Алгебра логики

Основные понятия

Введение

Буль (Boole) Джордж (2.11.1815, Линкольн, — 8.12.1864, Баллинтемпл близ Корка), английский математик и логик. Не имея специального математического образования, в 1849 стал профессором математики в Куинс-колледже в Корке (Ирландия), где преподавал до конца жизни. Б. почти в равной мере интересовали логика, математический анализ, теория вероятностей, этика Б. Спинозы, философские работы Аристотеля и Цицерона.

Высказывание

Высказывание – любое утверждение, рассматриваемое только с точки зрения его истинности или ложностиПростое – значение его истинности не

зависит от значений истинности других высказываний

Сложное – значение его истинности зависит от других высказываний

0 и 1

Эрнст Шрёдер (нем. Ernst Schröder, 25 ноября1841, Мангейм — 16 июня 1902, Карлсруэ) — немецкий математик и логик.

Известному немецкому математику и логику Эрнесту Шредеру пришло в голову предложить в качестве знака для обозначения ложного суждения цифру 0, что, конечно, привело к обозначению истины цифрой 1.

Булева переменная

M={0,1}, где 0 – ложь, 1 – истина. Обычно булевские обозначаются маленькими латинскими буквами.

Двоичной, булевой функцией от набора двоичных переменных называется функция, результатом которой могут быть только значения 0 и 1.

Таблицы истинности

x G1 G2 G3 G4

0 0 0 1 1

1 0 1 0 1

Операции

Функция - это однозначное отображение, преобразование набора аргументов из области определения в значение из области значений.

Унарная операция - операция над одним операндом

Бинарная операция – операция над двумя операндами

Основные функции

Инверсия Логическое «НЕТ», «НЕ»

x f (x)

0 1

1 0

f (x)=

Основные функции

Конъюнкция Логическое «И»

Обозначение: &, ·,

x y f (x, y)

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

yxyxf ,

Основные функции Дизъюнкция

Логическое «ИЛИ» Обозначение: +,

x y f (x, y)

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

f (x, y)=(0111)

yxyxf ,

Дополнительные функции

Импликация «если»-«то»

x y f (x, y)

0 0 1

0 1 0

1 0 1

1 1 1

f (x, y)=(1011)

yxyxyxf ,

Дополнительные функции Эквивалентность,

равнозначность. Записывается, как x ~ y, логическое равенство.

x y f (x, y)

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

f (x, y)=(1001)

yxyxf ,

Дополнительные функции Сложение по модулю два,

неравнозначность. Записывается, как xy, или ¬( x y) XOR (eXclusive OR)

x y f (x, y)

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

f (x, y)=(0110)

yxyxyxf ~,

Дополнительные функции Стрелка Пирса, функция

Вебба, логическое «или-не».Записывается, как xy

x y f (x, y)

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

f (x, y)=(1000)

yxyxyxf ,

Дополнительные функции Штрих Шеффера

(И-НЕ) – ‘

x y f (x, y)

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0

f (x, y)=(1110)

yxyxyxf |),(

Приоритет операций

1. Инверсия

2. Штрих Шеффера

3. Стрелка Пирса

4. Конъюнкция

5. Дизъюнкция

6. Сложение по модулю 2

7. Импликация

8. Эквивалентность

Равносильность

Две формулы алгебры логики A и B называются равносильными, если они принимают одинаковые логические значения на любом наборе значений входящих в формулы элементарных высказываний.

Равносильность формул обозначают знаком , а запись AB означает, что формулы A и B равносильными.

Равносильность

Формула A называется тождественно ложной, если она принимает значение 0 при всех значениях входящих в нее переменных.

Например, xx. если формулы A и B равносильны, то

формула A~B - тавтология, и обратно, если формула A~B - тавтология, то формулы A и B равносильны.

Основные равносильности

Закон тождества: x=xЗакон идемпотентности (повторное

применение не даёт ничего нового). x 1 = ∧ x, x 1 = 1, ∨ x 0 = 0, ∧ x 0 = ∨ x, Закон противоречия: x ∧ x=0Закон исключенного третьего: x∨x =1

x x x x x x

Основные равносильности

Закон снятия двойного отрицания

Закон поглощения

xyxxxyxx

Докажем один из законов поглощения

Рассмотрим формулу Ax(yx). Если в этой формуле x=1 то, очевидно, yx=1

и тогда x(yx)=1 как конъюнкция двух истинных высказываний.

Пусть теперь в формуле x=0. Но тогда по определению операции конъюнкции будет ложной конъюнкция x(yx).

Итак, во всех случаях значения формулы A совпадают со значениями x, а поэтому Ax.

Свойства функций

yxyx yxyx

x~y(xy)(yx); xyxy; Правила де Моргана:

Доказательство 1

Так как при одинаковых логических значениях x и у истинными являются формулы x~y, xy, yx, то истинной будет и конъюнкция (xy)(yx).

Следовательно, в этом случае обе части равносильности имеют одинаковые истинные значения.

Пусть теперь x и у имеют различные логические значения. Тогда будут ложными эквивалентность x~y и одна из двух импликаций xy или yx. По при этом будет ложной и конъюнкция (xy)(yx).

Основные законы

Свойство дистрибутивности

zyzxzyxzyzxzyx

Свойство коммутативности

xyyxxyyx Свойство ассоциативности

)()()()( zyxzyxzyxzyx

Булевские функции

Функции, принимающие значений 1 и 0, и каждый n их аргументов принимает значение 1 и 0. Записывается, как y = f(x1, x2,…, xn), x1∈{0,1}, x2∈{0,1},…, xn∈{0,1}, y∈{0,1}.

Теорема: для n существует ровно различных функций n – переменных.

Это есть мощность функции n переменных.

n22

Суперпозиция функций

Суперпозицией булевых функций f0 и f1, ..., fn называется функция 

f(x1,...,xm)=f0(g1(x1,...,xm),...,gk(x1,...,xm)), где каждая из функций gi(x1, ...,xm) либо совпадает с одной из переменных (тождественная функция), либо – с одной из функций f1,...,fn.

Пример суперпозиции

 f(x,y) = ¬(x & y) суперпозиция функций ¬ и &

g(x,y) = x Е (x Ъ y)суперпозиция функций Е и Ъ

h(x,y,z) = (x & y) Е z суперпозиция функций Е и &.

Функциональная полнота

Набор функций алгебры логики называется функционально полным, или просто полным, если любую функцию алгебры логики можно представить, как суперпозицию функций этого набора.

Конституэнта единицы

Конституэнта 1 — это логическая функция, дающая значение 1 на единственном наборе входных значений, связывает все переменные, представленные в прямой или инверсной формах, знаком конъюнкции.

.0,

,1,

еслиx

еслиxx

nnnn xxxxxx 21

1 22121 ,,,,

Конституэнта нуля

Дизъюнктивный терм (или макстерм, или конституэнта нуля) – терм, связывающий все переменные, представленные в прямой или инверсной форме, знаком дизъюнкции. Любой дизъюнктивный терм равен нулю только на одном наборе переменных.

00=1; 01=0; 10=0; 11=1.Таким образом, ху=1 тогда и только тогда, когда х = у.

nnnn xxxxxx 21

1 22121 ,,,,

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ)

Конъюнкти! вная норма! льная фо! рма (КНФ)

Переход от ДНФ к КНФ и наоборот

Переход от ДНФ к СДНФ

Переход от КНФ к СКНФ

Лемма

Любая логическая функция f(x1, x2, …, xn) может быть представлена в виде дизъюнкции 2п дизъюнктных слагаемых, причем дизъюнкция берется по всевозможным наборам из En. Этот факт будем записывать следующим образом:

(*) где дизъюнкция проводится по

всевозможным наборам (s1, s2, …, sп) из Еп.

Теорема

Если булева функция не равна тождественному нулю, то ее можно представить в виде СДНФ по ее таблице истинности следующим образом: берем только те наборы переменных (х1,х2, …,хn), для которых f(х1,х2, …,хn)=1, и составляем простую конъюнкцию для этого набора так: если хi = 0, то берем в этой конъюнкции !хi, если хi = 1, то берем хi. Составляя дизъюнкцию этих простых конъюнкций, придем к СДНФ.

Следствие

Любую логическую (булеву) функцию можно выразить через три логические функции: конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание

Нахождение формулы по таблице истинности

0

1

1

0

f (x, y)

11

01

10

00

yx

yx yx

yxyxyxf ,

Нахождение формулы по таблице истинности

0

1

1

0

f (x, y)

11

01

10

00

yx

yx

yx

yxyxyxf ,

Теорема

По аналогии с представлением любой функции (не равной тождественному нулю) в виде СДНФ можно функцию (не равную тождественной 1) представить в виде СКНФ: простая дизъюнкция составляется для тех наборов переменных (х1, х2, …, хп), для которых f(x1, x2,…, xn) = 0, причем если хi = 1, то в этой дизъюнкции берем !хi, если же хi = 0, то берем хi.

Штрих Шеффера

 — отрицание

 — дизъюнкция

 — конъюнкция

Стрелка Пирса

Через стрелку Пирса могут быть выражены все другие логические операции:

¬x ≡ x↓xx & y ≡ (x↓x) ↓ (y↓y)x ∨ y ≡ (x↓y) ↓ (x↓y)Системы из одной функции принято

называть универсальным базисом.

Классы ФАЛ

Класс функций, сохраняющих константу 0 – K0: f(0,0,…,0)=0 Класс функций, сохраняющих константу 1 – K1: f (1 ,1,...,1)=1 Класс самодвойственных функций – V: функции f*(x1,x2,…,xn) двойственная

для (K) f(x1,x2,…,xn), если имеет место равенство

Функция самодвойственная, если

Другими словами самодвойственная функция на противоположных друг другу наборах значений аргументов принимает противоположные значения.

Класс линейных функций – L: f(x1,x2,…,xn)=С0⊕С1*x1 ⊕ … ⊕ Cnxn, где С – константы

Класс монотонных функций – M:

Класс симметричных функций – S: функция называется симметричной, если ее значение не меняется при любой перестановке аргументов.

f(0,1,0)=f(1,0,0)=f(0,0,1)

Теорема Поста (теорема о пяти «нет»)

Название Обозначение Не сохранимость

константы 0 Не сохранимость

константы 1 Не

самодвойственность Не

линейность Не

монотонность Конст. 0 0 * * Конст. 1 1 * * Отриц. ¬ * * *

Конъюн. & * * Дизъюн. v * * Имплик. → * * * *

Эквивал. ∼ * * *

Сумма по мод. 2 ⊕ * * *

Штрих Шеффера

| * * * * *

Стрелка Пирса

↓ * * * * *

Базисы

Система функций S1={¬,&,v} образует базис. Для приведения булевой функции к виду содержащему лишь связки из базиса S1 могут быть полезны следующие эквивалентности:         X→Y=¬XvY         X↔Y=(Xv¬Y)(¬XvY)         X⊕Y=¬XYvX¬Y         X|Y=¬Xv¬Y         X↓Y=¬X&¬Y

Базисы

Система S2={¬,&} образует базис. Произвольную функцию можно сначала привести к виду, содержащему связки из S1, а затем использовать соотношение XvY=¬(¬X&¬Y).

Система S3={¬,v} образует базис. Произвольную функцию можно сначала привести к виду, содержащему связки из S1, а затем использовать соотношение X&Y=¬(¬Xv¬Y).

Базисы

Система S4={1,&,⊕} образует базис. Произвольную функцию можно сначала привести к виду, содержащему связки из S1 а затем использовать соотношения:         ¬X=1⊕X         XvY=X⊕Y ⊕ X&Y

Система S5={|} образует базис. Произвольную функцию можно сначала привести к виду, содержащему связки из S2 а затем использовать соотношения:         X&Y=¬(¬X|¬Y)         ¬X=X|X

Базисы

Система S6={↓} образует базис. Произвольную функцию можно сначала привести к виду, содержащему связки из S3 а затем использовать соотношения:         XvY=¬(¬X|¬Y)         ¬X=X↓X

Система S7={→,0} образует базис.