1

Δυναμική (του υλικού σημείου) σε δύο

διαστάσεις

2

Στη ΔΥΝΑΜΙΚΗ σε μία διάσταση μελετήσαμε δυνάμεις που δρουν κατά μήκος του ίδιου άξονα (ευθεία), δηλαδή έχουν την ίδια διεύθυνση.

Στη ΔΥΝΑΜΙΚΗ σε δύο διαστάσεις θα μελετήσουμε δύο ή περισσότερες δυνάμεις που δρουν στο ίδιο σώμα (υλικό σημείο) και μεταξύ τους (οι δυνάμεις) σχηματίζουν τυχαία γωνία.

F1

F2 F

Fολ

3

Θυμίζουμε ότι στη ΔΥΝΑΜΙΚΗ (κλάδος της Μηχανικής) ουσιαστικά μελετάμε την σχέση που έχει η ......... με την ......... .

δύναμηκίνησ

ηΟ κλάδος της Μηχανικής που μελετά ένα σώμα όταν βρίσκεται σε στατική ισορροπία (δεν κινείται ή κινείται με σταθερή ταχύτητα) ονομάζεται Στατική.

Έτσι, θα μελετήσουμε τη Δυναμική σε δύο διαστάσεις ακολουθώντας τους νόμους του Newton A. το σώμα βρίσκεται σε στατική ισορροπία

(1ος νόμος)B. το σώμα επιταχύνεται (2ος νόμος).

4

Α. Στατική

5

Ακολουθούμε τη «μέθοδο του παραλληλογράμμου».

Οι δυνάμεις που θα συντεθούν ξεκινούν από το ίδιο σημείο

από το τέλος της μιας δύναμης ( ) φέρνουμε παράλληλη στη διεύθυνση της δεύτερης ( )

από το τέλος της δεύτερης δύναμης ( ) φέρνουμε παράλληλη στη διεύθυνση της πρώτης ( )

ενώνουμε την κοινή αρχή με το σημείο τομής των δύο παραλλήλων. Αυτό είναι το διάνυσμα της συνισταμένης ( ).

Σύνθεση δύο δυνάμεων που οι κατευθύνσεις τους σχηματίζουν

γωνία φ

6

Υπολογισμός του μέτρου της συνισταμένης

Η συνισταμένη έχει μέτρο που υπολογίζεται από τη σχέση

��𝑭=√𝑭❑

𝟐+𝑭𝟐+𝟐𝑭 𝑭 𝝈𝝊𝝂𝝋1 2 21

F2

φ

F2 ημφ

F2 συνφ

θ

Η κατεύθυνση της συνισταμένης με την κατεύθυνση του άξονα x’x σχηματίζει γωνία θ που υπολογίζεται από τη σχέση

��

𝜺𝝋𝜽=𝑭𝟐𝜼𝝁𝝋

𝑭𝟏+𝑭𝟐𝝈𝝊𝝂𝝋

7

Εύρεση συνισταμένης δύο δυνάμεων που οι κατευθύνσεις τους σχηματίζουν γωνία

900

�� 𝟏

�� 𝟐 ��

«γραφικός»

υπολογισμός

συνισταμένης

αλγεβρικός υπολογισμός του

μέτρου της συνισταμένης

𝑭=√𝑭❑𝟐+𝑭𝟐

1 2

Έτσι έχουν προκύψει τα γνωστά αποτελέσματα: F = F1 + F2

F =

θ=θ

συνφ = 0��=𝟗𝟎𝝄

σύνθεση δύο δυνάμεων ίδιας κατεύθυνσης ( )

��=𝟎𝟎 σύνθεση δύο δυνάμεων αντίθετης κατεύθυνσης (

) ��=𝟏𝟖𝟎𝟎

8

Κάθε δύναμη (συνισταμένη) μπορεί να αναλυθεί σε δύο επιμέρους δυνάμεις που λέγονται συνιστώσες.Συνήθως η ανάλυση γίνεται σε διευθύνσεις κάθετες μεταξύ τους, γιατί μας εξυπηρετεί στους υπολογισμούς.

��

Επιλέγουμε τους άξονες (με κοινή αρχή)

στους οποίους θα αναλύσουμε τη δύναμη

�� Από το τέλος της φέρνουμε

παράλληληπρος κάθε άξονα

��

Ενώνουμε την κοινή αρχή των αξόνων

με το σημείο τομής κάθε παράλληλης με τον άξονα x

�� 𝐲

O Η και η είναι οι συνιστώσες

τηςκαι μαζί κάνουν την ίδια «δουλειά» με αυτή.

x �� 𝐲 ��

Ανάλυση μιας δύναμης (συνισταμένη) σε δύο δυνάμεις

(συνιστώσες)

9

��

x

�� 𝐲

Oθ

𝛈𝛍𝜽=𝑭 𝒚

𝑭

συνθ= Fy =F ημθFx =F συνθ

Μπορούμε να υπολογίσουμε τα μέτρα των συνιστωσών και με τη βοήθεια του μέτρου της συνισταμένης και της γωνίας θ.

Fx FyFΥπολογισμός του μέτρου των συνιστωσών

δυνάμεων

10

Σύνθεση πολλών (ομοεπίπεδων) δυνάμεων Με τη μέθοδο του

παραλληλογράμμου

12F

1F

2F

Ο

3F

ολF

Αυτή η μέθοδος μας εξυπηρετεί στην εύρεση της συνισταμένης «γραφικά», όχι όμως στον εύκολο υπολογισμό του μέτρου της.

11

Με το ορθογώνιο σύστημα αξόνων

1ο βήμα: Σχεδιάζουμε κατάλληλο ορθογώνιο σύστημα αξόνων. Η αρχή μέτρησης των αξόνων θα συμπίπτει με το σώμα στο οποίο δρουν οι δυνάμεις.

2ο βήμα: Αναλύουμε κάθε δύναμη σε δύο συνιστώσες που βρίσκονται στους άξονες x′x και y′y.

xF1

xF2

yF2

yF1

xF3

yF3

Ο xx'

y

y'

φθ

ω

1F

2F

3F

12

Ο xx'

y

y'

yF1

yF2

yF3

xF1

xF2

xF3

Ο xx'

y

y'

yF

xF

F

4ο βήμα: Βρίσκουμε τη συνισταμένη των δυνάμεων και . Η είναι η συνισταμένη όλων των δυνάμεων.

XF

YF

F

3ο βήμα: Βρίσκουμε τη συνισταμένη όλων των δυνάμεων που βρίσκονται στον άξονα x′x και τη συνισταμένη όλων των δυνάμεων στον άξονα y′y.

xF

yF

13

xF1

xF2

yF2

yF1

xF3

yF3

Ο xx'

y

y'

φθ

ω

1F

2F

3F

Υπολογισμός του μέτρου και της κατεύθυνσης της συνισταμένης

δύναμης

F1x = F1.συνφF1y = F1.ημφ

F2x= F2.συνθF2y = F2.ημθ

F3y = F3.ημω

F3x = F3.συνω

14

Ο xx'

y

y'

yF1

yF2

yF3

xF1

xF2

xF3

xxxx F-FFF 321 +=

yyyy F-FFF 321 +=

15

Ο xx'

y

y'

yF

xF

F

22 += yx FFF

θ

Το μέτρο της συνισταμένης είναι

F

Η κατεύθυνση της συνισταμένης είναι

F

x

y

FF

εφθ =

16

Ισορροπία σώματος με την επίδραση πολλών (ομοεπίπεδων)

δυναμέωνΣύμφωνα με τον 1ο νόμο του Newton ικανή και αναγκαία συνθήκη για να ισορροπεί ένα σώμα είναι

= 0ΣΑν οι δυνάμεις που δρουν στο σώμα εκτείνονται στο επίπεδο, ο 1ος νόμος του Newton βρίσκει εφαρμογή έτσι:

= 0 ΣΣ= 0

για τις δυνάμεις που βρίσκονται στον άξονα x’x

για τις δυνάμεις που βρίσκονται στον άξονα y’y

17

Ισορροπία σώματος με την επίδραση τριών (ομοεπίπεδων)

δυνάμεων�� 𝟏𝟐

�� 𝟏�� 𝟑

�� 𝟐

Σ

Για να ισορροπεί το σώμα Σ με την επίδραση των τριών δυνάμεων , , πρέπει η συνισταμένη των δύο από αυτές (π.χ. των και ) να είναι αντίθετη της τρίτης.

�� 𝟐�� 𝟏 �� 𝟑�� 𝟐�� 𝟏

¿− ��𝟑�� 𝟏𝟐

18

Β. Ο 2ος νόμος του Newton

19

Αν σώμα μάζας m κινείται ευθύγραμμα με την επίδραση σταθερής (συνισταμένης) δύναμης , τότε αυτό αποκτά .......... επιτάχυνση και κινείται με ευθύγραμμη ....... ................. κίνηση.

����

σταθερήομαλ

άμεταβαλλόμενη

Σύμφωνα με το 2ο νόμο του Newton

am.F mFα

== ⇒Ενδέχεται η συνισταμένη δύναμη να μπορεί να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες, σε άξονες x’x και y’y.

��

Τότε ο 2ος νόμος του Newton θα πάρει την ισοδύναμη μορφή

ΣFx = m.αx

ΣFy = m.αy

20

Παρακάτω δίνονται διευθύνσεις όπου μπορείτε να βρείτε αναρτήσεις με το θέμα «Δυναμική σε δύο διαστάσεις»Ένα εκπαιδευτικό σενάριο για τη διδασκαλία

του θέματος «Σύνθεση – Ανάλυση – Ισορροπία Δυνάμεων»

από την ιστοσελίδα του Ηλία ΣιτσανλήΑπό την ιστοσελίδα «Φυσικής Ζητήματα» του

Βαγγέλη Μαρούση

Παρουσίαση ppt από τον Γιάννη Κυριακόπουλο

Από την ιστοσελίδα «Η Βιβλιοθήκη της Φυσικής» του Στέργιου

ΠελλήΑπό την ιστοσελίδα

«Σερφάροντας στη σχολική Φυσική» του Άρη Δεκατρή

21

Ερωτήσεις από το βιβλίο

(από σελ. 151)

22

14. Μια σφαίρα μάζας m δέχεται δυνάμεις που είναι κάθετες με τιμή F η κάθε μία, όπως φαίνεται στην εικόνα. Να σχεδιάσετε την επιτάχυνση που αποκτά η σφαίρα και να γράψετε τη σχέση από την οποία υπολογίζεται η τιμή της.

15.  Ένα κιβώτιο ισορροπεί πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο. Να αναλύσετε τις δυνάμεις (που δρουν στο κιβώτιο) και να γράψετε τη συνθήκη ισορροπίας (του).

wwy

wx

TN

Fολ

α α = Fολ =

23

44.  Ένα σώμα κινείται προς τα αριστερά με σταθερή ταχύτητα.Ποια από τις παρακάτω εικόνες αναπαριστά σωστά τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα;

48. Σε ποιο από τα σχήματα της επόμενης εικόνας έχουν σχεδιαστεί σωστά οι δυνάμεις που ασκούνται στο σφαιρίδιο του εκκρεμούς; H αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.

24

Ασκήσεις από το βιβλίο(από σελ. 157)

25

1.  Έστω μια δύναμη F = 10N. Να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες F1 και F2, που είναι κάθετες μεταξύ τους και έχουν ίσες τιμές.2.  Δύο δυνάμεις F1 = 4N και F2 = 5N ασκούνται στο ίδιο σωμάτιο και είναι κάθετες μεταξύ τους. Να βρεθεί η δύναμη F3 που πρέπει να ασκηθεί στο σωμάτιο, ώστε αυτό να ισορροπεί.*22.  Ένα σώμα μάζας m = 10kg ηρεμεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ασκούμε στο σώμα δύναμη F = 40N η οποία σχηματίζει γωνία 60o με το οριζόντιο επίπεδο.

Να υπολογίσετε:Α. Τη δύναμη που δέχεται το σώμα από το οριζόντιο επίπεδο.Β. Την ταχύτητα του σώματος μετά από 5s.Γ. Την απόσταση που διανύει το σώμα κατά τη διάρκεια του πέμπτου δευτερόλεπτου της κίνησής του. Δίνεται g = 10m/s2.

26

Εφαρμογές

27

4

1.

Οι δυνάμεις F1, F2 και F3του παραπάνω σχήματος έχουν μέτρο 2Ν, 4Ν και Ν, αντίστοιχα. Να βρείτε τη συνισταμένη τους (μέτρο, κατεύθυνση), ανφ =450. Δίνονται: ημ450 =συν450 =

Ο

y

x

F3

F1

F2

φ

28

2. Σε κιβώτιο που έχει μάζα 10kg ασκείται δύναμη μέτρου F = 40N όπως φαίνεται στο σχήμα. Το κιβώτιο κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο. α. Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που δρουν στο κιβώτιο.β. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση που αποκτά το κιβώτιο. γ. Να υπολογίσετε τα μέτρα των άγνωστων δυνάμεων που δρουν στο κιβώτιο.Δίνονται: g = 10m/s2, ημθ = 0,6 , συνθ = 0,8.

�� θ

29

3. Ένα κουτί μάζας 10kg αφήνεται να ολισθήσει σε επικλινές λείο επίπεδο που έχει κλίση θ° µε το οριζόντιο επίπεδο. α. Να σχεδιάσετε τις δυνάμεις που δρουν στο κουτί.β. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση που αποκτά το κουτί. γ. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που ασκεί το κουτί κάθετα στο επικλινές επίπεδο.Δίνονται: g = 10m/s2, ημθ = 0,6 , συνθ = 0,8.

30

4. Σώμα μάζας 2kg ηρεμεί στη βάση λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ0 και ύψους h=30m. Τη στιγμή t=0 δέχεται σταθερή δύναμη μέτρου 20N παράλληλη στο κεκλιμένο επίπεδο και με φορά προς τα πάνω. Να υπολογίσετε: α. Την επιτάχυνση που θ’ αποκτήσει το σώμα.β. Τον χρόνο που θα χρειαστεί για να φτάσει στην κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου. γ. Την ταχύτητα με την οποία θα φτάσει στην κορυφή. Δίνονται: g = 10m/s2, ημφ = 0,6 , συνφ = 0,8.

31

5. Ένα σώμα μάζας 10kg ισορροπεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο άκρο οριζόντιου τεντωμένου νήματος ΑΒ, ενώ πάνω του ασκείται μια δύναμη F μέτρου 50Ν, η οποία σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία θ, όπως στο σχήμα.

Α Β

α. Να αναλύσετε τη δύναμη F σε δύο συνιστώσες μια οριζόντια και μια κατακόρυφη και να υπολογίσετε τα μέτρα των δύο συνιστωσών.β. Να υπολογίσετε την τάση του νήματος και τη δύναμη που δέχεται το σώμα από το επίπεδο.γ. Σε μια στιγμή που θεωρούμε t=0, κόβουμε το νήμα. Να βρεθεί πόσο θα μετατοπιστεί το σώμα μέχρι τη χρονική στιγμή t1=3s.Δίνονται: g = 10m/s2, ημθ = 0,6 , συνθ = 0,8.