {T,P,e} – не вектор, т.к. компоненты а) зависимы и б) не характеризуют единый геометрический объект

Операции с векторами осуществимы практически, так же, как и в случае скаляров.

Пример: Сложение и вычитание• Сумма векторов –

вектор, который имеет начало в начале первого и конец в конце последнего

• Введя вектор (–N), равный по величине вектору N и противоположный ему по направлению, можно определить операцию вычитания

Проекции вектора на оси• Проекции вектора на

координатные оси вычисляются по формулам

• P1=|P|cosx

• P2=|P|cosy

• P3=|P|cosxzЗамечание 1: если модуль вектора равен 1 (единичный вектор), то его координаты – это косинусы углов между им и осями.Т.Е. единичный вектор определяет направление вектора в пространстве

Обратно: вектор направления s для вектора P(P1,P2,P3)

• определяется формулой: s= P/|P| • Сos(s,x)=P1/|P|, • сos(s,y)=P2/|P|, • сos(s,z)=P3/|P|

– Пример: направление нормали к поверхости f(x,y,z)=0 или z=h(x,y) определяется по вектору градиента поля f (см.ниже)

Скалярное произведение – это операция проектирования

• Оно представляет собой результат операции проектирования одного из векторов на другой

Координатное представление

• Основная теорема: любой вектор D может быть разложен по трем некомпланарным (aA+bB+cC 0)

• D=mA+nB+pC• На ней основано разложение вектора по трем единичным

взаимно перпендикулярным векторам (ортам)-i,j,k• V=vxi+vyj+vzk

Важные вектора 1(знать!)Радиус-вектор точки:

r = xi+yj+zk или r = {x,y,z}Единичный вектор направления:

е = x/|x| i+y/|x| j+z/|x k или e = {x/|x|,y/|x|,z/|x|}=

={cosr,X)x/|x|,cosr,Y)y/|x|,cosr,Z)z/|x|}=

= {cos(,cos,cos}

Радиус-вектор точки

Важные вектора 2 (знать!)

Направленный элемент кривой:dl = dx i+dy j+dz k или dl = {dx,dy,dz}

Важные вектора 2 (знать!)Направленный элемент площади:

dS =ndS= dScos(n,X)i+dScos(n,Y)j +dScos(n,Z) k =

= dydz i+dxdz j+ dxdy k

n – единичный вектор нормали к поверхности(Для памяти: Направление нормали совпадает с направлением вектора градиента функции, задающей поверхность)

Направленный элемент поверхности

Важные вектора 3 (знать!)• Формальный вектор градиент

• или оператор Гамильтона • или набла-оператор:

zyx

zyxzyx

;;сокращенно

;;илиkji

kji

Применение вектора набла

f f ff fx y z

i j k grad

BB Byx z divx y z

B B

i j kB BB BB By yx xz z

x y z y z z x x yB B Bx y z

rot B B i j k

Градиент скалярного поля f

Дивергенция векторного поля B

Вихрь (ротор) векторного поля B

Определение скалярного произведения векторов a и b

Определение косинуса угла между векторами по координатам:

Поскольку орты – единичные взаимно перпендикулярные вектора, то:

Условие перпендикулярности (ортогональности) векторов:

Через скалярное произведение определяется длина (норма) вектора:

2 2 2x x y y z z x y za a a a a a a a a a a a

Определение скалярного произведения совпадает с определением коэффициента корреляции

~ cos( , )xy x y

r Z Z

Смысл к-та корреляции – это угол между двумя многомерными векторами!Если он равен нулю, то вектора перпендикулярныЕсли он +1– они сонаправленыЕсли он -1 – они противоположны по направлению

Важные скалярные произведения

• Кинетическая энергия единицы массы - (V·V)/2• Элементарная работа силы (циркуляция) - F·dl • Элементарный поток вектора А - A·dS• Спиральность скорости - V·• Градиент скалярного поля f - f • Адвекция скаляра f - V·f • Дивергенция вектора DivV:

Индексная (тензорная) формазаписи вектора

, ,

31 2

1 2 3

i

i 1 2 3 i

iii

i

u v wDivx y z

VV V

x x xV

xV

Vx

V V

Особенности тройного скалярного произведения

• Определение АВС смысла не имеет!• Обязательно указать пару, образующую

скаляр: (АВ)С или А(ВС)• Почему?

– (АВ)С – это вектор С, длина которого увеличена в (АВ) раз

– А(ВС) – это вектор А, длина которого увеличена в (ВС) раз

• Различие важно в преобразованиях

Пример использования тройного скалярного произведения

1

1 2 3 21 2 3

3

1 1 11 2 3

1 2 3

2 2 21 2 3

1 2 3

3 3 31 2 3

1 2 3

( ) ( )

a

V A v v v ax x x

a

a a av v v

x x x

a a av v v

x x x

a a av v v

x x x

Скалярное произведение

в рамке – неразделимо в операциях

(( ) ) (V U A V U A

Справка: вычисление определителя 3-его порядка

Метод разложения по первой строке (нам нужен!):

Метод получения числового значения (для теории нам не нужен!)

Контролируй себя:

Векторное произведение– это описание поворота!

Векторное произведение двух векторов А и В определяется как вектор С с величиной |А||B| sin β и с направлением, перпендикулярным плоскости, проходящей через А и В так, чтобы вращающийся вправо винт, который поворачивал бы А (первый вектор) к В (второй вектор) и перемещался (ввинчивался) в направлении С.

(вектор С перпендикулярен плоскости, в которой лежат a и b и образует с ними правовинтовую систему и численно равен площади параллелограмма, построенного на них, как на сторонах)

Помнить, что ab= -ba

Вычисление векторного произведения

Векторное произведение ортов:

(доказать самостоятельно)

Условие колинеарности (параллельности) двух векторов

.

x y z

y z x yx zx y z

y z x z x yx y z

y z x yx zx y zy z x z x y

c c c

a a a aa aa a a b b b b b bb b b

a a a aa ac c cb b b b b b

c i j k a b

i j ka b i j k

Запись не точна! Направление?

Важные векторные произведения• Линейная скорость вращения точки относительно оси

V=r• Сила Кориолиса, отнесенная к единице массы

К = 2 V• Момент импульса , отнесенный к единице массы

Vr• Момент силы F

M = Fr • Вихрь вектора V=rotV:

y z x yz xx y z w uv w u vu v ww v u w v uy z z x x y

i j krotV V i j k

i j k

Смешанное произведение (скалярно-векторное произведение)

Оно является скалярной величиной и для векторов A, B, C вычисляется по формуле:

C· (A B)

x y z

x y z

x y z

c c ca a ab b b

C A B

Интерпретация-объем соответствующего параллелепипеда

Свойства смешанного произведения (четные и

нечетные перестановки векторов)

но

A B C B C A C A BA B C B A C

Помнить: Вектора лежат в одной плоскости (компланарны), если: A · (B

C)=0

Векторно-векторное произведение- это вектор

A (B C)

Вычисляется по правилу:

A A (B(B C)=B·(A·C) C)=B·(A·C)--C·C· (A·B)(A·B)Мнемоника:Мнемоника:

«БАЦ минус ЦАБ»«БАЦ минус ЦАБ»Применение к примеру. Если n единичный вектор (n·n)=1 , перпендикулярный данному вектору X, то векторно-векторное произведение осуществляет поворот вектора X на 1800:

( ) n n X n n X т.к. ( ) ,0 1

X n n X

n X n n

С помощью A (B C) решается важная задача :

• Разложить вектор B по двум направлениям: параллельно и перпендикулярно заданному вектору A

• Решение – заменить в формуле С на А:

,

, где ,

A B C B A C C A B C A A B A B A A A A BB A A A A B A B A

A B A A BB B B B B A

A A A A

Два важных примера из ДМ:

( ) div div

Вычисление вихря от векторного произведениявекторов вихря и скорости:

Ω V Ω V Ω V V Ω V Ω

1 1 10 0

0 0 1 0 0 0 0 0 1 1

div

p l p l pl

l ( l ) l ( )

lu lv lg g

Обозначения и

Решение уравнения геострофического баланса

V V V Ω V Ω

k k U k U U kg g g

k k U k k U U k kg g g

k U g

l Ug

К лекции 11 и 10

Упражнение:

• Упростить выражение:(R)=?• R –радиус вектор точки, вращающейся

вокруг оси - вектор угловой скорости вращения• Подсказка: R= R┴ + R║

• Сделать чертеж и применить правило• A(BC)=B(AC)-C(AB)

Упражнение

• Выполнить преобразование:

( ) ( ) ( ) ( )I I I I I

I I I I

V V V V V V V V V V

V V V V V V V V

Дифференцирование вектора по скалярному аргументу.

dAdA dAd yx zdt dt dt dt

A i j k

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )df t t df t d tt f tdt dt dt

A AA

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )d t t d t d tt tdt dt dt

A B A BB A

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )d t t d t d tt tdt dt dt

A B A BB A

Примеры дифференцирование вектора по скалярному аргументу.

Скорость и направление, касательная

Ускорение, нормаль, кривизна и ее радиус

Касательная и нормаль перпендикулярны

( ) ( ) ( )( ) , ;d t ds d t ds d tt V где Vdt dt ds dt ds

r r rv τ τ

2( )( ) ,d t dV dV d ds dV V dt V где Rdt dt dt ds dt dt R ds

v τ τ τa τ τ n n

1 2 0

d d d ddt ds ds ds

τ τ τ τ ττ τ τ τ τ

Примеры дифференцирование вектора по скалярному аргументу.

• В подвижной системе координат орты изменяются и их следует дифференцировать

абсолютная система координат

относительная(подвижная) система координат

вращательное дви переносное движение

dAdA dAd yx zdt dt dt dtабс

dAdA dAd d d dyx z А А Аx y zdt dt dt dt dt dt dtотн

A i j k

A i j ki j k

жение

Теорема Эйлера о вращении точки с постоянной угловой скоростью

d lim lim sindt t tt 0 t 0

sin ,t

ddt

A A ω AAω A

ω A ω A ω

A ω A

Здесь M2 , М1 , M0 – конечное, среднее и начальное положения точки

A = M2-M0 - вектор малого перемещения точки, - угол поворота e – единичный вектор, определяющий направление перемещения

V=r dr/dt = r если = , то

если = , то

если = , то

ddt

ddtddtddt

r rir i ijr j jkr k k

( ) ( ) ( )

абс отн

dAdA dAd d d dyx z А А Аx y zdt dt dt dt dt dt dtdAdA dAyx z А А Аx y zdt dt dtd d ddt dt dt перенос

A i j ki j k

i j k i j k

A A A A

Применение теоремы Эйлера – вращение подвижных ортов

Полное изменение

вектора во вращ.

системе координат

Применение вектора набла

f f ff fx y z

i j k grad

BB Byx z divx y z

B B

i j kB BB BB By yx xz z

x y z y z z x x yB B Bx y z

rot B B i j k

Градиент скалярного поля f

Дивергенция векторного поля B

Вихрь (ротор) векторного поля B

Градиент векторного поля определяется иначе и

порождает новые математические объекты – тензора.

Дифференцирование вектора по вектору порождает три новых вектора!

Теорема Гаусса (A=Pi+Qj+Rk)

dVV S

A dS Векторная запись:

Координатная запись:

Теорема Стокса (A=Pi+Qj+Rk)

)S L

A dS A dL

Координатная запись:

Векторная запись:

Математика – это легко и просто.

/проф. Д.Л.Лайхтман –

мой учитель/