Всички реални твърди тела изменят своята форма и размери при външни механични или термични въздействия.

В дисциплината Съпротивление на материалите (Съпромат; СМ) се изучават деформируеми тела.

Въведение. Вътрешни усилия

1. Основна задача на Съпротивление на материалите

В СМ, както и в другите природни науки, изследването на обекта запова с избор на изчислителна схема (моделиране).

Тя се получава чрез отхвърляне на несъществените (за решаване на основната задача) особености на изследвания обект.

Моделирането е творческа задача. Различни обекти могат да се сведат до еднакви изчислителни схеми.

За един обект могат да се създават различни изчислителни схеми в зависимост от целите и етапите на изследването.

2. Схематизация на реалния обект.

Конструкциите трябва да работят в състояние на устойчиво равновесие -т.е. отклонени от първоначалното равновесно състояние трябва да се връщат самостоятелно в него, след премахване на причините за отклонението.

Реалните тела притежават свойствата:

- якост - да понасят в определени граници външни въздействия без да се разрушават

- коравина - да се деформират, без да променят съществено формата и размерите си

Редица класификационни организации налагат допълнителни ограничения по ниво на трептенията (собствени честоти).

Основна задача на Съпротивление на материалите е определянето на размерите на сеченията на конструкциите, така че те (конструкциите) да притежават достатъчна якост, коравина и да са устойчиви.

Освен това конструкциите трябва да са икономични, технологични и т. н. Тези противоречиви изисквания предполагат търсенето на оптимални по определен критерий решения.

В СМ чрез въвеждане на опростяващи предпоставки се предлагат методи за удобно, бързо и достатъчно точно решение на типични инженерни задачи.

h

PP q

фиг.1

фиг.2

б) - хомогенен – по целия обем свойствата на материала са еднакви

2.1. Схематизация на физическия строеж на тялото

Материалът, от който е направено тялото се счита:

а) - непрекъснат – липсват кухини, шупли, пукнатини и др. Това позволява използването на методите на математическия анализ.

г) – идеално еластичен – след премахване на натоварването тялото изцяло възстановява размерите си.

в) - изотропен – свойствата са еднакви по всички направления

При моделирането на реалните обекти се стремим да оприличим формата им с някоя от следните типични схеми:

2.2. Схематизация на формата

а) - прът –(фиг.3) – тяло, при което дължината е много по-голяма от напречните размери на сечението (L >> b,h).

Същите съотношения на размерите имат и гредата, валът и нишката, но те имат допълнителни особености: гредата – работи на огъване; валът – предава въртящ момент; нишката – работи само на опън.

h

b

L

фиг.3

б) – черупка –(фиг.4) - тяло, при което дебелината h е много по-малка от другите два размера (h <<A,B). Ако средната повърхнина е равнина тялото се нарича плоча (фиг.5)

В

h

А

фиг. 4 фиг. 5

L

H

B

в) масивно тяло – (фиг.6) - тяло, при което трите размера са от един и същ порядък

фиг. 6

2.3. Видове сили и схематизация на натоварването

3

0

limm

N

V

V

P

][;

0

lim2

Pam

N

F

F

Pp

m

N

L

L

Pq

0

lim

в) – разпределени по линия товари

(1)

(2)

б) – повърхнинни сили - газово или хидростатично налягане; контактно налягане

(3)

а) – обемна сила – Те действат във всеки елементарен обем на тялото - собствено тегло (относително); инерционни сили; електромагнитни сили.

г) - съсредоточена сила (съсредоточен момент)

Те са идеализации, които използваме за удобство. Например действието на колелото на количката върху гредата е разпределено на малка площ и може да се замени със съсредоточена сила фиг.7.

Силите в Съпротивление на материалите за разлика от Теоретичната механика не са плъзгащи вектори.

По начина си на прилагане и действие във времето натоварването бива:

фиг.8.

P(t)

t

P(t)

t

P(t)

t

статично вибрационно ударно

Между частиците, които изграждат тялото, съществуват сили на привличане и отблъскване. В резултат силата на взаимодействие между две частици фиг.9 се дава с формула (4).

mnij r

B

r

Af

fij

fji

r

fij

r

ro

rm

(4)

фиг.9

Вътрешните усилия, разглеждани в СМ, възникват като резултат от външни сили или въздействия.

Rpcp

p

F

n(,,)

p

dF

n(,,)

t

Пълното механичното напрежение (напрежение) p е мярка за интензивността на вътрешните сили в дадено сечение фиг.10.

2m

N

F

Rpcp

0

lim

FF

Rp

Пълното напрежение разлагаме на нормално напрежение (действащо перпендикулярно на площадката) и тангенциално напрежение (действащо в площадката)

напрежениенотангенциал

напрежениенормално

p

СМ разглежда еластичните премествания вследствие на деформируемостта на телата (фиг.11). Те са малки величини в сравнение с размерите на телата, но играят съществена роля за определяне на напреженията

kwjviu

Въвеждаме понятията относителна линейна деформация (линейна деформация) (7) и ъглова деформация (8).

ACAB

CABBAC

;

][)'''lim(][

'

ds

dsds

A

B

A’

B’

ds ds’

X

Y

Z

A

BA’

B’

X

Y

Z

C

C’

(фиг.11)

(7) (8)

Ако познаваме разпределението на вътрешните сили, можем да определим кое сечение е най-застрашено и да го оразмерим с определен запас.

3. Вътрешни усилия

Определянето на вътрешните усилия обикновено става чрез мислено разрязване – “метод на сечението” и затова те най-често те се наричат разрезни усилия.

3.1. Метод на сечението

z

xP2

P1

Pi

Pn

L

D

0;0 DLeDLe MMMRRR

(9)

RL

ML

RD

MDR

R

M M

L

D

x

y

z

0;0 LL MMRR

DLDL MMMRRR

;

Ако замяната на дясната част с вътрешни сили е равностойна то равновесието трябва да се запазва (10).

(11)

(10).

zyусогусzy МММMMMQQNQNR

;

x

y

z

R

M

L

N

Qz

Qy Mус

MyMz

Разрезни усилия (РУ) ще наричаме алгебричните проекции на главния вектор R и главния момент M на системата вътрешни сили върху осите на местната координатна система.

Обикновено е по-удобно да се работи с проекциите на главния вектор R и главния момент M (12).

(12).

x

y

z

L

D

NMx

Qy

MzMy

Qz

N

QyMy

Mx

Qz

Mz

На фиг.15 са показани положителните посоки на РУ за лява и дясна част.

За проекциите са възприети следните наименования:

N – нормална сила;

Mус – усукващ момент;

Q – срязваща (напречна) сила;

Мог – огъващ момент

Тъй като оста х избираме по оста на гредата често ще означаваме Мус като Мх Ще изпускаме индекса за огъващ момент т.е. ще означаваме Мог,y като Мy.

ZDZLzYDYLyXDXLx

ZDZLzYDYLyXDXL

MMMMMMMMM

RRQRRQRRN

,,,,,,

,,,,,,

Този начин е удобен при сложни пространствени конструкции. Работи се с една и съща изходна координатна система, която се мести в мястото на мисленото срязване.

3.2. Способи (начини) за определяне на РУ

а) – предварителна аналитична редукция

x

y

z

L

D

NMx

Qy

MzMy

Qz

N

QyMy

Mx

Qz

Mz

б) – непосредствено уравновесяване

При този начин в мястото на мисленото срязване въвеждаме формално запъване и определяме РУ като “реакции” на външните сили върху запазената лява или дясна част фиг.16.

фиг.16.

Използва се при равнинни системи. При тях е удобно да се използва реперна линия (р. л.). Тя замества изобразяването на координатната система. Моментът Му се изобразява с крива стрелка.

в) смесен способ

N+dN

Qz+dQz

My+dMy

N

Qz

My

q(s)

dss

t(s)

+N => разпъва реперната линия; от сечението навън+Qz => върти реперната линия по часовата стрелка+My => огъва така, че нишките откъм реперната линия са опънати

3.3. Диференциални зависимости между РУ за греда с права ос.

N+dN

Qz+dQz

My+dMy

N

Qz

My

q(s)

dss

t(s)

...02

02

0

00

00

)(

)(

)()(

)()(

вмбds

dsq

Qds

dMMdsQ

dsdsqdMMMi

qds

dQQdsqdQQYi

tds

dNNdstdNNXi

S

zy

yzSyy

Sz

zSzz

SS

)(2

2

)()( Sy

zy

Sz

S qds

MdQ

ds

dMq

ds

dQt

ds

dN

диференциални зависимости на Журавски