Алгебра А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір 9 клас

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Алгебра А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір 9 клас

Text of Алгебра А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір 9 клас

  • 9

    . . . .

    . .

    2009

  • 373:512 22.141721 52

    ( 02.02.2009 . 56)

    :

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    . . , ,

    . . , . . , . . , 2009 C. . , , 2009 , -, 2009ISBN 978-966-474-045-3

  • 3

    !

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  • 5 , a (), b, , - , , .

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    1.

    -. , (603,7 . 2) (551 . 2), - (1545 ) (2061 ), (450 ) 0,011 .

    , - . , , >, b; a b, a < b.

    , 12 > 7, 17 < 3, 1523

    1123

    , 2 1 . -

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    1.

    1

    bb

  • 6 1.

    , . , -, : , - , , .

    , .

    . a b, a b . a - b, a b .

    . -

    , 22 3

    2 3 , -

    :

    2

    2 3

    2 2 3 2 3

    2 3

    2 4 3

    2 3

    1

    2 32 3

    +

    +

    +

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    ( ) = ( ) ( ) = =( ) . 1

    2 30

    +> , 2

    2 32 3

    +> .

    , a b , , , - a b : a > b, a < b, a = b.

    a > b, , a , - , b (. 1).

    ,

    . , - 9 35. , 2, , - 30 /.

    b a

    a > bAB

    . 2

    . 1

  • 7 1.

    m (: ), l (: ).

    a < b a b, a m b . a > b a b, a l b ., 7 m 7, 7 m 15, 3 l 5 -

    . , , , 7 m 5 -.

    < > , - m l .

    1 , - a

    (a + 1) (a + 2) > a (a + 3).

    , -

    a . :

    (a + 1) (a + 2) a (a + 3) a2 + 2a + a + 2 a2 3a 2. ,

    (a + 1) (a + 2) > a (a + 3).

    2 (a 3)2 < 2a2 6a + 10, a -

    .

    -:

    (a 3)2 (2a2 6a + 10) a2 6a + 9 2a2 + 6a 10 a2 1 a2 + (1).

    - a , a2 m 0. . , a2 + (1) < 0. , (a 3)2 < 2a2 6a + 10 - a.

    3

    a b ab2

    l , a l 0, b l 0.

  • 8 1.

    -

    . :a b a b ab a bab+ + = =

    ( )2

    2

    2 2

    2

    .

    a b( )2

    2 -

    a b. , , , .

    , ab - a b.

    4, a2 ab + b2 l 0 -

    a b.. :

    a ab b a a b b b a b b2 2 2 2 22

    22 12

    14

    34

    12

    34

    + + + ( ) += = . a b( )12 2 0l 34 2 0b l -

    a b, a b b( ) +12 342 2 0l - a b., a2 ab + b2 l 0 - a b.

    1. a b?2. b a?3.

    a b?4. ,

    a, , b, a > b?5.

    ?6.

    ?7. a m b?8. a l b?9. , ,

    .

  • 9 1.

    1. a b, :1) a b 0,4; 2) a b 3; 3) a b 0.

    2. , m < n. m n : 1) 4,6; 2) 5,2; 3) 0?

    3. x y , :1) x y 8; 2) y x 10?

    4. A (a) - B (b), :1) a b 2; 2) a b 6; 3) a b 0; 4) b a = 2 ?

    5. :1) a > b a < b; 2) a l b a m b?

    6. (a 2)2 a (a 4) - a, : 1) 6; 2) 3; 3) 2. - , - a ? , - a .

    7. 4 (b + 1) b 2 - b, : 1) 1; 2) 0; 3) 3. , - b 4 (b + 1) b 2?

    8. , - :1) (a + 3) (a + 1) > a (a + 4); 5) (y + 5) (y 2) l 3y 10;2) 3 (b 4) + 2b < 5b 10; 6) 8m2 6m + 1 m (3m 1)2;3) (c 4) (c + 4) > c2 20; 7) a (a 2) l 1;4) x (x + 6) x2 < 2 (3x + 1); 8) (b + 7)2 > 14b + 40.

    9. , - :1) (p 3) (p + 4) < p (p + 1);2) (x + 1)2 > x (x + 2);3) (a 5) (a + 2) > (a + 5) (a 8);4) y (y + 8) < (y + 4)2;5) (2a 5)2 m 6a2 20a + 25;6) a2 + 4 l 4a.

  • 10

    1.

    10. :

    1) a > b, ab 1; 4) a

    b 1, a > b;

    2) a > 1, 2 2a ; 5) a2 > 1, a > 1?

    3) a < 1, 2 2a ;

    11. :1) 2a2 8a + 16 > 0;2) 4b2 + 4b + 3 > 0;3) a2 + ab + b2 l 0;4) (3a + 2) (2a 4) (2a 5)2 > 3 (4a 12);5) a (a 3) > 5 (a 4);6) (a b) (a + 5b) m (2a + b) (a + 4b) + ab.

    12. :1) 28a 32 m 7a2 4;2) 9x2 6xy + 4y2 l 0;3) 3 (b 1) < b (b + 1);4) (4p 1) (p + 1) (p 3) (p + 3) > 3 (p2 + p).

    13. , :1) a3 6a2 + a 6 l 0, a l 6;2) ab + 1 > a + b, a > 1 b > 1;

    3) a a a+ + 12

    23

    12, a > 2.

    15. :1)

    ;2)

    .

    16. . :1)

    ;2)

    .

  • 11

    1.

    17. - .

    18. -

    ab, -

    ?19. -

    ab,

    ?20. , -

    2.

    21. , - 2.

    22. - a b:

    1) a ba

    2 2

    2 11

    +> ; 2) a b

    b

    2 2

    2 11

    +> ?

    23. , :

    1) aa

    2

    4 1

    12

    m ; 2) ( ) .5 15

    2

    4a a l

    24. , a < b, a ba b<

  • 12

    1.

    29. :1) a2 + b2 16a + 14b + 114 > 0;2) x2 + y2 + 10 l 6x 2y;3) c2 + 5d2 + 4cd 4d + 4 l 0.

    30. , a > 0, b > 0, c < 0, d < 0. - :

    1) bc; 3) ab; 5) ac

    d; 7) abcd;

    2) cd; 4) abc

    ; 6) abc

    ; 8) bacd

    .

    31. a b, :

    1) ab > 0; 3) ab 0; 5) a2b > 0;

    2) ab < 0; 4) ab 0; 6) a2b < 0?

    32. , - - ( ) :1) a2 l 0; 5) a2 + b2 l 0;2) a2 + 1 > 0; 6) a2 + b2 + 2 > 0;3) (a + 1)2 l 0; 7) (a 2)2 + (b + 1)2 l 0;

    4) a2 4a + 4 l 0; 8) a2 3 0+ > .

    33. , a :1) 4 + a2; 4) 4 (a 4)2;2) (4 a)2; 5) (4)8 + (a 8)4;3) 4 a2; 6) (4 a)2 + (4a 1000)2.

    34. :1) 2a (5a 7) 5a (3 2a);2) (2b 3) (4b + 9);3) (2c 6) (8c + 5) (5c + 2) (5c 2);4) 16m2 (3 4m) (3 + 4m);5) (2x 1)2 + (2x + 1)2;6) (x 4) (x + 4) (x 8)2.

  • 13

    2.

    2.

    -, . .

    2.1. a > b b > c, a > c. . a > b b > c,

    a b b c . (a b) + (b c). : (a b) + (b c) a c. , a c , a > c.

    : a < b b < c, a < c.

    2.1 : A (a) B (b), - B (b) C (c), A (a) C (c) (. 3).

    2.2. a > b c - , a + c > b + c.

    . (a + c) (b + c). : (a + c) (b + c) a b. a > b, a b . , a + c > b + c.

    : a < b c - , a + c < b + c.

    - (a c a + (c)), , 2.2, .

    , .

    . - - , , .

    2.

    ABC

    c b a

    . 3

  • 14

    1.

    . a > b + c -. c. :

    a c > b + c c, a > b. 2.3. a > b c ,

    ac > bc. a > b c , ac < bc. . ac bc. :

    ac bc c (a b). a > b, , a b -

    . c > 0, c (a b) , ,

    ac bc , ac > bc. c < 0, c (a b) , ,

    ac bc , ac < bc. : a < b c -

    , ac < bc. a < b c , ac > bc.

    ac c

    a=( ) ,1 , 2.3, .

    - , .

    - - , .

    . ab > 0 a > b, 1 1a b

    . a > b ab. aab

    bab

    , 1 1b a . 1 1

    a b .

    : , a b - (ab > 0), . , 5 > 3

    , 15

    13

    < .

  • 15

    2.

    . -. , a l b c - , a + c l b + c.

    1. a c , , a > b b > c?2.

    .3.

    .4.

    .

    35. , a > 6. :1) a > 4; 2) a l 5,9; 3) a > 7?

    36. , a < b b < c. -:1) a > ; 2) a c; 3) > a?

    37. , , :1) 3 < 4 5; -

    2;2) 10 < 6 3;

    4;3) 7 > 2 -

    5; 1;4) 12 < 18 6;

    2.

    38. , a > b. , , :1) 8;2) 6;3) -

    12;4) -

    13;

  • 16

    1.

    5) 27;

    6) 4.

    39. , b > a, c < a d > b. :1) a d; 2) b c.

    40. a, b, c 0, a > b, c < b, 0 < b 0 > c.

    41. , a > 4. -:1) a 3; 3) (a 3) (a 2); 5) (1 a)2 (4 a).

    2) 2 a; 4) ( ) ( ) ;a aa

    4 2

    3

    42. , 2 < b < 1. :1) b + 2; 4) (b 1) (b 3);2) 1 b; 5) (b + 2) (b 4)2;3) b 2; 6) (b 3) (b + 3) (b 2)2.

    43. : a > b. :1) a + 9 b + 9; 5) 40b 40a;

    2) b 6 a 6; 6) a20

    b20

    ;

    3) 1,8a 1,8b; 7) 2a 3 2b 3;4) a b; 8) 5 8a 5 8b.

    44. , 1 m m < 2. :1) 1 m m < 2; 3) 1 l m > 2;2) 2 < m m 1; 4) 2 > m l 1?

    45. : 3a > 3b. :

    1) a b; 4) 59b 5

    9a;

    2) 27a 2

    7b; 5) 3a + 2 3b + 2;

    3) b 4 a 4; 6) 5a + 10 5b + 10.

    46. , a > b. - a + 7, b 3, a + 4, b 2, b.

  • 17

    2.

    47. : a < b. :1) a 5 b; 2) a b + 6; 3) a + 3 b 2.

    48. a b, , :1) a > c c > b + 3; 2) a > c c 1 > b + d2, c d .

    49. a 0, :1) 7a < 8a; 3) 6a > 8a;

    2) a a2 3 ; 4) 0,02a > 0,2a.

    50. : a > 2. , :1) 7a + 10 > 4; 2) 6a 3 < 10.

    51. : b m 10. , :1) 5b 9 m 41; 2) 1 2b > 21.

    52. :1) a &gt