Стохастическое программирование

выполнилиШпарик АннаКутас Юлия

Стохастическое программирование

Стохастическое программирование — раздел математического программирования, совокупность методов решения оптимизационных задач вероятностного характера. Это означает, что, либо параметры ограничений (условий) задачи, либо параметры целевой функции, либо и те и другие являются случайными величинами (содержат случайные компоненты).

В задаче линейного программирования:

(1.1)

).,...,1(

),,...,1(

,max(min)

1

1

njDxd

mibxa

xcL

jjj

n

jijij

n

jjj

• Стохастическая постановка целевой функции может быть двух видов: М-постановка и Р-постановка.

• При М-постановке случайная величина заменяется ее математическим ожиданием и задача сводится к оптимизации детерминированной целевой функции:

(1.2)

• где сj — математическое ожидание случайной величины сj.

j

jj xcL ,max(min)

При Р-постановке целевая функция будет иметь вид:

• при максимизации целевой функции:

(1.3)

• при минимизации целевой функции:

(1.4)

jjj rxcPLmax

jjj rxcPLmax

Наиболее распространены СТП-постановки в вероятностных ограничениях вида:

(1.5)

)(,)(,

)(,)(,

1

1

гaвa

bxaP

бaaa

bxaP

i

in

jijij

i

in

jijij

Так, ограничение (а) означает, что вероятность соблюдения неравенства

1.6

должна быть не меньше, чем ai. Аналогичный

смысл и других ограничений.

n

jijij bxa

1

Для случая, когда вероятностные ограничения представлены в виде типа (а), задачу СТП можно записать при М-постановке:

(1.7)

).,...,1(

),,...,1(

,max(min)

1

njDxd

miabxaP

xcL

jjj

i

n

jijij

jjj

При Р-постановке:• в случае максимизации целевой функции

1.8

• в случае минимизации целевой функции

1.9

).,...,1(

),,...,1(

,max(min)

1

1

njDxd

miabxaP

rxcPL

jjj

i

n

jijij

n

jjj

).,...,1(

),...,1(

,max

1

njDxd

miabxaP

rxcPL

jjj

i

n

jijij

jjj

Детерминированная постановка задач стохастического программирования

• Процесс решения задачи СП разделяется на два этапа:• Предварительный этап (более трудоемкий). Формируются решающие правила, связывающие решение с заданными

статистическими характеристиками случайных параметров условий задачи.

Этап не требует знания конкретных значений параметров целевой функции и ограничений.

Построение решающих правил требует информации о структуре задачи и о статистических характеристиках случайных исходных данных.

• На основном этапе решающие правила используются для оперативного решения задачи.

• Второй этап называют оперативным этапом анализа стохастической модели.

Для решения задачи стохастического программирования в Р-постановке и с вероятностными ограничениями переходят к детерминированному эквиваленту.

Для целевой функции детерминированный эквивалент имеет вид:

• при минимизации целевой функции

2.1,min

1

22

1

n

jjj

n

jjj

x

rxcL

• при максимизации целевой функции

2.2

где σ2j — дисперсия случайной величины сj Решение таких задач затруднительно, поэтому далее рассматриваем целевая функция только в М- постановке.

,max

1

22

1

n

jjj

n

jjj

x

xcrL

Детерминированный эквивалент вероятностного ограничения типа (а)

2.3

• может быть сведен к виду:

2.4

i

n

jijij abxaP

1

,1 1

222

n

ji

n

jijijajij bxtxa

i

где ai j , bi — математические ожидания; , σ i j 2 , ө i 2 — дисперсии случайных величин aij , bi ; ta = Ф*-1(ai) — обратная функция нормального распределения при функции распределения:

2.5

где ai — заданный уровень вероятности

t tdtetФ ,

21)( 2

2

Детерминированный эквивалент задачи СТП в М-по- становке имеет вид

2.6

).,...,1(

),,...,1(,

,max(min)

1 1

222

1

njDxd

mibxtxa

xcL

jjj

n

ji

n

jijijajij

n

jjj

i

Каждое 1-е ограничение в детерминированном эквиваленте (2.6) отличается от аналогичного ограничения задачи линейного программирования следующим:

2.7

• от детерминированных значений aij, bi выполнен переход к математическим ожиданиям случайных величин aij, bi;

• появился дополнительный член ( ζ )

который учитывает все вероятностные факторы: закон распределения с помощью ta; заданный уровень вероятности ai ; дисперсии случайных величин aij равные σ ij 2; дисперсии случайных величин bi равные ө i 2.

n

jijij bxa

1

,1

222

n

jijijai xt

i

Решение задач СТП

Детерминированный эквивалент задачи стохастического программирования в М-постановке включает ограничения, которые являются нееепарабельными функциями. Обозначим

3.1

jijiji xT 222

тогда задачу стохастического программирования можно записать в сепарабельной форме:

3.2 где

),,...,1(),...,1(

)(

),,...,1(,

,max(min)

1

2222

1

1

miTTTnjDxd

xT

mibTtxa

xcL

iii

jjj

n

jijiji

n

jiiajij

n

jjj

i

,222 j

ijiji xT ,222 j

ijiji xT

• Эта задача является сепарабельной задачей нелинейного программирования и может быть решена с помощью стандартных программных средств.

• Функция F(x1, х2, хп) называется сепарабельной, если она может быть представлена в виде суммы функций, каждая из которых является функцией одной переменной, т. е. если

j

ii xf )() x,õ F(x n21

Заключение

• Таким образом можно сказать что стохастические модели, при выборе решений в сложных ситуациях, более адекватны реальным явлениям и процессам, чем детерминированные.

• В практических задачах приходится выбирать решения в условиях недостатка информации об исходных данных.