Математика древних цивилизаций

Математика древних

цивилизаций

история математики

План

1. Общая характеристика математической культуры

древних цивилизаций

2. Математика Древнего Египта

3. Древневавилонская математика [4. С. 40-46]

4. Математика Индии и Китая в древности [4. С. 46-50]

5. Математическая культура индейцев мезоамерики

Литература

1. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М., 1967

2. Кольман Э. История математики в древности. М., 1961

3. Депман И.Я. История арифметики. М., 1959

4. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М., 1984

Молчат могилы, мумии и кости

Лишь слову жизнь дана

Сквозь мглу веков, на мировом погосте

Звучат лишь письмена

И. Бунин

Ржавеет золото и истлевает сталь

Крошится мрамор – к смерти все готово.

Всего прочнее на земле печаль

И долговечней – царственное слово

А. Ахматова

1. Общая характеристика математики


Египет Вавилон Индия Китай Майя, ацтеки, инки



Египет

Вавилон Индия Китай Майя, ацтеки, инки

Нил

Материальный носитель информации:

Система знаков:

папирус

иероглифы



Египет Вавилон

Индия Китай Майя, ацтеки, инки

Тигр

Евфрат



керамика

клинопись



Египет Вавилон Индия

Китай Майя, ацтеки, инки



листья, кора

символы

Инд Ганг



Египет Вавилон Индия Китай

Майя, ацтеки, инки

Инд Ганг



бамбук, бумага

иероглифы

Хуанхэ

Янцзы



Египет Вавилон Индия Китай Майя, ацтеки, инки



камень

символы

Мисисипи

Амазонка

Особенности математики древних


• содержание математических знаний примерно

одинаково, форма резко отличается;

• наши знания зависят от сохранившихся

памятников письменности;

• отсутствие возможности точного определения

времени того или иного математического

открытия;

• практический характер математики;

• отсутствие попыток обоснования.

Рецептурная, бесформульная,

безымянная математика древних


С.Е. Белозеров


Первое известное имя - Инхотеп

земледелие архитектура отчетность

≈ 4 тыс. лет до н.э.


Наиболее ценными для истории математики являются:

- Московский папирус [≈ 1850 г. до н.э.];

- Папирус Райнда (писца Ахмеса) [≈ 1550 г. до н.э.];

- Берлинский папирус;

- Кахунский папирус

- Кожаный свиток.

2.1. Московский папирус

Московский папирус – самый древний памятник египетской

математики (ок. 1850 г. до н.э.). Его приобрел в 1893 г.

русский собиратель Владимир Семенович Голенищев (1856-

1947). С 1912 года он хранится в Москве, в Музее

изобразительных искусств им. Пушкина.

Размер папируса 544х8 см. Он содержит

решения 25 задач. Например, в задаче

приведенной на фрагменте (№14), правильно

вычислен V усеч. пирамиды с квадратным

основанием: «Если тебе называют усеченную пирамиду

шести локтей в высоту, 4 (локтей) в нижней стороне, 2 в

верхней стороне, вычисляй с этой 4, возведя её в квадрат.

Получается 16. Удвой 4; получается 8. Вычисляй с этой 2,

возведя её в квадрат; получается 4. Сложи эти 16 с

этими 8 и с этими 4; получается 28. Вычисли 3 от 6;

получается 2. Вычисли 28 два раза; получается 56.

Смотри: она есть 56. Ты нашел правильно».

Расшифровка – акад. Б.А. Тураев, детальное изучение – акад. В.В. Струве

(1927 г. – результаты опубликованы на немецком языке в Германии).

56)2244(3

6 22 V

2.2. Папирус Райнда

Папирус Райнда был составлен ок. 1550 г. до н.э. писцом

Ахмесом. Приобретен английским собирателем Генрихом

Райндом в 1858 г. и хранится, как и Кожаный свиток, в

Британском музее. Его размеры 544х33 см. Он содержит 84

задачи. Представляет собой конспект писца-учителя Ахмеса. Название папируса

Райнда: «Наставление, как

достигнуть знания всех

темных вещей … (вырван

кусок папируса) … всех тайн,

которые скрывают в себе

вещи. Сочинение это написано

в 33-м году и 4-м месяце

времени вод в царствование

фараона Ра-А-Ус со старых

рукописей времен фараона …

() … ат. Писец Ахмес написал

это».

Цит. по тексту дисс. В.В.Бобынина

«Математика древних египтян по

папирусу Ринда» (М., 1880).

2.3. Задачи папируса Райнда

Фотоснимок этой части папируса дает

представление об одном из самых ранних

применений математики – для измерения

земли. Горизонтальными линиями отделены

друг от друга пять задач; условия и решения

читались справа налево.

В верхней части папируса дается «пример

расчета площади прямоугольного участка

земли размером 10 хетов на 2 хета». Вторая

задача сверху – вычисление площади

«круглого поля» с периметром 9 хетов. Другие

задачи показывают как вычислять площади

полей, имеющих форму треугольника,

трапеции, частей треугольника.

2.3. Задачи папируса Райнда

Среди задач папируса Райнда встречаются:

- задачи на простые арифметические операции

(12х12, задача №32; 19:8, задача №24;

задача №33)

- задачи на определение площади круга (задача

№50: , где d – диаметр, т.е. Π≈3,16),

равнобедренного треугольника, равнобочной

трапеции;

- задачи на линейное уравнение;

- задачи на арифметическую и геомет-

рическую прогрессии.

Отметим, что площадь равнобедренного треу-

гольника (равнобочной трапеции) определялась

произведением половины основания (полусуммы

оснований) на боковую сторону, а не на высоту.

)7

1

2

1

3

21(37

2

9

8

dS

2.3. Задачи древнеегипетских папирусов

1. Разделить 100 караваев хлеба между 5 человеками так,

чтобы 1/7 общего количества караваев у трех последних

равнялась количеству караваев у первых двух. (Райнда)

Ответ: (арифметическая прогрессия с

первым членом ).

2. Найти число, если известно, что от прибавления к нему 2/3

его и вычитания от полученной суммы ее трети получается

число 10. Ответ: 9.

3. У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи

мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев, из каждого

колоса может вырасти по семь мер ячменя. Как велики

числа этого ряда и их сумма? Ответ: геометрическая

прогрессия из пяти членов с первым членом 7 и

знаменателем 7. (Райнд, №79 – задача-путешественница)

4. Определить длину сторон прямоугольника, если известны

их отношение и площадь фигуры (Моск.) Ответ:

3

138,

6

129,20,

6

510,

3

21

6

19

3

21 разностьюи

Sm

nуS

n

mх ,

2.4. Расшифровка древнеегипетских

папирусов

Уже греки взирали на

таинственную рисуночную

письменность древних египтян

с почтительным удивлением и

назвали ее «иероглифами»,

«священными знаками», так

как предполагали, что в ней

сокрыта тайная чародейская

мудрость египетских жрецов.

Жан Франсуа Шампольон

(1790-1832)

Еще одиннадцатилетним мальчиком Шампольон решил

во что бы то ни стало овладеть тайной

иероглифической письменности. Ему это удалось,

благодаря сопоставлению надписей на Розеттском

камне, обнаруженном в 1799 г. при проведении

саперных работ во время похода Наполеона в Египет.

Розеттский

камень

Александр

К

л

е

о

п

а

т

ра

2.5. Особенности математики Древнего

Египта

1. За 2000 лет до н.э. египтяне употребляли систему

счисления, которую мы характеризуем как –

древнеегипетскую иероглифическую десятичную

непозиционную систему счисления.

Узловые числа вида 10k (k=1..7) изображались

индивидуальными символами:

Египетская полихромная

скульптура эпохи Эль-Амарны,

изображающая Нефертити –

жену фараона Эхнатона


Египта

2. Аддитивный характер арифметических

действий:

+ сводилось к присчитыванию соответствующих

символов с заменой в случае появления десяти

символов одного разряда символом следующего

разряда;

- сводилось к отысканию числа, которое надо

прибавить к вычитаемому, чтобы в сумме

получить данное уменьшаемое;

х(:) сводилось к кратному 2 увеличению

(уменьшению) множителя (делителя) и сложению

тех результатов, для которых сумма

соответствующих кратных равнялась другому

множителю (делителю). Египетская полихромная





Египта

3. Обозначение и действия с дробями.

Все дроби сводятся к так называемым основным

дробям, к которым относятся аликвотные дроби

(т.е. с числителем 1 [изображались знаменателем с

чертой наверху]) и дроби специального вида:

½, 2/3, ¼, ¾, которые изображались как:

В папирусе Райнда дана специальная таблица

разложения дробей на сумму аликвотных [см.

Выгодский М.Я., С.29]. Подобная система

обозначения дробей достаточно неудобна и

тяжеловесна, тем не менее она была заимствована

греками и применялась не только в эпоху

эллинизма, но и в средние века.





или


Египта

4. Система математических задач

Задачи носят прикладной характер, в основном

геометрического характера. Многие задачи просты.

Часть задач сводится к решению линейного

уравнения с одним неизвестным. Для неизвестного

применялся специальный иероглиф, обозначавший

«кучу» (хау) – хау-исчисление.

Папирус Райнда содержит 15 подобных задач, а

Московский - 3 задачи.

Самый замечательный результат – формула для

объема усеченной пирамиды с квадратным

основанием.

Не имеет аналогов ни в какой другой древней

математике и является одной из загадок великой

египетской цивилизации.





22

3

1babahV

3. Древневавилонская математика






Математическая культура индейцев Мезоамерики

1. Особенности математики индейцев мезоамерики

2. Математическая культура Майя

3. Математическая культура Ацтеков

4. Математическая культура Инков

Литература

1. Ершова Г.Г. Майя: тайны древнего письма. М., 2004

2. Депман И.Я. История арифметики. М., 1959

3. Диего де Ланда. Сообщение о делах в Юкатане. 1566. М., 1955

4. Малаховский В.С. Числа знакомые и незнакомые. Калининград, 2004

5. Математика в современном мире. М., 1967

6. Эрдёди Янош. Эпоха великих географических открытий. Будапешт, 1985.

Математическая культура Майя


Хронология:

Зарождение - ок. 4000 до н.э.

Расцвет цивилизации - IV-VI в н.э.

Конец цивилизации - XVI-XVII в.н.э.

(испанские завоевания)

Основная деятельность:

возделывание кукурузы (маис)

Иероглифическая лестница


Основные письменные

источники:

- Дрезденский кодекс;

- Мадридский Кодекс;

- Парижский кодекс.

Основные монументаль-

ные источники:

стелы и колоны майя


Дрезденский кодекс майя


Мадридский кодекс майя


Парижский кодекс майя


Числа Нового Света

На обнаруженной в штате Вераскус

(Мексика) плите с помощью точек и

черточек записаны числа майя.

После реставрации плиты удалось

прочесть, что эти числа означают 7

периодов по 400 «лет», плюс 16

периодов по 20 «лет», плюс 6 «лет» по

360 дней каждый, плюс 16 «месяцев» по

20 дней каждый, плюс 18 дней.

Все суммарное время (1 841 641 600 дн.)

составляет приблизительно 3127 года

от начала данной системы

летоисчисления. В сопоставлении с

христианским календарем эта дата

соответствует ноябрю 4291 г. до н.э. –

это вторая по древности запись даты в

западном полушарии!



Из «Сообщения о делах в Юкатане»

«Науки, которым они обучали, были: счет лет,

месяцев и дней, праздники и церемонии, управление

их святынями, несчастные дни и времена, их

способы предсказания и их пророчества, события,

лекарства против болезней, памятники древности,

умение считать, читать и писать буквами и знаками,

которыми они писали, и фигурами, которые

объясняли письмена.

Они писали свои книги на большом листе,

согнутом складками, который сжимали между двумя

дощечками, сделанными очень красиво. Они писали

с одной и с другой стороны столбцами, следуя

порядку складок; эту бумагу они делали из корней

дерева копо и покрывали её белым лаком, на

котором можно хорошо писать»

Диего де Ланда

«Эти люди употребляли также определенные знаки, которыми они

записывали в своих книгах свои древние дела и свои науки. По ним они

узнавали свои дела, сообщали их и обучали. Мы нашли у них большое

количество книг этими буквами и, так как в них не было ничего, в чем не

имелось бы суеверия и лжи демона, мы их все сожгли; это их

удивительно огорчило и причинило им страдание».


Дешифровщик письма Майя

«То, что создано одним человеческим

умом, не может не быть разгадано

другим»

Юрий Валентинович Кнорозов

Российский лингвист и этнограф, доктор

исторических наук. Государственная

премия СССР (1975). Дешифровал

письменность древних майя и

протоиндийское письмо, внёс большой

вклад в изучение теории и истории письма,

в вопросы теории дешифровки

исторических систем письма и их

этносемиотического анализа, в разработку

общих проблем семиотики и теории

коллектива, в исследование древних, в

первую очередь американских

цивилизаций. Основатель российской

школы майянистики.

Нумерация Майя

Лицевые варианты цифр Майя по сводке Кнорозова

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

У майя были две системы записи чисел:

1) лицевая, применявшаяся в повседневной жизни;

2) позиционная абсолютная система, употреблявшаяся для

календарных расчетов. Ее характерная особенность – наличие нуля

(за X веков до Европы). Изображение – полузакрытый глаз.

Нумерация Майя

Название СС: Майянская двадцатеричная символическая позиционная с нулем

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0

1

2

3

4

Позиционное написание чисел

делалось вертикальным столбцом

и предполагало, что единицы

меньшего порядка находились

снизу, а высшего – сверху.

16х20 + 5 = 325

Наибольшее записанное число:

1 841 641 600


Таблица умножения майя Запись чисел майя

4·(18·204) 3

6·(18·203)

14·(18·202)

13·(18·20)

15·20

1

12 489 781

325 260 195 130 65

[65x5] [65x4] [65x3] [65x2] [65 x1]

Встречающиеся в рукописях

(Дрезденский кодекс) «таблицы

умножения» лишний раз

подтверждают существование у

майя позиционного написания

чисел. Относительно дробей ни

каких сведений до нас не дошло.

Календарь Майя

Запись даты «длинного счета» А Вводный иероглиф обозначающий дату

В1 9 бактунов (9 х 144 000 дней = 1 296 000 дней) ≈ 400 лет

С1 17 катунов (17 х 7 200 дней = 122 400 дней) ≈ 200 лет

В2 0 тунов (0 х 360 дней = 0 дней)

С2 13 Ахав – на эту дату приходится число, отстоящее от начала эры

майя на полученную общую сумму дней

В3 Иероглиф, приходящийся на последний 9-й день 9-дневной недели

С3 Вводный иероглиф 9-дневной недели

В4 Иероглиф, обозначающий день новолуния

С4 Иероглиф, обозначающий второй месяц в лунном полугодии

В5 Буквально: «Делит отрезок

С5 Его большого пути»

В6 Иероглиф, обозначающий текущий лунный 29-дневный месяц

С6 18 Кумху – месяц, получаемый в результате суммирования всех

дней с начальной даты майя

В результате мы получаем дату, приходившуюся на

новолуние 24 января 771 г. н.э.

Майя проводили точнейшие календарные расчеты: точность их

календаря превышает точность юлианского. Астрономические

расчеты Майя превышают по точности вавилонские.

Стелла из Киригуа

Математическая культура Ацтеков

Мексика. Расцвет цивилизации XII в. н.э.


пирамида Солнца


пирамида Луны, храм Кетцалькоатля


Пиктографическая рукопись

ацтеков времен завоевания

Мексики.

Под пиктографическими

рисунками испанский

пояснительный текст того

времени.

Нумерация Ацтеков

Название СС: Ацтекская двадцатеричная символическая непозиционная

1 2 3 4 5 6 7 8 9

единицы

десятки

сотни

тысячи

…

…

…

…

…

…

…

Ацтеки имели солнечный календарь, не уступающий по точности современному

Математическая культура Инков

Математическая культура Инков

Инки вели запись чисел при помощи

узелкового счета «квипу» (расчет

податей, хронологические записки,

бухгалтерский учет).

Веревки связывались по четыре

вместе и к ним присоединялась пятая

веревка, на которой с помощью узлов

выражалось число, являющееся суммой

чисел на первых четырех веревках.

Узлы для 1, 10, 100 – различной

формы.

Узловой счет инков

(Нью-Йорк, Американский музей естественной истории)

Для производства

арифметических опе-

раций употреблялись

камешки или зерна

маиса

Documents

Математика древних цивилизаций