Отбор циклов с периодом -простым числом в модели «хищник-жертва» с использованием методов компьютерного моделирования.

Работа выполнена студентами кафедры зоологии беспозвоночных биологического факультета МГУ

Неклюдовым Б.В.И

Горелышевой Д.И.

Объект исследования

• Phylum: Arthropoda• Class: Insecta• Order: Hemiptera• Suborder: Auchenorrhyncha• Infraorder: Cicadomorpha• Superfamily: Cicadoidea• Family: Cicadidae• Subfamily: Cicadettinae• Genus: Magicicada

ВведениеГипотезы происхождения жизненного цикла

• Гипотеза хищникаДлинные жизненные

циклы с периодом, равным простому числу, значительно снижают частоту встреч цикады с хищником

• Генетическая гипотезаДлительные жизненные

циклы, с периодом равным простому числу, значительно снижают частоту встреч разных популяций цикад между собой, а значит и частоту скрещиваний

ВведениеЦели

1. Подтвердить гипотезу хищника, пользуясь методами математического моделирования, несмотря на нехватку биологических данных

2. Показать, что эту биологическую модель можно использовать в теории чисел для получения простых чисел любой величины

Выводы

• По результатам, полученным исследованием моделей от времени, можно сделать вывод, что существует общая предрасположенность в таком типе динамических процессов склоняться к простым числам.

• Несмотря на то, что существуют более простые традиционные методы обнаружения простых чисел, биологические модели так же можно использовать для этих целей.

Анализ статьи при помощи методов компьютерного моделирования

• Цели и задачи:• Промоделировать

систему, представленную в статье, при помощи языка программирования QBasic

• Проверить гипотезу конкуренции

• Сравнить результаты статьи с собственными результатами

Гипотеза конкуренции: При конкуренции между

двумя видами наиболее выгодным периодом жизненного цикла оказывается цифра равная простому числу, т.к. снижается конкуренция за ресурсы.

Результаты проверки первичной модели

• В статье утверждается, что если жизненный цикл жертвы выходит на простое число, то он закрепляется и больше не меняется. Однако, например, для пары X=2, Y=19 правило нарушается, и жизненный цикл мутирует до Y=15

19

15 15

17

2

54

33

5

Результаты проверки первичной модели

• Более того можно отметить интересные закономерности в изменении жизненных циклов вслед друг за другом, в результате которых получаются хаотические колебания.

Обсуждение

• При X=2 переходы между числами Y ( с 19 или 17 на 15) можно объяснить так:

o Почему не простое число?В данной системе главным критерием для Y

при X=2 является нечетность.

Обсуждение

• Почему с 19 на 15?• При подсчете вручную 15 действительно

оказывается выгоднее 19:• Ny=50\19=3; Ng=50\15=4

• ∑fy(t)=-2+1=-1; ∑fg(t)=-2+1=-1

• Fy=∑fy(t)/Ny =-1/3; Fg =∑fg(t)/Ng =-1/4

• Fy < Fg -> Y=G=15 на следующем шаге

Обсуждение

• Колебания на графике демонстрируют нам, что при данных ограничениях система не может прийти в равновесие. Жертва постоянно мутирует вслед за хищником, и реже происходит наоборот.

Доработка На основе этих пунктов дорабатываем

программу• Вносим более жесткие ограничения:

Вместо

2 ≤ X ≤ L/2Устанавливаем

2<X ≤ L/2

Результаты для конечной модели

• Действительно, мы приходим к простым числам для периода жизненного цикла жертвы

N=50 L=89 -> X=4; Y=89N=50 L=22 -> X=3; Y=17

Результаты

Иногда выпадают составные числа.Очень редко происходит скачок с простых

чисел на составные и возврат.

Обсуждение результатов

• После доработки программа стала работать лучше.• Система приходит к простым числам, но

существуют некоторые пары чисел, где период жизненного цикла жертвы не соответствует простому числу. На данном количестве шагов они имеют схожие свойства с простыми числами или же являются взаимно простыми. Это чаще случается при больших L и малом количестве шагов. Напротив, при малых L и большом числе шагов вероятность прихода к простому числу выше

Пары чисел, обладающие свойствами простых

• X=4, Y=58, G=63• Ny=50\58=1; Ng=50\63=1

• ∑fy(t)=-3+2=-1; ∑fg(t)=-2+3=1

• Fy=∑fy(t)/Ny =-1/1=-1; Fg =∑fg(t)/Ng =1/1=1

• Fy < Fg -> Y=G=63 на следующем шаге

• Таким образом, пара чисел 4 и 63 обладает свойствами простых чисел, то есть имеет наименьшее общее кратное, равное X*Y=252

Модель конкуренции

Для преобразования исходной модели необходимо было изменить моментальную функцию успешности и ограничения на значения жизненного цикла.

Теперь X и Y – две(-а) популяции(вида) цикад

Результаты

• Период жизненного цикла одной популяции выпадает на простое число, а второй – максимально приблизиться к периоду первой.

Результаты

• Иногда встречаются, как и в модели хищник жертва, пары составных чисел

Результаты

• Был получен график, соответствующий реальным жизненным циклам двух видов цикад

Обсуждение результатов

• 2 стратегии:• Первая популяция стремится к простому

числу• Вторая стремится приобрести как можно

больший период жизненного цикла, но при этом не отходя далеко от периода ж/ц первой популяции. Но если выпадает простое число, может оставаться и на нем.

Обсуждение результатов

• Выпадение пар , в которых нет простых чисел объясняется так же, как и в модели хищник-жертва.

• Выпадение реальных периодов жизненных циклов цикад при биологическом ограничении L=22 в модели конкуренции играет в пользу этой гипотезы.

Сравнение материалов статьи с полученными данными.

• Ограничение на период жизненного цикла хищника, указанное в статье, оказалось не совсем верным.

• В нашей программе не получились представленные в статье результаты (17 и 4)

• Данная программа не всегда генерирует простые числа.

Выводы• В данных системах имеется тенденция

склоняться к простым числам или же к числам, имеющим свойства простых.

• Эти модели нельзя использовать для получения простых чисел.

• Гипотеза конкуренции значительно лучше гипотезы хищник-жертва, что подтверждается полученными в программе числами, соответствующими реальным периодам жизненных циклов цикад.

• Возможно, что при объединении модели конкуренции и хищника, эти программы можно будет использовать для получения простых чисел, поэтому требуются дальнейшие исследования

• Так же следует провести статистический анализ для проверки достоверности полученных нами данных

Спасибо за внимание

Приложения

Prime Number Selection of Cycles in aPredator-Prey Model

ERIC GOLES,† OLIVER SCHULZ,* AND MARIO MARKUS*†Center for Mathematical Modelling of Complex Systems, FCFM,

University of Chile, Casilla 170-3,Santiago, Chile

*Max-Planck-Institut fu¨ r molekulare Physiologie, Postfach 500247, D-44202 Dortmund, Germany

Received September 14, 2000; revised January 30, 2001; accepted January 30, 2001

Оригинальная статья

Симуляция процесса во времени

• X – период цикла хищника-резидента, • Q– период цикла хищника-мутанта при Y =

const• Y – период цикла жертвы-резидента, • G – период цикла жертвы-мутанта при X =

const

Выставляем ограничения

• Ограничения на значения периодов X и Y

• 2 ≤ X ≤ L/2• L/2 + 2 ≤ Y ≤ L• L выбирается исходя из

условий задачи

Рассмотрим моментальную функцию успешности f(t)

fy(t): -1 – появление и встреча хищника; 0 – нет появления; +1 – появление без хищника fx(t): +1 – появление и встреча жертвы; 0 – нет появления; -1 – появление без жертвы

Рассмотрим суммарную функцию успешности

• Nx = N\X – целое число поколений хищника-резидента за N лет; Nq=N\Q – для мутанта

• Ny = N\Y – целое число поколений жертвы-резидента за N лет; Ng=N\G – для мутанта

• Fy = ∑fy(t)/Ny при t=[0;XY];

• Fg = ∑fg(t)/Ng при t=[0;XG];

• Fx = ∑fx(t)/Nx при t=[0;XY];

• Fq = ∑fq(t)/Nq при t=[0;QY];

• Fg > Fy –> Y=G; Fq > Fx –> X=Q

Рассмотрим вычисления на конкретном примере:

На данном шаге моделирования:

Условия:• N=50 лет• X=4; Q=5• Y=10; G=17

• Для Жертвы:• Ny=50\10=5

• Ng=50\17=2

• ∑fy(t)=-3+2=-1 - встреча X и Y

• ∑fg(t)=-2+3=1 - встреча X и G0 10 20 30 40

0 17 34 51 68

Рассмотрим вычисления на конкретном примере:

На данном шаге моделирования:

Условия:• N=50 лет• X=4; Q=5• Y=10; G=17

• Для Хищиника:• Nx=50\4=12

• Nq=50\5=10

• ∑fx(t)=3-8=-5 - встреча X и Y

• ∑fq(t)=5-6=-1 - встреча Q и Y0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Рассмотрим вычисления на конкретном примере:

• Для Хищника• Fx =∑fx(t)/Nx =-5/12=-0,417

• Fq =∑fq(t)/Nq =-1/10=-0,1

• Fx < Fq -> X=Q=5 на следующем шаге

• Для Жертвы• Fy=∑fy(t)/Ny =-1/5=-0,2

• Fg =∑fg(t)/Ng =1/2=0,5

• Fy < Fg -> Y=G=17 на следующем шаге

Симуляция процесса во времени

• На рисунке 2а – биологическая модель, L = 22, период цикла Y = 17 – простое число

• На рисунке 2b – чисто математическая модель, L = 2,2 * 109, период цикла Y замыкается на числе Эйлера

Модель конкуренции

f(t): -1 – появление и встреча; 0 – нет появления; +1 – появление без встречиОграничения на значения жизненного цикла

2 < X ≤ L2 < Y ≤ L