Embed Size (px)
DESCRIPTION
В книге рассмотрены основы теории колебаний, виброметрии, вопросы вибрационной надежности турбомашин, основные неисправности турбомашин и их основные диагностические признаки. Изложены основные методы диагностирования и прогнозирования технического состояния машин.
Citation preview
Е. В. Урьев
ВИБРАЦИОННАЯ НАДЕЖНОСТЬ
И ДИАГНОСТИКА ТУРБОМАШИН
ЧАСТЬ 1
ВИБРАЦИЯ И БАЛАНСИРОВКА
Министерство образования Российской Федерации
ГОУ ВПО «Уральский государственный технический университет – УПИ»
Е. В. Урьев
ВИБРАЦИОННАЯ НАДЕЖНОСТЬ
И ДИАГНОСТИКА ТУРБОМАШИН
ЧАСТЬ 1
ВИБРАЦИЯ И БАЛАНСИРОВКА
Учебное пособие
Екатеринбург
2003
УДК 62 – 135: 62 - 755
ББК 31.363: 34.686
У 73
РЕЦЕНЗЕНТЫ: Кафедра паровых и газовых турбин Московского
энергетического института (технического университета) -
д-р техн. наук, проф. А.Д. Трухний;
инженер И.И. Радчик, канд. техн. наук Е.С. Трунин ООО
«ДИАМЕХ 2000».
Автор Е. В. Урьев
У 73 Вибрационная надежность и диагностика турбомашин.
Ч. 1. Вибрация и балансировка: Учебное пособие / Е. В. Урьев.
Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2003. 200 с.
ISBN 5-321-00351-3
Рассмотрены основы теории колебаний, виброметрии, вопросы
вибрационной надежности турбомашин и вибропрочности их лопаточного
аппарата, основные неисправности турбомашин и их диагностические
признаки. Изложены методы диагностирования и прогнозирования
технического состояния машин.
Предназначено для студентов старших курсов специальности
"Турбостроение" и широкого круга инженерно-технических работников
турбостроительных заводов, эксплуатационного, ремонтного и
наладочного персонала электростанций и газокомпрессорных станций.
Библиогр.: 73 назв. Табл. 3. Рис. 69.
УДК 62 – 135: 62 - 755
ББК 31.363: 34.686
ISBN 5-321-00351-3 ГОУ ВПО «Уральский государственный
технический университет – УПИ», 2003
Урьев Е.В., 2003
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение…………………………………………………………………......5
1. Колебания……………………………………………………………………9
1.1. Кинематика колебательного движения……………………………….9
1.2. Механические колебания (вибрация)…………………..………….…25
2. Колебания валов………………………………………………………….... 39
2.1. Вал с диском по середине на жестких опорах без трения……….….39
2.2. Вал с диском по середине на податливых изотропных
опорах без трения………………………………………………………47
2.3. Вал на податливых анизотропных опорах без трения . ……………..52
2.4. Вал с диском по середине на опорах с трением …………………….57
2.5. Некоторые другие случаи колебаний однодискового ротора …..…..62
2.5.1. Гироскопическое действие диска………………………..……...62
2.5.2. Вал с анизотропностью…………...……………………..………64
2.6. Колебания многодискового ротора .. …………………………………67
2.7. Валопроводы .. …………………………………………………………70
3. Причины колебаний турбомашин и турбоагрегатов… ............................. 77
3.1. Общие положения .................................................................................. 77
3.2. Неуравновешенность ............................................................................. 80
3.3. Дефекты соединения роторов в валопроводе ..................................... 93
3.4. Неравножесткостность сечений роторов ............................................. 97
3.5. Дефекты шеек роторов .......................................................................... 98
3.6. Неконсервативные силы ........................................................................ 98
3.6.1. Масляная вибрация….. ............................................................... 100
3.6.2. Паровая вибрация ....................................................................... 104
3.7. Внезапные динамические воздействия на роторы. .......................... 107
3.8. Некоторые другие причины повышенной вибрации ....................... 108
3.8.1. Расцентровки по полумуфтам. .................................................. 108
3.8.2. Тепловой дисбаланс и электромагнитные силы
в электромашинах ................................................................................. 110
4
4. Балансировка роторов................................................................................. 113
4.1. Общие положения ................................................................................ 113
4.2. Методы и критерии балансировки жестких роторов ....................... 116
4.2.1. Основные положения балансировки жестких роторов. .......... 116
4.2.2. Векторный метод балансировки двухопорного ротора. ......... 122
4.2.3. Балансировка роторов с использованием динамических
коэффициентов влияния ....................................................................... 131
4.3. Методы и критерии балансировки гибких роторов ......................... 135
4.3.1. Особенности балансировки гибких роторов ............................ 135
4.3.2. Балансировка гибких роторов методом форм .......................... 139
4.3.3. Балансировка гибких роторов методом
коэффициентов влияния ....................................................................... 146
4.4. Балансировка на низкочастотных станках ........................................ 152
4.5. Балансировка на разгонно-балансировочных стендах ..................... 161
4.6. Балансировка валопроводов в собственных подшипниках ............. 167
4.7. Пути совершенствования методов балансировки гибких
роторов на РБС и валопроводов в собственных опорах………………..171
4.7.1. Обобщение динамических коэффициентов влияния (ДКВ) .. 171
4.7.2. Совершенствование методов балансировки гибких роторов
на разгонно-балансировочном стенде................................................. 183
4.7.3. Совершенствование балансировки валопроводов в собственных
опорах ..................................................................................................... 188
Библиографический список…………………………………………………195
5
ВВЕДЕНИЕ
Перед энергомашиностроением, энергетикой и газовой
промышленностью по-прежнему стоят вопросы улучшения показателей
надежности, экономичности, маневренности и ремонтопригодности
турбоагрегатов. В условиях длительной эксплуатации и широкого диапазона
изменения режимов на первый план выходят задачи предотвращения аварий,
связанных с отказом отдельных деталей и узлов турбины, обеспечения
вибрационного состояния агрегата, позволяющего устойчивую и надежную
эксплуатацию во всем диапазоне режимов, разработки методов и средств
диагностики, позволяющих организовать обслуживание и ремонт оборудования
по техническому состоянию.
Надежность турбомашин определяется в значительной мере
вибрационной надежностью. Вибрационная надежность, в свою очередь,
включает в себя решение трех основных проблем:
• повышение общей вибрационной надежности турбоагрегатов, которая
обеспечивается в том числе вибрационной отстройкой агрегатов и
качественной балансировкой роторов и валопровода;
• обеспечение вибропрочности лопаточного аппарата с учетом режимных
факторов и температурного состояния;
• разработку методов диагностики турбоагрегатов, обеспечивающих
выяснение причин неудовлетворительного вибрационного состояния
турбоагрегатов в эксплуатации и устранение их.
Общая вибрационная надежность агрегата является важнейшей
эксплуатационной характеристикой. Низкий и стабильный уровень вибрации,
отсутствие резонансных и автоколебательных явлений во всем диапазоне
режимов гарантируют не только долговечность агрегата, но и возможность
своевременной диагностики и устранения возникающих дефектов.
Одним из основных мероприятий, обеспечивающих высокую
вибрационную надежность, является качественная балансировка роторов на
турбостроительном предприятии. Введенная в начале 70-х годов в
6
эксплуатацию на всех крупных турбостроительных заводах балансировочная
техника позволила сделать с технологической точки зрения очень крупный шаг
к повышению качества турбин, так как появилась возможность выполнять
балансировку отдельных роторов на рабочих частотах вращения. Однако
внедрение разгонно-балансировочных стендов потребовало разработки
принципиально новых для производства турбин, доступных и надежных
методик балансировки и технологического процесса.
Рабочие лопатки играют центральную роль в преобразовании энергии в
турбине. По многочисленным отечественным и зарубежным данным,
повреждения лопаток стоят на первом месте среди причин, снижающих
надежность работы турбин. Из-за отказов, вызванных поломками лопаточного
аппарата, тратится от четверти до половины времени и средств, идущих на
восстановление работоспособности турбин. Основная доля отказов (50÷70%)
приходится на рабочие лопатки цилиндра низкого давления (ЦНД). Поломки
носят чаще всего ярко выраженный усталостный характер со следами
эрозионно-коррозионного воздействия.
Для обеспечения надежности лопаточного аппарата, оптимизации
межремонтного периода и продления срока службы турбин необходимо
правильно оценивать напряженное состояние и ресурс лопаточного аппарата.
Однако определение вибрационной прочности и долговечности лопаток
затруднено вследствие частого недостатка информации: неизвестны или
известны лишь ориентировочно величины вынуждающих сил и
конструкционное демпфирование лопаток, частотные характеристики рабочих
венцов известны как средние, без учета их разброса, неизвестен разброс и
распределение напряжений по лопаткам.
Важную роль в оценке надежности лопаток играют температурные
условия их работы и характер распределения влаги в проточной части. Эти
факторы особо значимы в теплофикационных турбинах, лопаточный аппарат
ЧСД и ЧНД которых работает значительную часть времени в нерасчетных
режимах.
7
В последние годы в промышленно развитых странах вопросам
технической диагностики и, в частности, вопросам вибрационной диагностики
оборудования электростанций уделяется повышенное внимание. Это
объясняется, с одной стороны, необходимостью контроля отработавших
расчетный ресурс агрегатов и обоснованием сроков межремонтного периода, с
другой стороны - стремлением к снижению ущерба от внеплановых простоев и
внезапных аварий.
Вибрационная надежность турбомашин в значительной степени
определяется уровнем профессиональной подготовки специалистов,
участвующих в проектировании, изготовлении, монтаже, эксплуатации и
ремонте оборудования.
Целью преподавания дисциплины «Вибрационная надежность и
диагностика турбомашин» является закрепление, расширение и обобщение
знаний, полученных ранее при изучении общетехнических и специальных
дисциплин («Материаловедение и технология конструкционных материалов»,
«Механика материалов и конструкций», «Основы инженерного
проектирования», «Энергетические машины», «Динамика и прочность
турбомашин» и др.). Целью преподавания настоящего курса является также
изучение основ вибрационной надежности и диагностики турбомашин в
объеме, позволяющем студентам получить общие методические представления
по перечисленным вопросам и развить умение использовать эти знания в
будущей инженерной деятельности. Особое внимание уделено изучению
специальных вопросов вибрационной надежности лопаточного аппарата,
динамической надежности турбоагрегатов, средств и методов виброналадки.
Особенностью настоящего издания, учитывая, что это учебное пособие,
является объединение в одной книге разделов, позволяющих построить
сквозное изучение вопросов вибронадежности турбомашин с минимальным
обращением к другим источникам. При изложении материала широко
использовались основополагающие работы в области турбостроения,
виброметрии и вибрационной надежности турбомашин, такие как книги
8
Ю.И. Иориша «Виброметрия» [28], А.Г. Костюка «Динамика и прочность
турбомашин» [31], А.Д. Трухния «Стационарные паровые турбины» [63],
А.С. Гольдина «Вибрация роторных машин» [14] и др.
В результате изучения дисциплины студенты должны:
• знать основы теории колебаний и виброметрии, основы динамики
лопаточного аппарата, роторов и роторных систем;
• иметь представление о проблемах и методах обеспечения динамической
надежности турбомашин и надежности лопаточного аппарата;
• владеть элементами теории надежности и основами теории технической
диагностики.
Объем дисциплины и рассматриваемые вопросы должны позволить
студентам получить общие методические представления и некоторые
практические навыки, необходимые специалистам, занятым в эксплуатации и
ремонте турбоагрегатов.
9
1. КОЛЕБАНИЯ
1.1. КИНЕМАТИКА КОЛЕБАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
1.1.1. Колебательным движением, колебательным процессом или
просто колебаниями называются процессы движения или изменения
состояния, в той или иной мере повторяющиеся во времени [28, 73]. В
зависимости от физической природы различают механические,
электромагнитные, электромеханические и другие колебания.
Система, совершающая колебания, называется колебательной
системой.
Свободными колебаниями (собственными колебаниями) называются
колебания, которые происходят в отсутствие переменных внешних воздействий
на колебательную систему. Если упругую систему, например нагруженную
балку или пружину, отклонить от состояния равновесия ударом или
дополнительно приложенной силой, которая затем будет внезапно устранена,
то возникнут свободные колебания.
Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие в
какой-либо системе под влиянием внешнего переменного воздействия.
Колебания называются периодическими, если значения всех физических
величин, характеризующих колебательную систему и изменяющихся при ее
колебаниях (колебательные величины), повторяются через равные
промежутки времени. Наименьший промежуток времени Т , удовлетворяющий
этому условию, называется периодом колебаний. За период колебаний
Т система совершает одно полное колебание. Частотой периодических
колебаний называется величина Tf 1= , равная числу полных колебаний в
единицу времени. Круговой (циклической) частотой колебаний называется
величина Tf ππω 22 == , равная числу полных колебаний,
совершающихся за π2 единиц времени.
10
Простейшими колебаниями являются гармонические колебания.
Гармоническими, или синусоидальными (косинусоидальными), колебаниями
называется колебательный процесс, если мгновенные значения колебательной
величины пропорциональны синусу (или косинусу) линейной функции
времени, так что
)sin()( 0ϕω += tAts (1.1)
или
)cos()( 0ϕω += tAts , (1.2)
где A, ω , 0ϕ - постоянные величины, называемые параметрами
гармонического колебания.
Между записями вида (1.1) и (1.2) нет никакого принципиального
различия, так как они могут описывать один и тот же процесс при изменении
начала отсчета времени и соответствующем изменении величины 0ϕ по общим
правилам перехода к дополнительной тригонометрической функции.
Величина A называется амплитудой гармонического колебания или
амплитудой. Она представляет собой наибольшее абсолютное значение,
достигаемое гармонической колебательной величиной. Амплитуда равна
половине размаха гармонических колебаний S (рис. 1.1).
Аргумент 0ϕω +t в выражениях (1.1) и (1.2) называется фазовым углом,
или фазой гармонических колебаний, и происходит от векторного
изображения гармонического колебания (см. далее).
Величина 0ϕ - начальный фазовый угол, или начальная фаза колебаний.
Значение 0ϕ соответствует фазе в момент времени, принимаемый за
начальный, т. е. при 0=t .
11
Рис. 1.1. Графическое изображение гармонических колебаний (масштаб произвольный)
Первая и вторая производные по времени от гармонически колеблющейся
величины )sin()( 0ϕω += tAts также представляют собой гармонические
колебания той же круговой частоты:
( ) ;sin
2sin)cos()(
1
00
ϕω
πϕωωϕωω
+=
=
++=+=
tV
tAtAts (1.3)
12
( )
( ) ,sin
sin)sin()(
2
0
2
0
2
ϕω
πϕωωϕωω
+=
=++=+−=
tW
tAtAts (1.4)
причем амплитуды )(ts и )(ts соответственно равны ωAV = и 2ωAW = .
Следует также отметить, что величина )(ts опережает )(ts по фазе на угол
2π , а )(ts опережает )(ts по фазе на π . Графики зависимости от времени t
величин )(ts , )(ts и )(ts при гармонических колебаниях для случая 00 =ϕ
показаны на рис. 1.1.
1.1.2. При рассмотрении гармонических колебаний часто удобно
пользоваться векторной формой представления. Если представить себе
некоторую точку M , движущуюся против часовой стрелки по окружности
радиуса A с угловой скоростью, равной ω , то выражения (1.1) и (1.2) будут
представлять собой проекции перемещения точки M на оси y и x (рис. 1.2).
Рис. 1.2. Изображение гармонического колебания в виде проекций вращающегося вектора
13
Мгновенное значение гармонического колебания может быть получено как
проекция на одну из осей прямоугольной системы координат вектора oM в
заданный момент времени. Фазовым углом будет угол, образованный
направлением вектора в данный момент времени и осью абсцисс, что будет
справедливо и для начального фазового угла. Графическое представление этого
вектора в какой-либо момент времени, обычно начальный, называется
векторной диаграммой (рис. 1.3).
Рис. 1.3. Векторное изображение гармонического колебания
Во многих случаях вращение вектора отображает реальное механическое
движение, например при исследовании вибрации в роторных машинах с
привязкой силы к положению ротора. Однако часто в рассматриваемом
процессе никакого вращения не происходит, тем не менее, удобно представлять
гармонические колебания с помощью вращающегося вектора, проекции
которого на некоторую ось в каждый момент времени равняются мгновенным
значениям рассматриваемого гармонического колебания. Использование
векторных диаграмм заменяет математические операции с выражениями вида
(1.1) и (1.2) операциями с векторами.
Гармонические колебания могут быть записаны в комплексной форме.
Если принять плоскость, в которой вращается вектор, изображающий
гармоническое колебание, за комплексную плоскость, то вектор может быть
представлен как комплексная величина. Согласно формуле Эйлера для
комплексных чисел
14
φφφ sincos iei += ,
где 1−=i – мнимая единица.
Поэтому гармонические колебания могут быть записаны в
экспоненциальной форме:
,
)sin()cos(
)( titiitieAeAeAe
tiAtAiyxs
ωωϕϕω
ϕωϕω
===
=+++=+=+
(1.5)
где ϕi
AeA = – комплексная амплитуда.
Преимущество представления гармонических колебаний в комплексной
форме состоит в том, что дает возможность заменять операции с
действительными величинами часто более простыми операциями с
комплексными величинами. Это проявляется при сравнительно сложных
расчетах, связанных, в частности, с дифференцированием и интегрированием.
1.1.3. Под сложением колебаний понимают нахождение закона
результирующих колебаний системы в тех случаях, когда эта система
одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Различают два
предельных случая – сложение колебаний одинакового направления (например,
колебания подшипника только в вертикальном направлении с двумя разными
частотами) и сложение взаимно перпендикулярных колебаний (например,
колебания того же подшипника одновременно в вертикальном и
горизонтальном направлениях). В первом случае сложение колебаний сводится
к сложению скалярных величин, во втором – к сложению векторных величин.
1.1.3.1. Колебания, являющиеся скалярными величинами, могут быть
заданы численно или графически. Сложение производится также численно или
графически для одних и тех же моментов времени с учетом знаков
складываемых величин.
На рис. 1.4 ординаты графика (s ) получены в результате алгебраического
сложения ординат графиков ( 1s ) и ( 2s ) для одних и тех же моментов времени,
15
т. е. в результате численного сложения значений функций
)cos( 1111 ϕω += tAs и )cos( 2222 ϕω += tAs при заданных значениях t .
Рис. 1.4. Сложение двух скалярных гармонических колебаний, имеющих разные частоты
Те же два гармонических одинаково направленных колебания 1s и 2s ,
выраженные в комплексной форме )(
1111 ϕω += ti
eAs и )(
2222 ϕω += ti
eAs ,
складываются по закону сложения комплексных чисел при помощи векторной
диаграммы, т. е. графически. На рис. 1.5 показаны векторы )(1 tA и
)(2 tA амплитуд соответственно первого и второго колебаний в произвольный
момент времени t , когда фазы этих колебаний равны 111 )( ϕω +=Φ tt и
222 )( ϕω +=Φ tt .
Рис. 1.5. Графическое сложение двух гармонических колебаний
16
Результирующим колебаниям соответствует вектор
)()()( 21 tAtAtA += , проекция которого на горизонтальную ось равна
)(cos)( ttAs Φ= .
По теореме косинусов
[ ] )]()(cos[2)( 1221
2
2
2
1
2ttAAAAtA Φ−Φ++= , (1.6)
а
)(cos)(cos
)(sin)(sin)(tg
2211
2211
tAtA
tAtAt
Φ+Φ
Φ+Φ=Φ . (1.7)
1.1.3.2. Гармонические колебания, частоты которых различны
)( 12 ωω ≠ , называются некогерентными (несинхронными), так как разность
их фаз, равная )()()()( 121212 ϕϕωω −+−=Φ−Φ ttt , непрерывно
изменяется с течением времени. При сложении таких колебаний получаются
негармонические результирующие колебания (рис. 1.4). Векторы амплитуд 1A
и 2A складываемых колебаний вращаются с разными угловыми скоростями, так
что построенный на них параллелограмм непрерывно деформируется, а его
диагональ - вектор A результирующих колебаний - изменяется по длине и
вращается с переменной угловой скоростью (рис. 1.5).
1.1.3.3. Два гармонических колебания называются когерентными, или
синхронными, если разность их фаз не зависит от времени, т. е.
const)()( 21 =Φ−Φ tt .
Поскольку )()()()( 121221 ϕϕωω −+−=Φ−Φ ttt , то круговые
частоты синхронных колебаний должны быть одинаковы, т. е. ωωω == 21 .
В любой момент разность фаз синхронных колебаний равна разности их
начальных фаз:
1212 )()( ϕϕ −=Φ−Φ tt .
17
Соответственно из (1.6) и (1.7) следует, что результирующие колебания в
этом случае есть гармонические колебания с той же круговой частотой ω
(рис. 1.6), т. е. )cos( 0ϕω += tAs , где
)cos(2 1221
2
2
2
1
2 ϕϕ −++= AAAAA (1.8)
и
2211
22110
coscos
sinsintg
ϕϕ
ϕϕϕ
AA
AA
+
+= . (1.9)
Рис. 1.6. Сложение двух гармонических колебаний, имеющих равные частоты
В зависимости от значений разности начальных фаз складываемых
колебаний амплитуда A результирующих колебаний изменяется в пределах от
21AAA −= при πϕϕ )12(12 +±=− m до 21 AAA += при
πϕϕ m212 ±=− , где 0=m , 1, 2 , … – любое целое неотрицательное число.
Если πϕϕ m212 ±=− , то говорят, что складываемые колебания синфазны
(находятся в одной фазе), а при πϕϕ )12(12 +±=− m говорят, что
складываемые колебания находятся в противофазе.
1.1.3.4. Негармонические колебания, получающиеся в результате
сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний, имеющих
близкие частоты )112
ωωω <<− , называются биениями (рис. 1.7).
18
Рис. 1.7. Сложение двух гармонических колебаний, имеющих близкие частоты (биения)
Если за начало отсчета времени t принять момент, когда фазы обоих
складываемых колебаний 1s и 2s совпадают и равны 0ϕ , то
)cos( 0111 ϕω += tAs и
)](cos[)cos( 0120222 ttAtAs ϕϕωϕω ++=+= , где ( ) ( )tt 12 ωωϕ −= .
Результирующие колебания 21 sss += удовлетворяют соотношению
( ) )](cos[ 01 tttAs ψϕω ++= , где
( )[ ] ( )tAAAAtA ϕcos2 21
2
2
2
1
2++= (1.10)
и
( )( )
( )tAA
tAt
ϕ
ϕψ
cos
sintg
21
2
+= . (1.11)
В частности, если 021 AAA == , то
( ) tAtA2
cos2 120
ωω −= (1.12)
и
( ) tt2
12 ωωψ
−= , (1.13)
19
так что
+
+−= 0
12120
2cos
2cos2 ϕ
ωωωωttAs . (1.14)
Величина ( )tA , характеризующая амплитуду колебаний при биениях в
общем случае (1.10), изменяется от 21
AA − до 21 AA + с круговой частотой
12ωω −=Ω , называемой круговой частотой биений. Период биений бT и
частота биений бf соответственно:
12
12 11
122
TT
Tб
−
=−
=Ω
=ωω
ππ (1.15)
и
12
1ff
Tf
б
б−== , (1.16)
где 1T , 1f и 2T , 2f – периоды и частоты складываемых колебаний. Характер
зависимости s от времени t при биениях показан на рис. 1.7 (для случая
021 AAA == ).
1.1.3.5. В результате сложения гармонических колебаний, совпадающих
по направлению и имеющих кратные циклические частоты ω , ω2 , ω3 и т. д.,
получаются периодические негармонические колебания с периодом
ωπ2=T (рис. 1.8). В свою очередь, любое сложное периодическое
негармоническое колебание ( )ts можно представить в виде суммы простых
гармонических колебаний с круговыми частотами, кратными основной
круговой частоте Tπω 2= , где T – период колебания:
( ) ( )∑∞
=
++=1
0 sin2 n
nn tnAa
ts ϕω . (1.17)
20
Рис. 1.8. Сложение двух гармонических колебаний, имеющих кратные частоты
Такое представление периодической функции называется разложением в
ряд Фурье или гармоническим анализом сложного периодического колебания.
Члены ряда Фурье, соответствующие гармоническим колебаниям с круговыми
частотами ω , ω2 , ω3 и т. д., называются первой (или основной), второй,
третьей и т. д. гармониками сложного периодического колебания ( )ts .
Совокупность этих гармоник образует спектр колебания.
Часто под спектром колебания понимают спектр его частот, т. е.
совокупность частот простых гармонических колебаний, в результате сложения
которых может быть получено рассматриваемое сложное колебание.
Периодические колебания имеют дискретные (линейчатые) спектры частот.
Непериодические колебания, как правило, имеют непрерывный (сплошной)
спектр частот.
1.1.3.6. Модуляцией колебаний называется изменение по определенному
закону какого-либо из параметров периодических колебаний (например,
амплитуды или частоты), осуществляемое за время, значительно большее, чем
период колебаний.
21
При амплитудной модуляции гармонических колебаний
( )000 sin ϕω += tAs модулированные колебания имеют вид:
( )[ ] ( )000 sin1 ϕω ++= ttbAs , (1.18)
где ( ) 1<tb .
Если амплитудная модуляция осуществляется по гармоническому закону
( ) tbtb Ω= cos0 , где const0 =b и 0ω<<Ω , то
( ) ( )0000 sincos1 ϕω +Ω+= ttbAs . (1.19)
Это модулированное колебание (рис. 1.9) имеет линейчатый спектр
частот, так как может быть представлено в виде суммы трех гармонических
колебаний с круговыми частотами 0ω , Ω−0ω , и Ω+0ω и амплитудами,
соответственно равными 0A , 200bA и 200bA :
( ) ( )
( ) ( )[ ]
( )[ ] .sin2
sin2
sin
sincos1
0000
0000
000
0000
ϕω
ϕωϕω
ϕω
+Ω−+
++Ω+++=
=+Ω+
tbA
tbA
tA
ttbA
(1.20)
Рис. 1.9. Амплитудная модуляция колебаний
22
При частотной модуляции гармонических колебаний, осуществляемой
по гармоническому закону, модулированные колебания будут иметь вид:
( )[ ]0000 cos1sin ϕω +Ω+= ttbAs , (1.21)
где 10 <b и 0ω<<Ω .
Соответственно при фазовой модуляции изменяется начальная фаза
колебаний:
( )ttAs Ω∆+= cossin 00 ϕω , (1.22)
где 0ω<<Ω .
В общем случае колебания могут быть модулированы одновременно и по
амплитуде, и по частоте (фазе).
1.1.3.7. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний
одинаковой частоты приходится производить в тех случаях, когда точка
совершает одновременно колебания в двух направлениях. Колебание некоторой
точки корпуса подшипника в плоскости может быть представлено как два
независимых перемещения в двух направлениях: вертикальном и
горизонтально-поперечном.
Пусть слагаемые (перемещения точки) выражаются зависимостями
=
+=
,sin
),sin(
tAy
tAx
y
x
ω
εω (1.23)
где x и y – мгновенные значения колебаний; xA и y
A – амплитуды;
ω – угловая частота, одинаковая для обоих колебаний; ε – сдвиг фаз между
колебаниями.
Уравнение траектории результирующего движения, происходящего в
плоскости XOY , можно найти, исключив из выражений для x и y (1.23)
параметр t :
εε 2
2
2
2
2
sincos2
=−+yxyx
AA
xy
A
y
A
x. (1.24)
23
Траектория имеет форму эллипса (рис. 1.10), причем точка описывает ее
за время, равное периоду складываемых колебаний. Ориентация эллипса, а
также его размеры зависят от амплитуд складываемых колебаний и сдвига фаз
между ними. В частности, если 2)12( πε += m , где 0=m , 1± , 2± , …,
то оси эллипса совпадают с осями координат, а размеры его полуосей равны
амплитудам xA и y
A :
12
2
2
2
=+yx
A
y
A
x. (1.25)
Рис. 1.10. Траектория результирующего движения при сложении взаимно перпендикулярных
гармонических колебаний одинаковой частоты (общий случай)
Если yx
AA = , то траектория представляет собой окружность.
24
В тех случаях, когда πε m= , 0=m , 1± , 2± , …, эллипс
вырождается в отрезок прямой:
xA
Ay
x
y±= . (1.26)
Знак плюс соответствует сложению синфазных, а знак минус –
противофазных гармонических колебаний (рис. 1.11).
m=0; ±2; ±4; … m=0; ±1; ±3; …
Рис. 1.11. Траектория результирующего движения при сложении синфазных (а) и
противофазных (б) взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой
частоты
1.1.3.8. При cложении взаимно перпендикулярных колебаний, имеющих
циклические частоты, их уравнения выражаются зависимостями
=
+=
,sin
),sin(
tnAy
tmAx
y
x
ω
εω (1.27)
где m и n – относятся между собой как целые числа, и получается замкнутая
траектория, форма которой зависит от отношения частот и сдвига фаз между
слагаемыми колебаниями (рис. 1.12). Описываемые точкой фигуры носят
название фигур Лиссажу.
25
Рис. 1.12. Траектория результирующего движения при сложении взаимно перпендикулярных
гармонических колебаний, имеющих циклические частоты (фигуры Лиссажу):
а -
2
πε = ,
2
1=
m
n; б -
2
πε = ,
1
2=
m
n; в -
2
πε = ,
1
3=
m
n
1.2. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ (ВИБРАЦИЯ)
1.2.1. Механические колебания и вибрация по своей сути синонимы.
Термин «вибрация» обычно используется для протекающих с относительно
высокой частотой механических колебаний реальных машин и механизмов [14].
При исследованиях колебательных процессов или при низкочастотных
колебаниях конструкций (например, фундаментов) чаще используется понятие
«колебания».
Как уже указывалось ранее, свободные колебания механической системы
могут быть вызваны единичной импульсной нагрузкой, например ударом.
Свободные колебания реальных систем всегда затухают. Затуханием
колебаний называется постепенное ослабление колебаний с течением времени,
обусловленное потерей энергии колебательной системой. Затухание свободных
механических колебаний вызывается главным образом трением.
Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы.
Система называется линейной, если параметры, характеризующие
существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не
26
изменяются в ходе процесса. Линейные системы описываются линейными
дифференциальными уравнениями.
Вынужденные колебания вызываются действием на систему внешних
периодических сил.
1.2.2. Число степеней свободы - это число независимых величин, через
которые может быть определено любое перемещение системы. Если для
определения положения системы в любой момент времени достаточно знать
всего одну величину, то говорят, что система обладает одной степенью
свободы. Типичным примером простейшей механической системы с одной
степенью свободы можно считать систему, приведенную на рис. 1.13.
Рис. 1.13. Система с одной степенью свободы
Система представляет собой массу m , закрепленную на упругой балке.
Предложенная модель будет системой с одной степенью свободы при
выполнении следующих условий:
• вся масса сосредоточена в одной точке;
• движение массы происходит только в плоскости рисунка и только в
вертикальном направлении;
• масса балки равна нулю.
Для полного определения положения этой системы достаточно знать
прогиб в месте расположения массы m . Любое нарушение поставленных
условий приводит к увеличению степеней свободы, а допущение, что балка
27
имеет распределенную массу приводит к бесконечно большому числу степеней
свободы.
1.2.3. Общее уравнение движения системы можно получить, используя
принцип Даламбера. Он заключается в том, что уравнения динамики
приобретают формальный вид уравнений статики – уравнений равновесия, если
в число сил, действующих на систему, кроме приложенных к системе реальных
сил, включаются и силы инерции, условно прилагаемые к системе.
Записывая уравнение движения системы с одной степенью свободы,
рассмотренной выше, необходимо учесть, что под действием груза массой m
балка будет иметь статический прогиб cy , и отсчет прогибов под действием
прочих сил необходимо выполнять от положения статического равновесия.
Тогда общий прогиб в точке расположения массы под воздействием суммы
всех сил∑P , действующих на массу, запишем в виде
∑=+ Pуус
δ , (1.28)
где δ - прогиб в точке расположения массы под воздействием единичной силы,
определяющий упругие свойства балки; величина δ носит название
податливости и связана с жесткостью балки с простым соотношением: δ
1=c .
В процессе движения на систему действуют следующие силы:
G – сила веса массы m ;
cP – эквивалентная сила неупругого сопротивления, приложенная к массе m .
В общем случае силы неупругого сопротивления (демпфирования)
приложены в различных местах колеблющейся системы и возникают в
результате трения: внутреннего трения в материале балки, трения системы о
внешнюю среду, трения в опорах и т. д. Вместе с тем действие этих сил можно
заменить действием некоторой эквивалентной силы cP , которая чаще всего
28
принимается пропорционально скорости движения yHPc−= , где H –
коэффициент пропорциональности. Силы трения, пропорциональные
скоростям, часто называют силами вязкого трения. Необходимо отметить, что
силы трения всегда направлены в сторону, противоположную относительной
скорости движущихся тел. Знак минус означает, что сила направлена навстречу
скорости движения;
)(tPPa = – активная внешняя сила, зависящая от времени.
Дополнив реально действующие силы силой инерции ymPи −= , можно
записать уравнение (1.28) в виде )( GPPPуу acис +++=+ δ .
Подставляя выражения для сил и учитывая, что Gyс δ= , получим
aPyyHym δδδ =++ или после деления на δm получим уравнение
движения в общем виде:
)(22
0 tPyyhy a=++ ω , (1.29)
где введены следующие обозначения:
m
Hh =2 ; (1.30)
m
c
m==
δω
12
0; (1.31)
m
PP a
a= . (1.32)
1.2.3.1. Уравнение свободных колебаний системы без трения получим
из уравнения (1.29), принимая 02 =h и 0=aP :
02
0 =+ yy ω . (1.33)
Общее решение этого дифференциального уравнения имеет вид
)cos( 00 ϕω += tNy , (1.34)
29
из которого следует, что движение массы представляет собой гармонические
незатухающие колебания с круговой частотой 0ω , называемой собственной
частотой системы, и с начальной фазой 0ϕ . В соответствии с обозначением
(1.31)
m
c=
0ω . (1.35)
1.2.3.2. Уравнение свободных колебаний системы с трением получим
из (1.29), положив 0=aP :
022
0 =++ yyhy ω , (1.36)
общее решение которого записывается в виде
)cos( 00 ϕω += −tNey
ht, (1.37)
где 0ω – частота собственных колебаний с учетом влияния трения:
22
00h−= ωω . (1.38)
Так как коэффициент трения h обычно мал по сравнению с собственной
частотой 0ω , то можно с достаточной точностью считать, что частота системы
с трением практически равна собственной частоте системы без трения, т. е.
00 ωω ≅ .
Произведение ht
Ne−представляет собой затухающую во времени
амплитуду колебаний (рис. 1.14). Темп уменьшения амплитуды при
затухающих колебаниях определяется логарифмическим декрементом
колебаний, определяемым как натуральный логарифм отношения значений
амплитуд в начале (ht
i NeA−= ) и в конце (
)(
1
Tth
i NeA+−
+ = ) полного цикла
колебаний (рис. 1.14):
hTeNe
Ne
A
A hT
Tth
ht
i
i ====+−
−
+
lnlnln)(
1
η . (1.39)
30
Рис. 1.14. График колебательного движения с учетом затухания
Учитывая, что T
fπ
πω2
2 == , можно записать
00
22
ω
π
ω
πη
hh≅= . (1.40)
Для большинства инженерных конструкций декремент колебаний η
составляет величину 0,05 ÷ 0,5.
1.2.3.3. Уравнение вынужденных колебаний под воздействием
гармонической силы tPtPa ωcos)( = получим из (1.29):
tPyyhy ωω cos22
0 =++ . (1.41)
Общее решение неоднородного уравнения (1.41) представляет собой
сумму общего решения однородного (без правой части) уравнения (1.37) и
частного решения неоднородного уравнения. Если частное решение искать в
виде
)cos( γω −= tAy , (1.42)
31
то постоянные A и γ , при которых выражение (1.42) удовлетворяет
уравнению (1.41) тождественно, будут иметь следующий вид:
22222
022222
0)1(
1
4)( βααωωωω +−=
+−=
P
h
PA ; (1.43)
222
0 1
2tg
α
αβ
ωω
ωγ
−=
−=
h. (1.44)
В (1.43) и (1.44) введены следующие обозначения:
0ω
ωα = – относительная частота вынуждающей силы;
0
2
ωβ
h= – относительный коэффициент сопротивления, связанный с
логарифмическим декрементом колебаний соотношением ηπ
β1
≅ .
Если учесть, что
02
0
2
0
yPc
P
m
PP==== δ
ωω,
где 0y – прогиб в месте расположения массы m под воздействием статической
силы, равной по величине P , то выражение (1.43) примет вид
λβαα
022220)1(
1yyA =
+−= . (1.45)
Коэффициент динамичности λ :
2222
0 )1(
1
βααλ
+−==
y
A, (1.46)
показывает, как соотносятся между собой амплитуда колебаний системы
(динамический прогиб балки) под действием динамической силы с амплитудой
32
P и прогиб балки под действием статической силы, равной по величине P .
Естественно, что при 0=α , 1=λ .
С ростом α значение λ возрастает и с приближением относительной
частоты к единице достигает максимальной величины. Интенсивный рост
амплитуды колебаний по мере приближения частоты вынуждающей силы к
собственной частоте системы называется резонансом.
При наличии трения максимум значения λ достигается при значении
мαα = , несколько меньшем единицы:
2
2
11 βα −=
м, (1.47)
а коэффициент динамичности достигает максимального значения, равного
2
max
4
11
1
ββ
λ
−
= . (1.48)
Поскольку величина β в реальных системах достаточно мала
( 1,001,0 ÷=β ), то значение мα мало отличается от единицы, а амплитуда
колебаний при резонансе может в десятки раз превышать статический
прогиб 0y .
При отсутствии в системе трения ( 0=β ) максимум λ достигается при
значении 1=α , а коэффициент динамичности λ при этом равен
бесконечности.
При дальнейшем росте относительной частоты α коэффициент
динамичности уменьшается и при ∞→α 0→λ , т. е. амплитуда колебаний
системы (динамический прогиб балки) становится меньше даже статического
прогиба.
Фазовый угол γ (1.44) определяет запаздывание прогиба при
вынужденных колебаниях по отношению к вынуждающей силе. Если при
33
значениях 1<<α фазовый угол практически равен нулю, т. е. сила и прогиб
совпадают по фазам (синфазны), то при резонансе фазовый угол оказывается
близким к 2π , т. е. сила по времени опережает прогиб на четверть периода.
При дальнейшем увеличении относительной частоты разность фаз между силой
и прогибом приближается к значению, равному π , т. е. сила и прогиб
направлены в противоположные стороны.
На рис. 1.15 и 1.16 представлены зависимости динамического
коэффициента λ и фазового угла γ соответственно от относительной частоты
вынуждающей силы α и относительного коэффициента сопротивления β .
0
1
2
3
4
5
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5
β=0,50
β=0,40
β=0,30
β=0,20
β=0,15
β=0
α
λ
Рис. 1.15. Зависимость динамического коэффициента λ от относительной частоты
вынуждающей силы α и относительного коэффициента сопротивления β
34
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5
π
2/3 π
5/6 π
1/2 π
0
1/6 π
1/3 π
γ
α
β=0,15
0,20
0,30
0,40
0,50
β=0,15
0,20
0,30 0,40
0,50
Рис. 1.16. Зависимость динамического коэффициента γ от относительной частоты
вынуждающей силы α и относительного коэффициента сопротивления β
Следует отметить, что перемещение точки в процессе колебания часто
называют вибрационным перемещением, или виброперемещением, с
амплитудой A. Естественно, что первая и вторая производные
виброперемещения носят названия виброскорости и виброускорения с
амплитудами ωA и 2ωA соответственно (см. формулы (1.3) (1.4)). Часто
также, характеризуя интенсивность вибрации, величины виброперемещения,
виброскорости и виброускорения отождествляют с амплитудами этих величин.
Учитывая, что виброскорость опережает виброперемещение на угол
2π , можно заметить, что при резонансе скорость колебательного движения
(виброскорость) по фазе совпадает с вынуждающей силой. Именно этим
обстоятельством и объясняется резкое возрастание прогибов при резонансе, так
как при этом обеспечивается наибольшая отдача энергии в систему за счет
работы вынуждающей силы.
35
1.2.4. Колебания систем с n степенями свободы характеризуются
наличием n собственных частот колебаний, каждой из которых соответствует
своя форма колебаний. Совокупность амплитуд, соответствующих k -й
собственной частоте, образует k -ю главную форму колебаний. Если, например,
в качестве модели системы взять безынерционную упругую балку с тремя
точечными массами, то такая система будет иметь три собственные частоты,
которым соответствуют три главные формы колебаний, показанные на
рис. 1.17.
Рис. 1.17. Система с тремя степенями свободы и ее собственные формы колебаний
Балке с распределенной массой соответствует бесконечное количество
собственных частот и главных форм колебаний. Балке с распределенной массой
36
и постоянным сечением, установленной на жестких шарнирных опорах,
соответствуют главные формы, имеющие вид
xl
kAY
k
πsin= , (1.49)
где =k ,1 ,2 …,3 – целое число.
Формы (1.49) представляют собой ряд синусоид с одной, двумя, тремя
и т. д. полуволнами. Собственные частоты возрастают пропорционально
квадрату номера формы: 1: 4: 9: … :n2.
1.2.5. Между главными формами колебаний существует связь,
называемая условием ортогональности. Физический смысл условия
ортогональности состоит в том, что работа инерционных сил при колебаниях по
одной главной форме на перемещениях по другой главной форме всегда равна
нулю. Это означает энергетическую независимость главных форм: переход
энергии колебательного движения от одной формы к другой невозможен. Если
учесть, что инерционные силы пропорциональны произведению колеблющихся
масс на прогибы, а прогибы в момент максимальных отклонений равны
амплитудам, то условие ортогональности главных форм k и l может быть
записано
∑=
=n
i
l
i
k
ii AAm1
0 . (1.50)
1.2.6. При вынужденных колебаниях системы с несколькими степенями
свободы движение всех масс происходит с одной и той же частотой, равной
частоте вынуждающей силы. Явление резонанса наступает, когда частота
вынуждающей силы совпадает с одной из собственных частот системы, а
колебания системы при этом происходят преимущественно по
соответствующей главной форме, так как прогибы именно по этой форме резко
возрастают (рис. 1.18).
37
Рис. 1.18. Амплитудно-частотная зависимость колебаний двухопорной балки с постоянной
жесткостью и равномерно распределенной массой при вынужденных колебаниях:
ω - частота вынуждающей силы; 1c
ω , 2c
ω , 3cω - собственные частоты системы по трем
первым формам колебаний соответственно; вверху показаны соответствующие собственные
формы
Следует отметить, что при постоянном уровне вынуждающей силы
наибольшие амплитуды колебаний достигаются при резонансах по низшим
формам колебаний (рис. 1.18). Это объясняется тем, что с увеличением номера
формы уменьшается длина полуволны деформации, т. е. увеличивается
жесткость, в рассматриваемом случае жесткость на изгиб, а с ростом частоты
колебаний возрастает демпфирование в системе. Именно поэтому наиболее
опасны всегда колебания по низшим формам и на устранение резонансов
(отстройку от резонансов) или на уменьшение сил по этим формам обращается
особое внимание.
38
1.Колебания ....................................................................................................... 9
1.1.Кинематика колебательного движения ................................................ 9
1.2.Механические колебания (вибрация). Затухающие и вынужденные
колебания ............................................................................................................... 25
39
2. КОЛЕБАНИЯ ВАЛОВ
2.1. ВАЛ С ДИСКОМ ПО СЕРЕДИНЕ НА ЖЕСТКИХ ОПОРАХ БЕЗ ТРЕНИЯ
Рассмотрим поведение вращающегося ротора на двух жестких опорах. В
качестве модели примем систему с одной степенью свободы, а именно
невесомый вал с диском массой m , посаженным на вал с эксцентриситетом e ,
т. е. центр масс S диска смещен относительно оси вала O на величину
эксцентриситета. Для того чтобы исключить из рассмотрения действие силы
веса, вал расположим вертикально (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Модель одномассового вертикально расположенного неуравновешенного ротора:
а - при частоте вращения ниже собственной частоты;
б - при частоте вращения выше собственной частоты
Ротор, у которого центр масс смещен от оси вращения на величину
эксцентриситета e , называется неуравновешенным, а произведение em
называется величиной дисбаланса или просто дисбалансом.
40
При вращении рассматриваемого неуравновешенного ротора возникает
центробежная сила. Если центробежная сила 2ωmeP
a=′ , вызванная
эксцентриситетом, воздействуя на ротор, вызывает его прогиб r , то при
условии, что эксцентриситет и прогиб лежат на одной оси, суммарная
центробежная сила составит 2
)( ωremPPPaaa
+=′′+′= ,
где aP ′′ – центробежная сила, вызываемая прогибом ротора.
Суммарная центробежная сила уравновешивается силой упругости вала,
равной crPy
= , где c – жесткость вала, определяемая аналогично жесткости
балки, опирающейся по концам (3
48 lEIc = ). Тогда
crrem =+ 2)( ω . (2.1)
Решая (2.1) относительно прогиба вала, получим:
22
0
22
022
2
1
1
αωωωωω
ω
−
′=
−
′=
−
′=
−= aaa
PP
m
c
P
mc
mer , (2.2)
где mPP aa′=′ , 0ωωα = , а mc=
0ω – собственная частота
поперечных колебаний аналогичной балки на двух опорах или, что то же самое,
невращающегося вала.
При сравнении (2.2) с формулой (1.43) для случая колебаний балки при
отсутствии трения ( 0=β ) видим, что формулы полностью идентичны.
Существенным отличием является лишь то, что приведенная сила
2ωePa =′ сама является не постоянной величиной, а функцией ω . Тогда
2
2
1 α
α
−= er . (2.3)
Таким образом, рассматривая прогиб вращающегося вала под действием
центробежной силы, постоянной для каждой заданной частоты вращения, но
возрастающей с ростом частоты вращения пропорционально квадрату этой
частоты, и не обсуждая вопрос о каких-либо колебаниях, мы получили, что
41
прогиб исследованного вала подчиняется закону прогиба колеблющейся балки
с одной степенью свободы. С приближением частоты вращения вала ω к
собственной частоте изгибных колебаний невращающегося вала 0ω прогиб
возрастает и достигает бесконечности при совпадении этих частот (рис. 2.2).
Значит, при 1=α мы имеем дело с явлением, полностью совпадающим с
резонансом двухопорной одномассовой системы.
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
e
| r |
α
Рис. 2.2. Зависимость прогиба ротора от относительной частоты вращения 0ωωα =
То, что это не простое совпадение, когда два различных физических
явления имеют схожие математические описания, а явления - одну физическую
природу, т. е. речь идет именно о колебаниях вращающегося вала, можно
пояснить на следующем примере: представим себе невращающийся вал, на
который действует вращающаяся в плоскости XOY , перпендикулярной к оси
вала, сила aP (рис. 2.3).
42
Рис. 2.3. Модель неподвижного вала, на который действует вращающаяся сила
Указанная сила может быть представлена в виде двух гармонических сил
xF и y
F , действующих вдоль перпендикулярных осей X и Y и являющихся
проекциями вращающейся силы на эти оси. Силы смещены относительно друг
друга по фазе на угол 2π , т. е. )cos( 0ϕω += tPF ax и
)sin(0
ϕω += tPFay
. Естественно, что они вызовут также сдвинутые на
2π вынужденные колебания вала в двух перпендикулярных плоскостях. В
случае отсутствия демпфирования ( 0=β ) вынужденные колебания вала
согласно (1.42) можно описать следующей системой уравнений:
−=
−=
),sin(
),cos(
yy
xx
tAy
tAx
γω
γω (2.4)
43
Для изотропного (равножесткого) вала, каким является вал круглого
сечения, лежащего на жестких опорах, эти силы вызовут колебания в
плоскостях X и Y с одинаковыми амплитудами. Тогда, учитывая
(1.42) ÷ (1.44) и (2.3), можно записать следующее:
=
=
,sin
,cos
tAy
tAx
ω
ω (2.5)
где
2
2
1 α
α
−= eA . (2.6)
В результате использования правил сложения взаимно перпендикулярных
гармонических колебаний, имеющих одинаковую частоту (п. 1.1.3.7), получаем,
что траектория результирующего движения, происходящего в плоскости
XOY , при сдвиге фаз между колебаниями 2π и равных амплитудах
колебаний представляет собой окружность (1.25). Действительно, учитывая,
что 1sincos 22 =+ tt ωω , из (2.5) и (2.6) получим постоянное значение
прогиба в любой момент времени, совпадающее с (2.3):
2
222
1 α
α
−=+= eyxr .
Таким образом, под воздействием силы, вращающейся с угловой
скоростью ω , на неподвижный ротор, лежащий на абсолютно жестких опорах,
упругая линия вала также вращается в направлении вращения силы с той же
угловой скоростью. Если вернуться теперь к вращающемуся валу и учесть, что
вращающаяся сила является результатом вращения самого неуравновешенного
ротора с той же круговой скоростью ω , с которой вращается ротор, то
становится ясным, что прогиб рассматриваемого ротора всегда будет лежать в
плоскости расположения эксцентриситета.
Убедившись, что вращение неуравновешенного вала есть его колебания,
мы можем в дальнейшем не записывать повторно и не анализировать уравнения
44
его движения, а отнести к колебаниям вала все ранее полученные результаты
для поперечных колебаний балки (п. 1.2). И в то же время есть некоторые
существенные отличия поперечных колебаний балки и того явления, которое
мы называем колебаниями вращающегося вала.
Поскольку при колебаниях рассмотренного выше вращающегося вала на
абсолютно жестких опорах плоскость максимального прогиба вращается вместе
с валом, вал не испытывает знакопеременных деформаций. Это также означает,
что, в отличие от колебаний балки, при колебаниях вращающегося вала
круглого сечения на жестких опорах внутреннее трение отсутствует и не может
демпфировать колебания вала.
Преобразуем формулу (2.2) к следующему виду:
2
2
1 α
α
−=
e
r. (2.7)
Из (2.7) также следует, что если до значения частоты вращения, при
котором достигается явление резонанса, прогиб вала совпадает с направлением
действия центробежной силы, вызванной наличием эксцентриситета, то при
частотах вращения выше этого значения частоты прогиб направлен в сторону,
противоположную эксцентриситету (рис. 2.1,б).
Как это и должно быть, после прохождения резонанса прогиб вала с
ростом частоты вращения уменьшается и при ∞→α 1−→er
(см. рис. 2.2). Последнее очень важно отметить, поскольку это явление,
называемое самоцентрированием, означает, что на достаточном удалении от
резонансной частоты вращения вал стремится вращаться не вокруг своей оси, а
вокруг центра масс. И в этом еще одна особенность колебаний вращающегося
вала.
Частота вращения вала, при которой наблюдается наибольший его
прогиб, называется критической частотой вращения. В рассматриваемом
случае (а также во всех других случаях, когда не учитывается демпфирование в
45
системе) критическая частота вращения равна собственной частоте изгибных
колебаний вала.
Ротор, рабочая частота вращения которого выше критической
частоты вращения, называется гибким ротором; в противоположном
случае ротор называется жестким.
Данное определение гибких и жестких роторов носит название
классического. В дальнейшем, при исследовании динамики роторов, методов
балансировки и т. д., мы придем к выводу, что указанная формулировка нас не
всегда удовлетворяет с точки зрения анализа динамики роторов.
Специалисты в области вибрационной надежности машин в настоящее
время чаще пользуются другой формулировкой: ротор можно считать
жестким, если во всем возможном диапазоне его частот вращения
упругими прогибами ротора можно пренебречь, т. е. er << . В противном
случае ротор следует считать гибким.
В заключение следует отметить, что все сделанные выводы останутся
справедливыми и для вала, расположенного горизонтально (рис. 2.4). Если под
действием своего веса в состоянии покоя вал будет иметь статический прогиб
0y , то его ось будет несколько искривлена. При вращении уравновешенного
вала ( 0=e ) он будет вращаться именно вокруг этой искривленной оси.
Неуравновешенный же вал ( 0≠e ) прогнется вследствие появления
неуравновешенной силы дисбаланса еще на дополнительную величину r , и
колебания будут происходить относительно линии статического прогиба вала.
Перед дальнейшим рассмотрением колебаний валов необходимо
отметить разнообразие их форм движения. Кроме собственного вращения вала
с угловой скоростью ω , ротор и его диски могут совершать прецессионное
движение. Прецессионным движением называется движение упругой линии
вала, которое, в общем случае, является независимым и может вовсе не
совпадать с движением вращения. Если направление вращения упругой линии
совпадает с направлением вращения вала, то такая прецессия называется
прямой. Если направления вращения противоположны – обратной прецессией.
46
Рис. 2.4. Колебания горизонтального ротора относительно линии статического прогиба
Если угловая скорость вращения упругой линии вала совпадает с угловой
скоростью вращения самого вала не только по направлению, но и по величине,
то такое движение называется прямой синхронной прецессией. Обозначив угол
между направлением динамического прогиба вала и осью X через ϕ , для
прямой синхронной прецессии можно записать условие ωϕ = . При этом угол
между направлением прогиба и направлением эксцентриситета γ , т. е.
направлением действия центробежной силы, при заданном значении ω есть
постоянная величина const=γ .
В частности, в рассмотренном выше случае мы наблюдаем именно
прямую синхронную прецессию, когда угол 0=γ (направление прогиба и
действующей силы совпадают) при частотах вращения ниже критической
частоты вращения и πγ = при частотах вращения, превышающих
критическую (прогиб направлен в сторону, противоположную
эксцентриситету). Возможна и обратная синхронная прецессия. В этом случае
плоскость упругой линии вращается в направлении, противоположном
вращению вала, но с такой же угловой скоростью, т. е. ωϕ −= .
47
2.2. ВАЛ С ДИСКОМ ПО СЕРЕДИНЕ НА ПОДАТЛИВЫХ ИЗОТРОПНЫХ ОПОРАХ
БЕЗ ТРЕНИЯ
В реальных условиях опоры не являются абсолютно жесткими и
вовлекаются вращающимся валом в процесс колебаний. Если пренебречь
массой опор, то в простейшем случае их можно схематизировать в виде
пружин (рис. 2.5).
Рис. 2.5. Модель вала на податливых изотропных опорах
Предположим для упрощения, что обе опоры одинаковы и что жесткости
их в вертикальном и поперечном направлении также одинаковы. Такие опоры,
имеющие одинаковые жесткости в вертикальном и поперечном направлениях,
называются изотропными.
Тогда для определения критической частоты вращения следует
рассмотреть равновесие системы, как это было сделано в предыдущем разделе,
Y
X
48
но учесть при этом не только упругую деформацию вала под воздействием
центробежной силы от дисбаланса, но и упругую деформацию опор.
Статическим прогибом вала можно по указанным выше причинам пренебречь
(рис. 2.6).
Рис. 2.6. Схема деформаций гибкого вала на податливых опорах
С учетом податливости опор, центробежная сила, вызванная
эксцентриситетом, вызывает прогиб вала вr и смещение опор в том же
направлении опr . Суммарная центробежная сила составит:
2
)( ωопвaaaarremPPPP ++=′′′+′′+′= . (2.8)
Центробежная сила аP по-прежнему уравновешивается силой упругости
валаy
P , равной ввy
rcP = , т. е.
ввопв rcrrem =++ 2)( ω , (2.9)
а перемещение опор связано с центробежной и, следовательно, с силой
упругости вала следующим образом:
в
оп
в
оп
y
оп
аоп
rc
c
c
P
c
Pr
2
1
2
1
2
1=== . (2.10)
49
Подставив (2.10) в (2.9) и решив относительно прогиба вала, получим
+−
=
+−
=
оп
в
оп
вв
в
c
c
e
c
cmc
mer
2
11
2
11
22
0
2
2
2
ωω
ω
ω
ω, (2.11)
где mcв
=0
ω – собственная частота вала на жестких опорах.
Резонанс вала на податливых опорах при отсутствии трения, как и вала на
жестких опорах в аналогичных условиях, соответствует бесконечно большому
прогибу вала, который наступит при условии равенства знаменателя в (2.11)
нулю:
оп
в
с
c
c
2
11
100
+
== ωωω , (2.12)
где c0ω – критическая частота вращения вала на податливых опорах или
собственная частота системы вал – опоры.
Из формулы (2.12) видно, что критическая частота вращения вала на
податливых опорах ниже собственной частоты вала на жестких опорах и
поправка зависит от соотношения жесткостей вала и опор.
Представим критическую частоту ротора на податливых опорах как
mccc/
0=ω , где cc – приведенная жесткость системы вал − опоры.
Значение cc получим из (2.12), подставив значения критических
частот вала на податливых и жестких опорах:
оп
в
вc
c
cm
c
m
c
2
11
1
+
= ,
откуда
воп
вопc
cc
ccc
+=
2
2. (2.13)
50
На рис. 2.7 показана зависимость относительной приведенной жесткости
системы вc cc от отношения жесткостей опор и вала воп cc . Если жесткость
опор значительно выше жесткости вала, то приведенная жесткость системы
определяется практически только жесткостью вала. Если жесткость опор
значительно меньше жесткости вала, приведенная жесткость определяется
практически жесткостью опор. Наибольшее изменение приведенной жесткости
происходит тогда, когда жесткость опор и жесткость вала представляют собой
величины одного порядка.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0,01 0,1 1 10 100
lg(c оп /c в )
c с /c в
Рис. 2.7. Зависимость относительной приведенной жесткости системы вc cc от отношения
жесткостей опор и вала
На рис. 2.8 приведена зависимость относительной критической частоты
вращения вала на податливых опорах вс ωω от отношения жесткостей опор и
вала воп cc . Учитывая важность этой зависимости для практической
деятельности, обсудим полученные результаты.
51
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0,01 0,1 1 10 100
ωωωωс /ωωωωв
lg(соп /св)
Рис. 2.8. Зависимость отношения собственной частоты вала на податливых опорах к
собственной частоте вала на жестких опорах от отношения жесткостей опор и вала
В ряде случаев, из-за несовершенства расчетов или неверного учета всех
факторов при проектировании, оказывается, что рабочие частоты вращения
роторов турбомашин лежат в недопустимой близости от критических частот
вращения. Изменение конструкции ротора в указанных случаях чаще всего
оказывается или очень трудоемким, или просто невозможным. Отстройку от
резонансов целесообразно в этом случае проводить путем изменения жесткости
опор, причем чаще всего это проще сделать путем их ужесточения. Однако этот
путь оказывается продуктивным только в тех случаях, когда жесткость опор по
величине одного порядка или несколько ниже жесткости ротора. Если же
жесткость опор несколько выше жесткости ротора, то ужесточение опор не
приведет к существенному повышению собственной частоты системы
ротор − опоры и значительного повышения вибрационной надежности
достигнуть не удастся. Понижение жесткости опор, что в конструкторском
плане всегда несколько сложнее, позволяет в этом случае снизить собственную
частоту системы, но при проходе критической частоты вращения могут
возникнуть колебания системы со значительными амплитудами. Если
жесткость опор значительно ниже или значительно выше жесткости вала, то
изменение жесткости опор в разумных (с точки зрения вносимых
конструктивных изменений) пределах вообще может мало сказаться на
изменении резонансных частот.
52
Используя приведенную жесткость системы, можно записать аналогично
валу на жестких опорах (2.2) и (2.3):
2
0
22
02
2
2
1
1
cc
a
c
a
c
a
c
PP
m
c
P
mc
mer
αωωωωω
ω
−
′=
−
′=
−
′=
−= ; (2.14)
2
2
1 c
c
e
r
α
α
−= , (2.15)
где r – суммарное смещение центра вала от оси вращения ( воп rrr += );
cc 0ωωα = .
2.3. ВАЛ НА ПОДАТЛИВЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ОПОРАХ БЕЗ ТРЕНИЯ
Вынужденные колебания ротора на двух одинаковых, но анизотропных
опорах, вызванные вращающейся неуравновешенностью, запишем в виде,
аналогичном (2.5), с учетом (2.6). Естественно, что амплитуды колебаний
ротора в направлении осей X и Y при одной частоте вращения будут иметь
разные величины, зависящие от жесткости опор в каждом направлении.
Естественно также, что это приведет к тому, что ротор будет иметь две
собственные частоты и две критические угловые скорости ( x0ω и y0
ω ),
которые, как и ранее при отсутствии демпфирования, совпадают с
собственными частотами:
( )
( )
−==
−==
,sin1
)sin(
,cos1
)cos(
2
2
2
2
tetAy
tetAx
y
y
y
x
x
x
ωα
αω
ωα
αω
(2.16)
где xx 0ωωα = , yy 0
ωωα = , mccxx
=0
ω , mccyy =0ω .
53
Согласно (2.13) приведенные жесткости системы вал − опоры в каждом
направлении запишем как:
+=
+=
,2
2
,2
2
вyоп
вyоп
cy
вxоп
вxоп
cx
cc
ccc
cc
ccc
(2.17)
где xоп
c и yоп
c – жесткости опор в направлении горизонтальной и
вертикальной осей.
Предположим xоп
c < yоп
c , тогда в направлении меньшей жесткости
опор критическая угловая скорость будет ниже, в направлении большей
жесткости опор – выше (рис. 2.9).
Рис. 2.9. Амплитудно-частотная зависимость для одномассового ротора на анизотропных
опорах: I, III – зоны прямых прецессий; II – зона обратной прецессии
Для получения траектории вынужденных колебаний следует исключить
из (2.16) время, для чего возведем оба уравнения (2.16) в квадрат, затем найдем
траекторию в виде
( ) ( ) 122
=+ yx AyAx . (2.18)
54
Траектория движения упругой линии представляет собой эллипс с
полуосями xA и y
A , направленными по осям X и Y .
Угол ϕ между прогибом вала и осью X определим по проекциям из
соотношения xy=ϕtg .
Заменив в нем x и y на соответствующие им значения из (2.16),
получим
( ) tAAxy
ωϕ tgtg = . (2.19)
Угловую скорость прецессии найдем, дифференцируя (2.19):
( )( ) ωωϕϕ2
coscos tAA xy= ,
или, используя известное соотношение ϕ
ϕ2
tg1
1cos
+= и учитывая (2.19),
получим
( )
tA
A
tt
x
y ω
ωωϕ
2
2
22
tg1
tg1coscos
+
+= (2.20)
и
ω
ω
ωϕ
tA
A
t
A
A
x
yx
y
2
2
2
tg1
tg1
+
+= . (2.21)
Исследуем выражения (2.20) и (2.21).
Во-первых, из (2.21) следует, что направление прецессионного движения
(знак ϕ ) зависит только от знака отношения xy
AA . Из (2.16) следует
22
0
22
0
22
22
)1(
)1(
ωω
ωω
αα
αα
−
−=
−
−=
y
x
yx
xy
x
y
A
A. (2.22)
55
В результате анализа выражения (2.22) видим, что при угловой скорости
вращения ω ниже наименьшей из критических скоростей (интервал I на оси
ω , рис. 2.9): и числитель, и знаменатель выражения (2.22) - положительные
числа и, следовательно, 0>ϕ , т. е. мы наблюдаем прямую прецессию. То же
самое можно сказать и про случай, когда угловая скорость вращения больше
большей критической скорости (интервал III на оси ω , рис. 2.9): и числитель, и
знаменатель в этом случае - отрицательные числа, а для угловой скорости
прецессии также выполняется условие 0>ϕ .
В интервале между двумя критическими частотами вращения, т. е. при
yx 00ωωω << (интервал II на оси ω , рис. 2.9), 0<ϕ , и мы наблюдаем в
этом случае обратную прецессию. Это результат того, что в указанном
интервале частот вращения упругая деформация системы под действием силы
происходит по разным законам: в плоскости большей жесткости опор система
находится в дорезонансном состоянии, при котором направления силы и
прогиба совпадают, а в плоскости меньшей жесткости опор система находится
в зарезонансном состоянии, при котором прогиб направлен против действия
силы.
Во-вторых, второй множитель в выражении (2.21), соответствующий
выражению (2.20), показывает, что угловая скорость прецессионного движения
есть в общем случае величина, переменная во времени. На рис. 2.10
представлена зависимость функции ( )2coscos tωϕ от значения tω при
различных значениях 2)(
xyAA .
Из (2.21) также следует, что при значении 1)( 2 =xy
AA , т. е. при
равенстве амплитуд по модулю, функция ( )2coscos tωϕ становится равной
единице (рис. 2.10).
56
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
(Ay/Ax)2 =1
2
3
0,5
(cos ϕ /cos ω t)2
1/6 π 1/3 π 1/2 π 2/3 π 5/6 π π
ω t
Рис. 2.10. Зависимость функции ( )2coscos tωϕ от значения угла поворота tω
при различных значениях 2)(
xyAA
Этот момент возникает тогда, когда круговая скорость вала достигает
некоторого значения
)(2
1 2
0
2
0 yxωωω += , (2.23)
расположенного внутри интервала критических частот. В этом случае,
подставив указанное значение ω в (2.22), действительно получим
12
0
2
0
2
0
2
0 −=−
−=
xy
yx
x
y
A
A
ωω
ωω, (2.24)
и из (2.20) ωϕ −= .
Полученный результат означает, что при указанной частоте вращения
вала, равной среднеквадратичному значению критических частот вала на
анизотропных опорах, мы наблюдаем обратную синхронную круговую
прецессию.
57
2.4. ВАЛ С ДИСКОМ ПО СЕРЕДИНЕ НА ОПОРАХ С ТРЕНИЕМ
Анализ, выполненный в предыдущих разделах, исключал наличие сил
трения. Более того, было показано, что при колебаниях вала на жестких опорах
внутреннее трение в принципе отсутствует, поскольку отсутствуют
знакопеременные деформации вала. В то же время при вращении вала силы
сопротивления определяются не только внутренним трением. Возникают силы
трения между валом и внешней средой, а также силы трения в опорах. Эти
силы характеризуют так называемое внешнее демпфирование колебаний вала.
Величина демпфирующих сил будет зависеть от абсолютных перемещений или
скоростей точек самого вала.
Приняв силы трения, возникающие прежде всего в опорах (трение о
внешнюю среду, чаще всего газовую, можно считать пренебрежительно
малым), пропорциональными скорости движения точки центра массы, т. е.
приняв за основу действие так называемых вязких сил трения, мы, естественно,
получим те же закономерности при колебаниях вала, что и получали ранее для
колебаний балки с одной степенью свободы с учетом сил трения (п. 1.2.3.3).
При этом, с учетом вращения вала, уравнение (1.41) заменяется двумя
независимыми уравнениями:
=++
=++
,sin2
,cos2
22
0
22
0
teyyhy
texxhx
y
x
ωωω
ωωω
(2.25)
где m
me
m
PPe
22 ω
ω === .
Используя результаты п. 1.2.3, получим решение уравнений (2.25) в виде
+=
+=
,
,
вc
вc
yyy
xxx (2.26)
58
где
( )
( )
+=
+=
−
−
;cos
;cos
0
0
yy
th
yc
xx
th
xc
teNy
teNx
y
x
ψω
ψω (2.27)
( )
( )
−=
−=
.sin
;cos
2
2
yyyв
xxxв
tey
tex
γωαλ
γωαλ (2.28)
В (2.27) и (2.28) x0ω и y0
ω – частоты собственных колебаний системы в
горизонтальном и вертикальном направлении с учетом демпфирования,
xλ и
yλ – динамические коэффициенты для двух направлений,
xγ и
yγ – начальные фазы. Ввиду аналогии уравнений (2.25) и (1.41) величины
xλ ,
yλ ,
xγ и
yγ определяются по формулам (1.46) и (1.44) в зависимости от
соответствующих значений xx 0ωωα = ,
yy 0ωωα = ,
xxxh 02 ωβ = ,
yyyh
02 ωβ = :
2222 )1(
1
xxx
xβαα
λ+−
= ;
2
1tg
x
xx
xα
βαγ
−= ;
2222
)1(
1
yyy
y
βααλ
+−= ;
21
tgy
yy
yα
βαγ
−= .
Смещения x и y представляют собой сумму смещений при свободных и
вынужденных колебаниях. Свободное движение диска вращающегося вала
представляет собой совокупность двух затухающих колебаний. Такие
колебания возникнут при кратковременном воздействии какой-либо внешней
59
силы либо при изменении центробежной силы от неуравновешенности,
например при переходе от одной частоты вращения неуравновешенного вала к
другой. Центр диска при свободном движении в общем случае описывает
эллиптическую спираль.
По истечении некоторого времени свободные колебания прекращаются, а
движение диска будет определяться только вынужденными колебаниями.
Вынужденные колебания рассмотрим для частного случая изотропных
опор, т. е. 000
ωωω ==yx
; λλλ ==yx
; βββ ==yx
; γγγ ==yx
.
Траекторию вынужденного движения центра диска получим путем
исключения из уравнений (2.28) времени, для чего возведем в квадрат обе части
равенств (2.28) и сложим их почленно:
422222 αλeryx ввв ==+ .
Подставив 2222
)1(
1
βααλ
+−= в эту формулу, запишем:
( ) 2222
2
1 βαα
α
+−=
er . (2.29)
Из последнего видно, что траектория вынужденного движения центра
диска есть окружность радиуса r , где радиус соответствует прогибу вала. С
ростом относительной частоты α величина прогиба r возрастает и вблизи
1=α достигает максимальных значений, зависящих от относительного
коэффициента сопротивления β (рис. 2.11).
В то же время, сравнивая рис. 2.11 с рис. 1.15, следует отметить одну
особенность. Максимумы коэффициента динамичности λ (рис. 1.15) с ростом
демпфирования достигаются при значениях α , несколько меньших единицы,
что, как уже указывалось ранее, есть результат снижения собственной частоты
системы под воздействием трения. Максимальные же значения прогиба
вращающегося вала смещаются в сторону значений α , несколько больших
единицы, и это смещение увеличивается с ростом демпфирования. Данное
60
смещение объясняется зависимостью центробежной силы от частоты вращения,
что и характеризуется появлением 2α в числителе выражения (2.29). Поэтому с
ростом частоты вращения, после достижения значения коэффициента
динамичности λ максимальной величины, и с началом его уменьшения прогиб
вала продолжает еще возрастать, поскольку в этот момент приращение силы с
ростом частоты вращения оказывает большее влияние на прогиб, нежели
уменьшение коэффициента динамичности.
0
1
2
3
4
5
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,25 2,5
r/e
α
β=0
β=0,15
β=0,20β=0,30
β=0,40
β=0,50
Рис. 2.11. Амплитудно-частотная зависимость для одномассового ротора на изотропных
опорах с учетом демпфирования
При наличии демпфирования направление прогиба вала в общем случае
не совпадает с направлением центробежной силы от дисбаланса. Угол наклона
вектора r к оси x найдем из условия
( )γωϕ −== txy tgtg , (2.30)
где γ – угол между направлением действия силы и прогибом вала.
Следовательно, радиус-вектор r вращается с угловой скоростью ω в ту
же сторону, что и вал, и отстает от вектора-эксцентриситета e на угол, равный
61
γ , т. е. имеет место прямая синхронная круговая прецессия. Угол же γ
определяется аналогично п. 1.2.3.3 по формуле (1.44), т. е.
21
tgα
αβγ
−= . (2.31)
Угол γ меняется с изменением угловой скорости так же, как это показано
ранее на рис. 1.16. На рис. 2.12 показано взаимное расположение векторов
эксцентриситета и прогиба при различных угловых скоростях. При угловой
скорости, значительно меньшей собственной частоты колебаний вала,
направления векторов практически совпадают. По мере приближения частоты
вращения к собственной частоте вала прогиб начинает отставать от
направления силы и на резонансной частоте ( 1=α ) угол между направлением
силы от неуравновешенности и прогибом составляет 2/π , т. е. вектор
эксцентриситета опережает вектор прогиба на угол 2πγ = . При этом
коэффициент динамичности λ достигает максимума, и прогиб (2.29)
становится равным
ηπβ eer == , (2.32)
где η – логарифмический декремент колебаний. После прохождения резонанса
на достаточном удалении от него вектор эксцентриситета опережает вектор
прогиба на угол π , т. е. направление прогиба противоположно направлению
действия силы.
Рис. 2.12. Векторная диаграмма смещений центра диска при различных угловых скоростях:
а - 1<<α ; б - 1=α ; в - 1>>α
62
В заключение настоящего раздела следует подчеркнуть еще раз один
важный для практики вывод. С учетом демпфирования, критическая частота
вращения вала, под которой понимается частота, соответствующая
максимальному прогибу вала, не совпадает с частотой собственных колебаний
и смещается относительно собственной частоты в сторону более высоких
частот вращения.
2.5. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ СЛУЧАИ КОЛЕБАНИЙ ОДНОДИСКОВОГО РОТОРА
2.5.1. Гироскопическое действие диска
До сих пор мы рассматривали случай симметричного расположения
диска на двухопорном роторе. В этом случае ни о каком повороте сечения
диска речь не шла. Однако если рассмотреть ротор, у которого диск
располагается несимметрично опорам, или консольный ротор с диском,
расположенным на конце вала, то легко заметить, что прогиб сечения вала, где
расположен диск, сопровождается поворотом сечения. Поэтому отклонение
центра вала также сопровождается поворотом сечения диска, и следовательно,
происходит одновременно и прецессия центра вала, и угловая прецессия диска.
Угловая прецессия диска вызывает дополнительные центробежные силы,
создающие гироскопический момент.
Рассмотрим центробежные силы, действующие на диск (рис. 2.13), при
прямой синхронной прецессии.
Ось Z является осью вращения, ось 1Z направлена по оси диска. Пусть
элемент массы диска dm расположен в точке A на радиусе диска R . К нему
приложена центробежная сила y
dF , действующая в плоскости вращения:
ydmdFy
2ω= , (2.33)
где φcosRry += , r – прогиб вала в сечении расположения диска,
φ – угол между осями Z и 1Z .
63
Рис. 2.13. Силовые факторы, действующие на прецессирующий ротор
Гироскопический момент определяется как
∫=V
ydmRdFM φsin . (2.34)
С учетом соотношения (2.33) после необходимых преобразований [49]
можно получить
mIM φφω sincos2= , (2.35)
где ∫=V
m dmRI2
– осевой момент инерции.
Поскольку речь идет о малых отклонениях вала от прямолинейной
формы, то 1cos ≈φ , а φφ ≈sin , и тогда
φω mIM2= . (2.36)
Гироскопический момент при прямой синхронной прецессии
препятствует прогибу ротора, и следовательно, критическая частота ротора
повышается.
64
С более подробным анализом влияния гироскопического момента на
критические скорости роторов, в т. ч. и при других видах прецессии, можно
ознакомиться в работах [24, 31].
2.5.2. Вал с анизотропностью
При изучении изгибных колебаний валов часто приходится сталкиваться
со случаями, когда изгибная жесткость вала различна в разных плоскостях
изгиба. Наиболее простым случаем является такой, когда сечение вала имеет не
круг инерции, а эллипс инерции. К таким валам можно отнести, например,
роторы двухполюсных электрических машин, имеющих два больших зуба-
полюса, вследствие чего главные моменты инерции сечения не одинаковы
(рис. 2.14).
Рис. 2.14. Сечение неравножесткого ротора двухполюсной электрической машины
65
К более сложным случаям относятся круглые валы с некоторыми
дефектами, например с трещиной в поперечном сечении, или валы, условия
закрепления которых в опорах по-разному стесняют их движение в двух
плоскостях изгиба.
Предполагая, что сечение вала с диском массой m имеет эллипс
инерции, и обозначив главные моменты инерции вала через 1I и 2I , причем
12 II > , можно записать соответствующие жесткости вала в середине,
отнесенные к главным плоскостям инерции:
3
11
48
l
EIc = ;
3
22
48
l
EIc = .
В результате вал будет иметь две собственные изгибные частоты и
соответственно две критические скорости вращения:
m
c1
1=ω и
m
c2
2=ω .
Как показывает анализ [24, 31], при наличии неуравновешенности
радиус-вектор центра вала для любой скорости вращения вала будет иметь
свою, но постоянную, величину и будет вращаться с угловой скоростью вала,
т. е. будет иметь место прямая синхронная круговая прецессия. При наличии
внешнего трения прогибы вала на каждой критической частоте вращения будут
зависеть от величины проекции неуравновешенности на главные плоскости
инерции вала. Так, например, если вектор неуравновешенности будет лежать
только в плоскости, совпадающей с одной главной плоскостью инерции, то и
будет наблюдаться проявление только одной критической частоты,
соответствующей жесткости в этом направлении. В общем случае, если вектор
неуравновешенности проецируется на обе плоскости инерции, то будет
наблюдаться «раздвоение» критических скоростей вращения, т. е. с ростом
частоты вращения будет дважды наблюдаться увеличение прогиба ротора, а
фаза прогиба будет изменяться в зависимости от соотношения частоты
вращения и собственных частот ротора.
66
Если, как уже было показано ранее, прогиб изотропного ротора под
воздействием веса не оказывает влияния на критические частоты ротора и на
его поведение при проходе критических частот, то для неизотропного ротора
картина принципиально другая. Для ротора с эллипсом инерции прогиб ротора
под действием веса будет изменяться в зависимости от положения сечения
ротора при его вращении, причем прогиб вала за один полный оборот будет
дважды достигать максимального значения и дважды минимального (рис. 2.15).
Рис. 2.15. Неравножесткий ротор и его прогибы под действием собственного веса
(в двух положениях): 1 – диск; 2 – неравножесткий вал
Забегая несколько вперед, можно, конечно, отметить, что появление
инерционных сил, действующих в вертикальной плоскости (в плоскости
действия веса) с частотой, равной двойной частоте вращения, вызовет
увеличение вибрации системы в той же плоскости с частотами, равными
собственным частотам системы. Однако такой же эффект можно получить и
для ротора, вращающегося на шейках, имеющих эллипсность. Более важным
является то, что у роторов, имеющих анизотропность сечения, появляется некая
скорость вращения, при которой наступает явление резонанса (резкого
увеличения прогиба самого ротора). В упрощенном виде (без учета сил
демпфирования) эта частота, называемая критической скоростью вращения
67
второго рода или критической скоростью вращения собственного веса,
определится как [24]
)(2)(2 2
2
2
1
2
2
2
1
21
21*
ωω
ωωω
+=
+=
ccm
cc . (2.37)
Как это будет показано в дальнейшем, появление расслоения
собственных частот, т. е. наличие в общем случае двух критических скоростей
первого рода, с одновременным существенным увеличением вибрации вала на
критической скорости второго рода, лежащей между половинными
критическими частотами вращения, используется как диагностический признак
разножесткостности вала. Это позволяет выявить ряд дефектов ротора, в т. ч. и
наличие трещины в роторе.
2.6. КОЛЕБАНИЯ МНОГОДИСКОВОГО РОТОРА
Колебания многодискового ротора, как и колебания систем с n
степенями свободы (п. 1.2.4), характеризуются наличием n собственных частот
колебаний, каждой из которых соответствует своя форма колебаний.
Совокупность амплитуд, соответствующих k -й собственной частоте, образует
k -ю главную форму колебаний. Если, например, в качестве модели ротора
взять невесомый изотропный вал с тремя дисками, гироскопическими
моментами которых пренебрегаем, то такой ротор будет иметь три собственные
частоты, которым соответствуют три главные формы колебаний, аналогичные
формам колебания балки с тремя точечными массами, показанным на рис. 1.17.
Следовательно, с ростом частоты вращения ротор последовательно пройдет три
значения критических угловых скоростей, совпадающих (или близких) с
круговыми частотами поперечных колебаний. При этом прогибы ротора на
критических скоростях будут соответствовать формам поперечных колебаний и
именно по этой форме резко возрастать.
68
Этот вывод справедлив и при произвольном числе дисков. Невесомый
вал, несущий n дисков, будет иметь такое же число критических скоростей.
Ротору с распределенной массой соответствует бесконечное количество
собственных частот, главных форм колебаний и, следовательно, критических
скоростей. Валу постоянного сечения с распределенной массой,
установленному на жестких шарнирных опорах, соответствуют, как и для
аналогичной балки, главные формы, имеющие вид
xl
kAY
k
πsin= ,
где =k ,1 ,2 …,3 – целое число.
Формы прогибов вала постоянного сечения представляют собой ряд
синусоид с одной, двумя, тремя и т. д. полуволнами. Критические скорости
вращения, как и собственные частоты, возрастают пропорционально квадрату
номера формы: 1: 4: 9: … :n2..
Между главными формами колебаний вала, как это рассматривалось и
для колеблющейся балки, существует связь, называемая условием
ортогональности. Физический смысл условия ортогональности состоит в том,
что работа инерционных сил при колебаниях по одной главной форме на
перемещениях по другой главной форме всегда равна нулю, что означает
энергетическую независимость главных форм. Применительно к вращающимся
валам это означает, что инерционные силы, вызванные неуравновешенностью
вала и распределенные по длине вала пропорционально прогибам по одной
главной форме колебаний, вызовут колебания вала только по этой форме
колебаний и не могут вызвать их по любой другой главной форме. Частным
случаем условия ортогональности, важным при балансировке роторов, является
следующее: система дискретных уравновешивающих грузов, распределенных
вдоль оси ротора по определенным законам, может в большей или меньшей
степени вызывать колебания по различным формам. Степень возбудимости той
или иной формы зависит от степени приближенности распределения
инерционных центробежных сил, вызываемых дискретными грузами, к
69
непрерывному распределению сил неуравновешенности по соответствующей
форме. Однако и при использовании единичных балансировочных грузов
может соблюдаться ярко выраженный принцип ортогональности по отношению
к определенным формам колебаний. Например, центробежная сила от
единичного груза, установленного в середине пролета вала постоянного
сечения с распределенной массой, возбудит колебания вала по всем нечетным
формам (1, 3 и т. д.), для которых точка приложения силы будет расположена в
пучностях колебаний. В то же время такой груз не окажет влияния на
колебания вала по всем четным формам, для которых точка приложения силы
будет находиться в узлах соответствующих форм (рис. 2.16,а), поскольку
работа этих сил (равная произведению сил на перемещения) равна нулю.
Аналогично, пара сил, создающая моментную нагрузку на ротор, может
вызвать колебания по всем четным формам и не вызовет колебания по всем
нечетным формам, для которых силы не расположены в узлах (рис. 2.16,б).
Рис. 2.16. Формы колебаний вала: а – под действием единичного груза; б – пары сил;
( ) - реализующиеся формы; (- - -) - нереализующиеся
70
2.7. ВАЛОПРОВОДЫ
Единичный ротор турбины имеет, как правило, две опоры. Однако при
использовании турбины в качестве привода другой, чаще всего тоже роторной
машины (электрического генератора, компрессора, нагнетателя газа и т. п.),
роторы турбины и машины, служащей нагрузкой, соединяются и создается
валопровод. Соединение роторов в валопровод производится муфтами
различного типа: жесткими, полужесткими, гибкими. При этом одновременно
возникает и многоопорная система, в которой каждый входящий в систему
валопровода ротор чаще всего опирается на свои две опоры.
В современных турбоагрегатах большой мощности преимущественно
используются жесткие муфты. В этом случае каждый ротор может опираться
как на свои два подшипника, так и возможна схема, когда два соседних ротора
опираются на три подшипника, один из которых (средний) является общим
(рис. 2.17).
Рис. 2.17. Четырехопорная (а) и трехопорная (б) схемы валопроводов
Вместе с тем выполнить турбину одноцилиндровой удается только в том
случае, если абсолютный объем рабочего тела, покидающего последнюю
ступень, не слишком велик. Это бывает при малой мощности паровой
конденсационной турбины (до 50 МВт) либо при высоком противодавлении.
Одноцилиндровыми могут быть выполнены и газотурбинные одновальные
установки (многовальные ГТУ представляют особый предмет нашего
71
рассмотрения). В большинстве же случаев мощные энергетические паровые
стационарные конденсационные или теплофикационные турбины выполняются
многоцилиндровыми. Валопровод такого турбоагрегата – это совокупность
соединенных между собой роторов, последовательно расположенных
цилиндров и генератора. На рис. 2.18 схематично показаны валопроводы
турбоагрегатов с конденсационными паровыми турбинами мощностью 300 и
800 МВт. Валопровод первого агрегата состоит из трех роторов турбины (РВД,
РСД и РНД) и ротора генератора, причем система роторов ВД и СД имеет
трехопорную конструкцию, опираясь на один общий подшипник. Второй
агрегат имеет шесть роторов (РВД, РСД, РНД-1, РНД-2, РНД-3 и РГ), каждый
из которых опирается на свою пару подшипников.
Рис. 2.18. Схемы валопроводов: а - турбоагрегата К-300-240; б - турбоагрегата К-800-240
Опоры (корпуса подшипников) устанавливаются либо непосредственно
на фундаменте (выносные опоры), либо размещаются в корпусах цилиндров,
например в ЦНД (встроенные опоры). В ряде случаев в одном корпусе могут
быть установлены два подшипника.
Таким образом, валопровод схематично представляет собой
многоопорную балку переменного сечения. Если принять, что опоры жесткие
(рис. 2.18), то, естественно, на каждом межопорном участке имеют место
72
собственные формы колебаний двухопорных балок, как это уже
рассматривалось ранее для отдельных роторов. Участки между двумя
смежными опорами разных роторов также можно рассматривать как некие
двухопорные валы. При этом собственные частоты этих участков чаще всего
значительно выше собственных частот роторов, поскольку эти участки имеют,
как правило, меньшие по сравнению с роторами длины и массы. При этом
следует сделать два замечания:
• собственные частоты роторов в системе валопровода, часто называемые
парциальными частотами роторов в системе валопровода, будут несколько
выше собственных частот отдельных роторов, поскольку при изгибных
колебаниях на муфтах возникает изгибной момент от соседних роторов,
противодействующий деформациям, т. е. ужесточающий отдельный ротор;
• собственные частоты валопровода представляют собой собственные
парциальные частоты всех входящих в валопровод межопорных пролетов
(роторов и участков валопровода между смежными опорами).
Нумерация собственных частот валопровода производится в порядке
возникновения резонансов отдельных роторов. На каждой критической частоте
динамическая линия прогиба валопровода (форма колебаний) отражает
преимущественное влияние одного из роторов, входящих в валопровод.
На рис. 2.19 представлено семь первых форм колебаний валопровода
турбины К-800-240 ЛМЗ на жестких опорах. При первой критической частоте
колебания валопровода определяются колебаниями ротора генератора по
первой форме собственных колебаний. Вторая критическая частота
валопровода определяется колебаниями ротора НД-2 по первой собственной
форме колебаний, третья, четвертая, пятая и шестая – аналогичными формами
колебаний роторов НД-1, СД, НД-3 и ВД соответственно. Седьмая критическая
частота определяется частотой второй собственной формы ротора генератора.
Признаком второй собственной формы, как и для отдельных роторов, является
наличие узловой точки в межопорном пролете роторов.
73
В реальных условиях валопровод опирается через масляную пленку на
вкладыши и корпуса подшипников. Масляный слой, вкладыши и корпуса
подшипников, а также элементы фундаментов, на которые они установлены, не
являются абсолютно жесткими, поэтому при наличии вынуждающей силы
происходят колебания всей системы турбоагрегат – фундамент.
Как и для отдельных роторов, собственные частоты валопровода с учетом
податливости опор снижаются, а собственные формы валопровода становятся
значительно сложнее. Тем не менее, как и для валопровода на жестких опорах,
каждая форма валопровода на податливых опорах чаще всего отражает
преимущественное влияние одного из роторов, входящих в валопровод. На
рис. 2.20 показаны формы колебаний того же валопровода турбоагрегата
К-800-240 ЛМЗ, рассчитанные с учетом податливости опор.
Из сравнения рис. 2.19 и 2.20 видно, что с учетом податливости опор
произошло не просто изменение резонансных частот колебаний отдельных
роторов в системе валопровода и валопровода в целом в сторону снижения этих
частот, но и изменение порядка возникновения резонансов роторов, входящих в
валопровод, и, следовательно, причин, определяющих формы колебаний
последнего. Так, если на жестких опорах вторая форма колебаний валопровода
определялась резонансом ротора НД-2 по первой собственной форме, то с
учетом податливости опор она определяется также резонансом по первой
форме колебаний, но уже ротора НД-1. Наоборот, третья форма колебаний
валопровода стала определяться резонансом ротора НД-2. Аналогичные
изменения произошли при колебаниях валопровода по четвертой и пятой
форме (поменялись местами резонансы роторов СД и НД-3).
74
Рис. 2.19. Формы колебаний многоопорного валопровода на жестких опорах
75
Рис. 2.20. Формы колебаний многоопорного валопровода на податливых опорах
76
2. КОЛЕБАНИЯ ВАЛОВ 39
2.1. Вал с диском по середине на жестких опорах без трения 39
2.2. Вал с диском по середине на податливых изотропных опорах без трения 47
2.3. Вал на податливых анизотропных опорах без трения 52
2.4. Вал с диском по середине на опорах с трением 57
2.5. Некоторые другие случаи колебаний однодискового ротора 62
2.5.1. Гироскопическое действие диска 62
2.5.2. Вал с анизотропностью 64
2.6. Колебания многодискового ротора 67
2.7. Валопроводы 70
77
рис.2.1. Верт. вал Жерицкий или Трухний (19.1 Жир.,Локай)
2.2. рис.3 гл.22 Биргер или 6.9 Костюк.
2.3. 19.1 Жир. Локай
2.4. 19.2 Жир. Локай
2.5. 6.4 Костюк или 3.17 Диментберг
2.6. 4 гл. 22 Биргер
2.7. Считать по 2.13
2.8. Считать по 2.12
2.9. Рис 6.10 Костюк
2.10. Считать 2.21
2.11. 6.12 Костюк, считать
2.12. 6.13 Костюк
2.13. Рис.5 гл.22 Биргер
2.14. 3.19 Димент., или 6,2 Костюк
2.15. 6.2 Костюк
77
3. ПРИЧИНЫ КОЛЕБАНИЙ ТУРБОМАШИН И ТУРБОАГРЕГАТОВ
3.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Роторы и валопроводы турбомашин являются как источниками вибрации,
так и объектами колебаний. При работе агрегата возникают как колебания
валопровода, так и вибрация корпусов подшипников, статорных частей
турбины, генератора и других агрегатов, приводимых турбиной. Вибрация
турбоагрегата вызывает вибрацию элементов фундамента.
Колебания валопровода и всей системы турбоагрегат – фундамент могут
быть вызваны многими причинами. В общем случае вибрация турбоагрегата
носит характер сложных (негармонических) периодических колебаний. Это
определяется тем, что при вибрирующей машине всегда имеется одновременно
несколько причин вибрации и что вибрация часто определяется факторами,
характеризующимися сложными нелинейными функциями (характеристиками
масляного слоя подшипников, податливостью опор и др.).
В работе [50] выделено четыре основных фактора, определяющих
колебания турбоагрегата. Из них только один является активным – силы,
вызывающие вибрацию. Остальные три – степень отстройки колеблющейся
системы от резонанса (динамический коэффициент), характеристика
демпфирования и жесткость системы – определяют интенсивность проявления
этих сил.
Большинство возмущающих сил, которые возникают в турбоагрегате и
вызывают вынужденные колебания роторов, как правило, кратны частоте
вращения валопровода и имеют близкий к гармоническому закону характер
воздействия. Поэтому колебания валопровода в большинстве случаев с
достаточной степенью точности могут быть представлены как
полигармонические, являющиеся результатом суперпозиции (наложения)
гармонических колебаний с частотами knf ππω 22 == , где k = 1, 2, 3 и т. д.
78
Первая гармоника (k =1) представляет собой колебания с частотой
вращения. Эти колебания носят название оборотной вибрации. Другие
гармоники (k = 2, 3 и т. д.) называются соответственно второй, третьей и т. д.
гармониками оборотной вибрации. Их также называют супергармониками [45].
Все вместе они носят название высокочастотной вибрации.
В спектре колебаний турбоагрегатов встречаются также колебания с
частотами ниже оборотной частоты. Эти колебания носят название
низкочастотных вибраций (НЧВ). Если низкочастотные вибрации имеют
частоты в два, три, четыре и т. д. раза ниже оборотной частоты, т. е. =k2
1,
3
1
и т. д., то они носят название субгармоник [45].
Кроме кратных (или очень близких к ним по частоте) колебаний, в
турбомашинах в ряде случаев возникают и некратные колебания, с частотами
как ниже, так и выше оборотной частоты. Обыкновенно частоты этих
колебаний определяются собственными частотами отдельных элементов
турбомашин. Низкочастотные некратные колебания возникают, например, при
развитии автоколебаний лопаток или роторов. Высокочастотные некратные
колебания возникают чаще всего в результате приложения к колебательной
системе импульсных нагрузок. Например, высокочастотные колебания лопаток
могут возникнуть в результате развития срывных явлений в проточной части.
Повторяющиеся кратковременные задевания ротора о статор в проточной части
или в уплотнениях часто вызывают колебания ротора с частотами собственных
форм, которые могут быть как выше, так и ниже частоты вращения.
Повышенная вибрация вызывает нарушения в работе всего турбоагрегата.
При повышенной вибрации ротора возможны задевания его о статор. Даже при
небольших и кратковременных задеваниях происходит износ уплотнений,
увеличиваются радиальные зазоры в проточной части и, как результат этого,
снижается экономичность. При значительных задеваниях может произойти
неупругий прогиб ротора или разрушение лопаточного аппарата. При сильной
вибрации возможны также нарушения надежности соединения отдельных
79
деталей и узлов: роторов в валопроводе, крышек и корпусов подшипников,
нижних и верхних половин вкладыша и т. д. Сильно вибрирующая турбина
приводит к вибрации площадок обслуживания, что значительно ухудшает
условия труда персонала. Вибрация агрегата, особенно низкочастотная, может
привести к разрушению элементов фундамента.
Все вышесказанное в полной мере относится не только к турбинам, но и
к другим турбомашинам – компрессорам, насосам, нагнетателям и т. д.
Большую опасность представляет вибрация генераторов. Она может привести к
смещению электрических обмоток, коротким замыканиям, разрушению
водородных уплотнений.
Опыт эксплуатации показывает, что примерно 20 % времени
вынужденных простоев связано с вибрационной наладкой. Большие затраты
времени и ресурсов часто связаны с вибрационной наладкой агрегатов после
средних и капитальных ремонтов. Но особенно больших затрат требует
вибрационная наладка и доводка турбоагрегатов новых конструкций. Так,
например, на исследование причин возникновения и устранение
низкочастотной вибрации турбоагрегатов, с которой столкнулись энергетики
при освоении блоков, имеющих сверхкритические параметры (К-300-240,
К-500-240, Т-250/300-240), уходило несколько лет.
Причины повышенной вибрации турбомашин очень разнообразны. Среди
основных причин необходимо назвать следующие:
• неуравновешенность роторов;
• дефекты соединения роторов в валопроводе;
• дефекты сборки турбоагрегатов, в частности дефекты в центровке проточной
части;
• неравножесткостность сечений роторов;
• дефекты шеек роторов и дефекты вкладышей;
• неконсервативные силы;
• внезапные динамические воздействия на роторы.
80
3.2. НЕУРАВНОВЕШЕННОСТЬ
Основной причиной вибрации с частотой вращения (оборотной
вибрации) является неуравновешенность.
Неуравновешенность ротора - это состояние ротора, характеризующееся
таким распределением масс, которое во время вращения вызывает переменные
нагрузки на опоры и его упругий изгиб. Неуравновешенность ротора
появляется как следствие несовпадения центров масс в поперечных сечениях
ротора с осью вращения, проходящей через эти сечения.
Надо заметить, что любой ротор под воздействием своего веса
прогибается в вертикальной плоскости (статический прогиб), и ось его
вращения, в общем случае, представляет собой кривую, лежащую в этой же
плоскости (веревочная кривая). Однако, как показано ранее в гл. 2, статический
прогиб равножесткого ротора не оказывает какого-либо влияния на его
вибрацию и, следовательно, при рассмотрении колебаний такого ротора можно
пренебречь его статическим прогибом, а его ось вращения можно представлять
как прямую, проходящую через подшипники (точнее, через центры шеек вала).
На вибрацию ротора с неравножестким сечением влияние статического
прогиба может быть чрезвычайно значимым (см. гл. 2). Вопрос состоит лишь в
том, насколько велика анизотропия ротора.
Статический прогиб не является абсолютной характеристикой жесткости
или гибкости вала, но косвенно их характеризует. Более важными, с точки
зрения динамики (вибрации) неуравновешенного вала, являются его упругие
динамические деформации, возникающие во вращающемся роторе под
воздействием поперечных центробежных сил, вызванных смещением центров
масс сечений относительно оси вращения. Если упругие динамические прогибы
ротора во всем рассматриваемом диапазоне частот вращения пренебрежительно
малы по сравнению с начальными смещениями центров масс
(эксцентриситетами), то такой ротор, действительно, можно рассматривать как
абсолютно жесткое тело. И тогда классическое понятие «жесткий ротор» в том
смысле, что рабочая частота вращения такого ротора лежит ниже первой
81
критической частоты, полностью совпадает с понятием жесткий ротор в смысле
абсолютно жесткого (недеформируемого) тела. Именно поэтому в ряде работ
рекомендуется считать «жесткими роторами» только те, рабочая частота
вращения которых не превосходит 0,4 ÷ 0,5 от значения первой критической
частоты и для которых динамические прогибы действительно значительно
меньше начальных эксцентриситетов.
Классическое понятие «гибкий ротор» как ротор, рабочая частота
вращения которого лежит выше первой критической частоты вращения, в
полной мере характеризует и гибкость ротора в смысле его деформируемости.
По крайней мере, при частотах вращения несколько выше первой критической
частоты вращения, а также вблизи других критических частот вращения (ротор
может иметь рабочие частоты вращения и выше второй, третьей критических
частот вращения и т. д.) упругие динамические прогибы соизмеримы или даже
на порядок и более превышают начальные эксцентриситеты.
Некоторая неоднозначность возникает при классификации роторов,
работающих ниже первой критической частоты вращения, но в диапазоне выше
0,4 ÷ 0,5 от первой критической частоты. В классическом понятии это
«жесткие» роторы, так как их рабочая частота вращения лежит ниже первой
собственной частоты. Но они не могут рассматриваться при этом как жесткие
тела. В частности, ротор, работающий на частоте вращения несколько меньшей
критической частоты, ни в коем случае нельзя относить к жестким в полном
понимании этого слова, так как он может иметь упругие прогибы, значительно
превышающие эксцентриситеты. И по многим своим свойствам, и по
требованиям, предъявляемым к технологическим процессам сборки
турбоагрегатов и балансировки роторов, такой ротор, скорее, может быть
отнесен к классу гибких роторов.
В связи с вышесказанным, чтобы избежать разночтения в терминологии,
можно рекомендовать деление всех роторов не на два, а на три типа: «жесткие»,
«жесткие упругодеформируемые», «гибкие».
82
И хотя словосочетание «жесткие упругодеформируемые роторы» не
очень созвучно, но такая классификация позволяет, оставаясь в рамках
классических определений, более полно судить о динамических свойствах
роторов.
Рассмотрим ротор, который является абсолютно жестким телом.
Тело, не подверженное действию внешних сил, вращающееся с
постоянной угловой скоростью вокруг одной из своих главных центральных
осей инерции, находится в состоянии динамического равновесия. Равновесие
характеризуется равенством нулю суммы всех неуравновешенных сил и суммы
всех моментов этих сил:
022 ===∑ ∑ ωω ememF
iii; (3.1)
[ ] 0][2 =⋅=⋅= ∑∑ ∑ ω
iiiiiielmFlM , (3.2)
где ie – эксцентриситеты масс im отдельных участков; e – эксцентриситет
полной массы ротора ∑=i
mm ; il – расстояние от начала координат до
точки приложения неуравновешенной силы iF .
Естественно, что если все массы ротора расположены таким образом, что
центры этих масс лежат на оси вращения, то неуравновешенных сил не
существует. Однако практически это не соблюдается, так как в процессе
изготовления ротора происходит смещение центров масс относительно
заданной опорами оси вращения. При этом главная центральная ось инерции не
будет совпадать с осью вращения. Можно представить два частных случая
смещения главной оси инерции относительно оси вращения: параллельное и
угловое смещения.
Параллельное смещение осей (рис. 3.1) будет определять статическую
неуравновешенность ротора, характеризуемую неравенством
022 ≠==∑ ∑ ωω ememF
iii. (3.3)
83
Рис. 3.1. Статическая неуравновешенность ротора
Это смещение может быть результатом технологических отступлений
при изготовлении ротора, например смещением на одинаковую величину шеек
ротора относительно бочки при их проточке или параллельным смещением оси
центрального отверстия или центральной расточки относительно оси бочки
ротора. Можно также представить, что параллельное смещение осей явилось
результатом установки на радиусе r уравновешенного ротора некоторого груза
массой гр
m в том же поперечном сечении, где и расположен центр масс ротора
или нескольких неуравновешенных масс, равномерно расположенных вдоль
образующей ротора, и т. д. В результате этого произойдет смещение центра
масс ротора и при его вращении с частотой ω возникнет неуравновешенная
центробежная сила, равная 22 ωω rmmeF
гр== , которая будет нагружать
опоры силами, вращающимися вместе с ротором.
Мерой неуравновешенности ротора является дисбаланс. Величина
дисбаланса D определяется произведением неуравновешенной массы на ее
расстояние от оси вращения. Для указанного случая rmmeDгр
== .
Вместе с тем для обнаружения неуравновешенности ротора в этом случае
совсем не обязательно вращать его. Если установить такой ротор на опоры
(призмы) и центр масс при этом изначально окажется не в нижней точке, то,
исходя из условий устойчивого равновесия, ротор перекатится таким образом,
84
что центр масс займет низшее положение (естественно, если крутящий момент
силы тяжести будет превосходить момент силы трения в опорах). Именно
потому, что указанный вид неуравновешенности может быть определен в
общем случае без вращения, т. е. в статике, он и носит название статической
неуравновешенности.
Угол между осью вращения ротора и его главной центральной осью
инерции (рис. 3.2) будет вызывать моментную неуравновешенность, которая
характеризуется неравенством
[ ] 0][2 ≠⋅=⋅= ∑∑ ∑ ω
iiiiiielmFlM . (3.4)
Рис. 3.2. Моментная неуравновешенность ротора
Этот частный случай неуравновешенности может возникнуть, например,
когда два груза массами 21 гргр
mm = расположены в одной продольной
плоскости на равном расстоянии от центра масс ротора, но при этом с разных
сторон ротора (на противоположных образующих), т. е. дисбалансы
направлены в противофазе друг к другу. Такая же неуравновешенность может
возникнуть, например, при угловом несовпадении шеек ротора с осью бочки,
угловом несовпадении оси сверления центрального отверстия или центральной
расточки с осью бочки ротора и во многих других случаях. Центр масс
жесткого ротора в этом случае будет лежать на оси вращения, но главная
85
центральная ось инерции не будет совпадать с осью вращения. Этот вид
неуравновешенности никаким образом не проявляет себя в статике, но стоит
начать вращение ротора, как возникает момент от центробежных сил. Такой
вид неуравновешенности носит название моментной неуравновешенности. Его
еще часто называют динамическим, поскольку проявляется он только при
вращении ротора (в динамике), но в соответствии с существующим стандартом
динамической неуравновешенностью принято называть общий случай, т. е.
когда имеется и статическая, и моментная неуравновешенность.
Обычно на неуравновешенном роторе присутствуют обе составляющие –
и статическая, и моментная неуравновешенности. Частный случай, когда
плоскости действия статической и моментной неуравновешенностей
совпадают, носит название квазистатической неуравновешенности ротора
(рис. 3.3). При этом главная центральная ось инерции будет пересекаться с
осью вращения вне плоскости, в которой лежит центр масс ротора. Если
плоскости действия статической и моментной неуравновешенностей лежат не в
одной продольной плоскости, то при этом главная центральная ось инерции и
ось вращения вообще не пересекаются, а только перекрещиваются в
пространстве (рис. 3.4).
Рис. 3.3. Квазистатическая неуравновешенность ротора
86
Рис. 3.4. Динамическая неуравновешенность ротора
Всякий ротор имеет множество дисбалансов, расположенных в
различных сечениях. Причины появления дисбалансов заключаются, как уже
указывалось, в неточностях при изготовлении роторов, в неоднородности
материала, из которого изготовлен ротор и его отдельные детали, в деформации
роторов под воздействием температурных полей и т. д.
Представив в общем случае локальные дисбалансы ротора как
iгрiii rmemDi
== , (3.5)
можно ввести понятия главный вектор дисбалансов ротора стD :
∑=iст
DD , (3.6)
и главный момент дисбалансов ротора DM , создаваемый на плече
L (расстояние между опорами) локальными дисбалансами, или, иначе говоря,
парой приведенных к опорам дисбалансов МD :
MD DLM ⋅= . (3.7)
Разделив выражения (3.3) и (3.4) на 2ω , можно получить
∑∑
≠=== 02 стi
i DemDF
ω, (3.8)
0][2
≠⋅==∑
MD
i DLMM
ω. (3.9)
87
Если рассматривать две плоскости, перпендикулярные к оси ротора и
проходящие через середины опор A и B двухопорного ротора, то главный
вектор дисбалансов может быть заменен его составляющими в плоскостях опор
(рис. 3.5), которые называют симметричными дисбалансами:
L
LDD B
стстA = ; L
LDD A
стстB = , (3.10)
а главный момент – парой дисбалансов, действующих в тех же плоскостях,
которые называют кососимметричными дисбалансами:
MBMA DD −= , (3.11)
где L
MDDD D
MMBMA === .
Сразу следует подчеркнуть, что в общем случае составляющие главного
вектора дисбалансов ротора стAD и стBD имеют разные значения,
параллельны друг другу и лежат в плоскости, проходящей через ось вращения
ротора и центр его масс. Это замечание связано с тем, что
балансировщики-практики часто понимают симметричную систему грузов (и,
следовательно, переносят это на систему дисбалансов) как систему
параллельных и равных по величине грузов. Такое понимание симметричной
системы возможно только для случая, когда центр масс расположен на равном
расстоянии от опор, например для симметричного ротора.
Векторы дисбалансов, определяющие главный момент дисбалансов
ротора MAD и MBD , равны по значению, параллельны, но направлены в разные
стороны, и лежат в плоскости, содержащей центральную ось инерции
(проходящую через центр масс и параллельную оси вращения) и главную
центральную ось инерции (рис. 3.5).
88
Рис. 3.5. Разложение дисбалансов на составляющие в плоскостях опор
Таким образом, в каждой плоскости опор будут действовать суммарные
векторы дисбалансов:
MAстAA DDD += ;
MBстBB DDD += .
Эти два вектора также полностью определяют динамическую
неуравновешенность жесткого ротора.
Для жестких упругодеформируемых роторов, рабочая частота вращения
которых лежит несколько ниже первой критической частоты, и для гибких
роторов, рабочая частота вращения которых лежит выше первой критической,
все вышесказанное так же справедливо, но только до тех пор, пока указанные
роторы могут рассматриваться как абсолютно жесткие тела. Как уже
указывалось, это справедливо до частот вращения, не превышающих 0,4 ÷ 0,5
от первой критической частоты. При частотах вращения выше указанных
приведение дисбалансов, распределенных вдоль оси ротора, к двум плоскостям,
89
в т. ч. к плоскостям опор, очень условно, поскольку характеризует
неуравновешенность этих роторов только при рассмотрении их как абсолютно
жестких тел.
Центробежные силы, возникающие при вращении жестких
упругодеформируемых и гибких роторов, в значительной степени зависят от
распределения дисбалансов вдоль оси. При приближении к соответствующей
критической скорости резко возрастают упругие деформации по
соответствующим собственным формам изгиба (рис. 3.6).
Рис. 3.6. Упругие деформации ротора по собственным формам
Величина центробежных сил определяется при этом не только и не
столько значениями исходных дисбалансов, характеризующихся
эксцентриситетами, сколько инерционными силами, возникшими в результате
смещения масс ротора относительно оси вращения. При одних и тех же
значениях главного вектора и главного момента дисбалансов ротора, в
зависимости от характера распределения дисбалансов по длине ротора,
величины упругих деформаций по соответствующим формам могут
существенно отличаться. Близость дисбаланса к пучностям по тем или иным
90
формам сопровождается увеличением упругих деформаций по
соответствующим собственным формам.
Так, например, если реальные симметричные дисбалансы iгрi rmDi
= в
виде двух грузов iгр
m , установленных на радиусах ir и создающих главный
вектор дисбалансов ротора ∑=iст
DD , располагаются в непосредственной
близости от опор, как это показано на рис. 3.7,а, то это не приведет к
каким-либо существенным упругим деформациям ротора при проходе
критических частот вращения. В то же время единичный дисбаланс,
расположенный в поперечном сечении центра масс ротора и имеющий ту же
величину, что и ранее имел главный вектор дисбалансов (рис. 3.7,б), вызовет
существенные деформации ротора при проходе всех нечетных критических
скоростей (первой, третьей и т. д.).
Теперь представим систему непрерывно распределенных вдоль оси
ротора дисбалансов iD , в сумме создающих тот же, что и ранее, главный
вектор дисбалансов ∑=iст
DD . Упругие деформации ротора на различных
частотах вращения и в этом случае в значительной степени зависят от
характера распределения дисбалансов. Если величины дисбалансов по длине
ротора изменяются пропорционально величинам прогибов по какой-либо одной
форме собственных колебаний ротора, то согласно принципу ортогональности
(см. гл. 1 и 2) это приведет к резкому увеличению прогибов ротора только по
данной форме колебаний и только при проходе соответствующей критической
частоты вращения (рис. 3.7,в).
91
Рис. 3.7. Возбуждение собственных форм колебаний при различных видах
распределения статического дисбаланса по длине ротора:
а - дисбалансы вблизи опор;
б - дисбаланс по середине ротора;
в - распределенные дисбалансы по первой форме
Данные примеры подтверждают, что для жестких упругодеформируемых
роторов и для гибких роторов определяющее значение имеют не величины
главного вектора дисбалансов и главного момента дисбалансов ротора, а
характер распределения дисбалансов вдоль оси ротора. В этом смысле более
правильным для указанных типов роторов является рассмотрение любой
системы дисбалансов как суммы распределенных дисбалансов по каждой из
собственных форм колебаний.
Указывая на неуравновешенность как на основную причину вибрации с
оборотной частотой, следует учитывать, что в ряде случаев
неуравновешенность может вызывать и колебания с другими частотами.
Вследствие нелинейности масляного слоя подшипников и нелинейности
характеристик опор, неустойчивости масляного слоя, возникновения особых
режимов работы подшипников и некоторых других причин, работа ротора с
очень большими величинами дисбалансов может сопровождаться не только
оборотной, но и высокочастотными, а по последним данным, и
низкочастотными вибрациями.
92
Особыми случаями неуравновешенности являются остаточный прогиб
ротора и его тепловой прогиб.
Остаточный прогиб ротора, представляющий собой искривление его
геометрической оси, может быть результатом неправильной эксплуатации
агрегата прежде всего на пусковых и переходных режимах, в результате
которой были допущены длительные задевания в уплотнениях, попадание воды
на разогретый ротор и другие нарушения нормальной работы. Один раз
возникнув, остаточный прогиб в дальнейшем не зависит ни от теплового
состояния ротора, ни от нагрузки агрегата (разумеется, если в дальнейшем не
возникали причины, вызывающие его). Поскольку остаточный прогиб ротора
чаще всего близок к деформациям по первой форме, то дисбаланс ротора,
вызванный смещением масс ротора от оси вращения, оказывает существенное
влияние на вибрацию агрегата прежде всего вблизи первой критической
частоты вращения.
Тепловой прогиб или тепловой дисбаланс ротора является следствием
неоднородности материала ротора и его тепловой нестабильности, асимметрии
температурного поля, изгибающих моментов, вызванных осевыми усилиями
при тепловых расширениях насадных деталей. Тепловой прогиб ротора может
возникать и при кратковременном задевании ротора о статорные элементы,
чаще всего в районе уплотнений, до тех пор, пока в результате местного
разогрева не возникнет остаточный прогиб. Тепловой прогиб, а следовательно,
и вибрация агрегата, зависят прежде всего от режима работы агрегата (его
теплового состояния).
До сих пор, говоря о вибрации агрегата под воздействием
неуравновешенного ротора, мы имели в виду радиальные составляющие
вибрации – вертикальную и поперечно-горизонтальную вибрации. Вместе с тем
при работе прогнутого ротора из-за угла наклона шеек ротора к поверхности
вкладышей и, следовательно, перераспределения нагрузки в течение одного
оборота по длине опорного подшипника возникают и осевые вибрации
опорных подшипников. Если для ротора характерны только упругие прогибы,
93
то осевые вибрации возникают прежде всего при проходе критических частот
вращения и их величины коррелируются с величинами вертикальной и
поперечно-горизонтальной вибраций. При правильной балансировке гибкого
ротора, как это будет показано в дальнейшем, одновременно с устранением
динамических реакций опор устраняются и упругие прогибы ротора, а
следовательно, и осевая вибрация. Если же ротор имеет остаточный или
тепловой прогибы, то осевую вибрацию устранить гораздо сложнее, а чаще
всего невозможно.
Для турбомашин значительные дисбалансы недопустимы, поскольку
являются причиной вынужденных колебаний машин, снижают их ресурс и
надежность вследствие появления усталостных, вибрационных и других
вредных явлений, в частности, оказывают вредное физиологическое
воздействие на организм людей.
Балансировка роторов – это технологический процесс совмещения
главной центральной оси инерции с осью вращения ротора. Балансировка
производится путем компенсации дисбалансов установкой корректирующих
масс (балансировочных грузов) в доступные плоскости коррекции
(балансировочные плоскости), перпендикулярные к оси вращения и
расположенные вдоль этой оси.
Полное устранение дисбалансов практически неосуществимо. Поэтому
их стремятся уменьшить до допустимых значений, исходя из технических,
экономических и санитарных требований.
Балансировка вращающихся тел является одним из основных средств
уменьшения вибрации и увеличения надежности и долговечности машин и
приборов.
3.3. ДЕФЕКТЫ СОЕДИНЕНИЯ РОТОРОВ В ВАЛОПРОВОДЕ
Дефекты сборки и соединения роторов в валопровод прежде всего
проявляются при соединении роторов жесткими и полужесткими муфтами.
94
Соблюдение соосности шеек смежных роторов − незыблемое правило
соединения роторов в валопровод. В соединенном состоянии желательно
вообще не допускать параллельного смещения и наклона шеек соединяемых
роторов. Первый вид несоосности называется коленчатостью, второй - изломом
осей (рис. 3.8). Однако поскольку избежать этого полностью невозможно, то
допустимые величины коленчатости и излома осей строго регламентируются.
Рис. 3.8. Коленчатость (а) и излом (б) осей
Влияние коленчатости на вибрационное состояние в значительной мере
зависит от принятой схемы опирания смежных роторов. Для четырехопорной
схемы (рис. 3.9,а), имеющей две смежные опоры, между которыми
расположено соединение роторов, влияние коленчатости на вибрационное
состояние существеннее, чем для трехопорной конструкции (рис. 3.9,б).
Рис. 3.9. Схемы опирания смежных роторов
Особенно значительным это влияние будет при жесткой конструкции
соединения и при малом расстоянии между смежными опорами. В этом случае
значительные динамические нагрузки на подшипники возникают из-за
95
перераспределения статических (весовых) нагрузок на опоры: реакция каждой
из опор меняется в пределе от нуля до максимального значения, когда весовая
нагрузка от двух роторов воспринимается то одной, то другой опорой
(рис. 3.10,а и 3.10,б). Колебания опор при этом будут находиться чаще всего в
противофазе. Если опоры связаны между собой, например находятся в одном
корпусе или опираются на один ригель (а так чаще всего для смежных опор и
бывает), в спектре колебаний появляется вторая гармоника (колебания с
двойной частотой по отношению к оборотной). Это происходит за счет того,
что на корпус или ригель, хотя и в разных местах, но дважды за один оборот
ротора, поочередно прикладывается сила одного направления. Одновременно
за счет косого нагружения корпуса подшипников или кручения ригеля
возникает значительная осевая вибрация (рис. 3.10,в).
Рис. 3.10. Схема нагружения сопряженных подшипников, находящихся в одном корпусе, при
коленчатости соединения валов
96
Вибрацию от коленчатости при четырехопорной схеме практически
невозможно устранить путем балансировки.
При трехопорной конструкции, особенно при достаточной гибкости
роторов, коленчатость соединения в значительной степени сводится к
неуравновешенности и, следовательно, в значительной степени может быть
устранена балансировкой валопровода в собственных опорах.
Излом осей смежных роторов оказывает значительно меньшее влияние
на вибрацию смежных опор в четырехопорной конструкции, но существенно
влияет на промежуточную опору в трехопорной конструкции и на вибрацию
дальних опор при любой схеме опирания (эффект маятника). В худших
условиях при этом находится та удаленная опора, на которую опирается более
легкий ротор, или та, в которой имеется свободный конец валопровода. Этим
условиям удовлетворяет первая опора турбины. Поэтому излом осей особо
опасен между роторами СД и ВД, а вибрации от маятника наиболее подвержен
первый подшипник, особенно в поперечном направлении. Излом осей может
быть в некоторой мере (но не полностью) компенсирован балансировкой
валопровода.
Несоосность роторов − дефект монтажного характера, который
проявляется при первом же пуске из монтажа или ремонта. Несоосность
роторов в процессе эксплуатации может возникнуть только в случае
недостаточной надежности соединения полумуфт (например, при
прослабленных болтах) или при некачественной посадке полумуфт на роторы.
97
3.4. НЕРАВНОЖЕСТКОСТНОСТЬ СЕЧЕНИЙ РОТОРОВ
Вибрация двойной частоты возникает при наличии изгибной анизотропии
ротора (рис. 3.11).
Рис. 3.11. Сечение ротора двухполюсного генератора
Изгибная анизотропия ротора особенно характерна для роторов
генераторов с частотой вращения 50 с-1
. Такой генератор имеет два полюса, т. е.
две обмотки, размещенные на противоположных сторонах ротора.
Конструктивное выполнение мест расположения обмоток приводит к
снижению жесткости ротора в этом сечении на 20÷40 %. Низкооборотные
генераторы (на частоту вращения 25 с-1
) менее подвержены анизотропии, так
как имеют четыре полюса.
Изгибная анизотропия роторов турбин в общем случае весьма
незначительна. Причинами анизотропии могут служить шпоночные пазы на
валу, неравномерный по окружности натяг насадных дисков и т. д. Но ряд
возникающих дефектов сопровождается резким нарушением изотропии
роторов. Так происходит при появлении поперечной трещины в роторе,
разрушении стяжного крепежа в сборных роторах, разрушении болтов в
соединительных элементах валопровода (полумуфтах, креплении насосного
вала к ротору и т. д.). Увеличение оборотной, а также появление значительной
высокочастотной вибрации, в т. ч. и с двойной частотой, для таких роторов
служит признаком развития перечисленных дефектов.
98
3.5. ДЕФЕКТЫ ШЕЕК РОТОРОВ
К точности изготовления шеек ротора предъявляются жесткие
требования. Они прежде всего определяют предельные отклонения сечения
шейки от круга. В общем случае такие шейки имеют бесконечное число граней,
и их поверхность в любом сечении может быть описана в виде ряда, первым
членом которого является эллипсность. Эллиптичность шеек является
результатом низкого качества изготовления или низкого уровня технологии
изготовления роторов, результатом износа шеек роторов при длительной работе
с разрушенной баббитовой заливкой вкладышей или при использовании
грязного масла. При эллиптичности (овальности) шеек возникает
колебательное движение шейки, что вызывает колебания всего ротора с
двойной частотой по отношению к оборотной. Эллиптичность шеек также
нормируется допусками на отклонение сечения шейки от кругового.
3.6. НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИЛЫ
Эти силы являются причиной возникновения самовозбуждаемых
колебаний (автоколебаний) ротора с частотами ниже оборотной частоты. Такая
вибрация, как уже указывалось, носит название низкочастотной вибрации
(НЧВ). Одной из основных особенностей автоколебаний является
лавинообразный характер их возникновения [59], т. е. амплитуда колебаний при
потере устойчивости резко возрастает до некоторой предельной величины
(рис. 3.12). Если этот срыв происходит при достижении какой-либо мощности
или какой-либо частоты вращения, то эти значения мощности и частоты
вращения называют «пороговыми».
Другой особенностью автоколебаний является процесс «затягивания»,
заключающийся в том, что после возникновения автоколебаний прекратить их
можно только снижением соответственно мощности или частоты вращения до
значений, значительно ниже пороговых (рис. 3.12).
99
Рис. 3.12. Срыв в автоколебания при достижении пороговой мощности Nп и эффект
«затягивания» автоколебаний при снижении нагрузки (А - амплитуда колебаний)
При НЧВ случайно возникшее отклонение вала от положения
устойчивого равновесия сопровождается появлением сил, которые
поддерживают эти колебания, усиливают их даже после того, как причина,
вызвавшая начальное отклонение, исчезла. Именно такие колебания в технике
носят название автоколебаний, а переход в режим автоколебаний,
сопровождающийся резким ростом вибрации, называют потерей устойчивости,
или срывом в НЧВ.
Корень проблемы, касающейся потери устойчивости, лежит в
конструкции ротора и его вибрационных характеристиках. Жесткие роторы
практически не подвержены НЧВ. Потеря устойчивости характерна именно для
гибких роторов и прежде всего для роторов, собственная частота которых
лежит близко к половине рабочей частоты вращения.
По источникам, вызывающим НЧВ, вибрацию принято делить на
масляную и паровую.
100
3.6.1. Масляная вибрация
Понимание причины возникновения автоколебаний в масляном слое
подшипника можно получить из простой модели [63], представленной на
рис. 3.13.
Рис. 3.13. Схема возникновения масляной вибрации
Представим, что невесомая шейка ротора вращается в расточке
подшипника, заполненного маслом, и центр шейки О совпадает с центром
расточки O1. Естественно, что вязкое масло, находящееся в зазоре между
шейкой и поверхностью подшипника, вращается, увлекаемое шейкой ротора.
При этом окружная скорость масла на поверхности шейки равна скорости
шейки, а на поверхности подшипника масло имеет скорость, равную нулю.
Можно допустить, что скорость течения масла в зазоре меняется по линейному
закону, и тогда секундный расход масла на единицу длины подшипника будет
равен
.5,0 шrG ω∆= (3.12)
Представим себе, что в какой-то момент возникла случайная сила,
сместившая шейку ротора вниз на величину е , и после этого исчезла. При этом
101
расход масла над шейкой )(1
G увеличится, а под шейкой )(2
G уменьшится,
став соответственно
шreG ω)(5,01
+∆= , (3.13)
шreG ω)(5,02
−∆= . (3.14)
Таким образом, в зазор слева от ротора должно поступить
дополнительное количество масла, равное разнице объемных расходов
.21 шreGG ω=− (3.15)
Поскольку масло − жидкость практически несжимаемая, то в указанной
области возникнет повышение давления и появится сила C , стремящаяся
сдвинуть шейку вправо таким образом, чтобы создать слева от шейки
дополнительный объем для размещения дополнительного количества масла.
Таким образом, случайное смещение шейки вниз должно привести к
возникновению боковой силы, перпендикулярной к смещению. Но если под
действием этой силы ротор сместится вправо, то должен уменьшиться боковой
зазор справа, а это в свою очередь приведет к появлению силы, действующей
снизу вверх, и т. д.
Поскольку эти перемещения силы и шейки непрерывны, то можно
сказать, что кроме вращения шейки вокруг своей оси появилось движение в
виде вращения центра шейки вокруг оси расточки, называемое прецессией
шейки. Сила, вращающаяся совместно с прецессирующей шейкой, носит
название циркуляционной. Это вращение будет происходить с некой угловой
скоростью Ω , которая определится из условия, что за единицу времени будет
дополнительно освобождаться объем, равный разнице объемных расходов.
Легко убедиться, что этот объем будет равен шerΩ≈ 2 . Подставив это
выражение в (3.15), можно получить
2/ω=Ω . (3.16)
Таким образом, масляные циркуляционные силы вызывают прецессию с
частотой, равной половине частоты вращения.
102
Реальное течение масла в подшипнике значительно сложнее, чем в
рассмотренной нами модели. Но основные выводы о причинах появления
циркуляционных сил и появления в результате их воздействия прецессии вала с
частотой, равной половине частоты вращения, остаются справедливыми.
Правда, это не значит, что при случайном смещении шейки всегда будут
возникать автоколебания. Это связано с тем, что в масляном слое существуют
одновременно упругие и демпфирующие силы, препятствующие этим
колебаниям. Возникнет или не возникнет интенсивная вибрация − зависит от
соотношения возбуждающих, упругих и демпфирующих сил.
Исследования и практический опыт показывают, что определяющим в
возможности возникновения НЧВ является положение шейки в расточке.
Шейка может занимать положение от самого нижнего, когда ротор не
вращается, до самого верхнего, совпадающего с центром расточки при
бесконечно большой скорости вращения (этот процесс изменения положения
шейки с ростом частоты вращения называется всплытием шейки). Появление
НЧВ для обычных подшипников становится наиболее вероятным только после
того, как ротор всплывает на величину более 30 % от максимально возможной.
Всплытие шейки вала определяется критерием нагруженности
подшипника, который учитывает давление на нижнюю половину вкладыша p ,
относительный зазор во вкладыше ψ , динамическую вязкость масла µ и
частоту вращения:
)./(2 µωψpS = (3.17)
Чем меньше значение критерия нагруженности, тем существенней
всплытие и тем больше вероятность потери устойчивости. Анализируя формулу
(3.17), можно сделать очень важные выводы о влиянии отдельных факторов на
устойчивость к НЧВ:
• С ростом частоты вращения вероятность срыва в НЧВ возрастает.
• С ростом температуры масла (с уменьшением вязкости масла) всплытие
уменьшается и уменьшается вероятность потери устойчивости.
103
• С ростом удельного давления на нижнюю половину вкладыша вероятность
потери устойчивости уменьшается. Важно понимать, что удельное давление
определяется не только силой веса ротора, но и дополнительными
статическими силами, возникающими в проточной части. Примером таких
сил могут быть вертикальные составляющие окружных сил, возникающие
при парциальном подводе пара. При различном порядке открытия клапанов
опоры могут нагружаться или разгружаться. Нагруженность опор зависит
также от монтажной центровки, эксплуатационной тепловой расцентровки
опор, степени стесненности расширения (поворота ригелей - поперечных
балок фундамента). В определенных условиях разгрузка одной или
нескольких опор может привести к потере устойчивости.
• Несколько сложнее обстоит дело с влиянием зазоров в подшипнике. Из
формулы критерия нагруженности следует, что увеличение относительного
зазора увеличивает устойчивость. Это справедливо, если речь идет о зазоре
между шейкой и вкладышем при сохранении геометрических соотношений
вкладыша. Если же рассматривается потолочный (верхний) зазор без
изменения боковых зазоров, то его увеличение приведет к снижению
устойчивости, так как в этом случае происходит изменение геометрии
подшипника, т. е. изменение его конструкции, и, как правило, к увеличению
всплытия ротора.
Вообще, устойчивость к масляной вибрации может быть повышена путем
использования специальных конструкций подшипников: с лимонной расточкой,
с подачей масла непосредственно перед клином, двухклиновых, сегментных.
Например, сегментные самоустанавливающиеся подшипники в принципе
исключают возникновение циркуляционных сил, так как при любом смещении
шейки опорные колодки устанавливаются таким образом, что сила реакции
противодействует смещению шейки.
Вместе с тем следует подчеркнуть, что разные конструкции подшипников
имеют и разную степень демпфирования колебаний. Наилучшими
104
демпфирующими свойствами обладают подшипники с лимонной расточкой
вкладыша.
Если источником вибрации является масляная вибрация, то применение
сегментных подшипников может оказаться очень эффективным средством
борьбы с ней. Но если источником вибрации является другая причина, то при
использовании тех же сегментных подшипников могут быть получены и
отрицательные результаты в виде ухудшения вибрационного состояния
турбоагрегата.
3.6.2. Паровая вибрация
Циркуляционные силы могут возникать не только в подшипниках, но и в
проточной части, в уплотнениях.
По месту возникновения возмущающих газодинамических сил принято
делить их на венцовые, бандажные и силы в уплотнениях.
Венцовые силы возникают, как следует из названия, на венце рабочих
лопаток. Природа венцовых сил состоит в том, что при неравномерной
протечке пара через радиальные зазоры над рабочими лопатками
перераспределяются и расходы пара через каналы рабочих лопаток: там, где
зазоры больше, расходы пара через рабочие лопатки меньше и окружная сила,
приложенная к лопаткам, меньше; там, где зазоры меньше, расходы пара через
лопатки и окружные силы больше. Неравномерность окружной силы приводит
к появлению дополнительной силы C , приложенной к центру вала
перпендикулярно вектору смещения (рис. 3.14).
В появлении такой силы еще ничего опасного нет, если ротор при этом
остается в положении равновесия. Более того, расцентровка ротора в проточной
части может быть использована для повышения устойчивости на масляном слое
путем создания дополнительной статической силы. Но если отклонение
произошло под действием какой-то случайной причины динамического
характера, вызвавшей одновременно упругий прогиб ротора, то начавшиеся
колебания ротора с собственной частотой могут не затухать, а поддерживаться
105
венцовой силой, частота которой в свою очередь определяется частотой
колебания ротора. В этом случае очень вероятны «раскачка» ротора и
лавинообразный вход в режим автоколебаний, т. е. сила увеличивает колебания,
а возрастающие колебания приводят к возрастанию силы.
Рис. 3.14. Возникновение паровой венцовой циркуляционной силы в ступени турбомашины
Бандажные силы возникают вследствие появления окружной
неравномерности поля скоростей и, следовательно, давлений вдоль окружности
бандажа из-за смещения ротора. Причиной неравномерности является вихрь в
камере бандажного уплотнения и совпадающие или противоположные ему по
направлению потоки пара, вытесняемые из-за колебаний ротора. В зоне
противоположных по направлению потоков создается повышенное давление, а
в зоне совпадающих – пониженное (рис. 3.15).
106
Рис. 3.15. Возникновение паровой бандажной циркуляционной силы в ступени турбомашины
Силы в уплотнениях, возникающие в других, например концевых или
промежуточных, уплотнениях, по своему происхождению близки к бандажным
силам.
Общим для всех паровых циркуляционных сил является то, что их
частота регулируется собственной частотой ротора. Кроме того, эти силы
зависят от параметров пара, прежде всего от давления пара и перепада
давлений на ступень.
Бандажные силы и силы в уплотнениях зависят также от закрутки потока.
Уменьшение закрутки потока в камерах уплотнений уменьшает величину сил.
Методы борьбы с паровыми циркуляционными силами сводятся к
созданию уплотнений, расход через которые мало бы зависел от положения
ротора, что уменьшает венцовые силы (рис. 3.16), к уменьшению ширины
107
лопатки и, следовательно, площади бандажа, на которую действуют бандажные
силы, к уменьшению закрутки потока в уплотнениях [4, 5, 32, 63].
Рис. 3.16. Надбандажные уплотнения: а - типовые; б, в, г- виброустойчивые
3.7. ВНЕЗАПНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА РОТОРЫ
К основным внезапным динамическим воздействиям на ротор или
валопровод относятся:
а) внезапная разбалансировка ротора при поломке и обрыве рабочих
лопаток;
б) короткое замыкание в цепи электрического генератора или
несинфазное его включение;
в) сейсмическое воздействие на агрегат.
Эти и другие внезапные динамические воздействия вызывают
переходные процессы колебаний роторов, валопровода, фундамента. При этом
резко изменяются вибрации как с оборотной и кратными ей частотами, так и с
собственными частотами указанных систем [33, 72].
После завершения переходного процесса вибрационное состояние
агрегата может вернуться к исходному, например, если сейсмическое
воздействие или несинфазное включение генератора не привело к каким-либо
разрушениям конструкции, или перейти к новому вибрационному состоянию,
как это происходит, например, при вылете лопатки. Кратковременное
динамическое воздействие может также привести к потере устойчивости и
срыву агрегата в НЧВ.
108
Вместе с тем необходимо отметить, что даже при вылете лопатки,
особенно лопатки, расположенной в средней части ротора, имеют место случаи,
когда изменения вибрационного состояния агрегата могут быть очень
незначительны.
Это объясняется тем, что практически все роторы современных турбин
являются гибкими и рабочая частота вращения их в два и более раза
превышает критическую частоту вращения, соответствующую колебаниям
ротора по первой форме. Известно, что для роторов, работающих достаточно
далеко за критической частотой вращения, характерен эффект
самоцентрирования (см. Гл. 2), когда прогиб ротора от действия дисбаланса
направлен в сторону, противоположную дисбалансу.
Внезапная разбалансировка ротора приводит вначале к резкому
изменению амплитуд вынужденных колебаний и к возникновению колебаний с
собственными частотами ротора. Возникшие собственные колебания быстро
затухают вследствие трения, а установившиеся вынужденные колебания
определяются взаимодействием возникшего дисбаланса и вызванного им
прогиба ротора. Явление самоцентрирования вала за критической скоростью
обеспечивает устойчивую работу машины с небольшими вибрациями,
поскольку возникающий прогиб ротора в значительной степени компенсирует
центробежную силу от дисбаланса.
3.8. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ПРИЧИНЫ ПОВЫШЕННОЙ ВИБРАЦИИ
3.8.1. Расцентровки по полумуфтам
Взаимное положение осей соседних роторов при разобранных муфтах
характеризует их центровку. Расцентровкой называют отклонение осей
роторов, определяемое положением осей подшипников, на которые роторы
опираются [14]. Различают два вида расцентровок по муфтам: радиальную и
торцевую. Радиальная расцентровка – расстояние между осями соседних
роторов в плоскости муфты, торцевая – угол между этими осями.
109
Важно отметить, что расцентровка по муфтам не имеет ничего общего с
дефектами сопряжения роторов: коленчатостью и изломом оси. Центровка
достигается изменением положения вкладышей подшипников в вертикальном
и поперечно-горизонтальном направлениях. После сборки жестких муфт
положение осей роторов определяется качеством их сопряжения, а
расцентровка определяет только величину опорных реакций подшипников.
Способы измерения и изменения центровки описаны в [6, 9, 38].
Введение расцентровок на холодной машине определяется
необходимостью оптимизации опорных реакций при работающей машине, т. е.
положение опор изменяется под воздействием тепловых деформаций
фундамента и опор, а также под воздействием вакуума в конденсаторе.
Оптимальными в общем случае расцентровками на холодной машине будут
такие, которые при прогреве агрегата и при его основных режимах работы
обеспечивают опорные реакции, близкие к опорным реакциям разделенных по
полумуфтам роторов. В отдельных случаях даже в рабочем состоянии бывает
целесообразным увеличить опорные реакции одних подшипников и уменьшить
других. Так, например, поступают с целью повысить устойчивость агрегата к
масляной НЧВ, поскольку критерий нагруженности, в который входит давление
на нижнюю половину вкладыша, в значительной мере определяет устойчивость
агрегата к НЧВ (п. 3.6.1).
Расцентровка жестких муфт не создает сама по себе возмущающих сил.
Но изменение опорных реакций приводит прежде всего к изменению жесткости
масляного клина, а следовательно, к изменению приведенной жесткости опор.
Это вызывает изменение собственных частот и собственных форм колебаний
валопровода и возможное смещение резонансов, в т. ч. и приближение их к
рабочей частоте вращения. При наличии остаточных дисбалансов роторов это
может сопровождаться существенным изменением вибрационного состояния
агрегата при изменении режима его работы.
Расцентровка полужестких муфт приводит к тем же последствиям, но,
возможно, несколько более мягким. Роторы с подвижными муфтами ведут себя
110
при расцентровке иначе, и расцентровка может сопровождаться появлением
возмущающих сил [14, 50].
В то же время расцентровка оказывает влияние на уровень динамических
напряжений соединительных болтов муфт. Случаи разрушения болтов при
наличии значительных расцентровок известны и не единичны.
3.8.2. Тепловой дисбаланс и электромагнитные силы
в электромашинах
Среди ранее рассмотренных причин вибрации роторных машин часть
причин особенно характерна для турбогенераторов. В первую очередь это
неравножесткостность роторов, возникающая из-за их конструктивных
особенностей. Именно поэтому, исследуя влияние этого фактора на вибрацию
машин, мы использовали в качестве примера ротор генератора,
разножесткостность которого значительно превышает имеющую место
конструктивную разножесткостность роторов турбин. При этом следует
отметить, что разножесткостность как турбинных, так и генераторных роторов
может значительно возрастать при таких дефектах, как развитие поперечных
трещин или разрушение стяжных элементов сборных роторов.
Другой характерной причиной, вызывающей повышение вибрации
турбогенераторов, может являться тепловой прогиб роторов (тепловой
дисбаланс). Тепловой прогиб в роторах генераторов и других электрических
машин возникает в связи асимметрией температурного поля ротора,
возникающей при неравномерном тепловыделении, вызванном межвитковым
замыканием обмоток ротора, а также при неравномерном охлаждении ротора,
возникающем при дефектах в системе охлаждения.
Наряду с ранее рассмотренными причинами существуют также и
причины электромагнитного характера.
В результате того же межвиткового замыкания в роторе генератора
возникает магнитная асимметрия ротора. При закорачивании части витков
111
одного полюса ротора генератора нарушается распределение магнитной
индукции и изменяются радиальные силы между железом ротора и статора.
При этом появляется одностороннее притяжение ротора к статору по оси
полюсов. Односторонняя сила магнитного притяжения вызывает колебания с
частотой вращения ротора.
Другой причиной появления возмущающих сил электромагнитного
характера может являться неравномерность воздушных зазоров между ротором
и статором. При этом возможны два варианта неравномерности зазоров.
В первом случае неравномерность зазоров может быть вызвана
эксцентричностью ротора, и тогда неравномерность зазора и, следовательно,
магнитного притяжения привязана к ротору, вращается вместе с ним и
вызывает, как и при межвитковых замыканиях, вибрацию с частотой вращения.
Во втором случае неравномерность зазоров может возникнуть при
расцентровке ротора в расточке статора. Поскольку в данном случае
неравномерность притяжения определяется неравномерностью зазора, которая
неподвижна относительно статора, т. е. привязывается к статору генератора, то
за один оборот количество возмущений будет равно числу полюсов ротора.
Таким образом, для двухполюсного ротора с частотой вращения 3000 мин-1
частота возмущающей силы будет равна удвоенной частоте вращения, т. е.
100 Гц.
Под воздействием взаимного магнитного притяжения происходит
вибрация не только ротора, но и статора. Электромагнитное воздействие
магнитного поля ротора на статор сопровождается деформированием расточки
статора и вызывает вибрацию железа статора с частотой, также равной
удвоенной частоте вращения.
112
3.ПРИЧИНЫ КОЛЕБАНИЙ ТУРБОМАШИН И ТУРБОАГРЕГАТОВ ................. 77
3.1.Общие положения..................................................................................................................................... 77
3.2.Неуравновешенность ............................................................................................................................... 80
3.3.Дефекты соединения роторов в валопроводе ...................................................................................... 93
3.4.Неравножесткость сечений роторов; .................................................................................................... 97
3.5.Дефекты шеек роторов;........................................................................................................................... 98
3.6.Неконсервативные силы; ....................................................................................................................... 98
3.6.1.Масляная вибрация .......................................................................................................................... 100
3.1.2.Паровая вибрация ............................................................................................................................ 104
3.7.Внезапные динамические воздействия на роторы. .......................................................................... 107
3.8.Некоторые другие причины повышенной вибрации ...................................................................... 108
3.8.1.Расцентровки по полумуфтам. ........................................................................................................ 108
3.8.2.Электромагнитные силы в электромашинах ................................................................................. 110
113
рис.3.1, (стр43 Гост19534, черт.4)
рис.3.2, (стр43 Гост19534, ч.5)
рис 3.3. (стр43 Гост19534, ч.6)
рис. 3.4 (стр43 Гост19534, ч.7)
рис. 3.5, (стр43 Гост19534, ч.8)
рис. 3.6. три собств.формы
рис.3.7. при одном и томже главном векторе дисбалансов
а) дисбалансы вблизи опор
б) дисбаланс по середине ротора
в) распред. дисбалансы по первой форме
рис. 3.8. коленчатость и излом осей
рис.3.9. четырех (а) и трехопорные (б) констркции с коленчатостью
рис.3.10 а) и б) - коленчатость в двух смежных подшипниках (два
положения валопровода); в) осевая вибрация
3.11. анизотропия ротора генератора
3.12 срыв в нчв и гистерезис
3.13. модель для масляной НЧВ
3.14. модель венцовой паровой НЧВ
3.15. модель бандажной НЧВ
3.16. осерад. Уплотн. Привести собств изобретения
113
4. БАЛАНСИРОВКА РОТОРОВ
4.1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Балансировка роторов – технологический процесс компенсации их
дисбалансов путем установки корректирующих масс (балансировочных грузов)
в доступные плоскости коррекции (балансировочные плоскости).
Происхождение неуравновешенности роторов и влияние неуравновешенности
на вибрацию в основном рассмотрено в гл.3.
Ниже приведены основные термины, используемые в науке, технике и
производстве в области балансировки вращающихся тел. Термины,
приводимые в ГОСТ 19534-74 «Балансировка вращающихся тел, термины»
полностью охватывают все основные понятия в области балансировки и
исключают возможность их различного толкования.
Вместе с тем ряд терминов, использующихся в области балансировки,
имеют более широкое применение. В настоящей работе давались другие
толкования некоторых терминов. В качестве примера можно привести
толкование термина «гибкие роторы». Ранее этот термин использовался в
тексте и толковался так, как это принято в области теории колебаний,
объясняющей суть изучаемых явлений, в области машиностроения, в частности
в турбостроении, определяя зону рабочих частот вращения роторов
относительно первой критической частоты вращения, и т. д.
Следует также иметь в виду, что цитируемый стандарт в некоторых своих
положениях просто устарел. Введенный в 1974 г., он до настоящего времени ни
разу не пересматривался. В то же время в ГОСТ ИСО 11342 – 95 «Методы и
критерии балансировки гибких роторов» используется новая классификация и
некоторые новые или обновленные термины и понятия. Они даются также ниже
со ссылкой на этот стандарт.
Неуравновешенность ротора – состояние ротора, характеризующееся
таким распределением масс, которое во время вращения вызывает переменные
нагрузки на опорах ротора и его изгиб.
114
Статическая неуравновешенность ротора – неуравновешенность
ротора, при которой ось ротора и его главная центральная ось инерции
параллельны.
Моментная неуравновешенность ротора – неуравновешенность
ротора, при которой ось ротора и его главная центральная ось инерции
пересекаются в центре масс ротора.
Динамическая неуравновешенность ротора – неуравновешенность
ротора, при которой ось ротора и его главная центральная ось инерции
пересекаются не в центре масс или перекрещиваются.
Квазистатическая неуравновешенность ротора – неуравновешенность
ротора, при которой ось ротора и его главная центральная ось инерции
пересекаются не в центре масс ротора.
Эксцентриситет массы – радиус-вектор центра рассматриваемой массы
относительно оси ротора. Обозначение: e
[мм].
Точечная неуравновешенная масса – условная точечная масса с
заданным эксцентриситетом, вызывающая во время вращения ротора
переменные нагрузки на опорах и его изгиб. Обозначение: m [грамм].
Дисбаланс – векторная величина, равная произведению
неуравновешенной массы на ее эксцентриситет. Обозначение: emD
⋅=
[грамм·мм].
Значение дисбаланса – числовое значение, равное произведению
неуравновешенной массы на модуль ее эксцентриситета. Обозначение: D
.
Угол дисбаланса – угол, определяющий положение вектора дисбаланса в
системе координат, связанной с осью ротора.
Термическая нестабильность дисбалансов ротора – изменение
дисбалансов ротора вследствие изменения его температуры.
Режимное изменение дисбалансов ротора – изменение дисбалансов
ротора, вызываемое различными условиями работы и режимами нагружения.
115
Корректирующая масса – масса, используемая для уменьшения
дисбалансов ротора.
Балансировка ротора – процесс определения значений и углов
дисбалансов ротора и уменьшение их корректировкой его масс.
Балансировка статическая – балансировка, при которой определяется и
уменьшается главный вектор дисбалансов ротора, характеризующий его
статическую неуравновешенность.
Балансировка моментная – балансировка, при которой определяется и
уменьшается главный момент дисбалансов ротора, характеризующий его
моментную неуравновешенность.
Балансировка динамическая – балансировка, при которой определяются
и уменьшаются дисбалансы ротора, характеризующие его динамическую
неуравновешенность.
Плоскость коррекции – плоскость, перпендикулярная оси ротора, в
которой расположен центр корректирующей массы.
Плоскость измерения дисбаланса – плоскость, перпендикулярная оси
ротора, в которой измеряют значение и угол дисбаланса.
Удельный дисбаланс – отношение модуля главного вектора дисбалансов
к массе ротора.
Точность балансировки – характеризуется произведением удельного
дисбаланса на наибольшую частоту вращения ротора в эксплуатационных
условиях.
Жесткий ротор – ротор, который сбалансирован на частоте вращения,
меньшей первой критической в двух произвольных плоскостях коррекции, и у
которого значения остаточных дисбалансов не будут превышать допустимые на
всех частотах вращения вплоть до наибольшей эксплуатационной.
Гибкий ротор – ротор, который сбалансирован на частоте вращения,
меньшей первой критической в двух произвольных плоскостях коррекции, и у
которого значения остаточных дисбалансов могут превышать допустимые на
иных частотах вращения вплоть до наибольшей эксплуатационной.
116
Классификация роторов и некоторые определения, устанавливаемые
ГОСТ ИСО 11342-95:
Класс 1. Жесткий ротор. Балансировка роторов этого класса может быть
проведена с использованием двух произвольно выбранных плоскостей
коррекции. При любой частоте вращения, вплоть до максимальной рабочей,
остаточный дисбаланс жесткого ротора существенно не изменится.
Класс 2. Квазижесткий ротор. Ротор этого класса не может
рассматриваться как жесткий, но для его балансировки можно использовать
методы балансировки жесткого ротора.
Класс 3. Гибкий ротор. Ротор этого класса не может быть
отбалансирован по методике для жестких роторов – необходима
высокочастотная балансировка.
4.2. МЕТОДЫ И КРИТЕРИИ БАЛАНСИРОВКИ ЖЕСТКИХ РОТОРОВ
4.2.1. Основные положения балансировки жестких роторов
Как уже указывалось выше, цель балансировки заключается в
компенсации дисбаланса таким образом, чтобы центр масс ротора лежал на оси
вращения, а центробежные силы были равны нулю, или иными словами,
требуется, чтобы ось вращения ротора была главной центральной осью
инерции.
Известно, что для жесткого ротора, упругие динамические прогибы
которых пренебрежительно малы по сравнению с эксцентриситетами, суммы
всех неуравновешенных сил и суммы всех моментов этих сил определяются
только массами отдельных участков im , эксцентриситетами ie этих масс
ротора и расстояниями il от начала координат до точек приложения
неуравновешенных сил iF :
117
2ω∑ ∑=
iiiemF ; (4.1)
[ ] 2][ ω∑∑ ∑ ⋅=⋅=iiiiii
elmFlM . (4.2)
Как уже было показано в гл. 3, неуравновешенность ротора может быть
полностью описана системой дисбалансов, которые в свою очередь могут быть
сведены к главному вектору дисбалансов ротора стD и главному моменту
дисбалансов ротора DM :
∑∑ ==стi
i DDF2ω
, (4.3)
][2 MD
i DLMM
⋅==∑ω
. (4.4)
Если систему дисбалансов привести к плоскостям опор, то в каждой
плоскости опор неуравновешенного ротора будут действовать суммарные
векторы дисбалансов:
MAстAA DDD += ; (4.5)
MBстBB DDD += . (4.6)
Эти два вектора также полностью определяют динамическую
неуравновешенность жесткого ротора.
Поскольку любая неуравновешенность вращающегося твердого тела
может быть представлена в виде системы из двух дисбалансов, то ротор
всегда может быть уравновешен на одной частоте вращения с помощью двух
корректирующих масс, расположенных в двух произвольно выбранных
плоскостях коррекции.
С другой стороны, используя (4.1) и (4.2) и обозначив массы
корректирующих грузов через гр
m1
и гр
m2
, радиусы установки
корректирующих масс через 1гр
r и 2гр
r и расстояния от плоскостей установки
118
корректирующих масс от начала координат через 1грl и 2грl , запишем
уравнения равновесия:
02
22
2
11
2 =++∑ ωωωгргргргрii
rmrmem , (4.7)
0][][][ 2
222
2
111
2 =⋅+⋅+⋅∑ ωωω гргргргргргрiii rlmrlmelm . (4.8)
Из (4.7) и (4.8) следует, что частота вращения может быть исключена из
этих уравнений. Это значит, что для абсолютно жесткого ротора
кинематические соотношения постоянны на всех частотах вращения, вплоть до
наибольшей эксплуатационной скорости. Поэтому достигнутая на какой-либо
частоте вращения балансировка не нарушается на других частотах вращения.
Таким образом, для полного уравновешивания жесткого ротора
необходимо и достаточно выполнить его балансировку в двух произвольно
выбранных плоскостях коррекции на одной любой частоте вращения. Будучи
уравновешенным на одной частоте вращения, ротор останется
уравновешенным на любой другой частоте вращения во всем рабочем
диапазоне частот вращения.
Вместе с тем следует сделать несколько практических замечаний о
выборе плоскостей и скорости коррекции (балансировки).
Обычно плоскости коррекции располагаются возможно ближе к
плоскостям опор. Для роторов барабанной конструкции плоскости коррекции
располагаются по торцам барабана, для роторов дисковой конструкции − на
крайних дисках ротора. Такой (классический) выбор плоскостей коррекции
определяется следующим:
• указанные плоскости коррекции наиболее доступны для установки или
удаления корректирующих масс;
• при устранении моментной составляющей неуравновешенности величины
корректирующих масс в этих плоскостях коррекции минимальны, поскольку
пара сил прикладывается на максимальном плече;
119
• каждая корректирующая масса оказывает максимальное влияние на
динамическую реакцию опоры, ближайшей к соответствующей
корректирующей плоскости, и минимальное влияние на динамическую
реакцию удаленной опоры, что в ряде случаев значительно упрощает расчет
балансировочных грузов и, следовательно, весь процесс балансировки.
В отдельных случаях, когда вероятность исходной моментной
неуравновешенности не велика, например при балансировке отдельного диска
или ротора с узким диском, расположенным в середине пролета между
опорами, при относительно легком вале, достаточной может быть балансировка
в одной плоскости коррекции, расположенной на диске.
При выборе частоты вращения, на которой выполняется балансировка,
необходимо учитывать характеристики балансировочного станка или
особенности агрегата (при осуществлении балансировки в собственных
подшипниках), способ привода и необходимую мощность привода ротора при
балансировке, условия безопасности производства работ и др. При этом, как
правило, чем выше частота вращения, тем выше точность балансировки.
ГОСТ 22061-76 устанавливает классы точности балансировки для
жестких роторов, а также требования к балансировке и методы расчета
дисбалансов.
Всего ГОСТ предусматривает 13 классов точности (табл. 4.1), из которых
два класса рекомендуется применять факультативно (классы точности 0 и 12
отмечены знаком *). В части содержания классов точности с 1-го по 11-й ГОСТ
полностью соответствует международному стандарту ИСО 1940.
В приложении к ГОСТ 22061-76 даны рекомендации по выбору класса
точности балансировки для роторов различных типов машин. Так, например,
рекомендуется балансировать с точностью, соответствующей высшему классу
точности (класс 1), гироскопы и роторы высокооборотных прецизионных
электродвигателей. Роторы паровых и газовых турбин, турбокомпрессоров,
турбогенераторов, крупных и средних электродвигателей рекомендуется
балансировать по третьему классу точности. Для интереса можно отметить, что
120
требуемая точность балансировки колес легковых автомобилей и узла
коленчатого вала автомобиля соответствует классу 6.
Таблица 4.1
Классы точности балансировки
Класс
точности
балансировки
Значения произведения удельного дисбаланса (ест) на максимальную
эксплуатационную угловую скорость вращения (максэ
ω ), мм ⋅ рад/c
наименьшее наибольшее
0*
0,064 0,16
1 0,16 0,40
2 0,40 1,00
3 1,00 2,50
4 2,50 6,30
5 6,30 16,00
6 16,00 40,00
7 40,00 100,00
8 100,00 250,00
9 250,00 630,00
10 630,00 1600,00
11 1600,00 4000,00
12* 4000,00 10000,00
Теперь мы можем определить ту точность изготовления ротора, которая
требуется для того, чтобы дисбалансы не превышали допустимые в
соответствии с ГОСТом требования. В качестве примера рассмотрим ротор
турбины с частотой вращения =n 3000 об/мин (50 Гц) и определим
допустимый эксцентриситет ротора. Для этого необходимо определить угловую
скорость ротора и разделить на нее допустимое наибольшее значение
произведения удельного дисбаланса на максимальную эксплуатационную
угловую скорость из табл.4.1. Это значение для роторов турбин составляет 2,50.
== 602 nπω 314 рад/c;
121
=cтe 2,50/314=0,00796 мм ≈ 8 мкм.
Таким образом, центр масс рассматриваемого ротора может быть смещен
относительно оси вращения не более чем на 8 мкм. Естественно, что
изготовление многотонного и многометрового ротора с указанной точностью
практически не возможно. Именно поэтому после изготовления ротора и
необходимо выполнить его балансировку. Но даже после балансировки с
указанной точностью центробежная сила от неуравновешенности ротора с
массой, например, 10 тонн будет составлять:
== 2ωстдин MeF 10000⋅8⋅10-6⋅314
2 = 7888 Н ≈790 кгс,
т. е. почти 8 % от веса ротора.
Если принять, что частота вращения ротора 6000 об/мин, т. е. в два раза
выше, чем в предыдущем примере, то динамическая сила на опорах возрастет в
четыре раза и составит около 30 % от веса ротора.
Опыт эксплуатации турбомашин показывает, что надежная эксплуатация
обеспечивается при условии, что динамические реакции опор не превышают
10÷15 % от статических реакций. Поэтому для приведенного во втором случае
ротора целесообразно обеспечить балансировку по тому же третьему классу, но
принять в качестве допустимого значения произведения (максэст
е ω )
минимальное значение поля допусков из табл. 4.1, т. е. 1 мм⋅рад/с.
Кроме классов точности балансировки жестких роторов в ГОСТ 22061-76
оговариваются технологические и конструктивные требования к роторам и
подшипникам, выбор способа балансировки, требования к определению класса
точности балансировки для вновь разрабатываемых изделий и требования к
определению остаточных, технологических и эксплуатационных дисбалансов
опытных изделий.
122
4.2.2. Векторный метод балансировки двухопорного ротора
Векторный метод уравновешивания применяется для балансировки
двухопорных роторов в двух плоскостях коррекции (балансировки) на одной
частоте вращения. Метод применяется для балансировки на низкочастотных
балансировочных станках или при балансировке на месте (в собственных
опорах).
Балансировка ротора в двух плоскостях уравновешивает его как жесткое
тело без учета возможного динамического, упругого прогиба и изменений этого
прогиба в рабочем диапазоне частот вращения. Поэтому метод используется
преимущественно для жестких роторов. Однако метод может быть применен и
для балансировки гибких роторов, но только в тех случаях, когда необходимо
или достаточно уравновесить ротор на одной, например рабочей, частоте
вращения (см. ниже).
Применение метода требует специальной измерительной аппаратуры,
позволяющей измерять векторные параметры вибрации подшипниковых опор,
т. е. одновременно измеряются амплитуды и фазы вибрации. При вращении
неуравновешенного ротора подшипниковые опоры совершают в общем случае
сложные пространственные колебания. Эти колебания с достаточным
приближением можно охарактеризовать тремя взаимно перпендикулярными
компонентами: вертикальным, горизонтально-поперечным и горизонтально-
осевым направлениями. Поскольку плоскости действия неуравновешенных сил
перпендикулярны оси вала, то основными составляющими следует считать
вертикальную и горизонтально-поперечную составляющие. Горизонтально-
осевая составляющая вибрации или вообще не отражает степень
неуравновешенности ротора, или связана с ней частично. Она может
определяться для жестких роторов степенью несоосности вкладышей и оси
вала, качеством поверхности шеек или их конусностью и т. д.
Исходной информацией являются амплитуды и фазы одинаковых
компонент вибрации, измеренной в выбранных точках. Датчики чаще всего
123
располагаются на крышках подшипников или стойках станка. Схема ротора с
указанием обозначения опор и положения плоскостей коррекции приведена на
рис. 4.1,а. Замеры вибрации опор (подшипников) производятся обычно в двух
направлениях (вертикальном и поперечном), но для расчета корректирующих
масс выбирают одно направление, как правило, с большими амплитудами.
Для балансировки ротора теоретически требуется три пуска, во время
которых измеряются амплитуды и фазы колебаний обоих подшипников:
• начальный пуск − определение амплитуд и фаз колебаний обеих
подшипниковых опор под воздействием исходного дисбаланса ротора
(векторы 0А и 0B , расположенные под углами 0ϕ и 0ψ соответственно,
рис. 4.1,б);
• пуск ротора с пробным грузом массой 1Р , установленным под углом 1γ в
плоскости I со стороны подшипника А (векторы колебаний подшипниковых
опор 01А и 01В , расположенные под углами 01ϕ и 01ψ соответственно,
рис. 4.1,в), после пуска пробный груз с ротора удаляется;
• пуск ротора с пробным грузом массой 2Р , установленным под углом 2γ в
плоскости II со стороны подшипника В (векторы 02А и 02В ,
расположенные под углами 02ϕ и 02ψ соответственно, рис. 4.1,г), после
пуска груз с ротора удаляется.
Изменение вибрации на опорах после установки пробных грузов 1Р и 2Р
в каждую из плоскостей коррекции есть результат влияния этих грузов:
11,ВА - векторы влияния пробного груза 1Р на опоры А и В
соответственно;
22 ,ВА - то же, но пробного груза 2Р .
124
Рис. 4.1. Схема двухплоскостной балансировки
Векторы влияния определяются как разница векторов вибраций опор
после установки каждого пробного груза и векторов начальных вибраций этих
же опор:
;
;
;
;
0022
0022
0011
0011
ВВВ
ААА
ВВВ
ААА
−=
−=
−=
−=
(4.9)
11, βα - углы между векторами начальных вибраций и векторами
влияния пробного груза 1Р на первую и вторую опоры соответственно;
22 , βα - то же, но пробного груза 2Р .
125
Массы и углы установки пробных грузов могут быть в принципе
выбраны произвольно, но опытные балансировщики стремятся выбрать их так,
чтобы векторы влияния были соизмеримы с векторами начальных вибраций.
Для устранения вибраций на опорах, вызываемых дисбалансом ротора,
необходимо установить в плоскостях коррекции балансировочные грузы
(корректирующие массы) такой величины и под такими углами, чтобы
динамические реакции опор стали равными нулю. Это значит, что
геометрические суммы векторов влияния от обоих балансировочных грузов на
каждую из опор должны быть равны по величине и противоположны по
направлению векторам начальных вибраций опор.
Здесь необходимо сделать замечание, которое является определяющим
для процесса балансировки. Принято считать, что вибрация пропорциональна
дисбалансу, что вполне правомерно для систем, все характеристики которых
линейны. Следовательно, и вектор влияния в таких системах пропорционален
балансировочному грузу.
Допущение о линейности колебательной системы значительно упрощает
процесс балансировки. Однако в реальных системах, как правило, существует
некоторая нелинейность. Она вызывается, например, зависимостью
демпфирования от амплитуды колебаний опор, наличием некоторых неупругих
элементов или наличием люфтов в колебательной системе и т. д. Если
нелинейность не велика, то не требуется специально учитывать ее в процессе
балансировки. Достаточно выполнить операции балансировки в
предположении пропорциональности вибрации и дисбаланса. Если после
установки корректирующих масс полученные в результате балансировки
вибрации опор несколько отличаются от ожидаемых и не удовлетворяют
предъявляемым требованиям, то достаточно выполнить корректировку
балансировочных грузов, используя при этом те же векторы влияния. Если же
нелинейность велика, то после первого шага балансировки, завершаемого
установкой системы балансировочных грузов, остаточные вибрации опор могут
существенно отличаться от ожидаемых вибраций. Тогда, если, разумеется, это
126
не результат ошибки расчетов или ошибки при установке балансировочных
грузов, целесообразно при новом состоянии ротора вновь выполнить операции
по определению векторов влияния и, уже используя их, продолжить процесс
балансировки. В процессе балансировки при очень существенной нелинейности
колебательной системы может понадобиться несколько таких уточнений по
определению векторов влияния.
Рассчитать точное значение балансировочных грузов можно только
аналитически, используя методы векторного исчисления. С методикой расчета
мы ознакомимся несколько позже.
Однако можно решить задачу и геометрически, методом
последовательного приближения. При этом предполагаем, что устранение
вибрации на каждой опоре будет достигаться установкой балансировочного
груза только в ближайшей к этой опоре плоскости коррекции. Плоскость
коррекции, расположенную со стороны первой опоры (опоры А), будем
называть в дальнейшем первой плоскостью, со стороны второй опоры
(опоры В ) – второй плоскостью.
Тогда для уравновешивания динамической реакции опоры 1, вызванной
начальным дисбалансом ротора, рассматриваем только влияние пробного груза
1Р (рис. 4.2). Для компенсации влияния исходного дисбаланса на ротор вместо
пробного груза следует установить такой уравновешивающий груз урР1 , вектор
влияния которого урА1 был бы равен вектору начальной вибрации по модулю и
направлен противоположно. Для этого вектор влияния пробного груза 1Р ( 1А )
переносим в начало координат (показан пунктиром). Из рис. 4.2 видно, что для
уравновешивания вектора 0А вектором урА1 необходимо развернуть пробный
груз против часовой стрелки на угол 1α и изменить его массу.
127
Рис. 4.2. Определение вектора, устраняющего начальную реакцию 1-й опоры
Угол установки уравновешивающего груза определяется как
111 αγθ += . (4.10)
Масса груза урР1 , необходимая для полной компенсации исходной
вибрации, вызванной неуравновешенностью, рассчитывается по следующему
соотношению:
1
1
0
1Р
A
AP ур = . (4.11)
Представим, что мы установили первый балансировочный груз. Теперь на
опоре 1 вибрация устранена полностью. Реакция 2-й опоры от исходной
неуравновешенности ротора определялась ранее вектором 0В (рис. 4.3), но так
как в первой плоскости коррекции мы установили уравновешивающий груз
урР1 , то значение реакции изменится.
128
Рис. 4.3. Определение вектора, устраняющего реакцию 2-й опоры
Вектор вибрации на второй опоре, который в дальнейшем необходимо
будет компенсировать установкой груза во вторую плоскость коррекции,
представляет собой геометрическую сумму вектора начальной вибрации и
вектора влияния установленного в первую плоскость коррекции
уравновешивающего груза на вторую опору:
01
'
0ВВB
ур+= , (4.12)
где урВ1 - вектор влияния уравновешивающего груза урР1 , установленного в
первой плоскости, на 2-ю опору (получен из вектора 1В путем его поворота на
угол 1α против часовой стрелки, т. е. угол, на который был повернут
корректирующий груз в первой плоскости по отношению к пробному грузу в
той же плоскости), а длина вектора определена из соотношения
1
1
11Р
РВВ
ур
ур= . (4.13)
129
Для устранения вибрации второй опоры 0В ′ (для компенсации ее
вектором урВ2 ) необходимо во вторую плоскость коррекции установить груз
урР2 массой
2
2
02 Р
B
BP ур
′= (4.14)
и под углом
222 βγθ ′+= . (4.15)
Если теперь представить, что мы установили во второй плоскости груз
урР2 , то вибрация второй опоры станет равной нулю. Но этот груз,
установленный во второй плоскости коррекции, в свою очередь изменит
вибрацию первой опоры, которая до этого была равна нулю. В результате на
первой опоре вновь появится вибрация 0А′ . Эта вибрация есть результат
влияния балансировочного груза урР2 , установленного во вторую плоскость
коррекции, на первую опору. Направление этого вектора вибрации
определяется поворотом вектора влияния 2А (рис. 4.4) на угол 2β ′ (угол
поворота корректирующего груза, установленного во вторую плоскость,
относительно пробного груза 2Р ) против часовой стрелки, а длина вектора
определится из соотношения
2
2
20Р
РАА
ур=′ . (4.16)
130
Рис. 4.4. Определение вектора, компенсирующего реакцию на 1-й опоре
Для устранения вибрации 0А′ необходимо установить груз урР1′ массой
1
1
01 Р
A
AP ур
′=′ (4.17)
под углом
111 αγθ ′+=′ . (4.18)
Этот груз, устранив вибрацию на первой опоре, будет изменять
уравновешенное состояние на другой. Таким образом, процесс
уравновешивания продолжают до тех пор, пока вибрация на обеих опорах не
достигнет заданной величины, в качестве которой чаще всего используются
значения допустимой вибрации. После этого все грузы, установленные в
каждой плоскости, геометрически суммируются, т. е. грузы представляются в
виде векторов, и рассчитывается результирующий вектор, который и
определяет местоположение и величину уравновешивающего груза в каждой
плоскости коррекции.
131
4.2.3. Балансировка роторов с использованием динамических
коэффициентов влияния
Динамический коэффициент влияния, или балансировочная
чувствительность, – вектор, определяющий отношение приращения вибрации
опоры к вектору пробного груза, вызывающего это приращение.
Если 0А – начальная амплитуда вибрации опоры, 01А – амплитуда
вибрации той же опоры после установки пробного груза Р , а 1А – вектор
влияния пробного груза, то балансировочная чувствительность или
ДКВ, мкм/кг,
Р
А
Р
ААа 1001 =
−= . (4.19)
Фаза ДКВ равна углу между направлением действия груза и
направлением возбуждаемой им вибрации. В частности, если груз
устанавливается под углом 0°, то фаза ДКВ равна фазе вектора влияния 1А .
При балансировке двухопорного ротора необходимо иметь две плоскости
коррекции и не менее двух точек контроля вибрации. Это означает, что
существуют, по крайней мере, четыре значения ДКВ.
Введем для удобства обозначения векторов ДКВ следующее правило:
первый индекс при векторах обозначает номер точки измерения (в данном
случае номер подшипника), а второй – номер плоскости коррекции, где
установлен пробный груз. Тогда
1
111
Р
Аа = ;
2
212
Р
Аа = ;
1
121
Р
Ва = ;
2
222
Р
Ва = . (4.20)
Для уравновешивания двухопорного ротора в двух плоскостях коррекции
необходимо выполнение условий равновесия, описываемых системой
векторных уравнений
132
=++
=++
,0
,0
0222121
0212111
ВРаРа
АРаРа
урур
урур (4.21)
где урР1 и урР2 – балансировочные грузы.
Решение указанной системы:
2221
1211
220
120
1
аа
аа
аВ
аА
Рур
= ;
2221
1211
021
011
2
аа
аа
Ва
Аа
Рур
= . (4.22)
Система векторных уравнений (4.21) может быть сведена к системе
четырех алгебраических уравнений в проекциях. С учетом преобразования из
неподвижной системы координат во вращающуюся система уравнений
равновесия для двухопорного ротора с двумя плоскостями коррекции при
балансировке на одной частоте вращения и при измерении одной компоненты
вибрации будет выглядеть следующим образом:
=++++
=++++
=++++
=++++
,0
,0
,0
,0
0222222121121
0222222121121
0212212111111
0212212111111
ууyухyхууyхyх
хуxухxхуxуххx
ууyухyхуyухyх
хуxуххxуxуххx
ВРаРаРаРа
ВРаРаРаРа
АРаРаРаРа
АРаРаРаРа
урурурур
урурурур
урурурур
урурурур
(4.23)
где 000 sinϕААх
= ; 000
cosϕААy
= ; 000 sinψBBх
= ; 000
cosψBBy
= .
Балансировочные чувствительности (ДКВ) в проекциях:
111111 cos Mаxx
Ω= ; 111111
sin Mаxy
Ω= ;
111111sin Mа
yxΩ−= ;
111111cos Mа
yyΩ= ;
121212 cos Mаxx
Ω= ; 121212
sin Mаxy
Ω= ;
121212sin Mа
yxΩ−= ;
121212cos Mа
yyΩ= ;
133
212121 cos Mаxx
Ω= ; 212121
sin Mаxy
Ω= ;
212121sin Mа
yxΩ−= ;
212121cos Mа
yyΩ= ;
222222 cos Mаxx
Ω= ; 222222
sin Mаxy
Ω= ;
222222sin Mа
yxΩ−= ;
222222cos Mа
yyΩ= ,
где ij
M1 – модуль вектора ДКВ плоскости коррекции j на опору i ; ij
Ω - фаза
вектора ДКВ, определяемого, как это уже указывалось выше, углом между
направлением действия груза и направлением возбуждаемой им вибрации
( j =1, 2; i=1, 2):
( ) ( )2
010100
2
010100111sinsincoscos ϕϕϕϕ AАAАPM −+−= ;
010100
01010011
sinsin
coscosarctg
ϕϕ
ϕϕ
AА
AА
−
−=Θ ;
( ) ( )2
020200
2
020200212sinsincoscos ϕϕϕϕ AАAАPM −+−= ;
020200
02020012
sinsin
coscosarctg
ϕϕ
ϕϕ
AА
AА
−
−=Θ ;
( ) ( )2
010100
2
010100121sinsincoscos ψψψψ BBBBPM −+−= ;
010100
01010021
sinsin
coscosarctg
ψψ
ψψ
BB
BB
−
−=Θ ;
( ) ( )2
020200
2
020200222sinsincoscos ψψψψ BBBBPM −+−= ;
020200
020200
22sinsin
coscosarctg
ψψ
ψψ
BB
BB
−
−=Θ .
Фазы векторов ДКВ по определению:
11111 γ−Θ=Ω ; 21212 γ−Θ=Ω ; 12121 γ−Θ=Ω ; 12222 γ−Θ=Ω ,
134
где ij
Θ – угол соответствующего вектора влияния; j
γ – угол установки
пробного груза в соответствующей плоскости корректировки.
Все углы отсчитываются в направлении против вращения ротора и
должны быть выражены как положительные числа. Если ( )jij
γ−Θ имеют
отрицательные значения, то фазы ДКВ определяются как
jijijγπ −Θ+=Ω 2 .
Приведенный алгоритм определения матрицы ДКВ для двухопорного
ротора при балансировке в двух плоскостях коррекции позволяет понять
принципы построения матрицы и использовать этот алгоритм при создании
программ для любых программируемых вычислительных средств, в т. ч. и тех,
математическое обеспечение которых не предусматривает операции с
векторными величинами.
Алгоритм позволяет составлять матрицу ДКВ и для случаев большего
числа опор, плоскостей коррекции и компонентов вибрации. В общем случае
количество неизвестных в системе линейных уравнений равно удвоенному
количеству плоскостей коррекции, а количество уравнений – удвоенному
произведению количества опор на количество точек измерений (измеряемых
компонент вибрации) на каждой опоре. Неизвестные в системе уравнений
представляют собой проекции балансировочных грузов на оси в системе
вращающихся координат, положительные направления осей которой
направлены под углом 0° (ось X ) и 90° (ось Y ) при условии направления
отсчета углов против направления вращения ротора.
Естественно также отметить, что при балансировке жестких роторов и
валопроводов, составленных из жестких роторов, необходимо и достаточно
иметь количество плоскостей коррекции, равное количеству опор. Поэтому
матрица ДКВ всегда квадратная, т. е. количество неизвестных и количество
уравнений равно друг другу.
135
4.3. МЕТОДЫ И КРИТЕРИИ БАЛАНСИРОВКИ ГИБКИХ РОТОРОВ
4.3.1. Особенности балансировки гибких роторов
Как уже указывалось, для абсолютно жесткого ротора кинематические
соотношения постоянны на всех частотах вращения, вплоть до наибольшей
эксплуатационной, поэтому достигнутая на какой-либо частоте балансировка
не нарушается на других частотах.
Однако для роторов многих турбомашин, рабочая частота вращения
которых лежит за первой, а иногда за второй и более высокими критическими
частотами, балансировка имеет некоторые принципиальные особенности.
Роторы таких машин являются гибкими телами, принимая при вращении
изогнутую форму. Как и для жесткого ротора, при балансировке гибкого ротора
в первую очередь необходимо свести к допустимому минимальному уровню
реакции в опорах. Но действие неуравновешенных сил на гибкий ротор с
изменением частоты вращения изменяется не только количественно, как у
жестких роторов, но и качественно. Поэтому условие равенства нулю суммы
статических моментов неуравновешенности и корректирующих масс является
необходимым, но недостаточным для балансировки.
Исходный дисбаланс гибкого ротора при его вращении вызывает
динамический прогиб. Инерционные силы, которые действуют при этом на
ротор, представляют собой сумму центробежных сил от непосредственно
исходного дисбаланса и центробежных сил, вызванных смещением центров
масс участков ротора при его динамическом прогибе. Поскольку на любой
постоянной частоте вращения все силы, независимо от причин их
возникновения, могут быть сведены к системе двух сил, то гибкий ротор, как и
жесткий ротор, всегда может быть уравновешен на одной частоте вращения с
помощью двух корректирующих масс, расположенных в двух произвольно
выбранных плоскостях коррекции. С другой стороны, используя (4.1) и (4.2) и
обозначив, как и ранее, массы корректирующих грузов через гр
m1
и гр
m2
,
136
радиусы установки корректирующих масс через 1гр
r и 2гр
r и расстояния от
плоскостей установки корректирующих масс от начала координат через
1грl и 2грl , можно записать уравнения равновесия:
0)( 2
22
2
11
2 =+++∑ ωωωгргргргрiii
rmrmуem , (4.24)
0][][)]([ 2
222
2
111
2 =⋅+⋅++∑ ωωω гргргргргргрiiii rlmrlmyelm , (4.25)
где iy – прогибы в сечениях центров масс участков ротора.
Казалось бы, как и для жесткого ротора, из уравнений (4.24) и (4.25)
можно исключить угловую частоту вращения ω . Однако следует иметь в виду,
что круговая частота в неявном виде остается в указанных уравнениях,
поскольку прогибы ротора iy сами являются функцией частоты вращения и
зависят от отношения частоты вращения к собственным частотам ротора
(см. гл. 2). При этом прогибы зависят также от величины начального
дисбаланса и от центробежных сил установленных корректирующих масс.
Соотношение между прогибами от действия начальной
неуравновешенности и корректирующих масс изменяется в зависимости от
частоты вращения. В результате этого достигнутая на балансировочной частоте
уравновешенность может быть нарушена на другой частоте при неудачном
выборе системы корректирующих масс.
Кроме того, уменьшение динамических реакций в опорах даже на одной
частоте вращения не при всякой системе корректирующих масс приводит к
уменьшению динамических прогибов и, как следствие, изгибающих усилий в
самом роторе. На рис. 4.5 приведен пример ротора, исходный дисбаланс
которого расположен в центре масс ротора. Представим, что существуют
гипотетические плоскости коррекции, расположенные непосредственно в
плоскости опор. Допустим также, что частота балансировки выбрана
достаточно близко от первой собственной частоты вращения. Тогда
инерционные силы неуравновешенного ротора будут определяться в первую
очередь центробежными силами прогнутого ротора, поскольку вблизи
137
критической частоты вращения прогиб ротора значительно превосходит
начальный эксцентриситет (см. гл. 2 на примере одномассового ротора).
Поэтому корректирующие массы, установленные в плоскостях опор, должны
компенсировать инерционные силы прогнутого ротора, а значит должны быть
направлены практически в противофазе прогибу ротора. В то же время
центробежные силы корректирующих масс сами не вызывают прогиб ротора в
силу своего расположения в плоскостях опор. Следовательно, компенсация
динамических реакций опор на балансировочной частоте вращения будет
достигнута в данном случае без изменения прогиба ротора.
Рис. 4.5. Схема уравновешенного грузами в крайних плоскостях ротора с дисбалансом,
расположенным в центре
Приведенный пример интересен еще по одной причине. Автор
настоящего издания в свое время обратил внимание на одну характерную
особенность гибких роторов, получившую в содружестве специалистов-
балансировщиков название «парадокса Урьева». Суть явления заключается в
том, что отбалансированный на одной частоте вращения, в частности на
критической частоте, гибкий ротор может вновь оказаться неуравновешенным
на той же частоте вращения, если изменить направление его вращения.
Действительно, из теории колебаний следует, что, приближаясь к критической
частоте вращения, прогиб ротора по соответствующей форме отстает от
направления действия неуравновешенной силы и вблизи критической частоты
вращения это отставание достигает 90° против направления вращения. Если,
например, на критической частоте выполнить балансировку ротора,
138
приведенного на рис. 4.5, до полной компенсации динамических реакций опор,
выбрав в качестве плоскостей коррекции плоскости опор, то, как уже
указывалось выше, балансировочные грузы расположатся практически в
плоскости прогиба ротора в противофазе к прогибу или под углом 270° к
исходному дисбалансу. Если отбалансированный таким образом ротор теперь
вращать в противоположную сторону, то прогиб ротора также будет отставать
от направления дисбаланса на 90° против направления вращения; но легко
сообразить, что теперь прогиб ротора совпадет с направлением установленных
ранее корректирующих масс. Таким образом, при первоначальном направлении
вращения было достигнуто равенство нулю динамических реакций опор. Если
измененить направление вращения, то реакции опор в приведенном случае
увеличатся по сравнению с исходными в два раза.
Теперь поставим вопрос: что означает полностью отбалансировать
(уравновесить) гибкий ротор и выполнимо ли это хотя бы теоретически? Ответ
на этот вопрос легко получить из того же примера ротора с сосредоточенным
дисбалансом. Если установить балансировочный груз в поперечной плоскости
расположения дисбаланса и дисбаланс груза будет равен по величине и
направлен в противофазе к исходному дисбалансу, то таким образом
отбалансированный ротор будет отбалансирован при любых частотах
вращения, т.е. на любой частоте вращения у такого ротора будут отсутствовать
и динамические реакции опор, и прогиб. Распространяя этот вывод на случаи
других более сложных исходных дисбалансов, можно утверждать, что для
полной балансировки гибкого ротора необходимо, чтобы система
установленных корректирующих масс полностью компенсировала систему
исходных дисбалансов в каждом сечении ротора, т. е. полная балансировка
гибкого ротора требует осуществления ее в многих плоскостях коррекции
(многоплоскостная балансировка), распределенных вдоль ротора.
Таким образом, при уравновешивании гибких роторов, кроме задачи
устранения динамических реакций опор или сведения их к допустимому
139
минимуму, требуется еще и устранение прогиба ротора, компенсация
изгибающих моментов и перерезывающих сил.
При всей простоте сформулированного требования к балансировке
гибких роторов практическое осуществление его крайне сложно.
Во-первых, конструктивно невозможно иметь на роторе неограниченно
большое количество плоскостей коррекции. Следовательно, всегда актуален
вопрос о выборе необходимого и достаточного количества и о рациональной
схеме расположения плоскостей коррекции.
Во-вторых, даже при достаточно большом числе плоскостей коррекции
необходима методика многоплоскостной балансировки, позволяющая с
достаточной достоверностью оценить распределение дисбалансов по длине
ротора и с достаточной точностью компенсировать их влияние на ротор.
4.3.2. Балансировка гибких роторов методом форм
Известно, что большое теоретическое и практическое значение в развитии
методов балансировки гибких роторов имела работа А. Мельдаля [3], в которой
было предложено производить уравновешивание гибкого ротора, устраняя
порознь каждую гармонику функции распределенного дисбаланса при
вращении ротора на соответствующих критических частотах, лежащих ниже
рабочей частоты вращения. Эта работа положила начало развитию теории
балансировки по собственным формам.
Идеи А. Мельдаля имели широкое распространение. Теория
уравновешивания по формам собственных колебаний была развита в работах
Ф.М. Диментберга [24], А.А. Гусарова [23, 25], В.М. Фридмана [67],
В.А. Зенкевич [27] и др.
Теория балансировки по собственным формам основана на идее
использования ортогональных соотношений (см. гл. 2 «Принцип
ортогональности»). Это значит, что возмущающая сила, действующая вдоль
ротора по s -й форме свободных изгибных колебаний, не создает
положительной работы и, следовательно, не вызывает прогиба по любой k -й
140
форме свободных изгибных колебаний, если sk ≠ . Для ротора переменного
сечения ( ) const)( ≠xm условие ортогональности записывается в виде
( ) ( ) ( )
==
≠=⋅⋅⋅∫
.
,0
0 skприC
skприdxxyxyxm
l
sk (4.26)
Таким образом, распределенные по ротору исходные дисбалансы могут
быть разложены в ряд по собственным формам, причем каждый член ряда
описывает распределенную нагрузку, вызывающую колебания вала только по
соответствующей собственной форме колебаний. Дополнительные грузы,
поставленные на ротор в соответствии с выражением ( ) ( )xyxm s , также могут
вызвать (или устранить) только ту составляющую прогиба, которая
определяется s -й формой колебаний.
Поскольку форма упругой линии ротора наиболее явно проявляется и,
следовательно, может быть определена наиболее точно на соответствующей
критической частоте вращения, то ротор балансируется поэтапно на каждой
критической частоте вращения. При этом балансировка ротора на каждой
последующей собственной частоте не приведет к нарушению
сбалансированности на низших собственных частотах в силу принципа
ортогональности. Последовательность операций при таком «классическом»
способе уравновешивания ротора по формам колебаний следующая:
1) измеряются прогибы по длине ротора (форма упругой линии) в его
исходном состоянии на первой критической частоте вращения;
2) выполняется пробный пуск с системой корректирующих масс,
распределенных по соответствующему для данной собственной формы
закону изменения инерционных сил по длине ротора, и на той же
частоте вращения; измеряется новая форма упругой линии или прогиб в
одной контрольной точке (желательно в точке максимального прогиба
по данной форме);
141
3) рассчитывается коэффициент пропорциональности, определяющий
соотношение между массами пробной и корректирующей систем, и
определяется фазовый угол установки корректирующей системы;
4) если на первой критической частоте вращения прогиб устранен в
соответствии с предъявляемыми требованиями, то выводят ротор на
частоту вращения, соответствующую критической частоте вращения по
второй форме колебаний, и выполняют операции пп. 1÷4. Далее,
аналогично поступают и для последующих форм колебаний.
При всей логичности и теоретической обоснованности «классического»
метода балансировки по собственным формам сразу видны его недостатки и
трудности, возникающие при его реализации. Рассмотрим их подробнее.
Во-первых, такая балансировка по формам возможна только для
устранения дисбалансов по собственным формам, частоты которых лежат
внутри диапазона рабочих частот вращения или, в редких случаях, до
максимальной испытательной частоты вращения.
Во-вторых, метод требует точного знания формы упругой линии,
измерение которой очень трудоемко, а часто просто невозможно.
В-третьих, поскольку непрерывное распределение корректирующих масс
по длине ротора не возможно, то требуется очень большое число плоскостей
коррекции. Но даже при достаточно большом числе плоскостей коррекции сама
дискретность корректирующих масс всегда приведет в большей или меньшей
степени к нарушению принципа ортогональности.
В связи с указанными проблемами, возникающими при реализации
«классического» метода балансировки по формам, возникли его различные
модификации, в основе которых лежат некоторые допущения.
Так, например, есть несколько подходов по учету влияния высших форм
колебаний, недостижимых по причине ограничения максимальной частоты
вращения. В работах [8, 27, 44] предлагается после балансировки ротора по
достижимым с точки зрения частоты вращения собственным формам
компенсировать суммарное действие высших форм балансировкой роторов на
142
низкой или рабочей частотах вращения в двух плоскостях коррекции,
расположенных максимально близко к опорам. Этот подход обоснован в
какой-то степени, если дисбаланс по высшим формам не вызывает в рабочем
диапазоне частот вращения явлений, характерных для гибких роторов, т. е.
сколько-нибудь значимых прогибов. Это предположение почти справедливо
для случая значительной удаленности частоты следующей высшей формы
колебаний от рабочей или максимальной частоты вращения. Поскольку по
отношению к оставшимся высшим составляющим дисбаланса ротор в этом
случае ведет себя как жесткий, то и компенсацию оставшегося дисбаланса
достаточно проводить так же, как и для жесткого ротора: в двух плоскостях
коррекции, но только таким образом, чтобы не нарушалась уже ранее
достигнутая уравновешенность ротора по низшим формам. Именно последним
требованием и объясняется желательность максимальной близости плоскостей
коррекции к опорам.
Другой подход к устранению влияния высших форм рекомендуется тогда,
когда на рабочей или максимальной частоте вращения нельзя пренебречь
прогибами ротора по указанным формам. Это чаще всего имеет место в тех
случаях, если частота ближайшей высшей формы оказывается менее удаленной
от рабочей частоты вращения, чем частота предыдущей собственной формы
колебаний, лежащей внутри рабочего диапазона частот вращения. Если
предыдущие собственные формы устранены достаточно тщательно, то прогибы
на рабочей (максимальной) частоте вращения могут рассматриваться как
результат влияния только ближайшей высшей формы колебаний и могут
устраняться по аналогии с другими собственными формами, но только не на
соответствующей критической частоте вращения, которая является
недостижимой, а на рабочей или максимальной частоте вращения.
Балансировка по собственным формам требует замеров на критических
скоростях вращения. При этом ротор имеет максимальные прогибы и
максимальные изгибающие напряжения, что делает длительную работу ротора
на этих частотах вращения нежелательной, а в ряде случаев и невозможной.
143
Кроме того, замеры, выполненные на неустойчивых режимах работы на
критической частоте, как правило, отличаются нестабильностью. Малейшее
изменение частоты вращения сопровождается резким изменением и
амплитуды, и фазы колебаний, что делает повторяемость и совместимость
замеров различных пусков проблематичными.
Для того чтобы исключить длительную работу ротора при балансировке
на критических скоростях предложен другой метод балансировки [44]. Он
заключается в том, что на некоторой частоте вращения, не совпадающей с
критической, вдоль длины ротора во многих точках измеряется динамический
прогиб. По данным измерений строится линия упругого прогиба )(xy , которая
раскладывается в ряд по формам свободных колебаний:
( ) ( ).1
∑∞
⋅= xyxykk
σ (4.27)
Поскольку прогиб ротора описывается чаще всего пространственной
кривой, для разложения используются ее проекции на координатные плоскости.
Естественно, что при этом надо знать и все формы колебаний, по которым
производится разложение. Поэтому обычно возникают два вопроса: сколько
собственных форм необходимо учитывать в разложении и каким образом
получить эти собственные формы?
В ряде работ показывается, что для качественного уравновешивания
роторов необходимо и достаточно устранить дисбалансы по 1+п собственным
формам, где n – число собственных форм, частоты которых лежат в рабочем
диапазоне частот вращения. Формы упругой линии, являющиеся базисными
функциями ряда, определяются чаще всего расчетным путем. Для достаточно
симметричных роторов с равномерными по длине массами и жесткостями в
качестве базисных функций могут быть приняты гармонические функции.
Балансировка осуществляется путем размещения на роторе вдоль оси
вращения уравновешивающих грузов с погонной массой ( )xµ на радиусах
144
( )xR . На ротор устанавливается система пробных грузов, распределенная
вдоль оси вращения строго по какой-либо одной k -й форме
неуравновешенности:
( ) ( ) ( ) ( ),***xyxmxRx kkkk ⋅⋅=⋅ δµ
где ( )−⋅ xykk
*δ эксцентриситет, создаваемый пробными грузами.
Коэффициент разложения эксцентриситета по k -й форме колебаний
находится из уравнения
( ) ( )( ) ( )
.**
*
xyxm
xRx
k
kk
k⋅
⋅=
µδ (4.28)
На ранее выбранной скорости вращения измеряется новое значение
динамического прогиба ротора ( )xy1 . Определяется приращение прогиба,
вызванное установкой k -й системы пробных грузов:
( ) ( ) ( ).1
*xyxyxy −=
Это приращение прогиба раскладывается в ряд по формам свободных
колебаний
( ) ( ),1
** ∑∞
⋅= xyxykk
σ
где k -й коэффициент ряда вычисляется аналогично предыдущему из
выражения
( ) ( ) ( ) .0
**dxxyxmxy k
l
k ⋅⋅⋅−= ∫σ (4.29)
Теперь определяется k -я составляющая начального эксцентриситета
ротора:
.*
*
k
k
kkσ
σδδ =
145
Отсюда, используя выражения (4.28) и (4.29), можно найти систему
грузов, устраняющую k -ю составляющую динамического прогиба ротора, т. е.
уравновешивающую вал по k -й форме свободных колебаний:
( ) ( ) ( ) ( ).**
*xRxxRx
kk
k
k
kk⋅=⋅ µ
σ
σµ (4.30)
Действуя подобным образом, можно последовательно устранить все
составляющие динамического прогиба, т. е. довести прогиб ротора до нуля.
Выражение (4.30) представляет собой общее решение задачи
уравновешивания ротора по формам свободных изгибных колебаний. В
соответствии с ним k -я система уравновешивающих грузов находится в
результате умножения k -й системы пробных грузов на отношение векторов
вибрации k -й формы, измеренной до и после установки пробных грузов.
Описанный метод балансировки обеспечивает полное уравновешивание
ротора независимо от начального распределения неуравновешенности. Однако
практическое применение метода весьма затрудняется необходимостью тех же
измерений колебаний ротора по всей его длине. Кроме того, поскольку
балансировка производится на некритической частоте вращения,
чувствительность к грузам, распределенным по формам (особенно высшим),
будет мала. Это требует высокой точности как инструментального измерения
колебаний, так и численного выделения коэффициентов разложения
динамического прогиба по формам колебаний.
Таким образом, основная сложность применения любого из вариантов
метода балансировки по собственным формам колебаний заключается в
трудности их определения. Точное определение формы балансируемого ротора
требует сложной измерительной аппаратуры, а ошибки в определении форм
колебаний и отсутствие необходимого числа плоскостей коррекции приводят к
неправильному расположению пробных грузов и снижают точность
уравновешивания, а также исключают использование ортогональных систем
грузов.
146
Применение метода балансировки по собственным формам практически
ограничено балансировкой симметричных роторов с большим количеством
плоскостей коррекции, расположенных вдоль оси ротора, в заводских условиях
при заранее известных критических скоростях и собственных формах
колебаний. Наиболее удачной практической реализацией этого метода является
способ балансировки роторов генераторов, внедренный в объединении
"Электросила" [67].
4.3.3. Балансировка гибких роторов методом
коэффициентов влияния
Конструктивные особенности роторов турбин, такие как
несимметричность, ограниченное количество плоскостей коррекции и жесткая
увязка их местоположения с конструкцией, не позволяют эффективно
использовать на практике метод собственных форм колебаний при
балансировке гибких роторов.
Другое направление в балансировке гибких роторов основано на
использовании коэффициентов влияния. Метод балансировки по динамическим
коэффициентам влияния, основанный на классических представлениях
теоретической механики, сначала широко использовался при низкочастотной
балансировке роторов в двух плоскостях, а позднее, с появлением мощной
вычислительной техники, его стали применять для балансировки гибких
роторов на разгонно-балансировочных стендах во всем диапазоне частот
вращения, для балансировки валопроводов в собственных опорах. Метод
балансировки по коэффициентам влияния был отражен в работах
Дж. Ден-Гартога [1], Черча и Планкета [69], Тессаржика, Бэдгли и Андерсена
[57, 58], Лунда и Тоннесена [35, 60], М.А. Брановского [12] и др. [13, 46, 47, 68].
Усовершенствованию метода, его применению для балансировки
многоопорных валопроводов в собственных подшипниках посвящены работы
А.С. Гольдина [14, 18].
147
В основе метода балансировки гибких роторов по динамическим
коэффициентам влияния (ДКВ) лежит доказанная Дж. Ден-Гартогом теорема
[1]. Согласно этой теореме, невесомый ротор с r сосредоточенными массами,
опирающийся на b подшипников, при любом дисбалансе, как угодно
распределенном вдоль его оси, может быть полностью динамически
сбалансирован корректирующими массами, размещенными в brM +=
различных плоскостях коррекции по длине ротора, где r соответствует числу
собственных форм гибкого ротора.
Под полной понимается такая балансировка, при которой не возникают
динамические реакции ни на одном подшипнике при любой частоте вращения.
Из этого прямо следует, что ротор, отбалансированный однажды при данном
расположении подшипников, остается сбалансированным при любой жесткости
и демпфировании подшипников.
Ден-Гартог перенес доказанную теорему и на реальные роторы с
непрерывно распределенной массой, утверждая, что на практике почти полное
уравновешивание при всех скоростях может быть получено при балансировке в
bNM += плоскостях, где −N число критических частот ротора на
жестких подшипниках в диапазоне частот от нуля до четырехкратно
превышающей наибольшую рабочую частоту вращения машины. Исходя из
этих соображений, для качественной балансировки роторов современных
турбин необходимо иметь 5÷6 плоскостей коррекции. В то же время реализация
балансировки роторов по методу Ден-Гартога на рабочей частоте вращения
сложна для использования в серийном технологическом процессе, поскольку
также требует измерения (причем достаточно точного) прогибов ротора по всей
его длине.
Однако из теоремы Ден-Гартога следует то, что ротор, который
отбалансирован во всем диапазоне частот вращения от нуля до рабочей, и при
этом отсутствуют (равны нулю) динамические реакции опор в данном
диапазоне, не имеет и упругих деформаций в указанном диапазоне частот
вращения, т. е. такой ротор является полностью уравновешенным. Это
148
следствие и служит основой методов балансировки гибких роторов по
коэффициентам влияния, при которых балансировка осуществляется на основе
измерения и устранения вибрации опор в диапазоне частот вращения от нуля до
рабочей частоты вращения.
Методика балансировки заключается в определении коэффициентов
влияния пробных грузов на вибрацию опор путем серии пусков турбоагрегата с
последовательной установкой пробного груза в каждую балансировочную
плоскость. По полученным данным формируется матрица векторов
коэффициентов влияния, а для определения балансировочных грузов
необходимо решить систему линейных векторных уравнений:
,
2
1
2
1
21
21
222221
111211
N
i
M
j
NMNjNN
iMijii
Mj
Mj
A
A
A
A
P
P
P
P
aaaa
aaaa
aaaa
aааа
…
…
…
…
……
………………
……
………………
……
……
−=× (4.31)
где −ijа матрица векторов коэффициентов влияния, получаемая в результате
пробных пусков; −jР матрица искомых корректирующих грузов;
−i
A матрица исходных значений вибрации. В упрощенном виде система
(4.31) записывается следующим образом:
.0=−× ijij APа
Балансировка по методу коэффициентов влияния путем точного решения
системы уравнений (4.31) может быть осуществлена при выполнении условия
,MN = (4.32)
где −M число плоскостей коррекции; −N число независимых измерений,
которое в общем случае равно KSZN ××= , где Z – количество опор,
149
S – количество компонент измерения вибрации на каждой опоре,
K – количество частот коррекции.
Ограниченное число плоскостей коррекции и, следовательно,
необходимость решения избыточной системы уравнений при NM <
поставили вопрос о необходимости оптимизации балансировочного процесса.
При решении этой проблемы возникла идея применения метода наименьших
квадратов (МНК), который позволяет существенно уменьшить объем работ,
если принять, что конечной целью балансировки будет считаться не сведение к
нулю всех амплитуд вибраций, а достижение их некоторых минимальных (или
максимально допустимых) значений.
Гудмэн [22] предложил при определении балансировочных грузов
использовать сначала метод простых наименьших квадратов для минимизации
среднего квадратичного значения остаточного колебания выбранных точек
измерения, а затем применить метод взвешенных наименьших квадратов, чтобы
уменьшить максимальную вибрацию в какой-либо одной или нескольких
точках. При этом система (4.31) приходит к виду
,iijij APа ε+−=× (4.33)
где −i
ε компоненты вектора невязки системы, по физическому смыслу
являющиеся остаточными вибрациями, получаемыми постановкой на ротор
системы грузов jP . В этом случае необходимо определить такие значения jP ,
при которых функция качества Ф принимает минимальное значение:
.min2 ==∑i
iФ ε (4.34)
На практике применение метода наименьших квадратов может дать
слишком большие значения балансировочных грузов. Это связано с тем, что
решение системы уравнений находится по условиям минимум-миниморума
функции качества. При недостаточно точных коэффициентах влияния малые
погрешности в их определении могут сопровождаться существенными
150
изменениями в значениях искомых неизвестных (значений балансировочных
грузов). Это может быть также связано с плохой обусловленностью между
соответствующими элементами некоторых строк в матрице векторов влияния,
т. е. появлением вырожденной матрицы. Установка на ротор чрезмерно
больших грузов в свою очередь вызывает неэффективность процесса
балансировки, поскольку возрастает абсолютная погрешность массы грузов и
угла их установки.
Хейман [22] предложил связать с каждым характеристическим
коэффициентом некоторую неопределенность, выраженную в виде дисперсии,
и применить процесс оптимизации, при котором минимизируется сумма
квадратов расчетных остаточных амплитуд плюс сумма дисперсий этих
амплитуд, получаемых из дисперсий коэффициентов влияния. Это исключает
решение с большими балансировочными грузами, в частности в тех плоскостях,
где коэффициенты влияния были определены менее надежно, чем для
остальных плоскостей. Дальнейшее развитие этих идей можно найти у
А.С. Гольдина [14, 18].
При использовании в расчетах этого метода функция качества (4.34)
формулируется следующим образом:
( ) min,2 =+=∑i
iiDФ εε (4.35)
где −iDε дисперсия iε , являющаяся функцией дисперсий исходных данных:
.2∑ ⋅+=j
ijjiiaDPADDε
Непосредственно этим алгоритмом можно пользоваться лишь в случае,
если известны значения динамических коэффициентов влияния ij
a и их
дисперсий ikaD . Практически достаточно достоверные сведения о
коэффициентах влияния имеются далеко не всегда. Дисперсии замеров
вибрации во всех расчетах предполагаются заданными. Фактически их
значения неизвестны и могут быть назначены произвольно или на основании
151
замеров, расчетов и т. д. Информация, которой располагают при проведении
балансировки, складывается из двух-трех замеров вибрации в одной точке при
каждом пуске. Такое количество замеров, безусловно, не может служить
предметом статистической обработки и недостаточно для определения
дисперсии iAD . Следовательно, и этот алгоритм имеет свои недостатки,
основным из которых является произвольное назначение дисперсий, что в итоге
ухудшает качество балансировки.
Обозначенные недостатки прямых методов решения системы (4.31) в
меньшей степени присущи дискретно-итерационному методу расчета
корректирующих масс, предложенному автором и в последующем
разрабатывавшемуся М.В. Фертиковым [66] и С.В. Жуковым [26]. Суть метода
заключается в том, что для каждого исходного состояния ротора
последовательно определяются оптимальные балансировочные грузы в каждой
плоскости, дающие наилучшие результаты вибрационного состояния ротора во
всем диапазоне частот вращения. Иначе говоря, задача сводится к решению для
каждой плоскости коррекции системы уравнений
+⋅=
+⋅=
+⋅=
+⋅=
.
,
,
,
222
111
NjNjN
ijiji
jj
jj
APa
APa
APa
APa
ε
ε
ε
ε
…
…
(4.36)
Как и в методе наименьших квадратов, функцией качества балансировки
по j -й плоскости на k -й итерации остается функционал
( ) ( ) .
1
2∑=
=N
iij
k
jPU ε (4.37)
На каждом шаге итерации выбирается та плоскость j с определенным
для нее оптимальным грузом, для которой обеспечивается наименьшая
152
величина ( )k
jU
min из всех локальных минимумов, после чего для выбранных
грузов определяются остаточные вибрации в соответствии с (4.36). Эти
остаточные вибрации послужат начальными условиями для следующего шага
итераций.
Таким образом, в процессе итераций будут определяться либо
добавочные грузы, устанавливаемые в следующих плоскостях после первой
итерации, либо поправки к уже предложенным грузам, последовательно
обеспечивая снижение уровня вибраций.
Преимуществами этого метода являются: высокая устойчивость решения,
что позволяет использовать матрицу коэффициентов влияния с любым
соотношением чисел строк и столбцов; селективность к плоскостям коррекции,
т. е. использование наиболее эффективных плоскостей.
4.4. БАЛАНСИРОВКА НА НИЗКОЧАСТОТНЫХ СТАНКАХ
Балансировочные станки предназначены для выполнения
технологической операции балансировки роторов при их изготовлении и
ремонте. Практически все балансировочные станки предназначены для
балансировки на частотах вращения, которые значительно ниже рабочей
частоты вращения роторов в соответствующих машинах.
Низкочастотные балансировочные станки подразделяются по свойствам
опор на дорезонансные, резонансные и зарезонансные [43].
Дорезонансные станки являются наиболее функциональными, такие
станки выпускаются преимущественно западными фирмами. Но использование
этих станков требует их монтажа на специальных виброизолированных
фундаментах и использования сложной высокочувствительной измерительной
аппаратуры.
До недавнего времени на электростанциях и ремонтных предприятиях
были распространены резонансные станки, изготовленные либо в мастерских
электростанций, либо на заводах, работающих в сфере ремонтного
153
обслуживания электростанций. Станки резонансного типа на сегодняшний день
признаются морально устаревшими и требуют замены или, по крайней мере,
реконструкции.
Зарезонансные станки, как правило, обладают достаточно высокими
техническими данными и вполне обеспечивают технологические нужды
балансировки. Преимуществом данного типа станков является низкая
динамическая нагрузка на опоры, что позволяет устанавливать станок не на
специальный фундамент, а практически на пол. Этот тип станков наиболее
широко используется на данный момент. Технические характеристики станков
такого типа приводятся в работе [64].
Применение низкочастотных балансировочных станков для балансировки
жестких роторов не вызывает никаких споров и нареканий. Проблемным
вопросом является возможность уравновешивания гибких роторов на низких
оборотах. Распространено мнение, что, поскольку при вращении гибкого
ротора на низких оборотах он не получает упругого прогиба, его балансировка
на низкооборотных станках вообще нецелесообразна.
Теоретическое обоснование целесообразности низкооборотной
балансировки гибких роторов дает работа Х. Френча [2]. Френч, используя
методы математической статистики, провел анализ фактических дисбалансов
ряда типичных роторов и показал, что при определенном выборе
балансировочных плоскостей балансировкой на малых скоростях можно
значительно (на 37÷56 %) уменьшить упругий дисбаланс гибких валов,
работающих между первой и второй критическими скоростями.
Работа Френча дает только теоретическое обоснование целесообразности
низкочастотной балансировки гибких роторов.
Практическим исследованием вопросов целесообразности
низкочастотной балансировки гибких роторов занимались А.А. Шубин [71],
Л.Э. Альтшулер [7], М.Е. Левит [34] и др.
В работах Келленбергера [29], Бишопа и Паркинсона [11]
уравновешивание ротора на низкооборотном станке рассматривается как этап
154
уравновешивания по формам собственных колебаний. Келленбергер считает,
что если требования к точности балансировки невелики, то уравновешивание
на низких оборотах не требуется. Если же требуется высокая точность,
оправдывающая дополнительные усилия, то необходимо проводить
уравновешивание гибкого ротора как твердого тела на пониженных оборотах.
Бишоп и Паркинсон приходят к выводу, что балансировка гибких роторов на
пониженных оборотах необязательна, так как является источником осложнений
для практической реализации метода балансировки по формам колебаний.
Аналогичный подход к низкочастотной балансировке как к этапу
балансировки по формам свободных колебаний можно встретить у
В.А. Зенкевич [27]. Автор разработала метод, основанный на использовании
пробной системы грузов, распределенных по длине ротора в двух взаимно
перпендикулярных плоскостях. В.А. Зенкевич теоретически показала, что
системы, в которых распределение нагрузки пропорционально произведению
распределенной массы ротора на ординаты форм свободных колебаний,
являются наилучшими уравновешивающими.
В эксплуатационных условиях балансировка роторов на низкочастотных
балансировочных станках чаще всего выполняется по следующей схеме: грузы
устанавливают в двух плоскостях коррекции, расположенных в крайних
(ближайших к опорам) дисках или на торцах барабана, а при возможности -
распределяются по длине ротора.
Вместе с тем известно и подтверждено опытом [14, 65], что для гибких
роторов, работающих при частоте вращения между первой и второй
критическими частотами, такая низкочастотная балансировка не всегда
обеспечивает уменьшение вибрации опор на рабочей частоте вращения, а в
некоторых случаях может привести к её увеличению.
Наряду с этим, в отличие от балансировки в собственных подшипниках,
при балансировке на станке имеется доступ к внутренним балансировочным
плоскостям ротора. Это оказывается эффективным, когда балансировочные
грузы устанавливаются не в две крайние плоскости, как делается обычно, а в
155
соответствии с характером распределения первоначального или вновь
возникшего дисбаланса. Н.Г. Самаров [54] предлагал уравновешивать
статическую составляющую дисбаланса за счет установки корректирующего
груза в поперечной плоскости, проходящей через центр тяжести ротора, а
динамическую составляющую - за счет установки грузов в плоскостях
подшипников. А.И. Максименко [36] разработал методику уравновешивания,
эквивалентную совмещению оси вращения ротора с главной центральной осью
инерции. Для этого корректирующие массы, рассчитанные определенным
образом, распределялись между всеми дисками ротора. Им же было
экспериментально доказано, что уравновешивание в двух крайних плоскостях
снижает прогибы только на 20÷25 %, а уравновешивание системами грузов - на
45÷50 % по сравнению с неуравновешенным ротором.
Принципиально иная картина наблюдается для роторов, рабочая частота
которых лежит вблизи второй или между второй и третьей критическими
частотами вращения. Балансировка таких роторов в крайних плоскостях
коррекции, которые, как правило, лежат не в непосредственной близости от
опор, а на расстоянии 0,15÷0,2 межопорного расстояния ротора, приводит к
некоторому улучшению вибрационного состояния ротора на первой
критической частоте, но одновременно к очень серьезному ухудшению
вибрационного состояния на рабочей частоте вращения.
В работах [39, 64] проведен анализ причин неудовлетворительного
вибрационного состояния турбоагрегатов после низкочастотной балансировки
роторов в двух плоскостях коррекции.
На рис. 4.6 показаны расчетные критические частоты вращения ротора
НД-3 турбины К-800-240-5 в зависимости от жесткости опор. В зоне реальных
жесткостей встроенных в ЦНД опор (она выделена на рисунке) происходит
снижение частот второй и третьей форм колебаний значительно более резко,
чем первой критической частоты, и рабочая точка, соответствующая жесткости
опор, при которой выполнены дальнейшие расчеты, отстоит от третьей
критической частоты вращения значительно меньше, чем от первой.
156
0
50
100
150
200
1 10 100 1000 10000 100000
Жесткость опор, Н/мкм
Частота
, Гц
1
2
3
4
Рис. 4.6. Зависимость изменения значений собственных частот от жесткости опор (ротор
ЦНД-2 турбины К-800-240-5): 1 – 1-я частота; 2 – 2-я частота; 3 – 3-я частота; 4 – 4-я частота
Выполнение стандартной балансировки на низкочастотном станке в двух
крайних плоскостях коррекции, естественно, улучшает вибрационное
состояние ротора на первой критической частоте. Но при этом происходит
существенное ухудшение его на рабочей частоте вращения (рис. 4.7). Анализ
результатов расчета показывает, что повышение вибрации на рабочей частоте
вызвано главным образом резким ухудшением вибрационного состояния
ротора по третьей форме (на третьей критической частоте). В связи с этим
вибрации опор на рабочей частоте вращения, несмотря на одновременную
близость ко второй критической частоте, являются практически синфазными.
Такие результаты являются вполне предсказуемыми, поскольку балансировка
ротора с дисбалансом по первой форме в крайних плоскостях приводит к
возникновению так называемой V-образной нагрузки, соответствующей ярко
выраженному дисбалансу по третьей форме.
157
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 10 20 30 40 50 60
Частота, Гц
Виброперемещение
опоры
, мкм
1
2
Рис. 4.7. Пример ухудшения вибрации при балансировке грузами в крайних плоскостях
коррекции (НЧБ):
1 - неуравновешенный ротор; 2 - ротор уравновешен грузами в крайних плоскостях
Естественно, что выполненная таким образом балансировка ротора не
обеспечивает приемлемый уровень вибрации на рабочей частоте вращения, где
существенное влияние оказывает дисбаланс по третьей форме. Практические
балансировщики знают, что попытка улучшить вибрационное состояние
агрегата на рабочей частоте вращения путем балансировки в собственных
опорах часто приводит к необходимости установки на ротор симметричной
или, по крайней мере, синфазной системы балансировочных грузов в
противофазе к грузам, установленным ранее в процессе низкочастотной
балансировки. Естественно, что при этом требуется не только удалить грузы,
установленные по результатам низкочастотной балансировки, но и часто
установить в противофазе к ним балансировочные грузы, равные или даже
значительно превышающие их по массе.
Необходимость балансировки валопровода в собственных опорах после
балансировки роторов на станке в крайних плоскостях обычно и служит для
158
многих специалистов обоснованием того, что балансировка роторов на
низкочастотных станках не эффективна и не целесообразна. В
действительности, это лишь указывает на то, что для данного типа роторов
оказались неэффективными выбранные плоскости и методика балансировки.
Удаление ранее установленных при низкочастотной балансировке грузов
подтверждает, что ими был инициирован дисбаланс по третьей форме.
Как показал статистический анализ исходной неуравновешенности,
возникающей в процессе изготовления и ремонта роторов [40], наиболее
вероятным является возникновение дисбалансов по первой и второй формам.
Дисбаланс по первой форме практически отвечает случаю прогиба
ротора, полученного, например, при насадке дисков с нарушением технологии,
особенно в тех случаях, когда сборка ротора производится в горизонтальном
положении. Дисбаланс может быть также внесен при механической обработке
ротора.
Возникновение дисбаланса по второй форме также достаточно вероятно и
может являться результатом некачественной развески лопаток последних
ступеней, большого статического дисбаланса насадных деталей, ошибок при
проточке шеек и т. д.
Дисбаланс по третьей форме менее вероятен как результат
технологических нарушений и, как правило, по величине меньше дисбалансов
по двум первым формам. Но при достаточной близости рабочей частоты
вращения к критической частоте вращения по третьей форме влияние этого
дисбаланса может быть уже существенным.
Приняв допущение, что дисбаланс ротора как жесткого тела определяется
главным образом как сумма дисбалансов только по двум первым формам, в
работе [48] предлагается методика балансировки роторов системами грузов с
использованием принципа ортогональности форм колебаний. Разработанная
расчетно-экспериментальная методика балансировки роторов на
низкочастотных балансировочных станках отличается тем, что балансировка
выполняется системами грузов, располагаемых в плоскостях коррекции вдоль
159
оси ротора в соответствии с формами прогибов по первым двум формам
собственных колебаний ротора на податливых опорах. Это, разумеется, не
балансировка по формам, поскольку процесс балансировки осуществляется на
низкой частоте вращения, но все-таки процесс, максимально учитывающий
теорию форм.
Даже с учетом допущения, что исходный дисбаланс представляется как
сумма дисбалансов только по двум первым формам колебаний и
невозможности при ограниченном количестве и дискретном расположении
плоскостей коррекции реализовать абсолютную ортогональность системы
грузов по одной форме колебаний к другим формам колебаний, такой подход
является достаточно обоснованным. Он позволяет обеспечить высокую степень
сбалансированности ротора или, по крайней мере, несущественное ухудшение
его вибрационного состояния на рабочей частоте вращения. При наличии
дисбаланса по третьей форме, не устраненного в процессе низкочастотной
балансировки, подбалансировку ротора в условиях валопровода можно
осуществить на рабочей частоте вращения, расположенной вблизи собственной
частоты колебаний по третьей форме, либо в крайних плоскостях, либо, как
будет показано далее, что более правильно в этих условиях, в плоскостях
полумуфт.
Сам процесс балансировки и расчет корректирующих масс выполняется
по методике близкой к стандартной, используемой при балансировке на
станках. Отличие состоит только в том, что пробные пуски выполняются не с
отдельными пробными грузами, а с пробными системами грузов,
распределенными вдоль ротора в соответствии с деформациями по первой и
второй формам колебаний.
Разработанная методика успешно опробована и внедряется при
балансировке роторов турбоагрегатов К-800-240-5 [39], ГТН-16 и др.
В.С. Осадченко [41, 42] рассматривал возможность раздельного
уравновешивания деталей гибкого ротора относительно его оси. В дальнейшем
этот метод балансировки получил название поэлементного низкооборотного
160
уравновешивания роторов. Разработкой этого вопроса также занимался
Н.Г. Самаров [55].
Развитие этих идей привело к использованию низкооборотных станков
для определения и компенсации внесенного во время ремонта дисбаланса
путем двукратной балансировки до и после выполнения ремонтных работ [14].
При возможности без чрезмерных затрат производить балансировку гибкого
ротора на станке в процессе его сборки многократно целесообразно выполнять
очередную балансировку после насадки каждой массивной детали с установкой
корректирующей массы на насаживаемую деталь. При этом должны быть
исключены дополнительные прогибы ротора под действием напряжений натяга
насаживаемой детали. Такую балансировку принято называть ступенчатой. По
технологическим и экономическим соображениям ею пользуются крайне редко.
Вместе с тем следует отметить, что для роторов, работающих вблизи
второй и третьей критических частот вращения, при ступенчатой балансировке
в ряде случаев допускаются очень серьезные ошибки. Например, при
переоблопачивании последней ступени, даже без снятия диска, необходимо
производить тщательную моментную развеску лопаток. Бытующее мнение, что
развеска необязательна, поскольку балансировка ротора может быть выполнена
именно в плоскости переоблопаченного диска, не учитывает, что среднее
сечение диска, в которое практически вносится дисбаланс, и паз диска, в
который устанавливается балансировочный груз, удалены друг от друга на
150÷200 мм (рис.4.8,а). Если при низкочастотной балансировке, предположим,
установлен груз массой 1 кг на радиусе 1 м, то на рабочей частоте вращения
создается изгибающий момент порядка 9000÷10000 Н⋅м. Этот момент, с учетом
места его приложения, вызывает, как показывают расчеты, очень существенные
прогибы по второй и третьей форме колебаний ротора. Результат –
неудовлетворительное вибрационное состояние на соответствующих
критических частотах и рабочей частоте вращения. На рис. 4.8,б показаны
расчетные скоростные характеристики ротора НД-2 турбины К-800-240-5 при
дисбалансе, соответствующем неуравновешенной массе 1 кг, установленной в
161
плоскости симметрии диска последней ступени (т. е. в плоскости лопаток), и
приведены результаты расчетов после условной балансировки такого ротора
грузом 1 кг, установленным в балансировочном пазу, который расположен на
наружной стороне диска последней ступени. Результаты расчетов показывают
малую перспективность такой балансировки.
Рис. 4.8. Балансировка ротора с дисбалансом, расположенным в среднем сечении диска,
грузом в штатной плоскости балансировки:
а - диск турбинной ступени с балансировочным пазом;
б - (1 – 1-я опора до уравновешивания; 2 – 2-я опора до уравновешивания;
3 – 1-я опора после уравновешивания; 4 – 2-я опора после уравновешивания)
4.5. БАЛАНСИРОВКА НА РАЗГОННО-БАЛАНСИРОВОЧНЫХ СТЕНДАХ
В целях повышения качества выпускаемых турбоагрегатов и улучшения
их вибрационного состояния на основных турбостроительных заводах в начале
70-х годов были введены в эксплуатацию разгонно-балансировочные стенды
(РБС) типов DH6 - DH10 фирмы «К. Шенк». На РБС типа DH10 допускается
производить балансировку роторов массой от 1,6 до 80 т, диаметром до 5 м и с
расстоянием между подшипниками от 2 до 10 м при частотах вращения от 300
до 4500 мин-1
. Балансировка роторов осуществляется в специальной вакуумной
камере при давлении не выше 1 мм рт. ст. Основным контрольным параметром,
по которому осуществляются балансировка и оценка качества балансировки,
162
является вибрация опор. Более подробное описание конструкции РБС можно
найти в [10, 44].
Внедрение нового балансировочного оборудования поставило задачу
разработки и создания доступной и надежной методики балансировки
двухопорных роторов в широком диапазоне частот вращения. Технологический
процесс балансировки должен был обеспечить высокое качество балансировки
при достаточной его простоте, необходимой для успешной реализации его в
производственных условиях. Не менее важной целью при разработке методики
и технологического процесса является стремление свести к минимуму затраты
времени на балансировку. Следует отметить, что в соответствии с методикой
балансировки и технологическим процессом, рекомендованными фирмой
«К. Шенк», на балансировку одного ротора предполагалось затрачивать от 48
до 72 ч при использовании не более трех плоскостей коррекции.
Как уже указывалось, из теоремы Ден-Гартога следует то, что ротор,
который отбалансирован во всем диапазоне частот вращения от нуля до
рабочей, и при этом отсутствуют (равны нулю) динамические реакции опор в
этом диапазоне, не имеет и упругих деформаций в указанном диапазоне частот
вращения. Это следствие и служит основой методов балансировки гибких
роторов на РБС по коэффициентам влияния, при которых балансировка
осуществляется на основе измерения и устранения вибрации опор в диапазоне
частот вращения от нуля до рабочей частоты вращения. Но, как показывает
теоретический анализ и практика, успех балансировки определяется в основном
способом выбора количества и значений частот коррекции и соотношения
количества частот и плоскостей коррекции.
Рассмотрим вопросы балансировки двухопорного ротора, т. е. наиболее
распространенный случай балансировки роторов в заводских условиях. Расчет
корректирующих масс при балансировке по методу коэффициентов влияния
сводится к решению системы уравнений (4.31), если число искомых
неизвестных равно количеству уравнений, или системы уравнений (4.33), если
число неизвестных меньше числа уравнений.
163
Балансировка по методу коэффициентов влияния путем точного или
приближенного решения системы уравнений может быть осуществлена при
выполнении условия
MN ≥ , (4.38)
где N – число независимых измерений; M – число плоскостей коррекции. Это
соотношение означает, что число плоскостей коррекции не должно превышать
числа независимых измерений.
Необходимое число независимых измерений при контроле вибрации двух
опор может быть получено только путем измерения вибрации на нескольких
частотах вращения в диапазоне от нуля до рабочей частоты вращения. Тогда
каждая пара векторных уравнений характеризует условия равновесия на одной
из частот коррекции. Однако эти частоты не могут быть выбраны произвольно.
Так, например, если выполнить измерения на двух или нескольких частотах
вращения, незначительно отличающихся друг от друга, или все измерения
выполнить в диапазоне частот вращения, где не проявляются свойства гибкости
ротора, то вычисленные по этим измерениям ДКВ будут линейно связаны
между собой с точностью до погрешности измерения. В результате этого может
быть получена так называемая вырожденная система уравнений, когда число
неизвестных практически превышает число уравнений, и попытка ее решения
приводит к ошибочным результатам определения корректирующих масс.
На основе анализа большого количества расчетов и экспериментов было
установлено, что для роторов, работающих между первой и второй
критическими частотами, существуют лишь пять диапазонов частот, измерения
в которых могут дать независимые условия (табл. 4.2):
164
Таблица 4.2
Выбор частот коррекции
Диапазон независимых частот
вращения
Границы диапазона Рекомендуемая частота
коррекции
Жесткий ротор 0 ≤ n ≥ 0, 65 n1 кр (0,3 - 0,5) n1 кр
Докритический 0,65 n1 кр ≤ n ≥ 1,0 n1 кр (0,9 - 0,95) n1 кр
Закритический 1,0 n1 кр ≤ n ≥ 1,3 n1 кр (1,05 - 1,1) n1 кр
Переходный 0,7 nэ ≤ n ≥ 0, 85 nэ (0,8 - 0,85) nэ
Эксплуатационный 0,85 nэ ≤ n ≥ 1, 1 nэ (1,0 - 1,1) nэ
Так, например, для ротора, первая критическая частота которого
составляет 1750 мин-1
, а рабочая частота вращения – 3000 мин-1
, в качестве
частот коррекции могут быть рекомендованы 450, 1650, 1900, 2500 и
3000 мин-1
.
Из условия существования пяти «независимых» диапазонов частот
вращения следует, что балансировка указанного ротора может быть
осуществлена не более чем в десяти плоскостях коррекции. Сравнивая это с
ранее указанным числом плоскостей коррекции для наиболее
распространенных типов турбинных роторов (5÷6 плоскостей), необходимость
которых обосновывается теоремой Ден-Гартога, можно сделать вывод, что для
полной балансировки ротора достаточно трех частот коррекции, которые
позволяют судить о распределении дисбаланса по длине ротора. Вместе с тем
увеличение количества частот вращения до 5 и использование метода расчета
по наименьшим квадратам позволяют повысить устойчивость решения. Так,
например, использование двух частот коррекции, лежащих ниже и выше
критической частоты, позволяет, во-первых, получить более устойчивые
результаты измерений, чем это могло иметь место при измерениях на
критической частоте вращения, и, во-вторых, обеспечивает меньшую
погрешность при расчете корректирующей системы грузов, если при
измерениях все-таки была допущена случайная ошибка, поскольку измерения
165
на указанных частотах в какой-то степени дублируют друг друга, оставаясь при
этом независимыми. Использование низкой частоты вращения, при которой
отсутствуют динамические прогибы ротора, позволяет обеспечить
уравновешенность ротора как жесткого тела, что в дальнейшем существенно
облегчает контроль состояния ротора в условиях ремонта на станции, где
имеются только низкочастотные балансировочные станки. При этом,
естественно, целесообразно иметь еще две плоскости коррекции, максимально
близко расположенные к опорам. Таким образом, общее рекомендуемое
количество плоскостей коррекции на турбинных роторах составляет 7÷8.
Выбор мест расположения плоскостей коррекции связан с формами
колебаний, которые следует учитывать при балансировке ротора. Считается,
что при дискретном расположении плоскостей вдоль оси ротора
предпочтительно располагать их в местах пучности упругой линии и, как уже
указывалось, вблизи опор. Вместе с тем опыт балансировки большого
количества роторов показал, что существенное несовпадение плоскостей
коррекции с плоскостями, в которых расположены дисбалансы, приводит к
резкому росту корректирующих масс и ухудшению общего результата
балансировки. Поэтому при выборе мест расположения плоскостей коррекции
необходимо учитывать конструктивные особенности ротора и располагать
плоскости коррекции максимально близко к местам возможного дисбаланса.
Так, например, для насадных роторов плоскости коррекции должны быть на
крупных насадных деталях: дисках, втулках и, что особенно важно, на
консольных участках роторов (на полумуфтах).
Опыт балансировки показал, что наличие плоскостей коррекции на
консольных участках является необходимым условием качественной
высокочастотной балансировки. Отсутствие их приводит к невозможности
устранения упругих деформаций в широком диапазоне частот вращения, к
появлению дополнительных внутренних моментов и резкому увеличению
корректирующих масс в плоскостях коррекции, расположенных в межопорном
пролете. Даже в случае удовлетворительных результатов балансировки
166
отдельного ротора без использования корректирующих плоскостей на
консольных участках при приемлемом уровне остаточных вибраций опор
нельзя гарантировать нормальную работу ротора в турбине, когда условия
работы консольных участков изменяются. Таким образом, в дополнение к
предложениям Ден-Гартога, рекомендуемое количество плоскостей для
роторов с массами на консолях должно быть увеличено на число таких
консолей и для рассматриваемых роторов турбин может достигать 9÷10.
В тех случаях, когда число уравнений близко к числу неизвестных или
равно ему, часто получают системы уравнений с плохо обусловленными
матрицами, несмотря на то, что частоты коррекции выбираются из разных
диапазонов частот вращения. Кроме того, при балансировке новых
конструкций роторов часто возникает необходимость перепроверить
правильность выбора «независимых» частот коррекции. Автором был
предложен метод проверки степени обусловленности матрицы путем расчета
коэффициента корреляции между строками матрицы. Статистический
коэффициент корреляции между двумя любыми строками матрицы, например
j и k , имеет вид
∑ ∑
∑
= =
==M
i
M
iikij
M
iikij
jk
aa
aa
R
1 1
22
1. (4.39)
Опыт показал, что значения jk
R ниже 0,5 практически гарантируют
независимость уравнений и, следовательно, исключают получение ошибочных
результатов при расчете корректирующих грузов.
По описанной методике были отбалансированы свыше 300 роторов
турбоагрегатов различного типа. Результаты показали правильность основных
положений разработанной методики. Количество пусков при балансировке
роторов не превышало М + 3 пуска, из которых М + 1 пуск являлись пробными
и два пуска (два шага балансировки) выполнялись с установленными
167
системами корректирующих грузов (в 50 % случаев достаточно проведения
одного шага балансировки, так как снижение вибрации на первом шаге
составляло обычно не менее 80 % от начальных значений). Это позволило
сократить время балансировки роторов по сравнению с указанным в
технических условиях на РБС в 2÷3 раза при осуществлении балансировки при
значительно большем количестве плоскостей коррекции.
На основе описанной методики был разработан и внедрен типовой
технологический процесс, отличительной особенностью которого была впервые
осуществленная непрерывность процесса балансировки роторов при сменной
работе персонала. Разработанные приемы многоплоскостной балансировки
были полностью или частично использованы на многих предприятиях
энергомашиностроения, авиационного и ракетного двигателестроения.
4.6. БАЛАНСИРОВКА ВАЛОПРОВОДОВ В СОБСТВЕННЫХ ПОДШИПНИКАХ
Создание крупных энергетических агрегатов определило необходимость
уравновешивания многоопорных систем (валопроводов), состоящих из гибких
роторов. Применение теории уравновешивания по собственным формам
колебаний к многоопорным системам роторов принципиально не отличается от
её использования для двухопорных роторов: здесь также применимо
последовательное независимое определение и компенсация каждой из
собственных форм упругого прогиба распределенными системами грузов,
подобными k -й собственной форме отдельного ротора, входящего в систему
валопровода, и ортогональными остальным формам. Однако в этом случае,
ввиду сложности определения реальных собственных форм упругого прогиба
связанной системы роторов и невозможности распределения
уравновешивающих грузов в соответствии с собственной формой из-за
ограниченного доступа к плоскостям коррекции собранного агрегата,
трудности использования метода уравновешивания по собственным формам
ещё больше возрастают.
168
Сущность первых предложенных методов балансировки валопроводов
заключалась в сведении многоплоскостной балансировки к эквиваленту
одноплоскостной балансировки путем последовательного определения систем
грузов, компенсирующих вибрацию на одной опоре и не влияющих на
вибрацию остальных (метод нулевых систем, метод групп грузов [17]). Эти
методы были разработаны в то время, когда был очень низкий уровень развития
вычислительной техники, поэтому систему уравнений приходилось решать
вручную, что вызывало серьезные трудности.
Рост материальных потерь при простоях и пусках агрегата при
балансировочных работах требовал проведения балансировок в собственных
опорах с минимальным количеством пусков. Это оказалось достижимо лишь
при использовании ЭВМ [15, 16] для расчета корректирующих систем грузов.
Для уравновешивания валопроводов используют методику балансировки по
динамическим коэффициентам влияния с оптимизацией расчета по методу
наименьших квадратов [37, 51].
Использование средних (обобщенных) коэффициентов влияния для
балансировки однотипных турбоагрегатов существенно могло бы снизить
количество пробных пусков, являющихся дорогостоящими операциями.
Высказывались идеи накопления данных по балансировочным
чувствительностям [19]. Но значительные отличия в получаемых
экспериментально коэффициентах влияния для однотипных агрегатов не
позволили полностью отказаться от пробных пусков.
Факторы, которые обусловливают изменение, иногда очень
существенное, коэффициентов влияния при переходе от одного турбоагрегата к
другому, можно разделить на несколько групп. Во-первых, это характеристики,
которые непосредственно относятся к опорам агрегата либо могут быть к ним
приведены: демпфирование и жесткость масляной пленки подшипников
скольжения, опор турбоагрегата и элементов его фундамента; нагрузки на
опоры; массы участвующих в колебаниях элементов. Во-вторых, это
динамические и жесткостные характеристики самого валопровода, в известной
169
мере зависящие от технологии изготовления и сборки. В-третьих, это частота
вращения, режим работы агрегата, величины пробных грузов и стабильность
характеристик используемой виброизмерительной аппаратуры [61].
Попытки прямого осреднения коэффициентов влияния при помощи
векторной алгебры, например, реализованной в программе «Баланс», не
приводили к улучшению процесса балансировки, так как такой способ
неприемлем для векторов. Е.С. Трунин и В.В. Сацук в работе [62] предложили
метод вероятностно-статистического анализа комплексных динамических
коэффициентов влияния ika . Ими был разработан метод проверки на
однородность двумерных величин ika (выраженных через проекции) и
«отбраковки» их крайних значений.
Накопленный положительный опыт балансировок без пробных пусков с
помощью средних коэффициентов влияния, полученных при помощи
вышеописанного статистического анализа, не дает оснований считать
полученные средние значения ДКВ достоверными. Сравнение коэффициентов
влияния конкретного агрегата с рекомендуемыми для него средними
коэффициентами показывает их расхождение, иными словами, достигнуть
эффективного снижения вибрации без дополнительной корректировки
устанавливаемых грузов нельзя. Возможная причина этих расхождений –
использование при статистической обработке двумерных величин, т. е.
проекций коэффициентов влияния на координатные оси.
Стремление снизить количество балансировочных пусков турбоагрегата,
приводит к необходимости одновременного использования нескольких
плоскостей коррекции. Но невысокое качество исходной информации,
используемой при балансировках с применением ЭВМ, приводит к неудачным
результатам. В связи с этим интересны работы А.В. Салимона и
В.М. Тараканова [52, 53], в которых рассматривается вопрос о влиянии
достоверности коэффициентов влияния на степень снижения вибрации при
балансировке и предлагается способ повышения её эффективности.
170
А.В. Салимон и В.М. Тараканов вывели формулы для вычисления расчетных
погрешностей, которые при векторном суммировании с расчетными
коэффициентами влияния дают исправленные коэффициенты. Способ,
предложенный авторами, позволяет при минимальном количестве пусков
скорректировать коэффициенты влияния для конкретной турбины, но не
решает проблему получения достоверных средних КВ для всего парка
однотипных агрегатов.
В работе [44] Б.Т. Руновым впервые была поставлена задача
использования расчета вынужденных колебаний динамической системы
валопровод-опоры-основание турбоустановки для решения проблемы
балансировки в эксплуатационных условиях с использованием минимального
количества пробных пусков или вообще без них. Эта работа легла в основу
создания расчетно-экспериментального метода балансировки гибких
многоопорных валопроводов турбоагрегатов. В расчетную часть метода входит
решение задачи вынужденных колебаний системы
валопровод-опоры-основание типовых турбоагрегатов применительно к
балансировке, а в экспериментальную – согласование полученных данных с
параметрами вынужденных колебаний балансируемого турбоагрегата. Развитие
этих идей можно найти в работе [70]. Несмотря на практическую ценность
метода расчета вынужденных колебаний, с помощью последнего не всегда
можно получить достаточно точные коэффициенты влияния и соответственно
балансировочные грузы. В значительной степени это происходит вследствие
неоднородности динамических характеристик однотипных машин: различия в
податливости конструктивно одинаковых опор; в характеристиках
демпфирования; неодинаковых характеристиках масляного слоя подшипников;
недостаточной надежности вводимых в расчет динамических характеристик. До
недавнего времени при расчетах использовались упрощенные модели, что было
связано с ограничениями в производительности ЭВМ, которые не учитывали
большое количество факторов. При нынешнем состоянии вычислительной
техники появилась возможность уйти от существенного упрощения при
171
расчетах, что, безусловно, должно отразиться на качестве получаемых в ходе
расчетов коэффициентов влияния.
4.7. ПУТИ СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ МЕТОДОВ БАЛАНСИРОВКИ ГИБКИХ
РОТОРОВ НА РБС И ВАЛОПРОВОДОВ В СОБСТВЕННЫХ ОПОРАХ
4.7.1. Обобщение динамических коэффициентов влияния (ДКВ)
Практика балансировки показывает, что использование метода
балансировки по коэффициентам влияния с использованием ранее полученных
(накопленных) значений ДКВ не всегда приводит к успешному исходу. Это
относится не только к попыткам применения некоторых средних значений ДКВ
для одного типоразмера роторов или турбоагрегатов, но и попыткам
применения ДКВ, полученных ранее на том же турбоагрегате, и даже к
попыткам использования ДКВ, полученных в процессе одной и той же
балансировки при разных вибрационных состояниях агрегата. Связано это с
разбросом (нестабильностью) значений динамических коэффициентов влияния,
причины которого можно разделить на несколько групп.
Во-первых, это нестабильность и нелинейность таких параметров
колебательной системы, которые непосредственно относятся к опорам агрегата
либо могут быть к ним приведены: демпфирование и жесткость масляной
пленки подшипников скольжения, жесткость опор и фундамента; нагрузки на
опоры; массы, участвующие в колебаниях элементов и др.
Во-вторых, это нестабильность и нелинейность динамических и
жесткостных характеристик самого валопровода, в известной мере зависящих
от конструкции роторов и технологии их изготовления и сборки.
В-третьих, это отклонения и погрешности, возникающие в процессе
самой балансировки и вызванные такими факторами, как нестабильность и
непостоянство частоты вращения, изменениями режима работы агрегата и его
теплового состояния, ошибками в величинах и углах установки пробных и
балансировочных грузов, погрешностями и нестабильностью показаний
172
используемой виброизмерительной аппаратуры, расчетными погрешностями
и т. д.
Попытки использовать средние коэффициенты влияния также не всегда
дают желаемые результаты. Это связано, по нашему мнению, не только с
неправильной методикой осреднения, но и с тем, что само понятие (и,
следовательно, методы) получения осредненных значений ДКВ не подходит к
обработке ДКВ, поскольку мы утверждаем, что разброс значений ДКВ
определяется не только случайными погрешностями измерений, но и имеет
физические обоснования.
Рассмотрим существующие методики осреднения поподробнее. Первая из
них - простое нахождение среднего коэффициента влияния методами векторной
алгебры, реализованное в программе «Баланс», имеющей широкое
распространение на электростанциях. Такой подход в корне неприемлем, так
как эту процедуру можно проводить только над величинами, имеющими
случайное распределение, чего нельзя сказать о векторах влияния, которые
имеют разброс по фазе до 180°. Рассмотрим в качестве примеров два
предельных случая векторного осреднения двух векторов: векторы ДКВ,
практически равные по модулю, но либо имеющие противоположные
направления, либо ортогональные друг другу (направленные под углом 90°
друг к другу).
В результате векторного суммирования в первом случае «средний
вектор» по модулю будет равен нулю и направлен под углом 90° к исходным
векторам. Во втором случае «средний вектор» по модулю будет равен 0,7 от
значений модулей исходных векторов и направлен под углом ± 45° к исходным
векторам. Таким образом, можно заметить, что осреднение векторов методами
векторной алгебры имеет тенденцию к существенному уменьшению значения
модуля «среднего вектора» и нелогичному значению фазы этого вектора.
Методика, предложенная Е.С. Труниным в работах [61, 62], только
отчасти лишена этого недостатка, так как предварительно происходит
исключение крайних или нехарактерных значений векторов влияния
173
(«отбраковка»), а уже затем идет обработка оставшихся данных методами
математической статистики. Но из формул, приведенных в работах, видно, что
процесс «отбраковки» основан на независимом рассмотрении векторов в
проекциях на координатные оси. Очевидно, что такой подход к осреднению
векторных величин часто также недопустим и ведет к искажению результатов.
Рассмотрим результаты действия алгоритмов по осреднению
коэффициентов влияния на конкретном примере. На рис. 4.9 представлена
выборка из 34 векторов влияния для одного сочетания точка измерения –
плоскость коррекции. Для того чтобы не загромождать рисунок, векторы
обозначены только конечной точкой. На этом же рисунке представлены
векторы, полученные в результате работы программ по осреднению векторов
влияния.
Рис. 4.9. Сравнение работы программ по осреднению векторов влияния:
1 - вектор, осредненный по предлагаемой методике;
2 - вектор, осредненный по методике Е.С. Трунина;
3 - вектор, осредненный векторной алгеброй
Цифрой 3 обозначен вектор ДКВ, полученный по программе «Баланс»,
цифрой 2 – вектор ДКВ, полученный по алгоритму Е.С. Трунина. Кривая,
соединяющая точки 3 и 2, показывает изменение модуля математического
174
ожидания среднего вектора влияния в процессе отбраковки нехарактерных
точек распределения по методу Е.С. Трунина. Прослеживается явная тенденция
к уменьшению величины модуля осредненного коэффициента влияния.
Математическое ожидание среднего вектора изменяется от 40 мкм/кг под углом
119° вначале до 25 мкм/кг под 95° в конце процесса «отбраковки». Линии,
параллельные осям координат, очерчивают границы рассмотрения векторов
после процесса «отбраковки» (из 34 векторов после всех проверок остается
только лишь 10). Использование такой методики недостаточно оправданно, так
как она ведет к искусственному занижению модулей коэффициентов влияния,
что приводит к неоправданно большим по массе корректирующим грузам при
балансировках.
Предлагаемая методика обобщения (важно отметить – не осреднения, а
обобщения) ДКВ в корне отличается от ранее предложенных и используемых
методик. Это отличие базируется прежде всего на двух постулатах.
Во-первых, речь не может идти об осреднении всего массива ДКВ,
поскольку изначально разброс получаемых значений ДКВ определяется не
только случайными погрешностями измерений, но и обусловливается
физическими причинами. Поэтому правильней говорить о поиске наиболее
вероятных значений ДКВ при наиболее вероятных значениях исходных
величин уровней вибраций, геометрических размеров и характеристик
подшипников и т. д. и распределений дисбаланса по ротору или валопроводу.
Во-вторых, надо помнить, что ДКВ являются векторными величинами,
разброс значений которых определяется разбросом значений модуля и фазового
угла. Покажем, что основным фактором, определяющим успешность
использования ДКВ при балансировке, является разброс фазовых углов.
Разброс, или погрешность, значения модуля ДКВ при их разумных
величинах (до 100 %) при отсутствии погрешности фазы приведет только к
недобалансировке или перебалансировке ротора при первом шаге
балансировки, но при этом все равно будет получен положительный эффект
балансировки. Ошибка же или разброс в величине фазового угла ДКВ на
175
величину более 60°, даже при абсолютной точности модуля, приведет к
отрицательным результатам балансировки. Последнее следует из простого
геометрического построения, когда при ошибке фазового угла в 60° вектор
остаточной вибрации окажется равным величине исходной вибрации (векторы
исходной вибрации, коэффициента влияния и остаточной вибрации являются
сторонами равностороннего треугольника). При ошибке фазового угла более
чем на 60° модуль вектора остаточной вибрации всегда превышает модуль
вектора исходной вибрации.
Предлагаемая методика, также основанная на вероятностно-
статистических методах, отличается тем, что в ней не применяется разложение
векторов на составляющие по координатным осям, а обработка в целях
выяснения наиболее вероятных значений ДКВ ведется по ряду фаз векторов
влияния. Рассмотрим это на примере валопровода турбоагрегата К-800-240-5.
Анализу подвергся обширный материал по динамическим
коэффициентам влияния для турбоагрегатов К-800-240-5, собранный на
Сургутской ГРЭС-2 и Пермской ГРЭС. Этот материал был систематизирован
следующим образом: для каждого сочетания «точка измерения i - плоскость
коррекции j » была образована совокупность идентичных точек. Количество
точек в совокупностях колебалось в пределах от 5 до 40. Анализ ДКВ велся по
ряду фаз. Расположение плоскостей коррекции вдоль валопровода
соответствует схеме, приведенной на рис. 4.10.
Рис. 4.10. Расположение плоскостей коррекции на К-800-240-5
176
Для определения законов распределения фаз векторов ДКВ были
построены полигоны частот. Под частотой следует понимать термин из теории
вероятностей и математической статистики. Согласно [30], «частотой события
данной случайной выборки называется количество выборочных значений
величины, попавших в заданный интервал». При классическом способе
построения графиков эмпирических распределений прибегают к методике,
описанной в [56]: «наблюденные в выборке значения подвергаются
группировке, т. е. шкала интересующего нас варьирующего признака
подразделяется на некоторое число интервалов (разрядов), и затем
рассматриваются не отдельные значения величины, а группы значений,
попавших в последовательно расположенные интервалы». Выбор количества
интервалов не может быть произвольным. При слишком большом числе
интервалов картина распределения искажается случайными «зигзагами» частот,
что иллюстрирует рис. 4.11, на котором представлена гистограмма частот при
ширине интервала в 2°.
Рис. 4.11. Гистограмма частот при ширине интервалов в 2 градуса
177
При слишком малом числе интервалов сглаживаются и затушевываются
характерные особенности распределения (рис. 4.12).
Рис. 4.12. Гистограмма частот при ширине интервалов в 45°
Поэтому ширина интервалов должна выбираться определенным образом,
исходя из следующего принципа: во всех случаях установка корректирующего
груза должна давать эффект на улучшение, т. е. модуль остаточного вектора
вибрации должен быть по величине меньше модуля исходного вектора
вибрации.
Рассмотрим вибрацию опоры 0
iА , характеризующуюся амплитудой
вибрации А и фазовым углом ϕ , а также корректирующий вектор B от
установки груза в плоскость коррекции j , равный произведению
динамического вектора влияния ij
a на массу m корректирующего груза.
Будем искать допустимую предельную погрешность по углу (угол β )
установки груза для случая, когда корректировка улучшает исходную
178
вибрацию не менее чем в n раз. Иными словами, после установки груза модуль
вибрации опоры должен удовлетворять неравенству
( ).,2,1,1 01
…=≤ nАn
Аii
(4.40)
Графическую интерпретацию этой задачи при условии, что угол вектора
влияния (фаза ДКВ) определен с угловой ошибкой β , можно увидеть на
рис. 4.13. После установки балансировочного груза начальная вибрация
уменьшилась, но остаточная вибрация, естественно, не стала равной нулю.
Рис. 4.13. Графическое представление процесса балансировки
Согласно теореме косинусов выразим конечную вибрацию 1
iА через
исходную вибрацию, коэффициент влияния и угол β :
( ) ( ) .cos202201 βBABAАiii
−+= (4.41)
Учитывая (4.40), можно получить неравенство
( ) ( ) .1
cos2 00220
iiiА
nBABA ≤−+ β (4.42)
Предполагая, что модуль коэффициента влияния определен точно, т.е.
погрешность равняется 0, можно считать корректирующий вектор равным по
179
модулю вектору исходной вибрации 0
iАВ ≈ . Тогда искомая допустимая
угловая погрешность ДКВ определится из соотношения
.2
11arccos
2
−≤
nβ (4.43)
Согласно (4.43), для того, чтобы улучшить в ходе балансировки
исходную вибрацию не менее чем в два раза, угол β не должен превосходить
28,95°. Иными словами, ошибка по углу установки груза не больше чем в
28,95° в любом случае приведет к снижению вибрации не менее чем в 2 раза.
Этот результат получен для случая, когда коэффициент влияния был
определен с абсолютной точностью. Но в действительности, коэффициенты
влияния всегда определяются с какой-то погрешностью. Предположим
погрешность определения равной 10 %. Графически это можно выразить при
помощи окружности радиуса 0,1 от длины вектора с центром в конце
расчетного вектора влияния. Расчеты показывают, что для выполнения условия
(4.40) при новых ограничениях необходимо ужесточать неравенство (4.43):
αβ −
−≤
22
11arccos
n, (4.44)
где α - угловая поправка на допустимую угловую погрешность, определяемая
по формуле )100/arcsin(σα ≈ , где σ - относительная погрешность в
измерении модуля вибрации, выраженная в процентах.
Согласно расчетам для улучшения исходной вибрации не менее чем в два
раза при погрешности определения модуля коэффициента влияния в 10 % угол
β не должен превосходить 20°. Эти результаты можно перенести с ошибок
при установке груза на фазовые ошибки в определении коэффициентов
влияния. Таким образом, ошибка в определении коэффициента влияния по фазе
до ± 20° приведет к снижению исходной вибрации не менее чем в 2 раза.
Учитывая то, что погрешности определения коэффициентов влияния по
модулю в большинстве случаев составляют 10÷15% и что желательно достигать
180
снижения вибрации за один балансировочный пуск на 70÷75 %, определяем по
приведенным выше формулам допустимую фазовую ошибку ДКВ, которая
составляет ± (10÷15)о, что хорошо согласуется с практическими данными.
Исходя из вышеописанных данных, ширина интервалов для построения кривой
распределения определяется значением в 20÷30°.
Изменение ширины интервалов при построении полигонов частот
приводит к сдвигу экстремальной зоны (моды). Согласно [30], «модой
эмпирического распределения называется значение, имеющее наибольшую
частость». Для устранения этого эффекта был использован «скользящий
диапазон». При определении частот рассматривались группы значений в
интервалах, частично перекрывающих друг друга, при этом шаг смещения
границ интервалов составлял 1°. Такая процедура позволяет не пропустить тот
интервал, который содержит наибольшее количество точек, следовательно,
точнее определить моду. Проверки показали, что при применении
«скользящего диапазона» изменения ширины интервалов в пределах 20÷30°,
изменение моды составляет 1°. При определении частот были исключены из
рассмотрения динамические коэффициенты влияния с модулем, меньшим
5 мкм/кг. Это было сделано для того, чтобы такие маленькие коэффициенты не
вносили «помехи» в определение наиболее вероятного диапазона фаз.
Используя вышеописанный алгоритм, были построены полигоны частот
для всех сочетаний точка измерений – плоскость коррекции, некоторые из
которых представлены на рис. 4.14 и 4.15. Анализ полученных результатов
позволил установить следующее: полигоны по всем выборкам имеют
экстремальный характер. Выделением экстремальной зоны из полученных
полигонов частот были получены наиболее вероятные значения фазы
коэффициентов влияния. Для того чтобы не допустить ошибки в определении
моды, применялся следующий прием.
181
Рис. 4.14. Обработка ряда фаз ДКВ (плоскость 2ед, точка 5В)
Рис. 4.15. Обработка ряда фаз ДКВ (плоскость 2ед, точка 6В)
182
Поиск диапазона, содержащего максимальное количество коэффициентов
влияния, производился в двух направлениях: по возрастанию и по убыванию
варьирующего признака, т. е. фазы. Тем самым исключалась возможность не
принять во внимание два или более равновероятных диапазона, расположенных
рядом. За фазу наиболее вероятного коэффициента влияния принималось
значение середины выбранного диапазона.
После того как был выявлен наиболее вероятный диапазон фаз ДКВ,
выполняется обработка модулей ДКВ. Модуль наиболее вероятного вектора
ДКВ рекомендуется определять следующим образом:
,1
2
z
B
А
z
kk∑
== (4.45)
где z – количество векторов влияния, попавших в наиболее вероятный
диапазон; kB – модули ДКВ, лежащих в наиболее вероятном диапазоне.
Определение модуля по формуле (4.45) приводит к увеличению его
значения по сравнению с математическим ожиданием, определяемым как
.1
1
∑=
=z
kkB
Bz
M (4.46)
Увеличение модуля коэффициента влияния положительно с той точки
зрения, что при расчетах балансировочных грузов будут получены меньшие по
массе корректирующие грузы.
На рис. 4.9 имеется возможность сравнить результаты работы
предлагаемой методики с другими алгоритмами. Угловой сектор, образованный
лучами под 90 и 110°, обозначает диапазон, содержащий максимальное
количество векторов (12 шт.), т. е. моду. Точка 1 представляет собой
полученный по предлагаемой методике вектор ДКВ, который лежит в середине
этого диапазона. Сразу же бросается в глаза существенная разница по модулю
между вектором, определенным по предлагаемой методике
183
(точка 1 – 45 мкм/кг), и вектором, полученным по алгоритму Е.С. Трунина
(точка 2 – 25 мкм/кг), при сравнительно небольшом расхождении по фазе: 100 и
95° соответственно.
Таблица 4.3
Значения динамических коэффициентов влияния
Номер
опоры
Номер плоскости коррекции
1 2 2 сим 2 кс 3 4 5 6 6 сим 6 кс
4 - - 13 111 - - - - - - - - - - - - - - - -
5 38 74 41 86 12 156 121 85 23 232 40 320 30 323 34 76 9 330 - -
6 25 331 45 260 9 145 130 289 34 110 44 83 44 80 28 198 12 76 41 173
7 40 194 35 17 11 51 125 356 22 120 49 108 35 79 56 116 13 137 59 93
8 34 266 32 267 - - 104 249 23 65 33 9 51 344 40 233 13 160 62 276
9 22 66 28 356 - - 27 349 14 102 23 65 16 126 33 48 10 74 22 353
10 30 300 17 246 - - 37 231 16 344 30 335 28 306 30 247 21 283 24 228
Номер
опоры
Номер плоскости коррекции
7 8 9 10 10 сим 10 кс 11 12 13 14
4 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
5 17 208 19 226 - - 42 55 - - 34 101 32 21 19 245 12 203 9 250
6 35 3 44 112 20 108 37 203 13 156 49 223 20 20 25 22 23 150 22 110
7 54 263 34 339 20 353 36 71 11 115 54 73 35 286 18 273 9 177 20 220
8 33 89 43 114 19 130 32 214 8 137 52 201 53 357 18 325 10 60 18 57
9 37 185 21 122 38 160 45 100 21 155 111 129 34 270 33 310 15 200 14 343
10 39 47 36 10 56 341 34 251 15 214 143 298 32 83 42 103 7 25 18 182
11 - - - - 20 347 35 340 9 338 45 340 19 211 18 105 12 146 13 15
12 - - - - - - 18 29 - - 20 71 17 257 20 172 16 175 9 166
В табл. 4.3 приведены наиболее вероятные значения ДКВ, полученные по
описанной методике, для турбоагрегата К-800-240-5 по всем доступным
плоскостям коррекции на рабочей частоте вращения на холостом ходу.
4.7.2. Совершенствование методов балансировки гибких роторов
на разгонно-балансировочном стенде
Как уже указывалось, разработанная и внедренная на многих
предприятиях методика балансировки роторов на РБС по коэффициентам
влияния хорошо показала себя для роторов, работающих между первой и
второй критическими частотами вращения. В то же время при использовании
этой методики для роторов, рабочие частоты которых лежат вблизи и выше
второй критической частоты вращения, возникли трудности в ее применении и
качество балансировки не всегда отвечало предъявляемым требованиям.
184
Анализ результатов численного моделирования роторов указанного типа
при различных видах распределенного дисбаланса показал, что существует
одновременно несколько причин, определяющих снижение качества
балансировки роторов.
Во-первых, увеличение количества собственных частот в рабочем
диапазоне частот вращения и близость к рабочей частоте вращения одной или
нескольких частот более высоких собственных форм колебаний, оказывающих
влияние на упругие деформации на рабочей частоте вращения, требует
существенного увеличения количества плоскостей коррекции. В то же время
конструктивные параметры роторов, как правило, таковы, что упругие
деформации роторов сосредоточены главным образом на участках вблизи шеек.
Пучности по второй и более высоким собственным формам при этом
располагаются достаточно недалеко друг от друга, что сопровождается
близкими значениями модулей ДКВ от единичных грузов, в плоскостях,
расположенных на указанных участках. При этом фазовые углы ДКВ
существенно отличаются, имея в ряде случаев противофазные значения.
Во-вторых, увеличение числа плоскостей коррекции требует увеличения
числа уравнений в системе (4.31). Увеличение числа уравнений может быть
достигнуто только за счет увеличения числа скоростей коррекции,
гарантирующих независимость измерений. Сделать это становится значительно
сложнее из-за близости расположения собственных частот в верхней части
диапазона частот вращения друг к другу и к рабочей частоте вращения. Кроме
того, увеличение числа скоростей коррекции в верхней части диапазона
приводит к тому, что качество балансировки на рабочей частоте вращения,
особенно если в качестве единицы измерения вибрации используется
виброскорость, достигается снижением качества балансировки на первой
критической частоте вращения и на частоте вращения, характеризующей
качество сбалансированности ротора как жесткого тела.
В-третьих, для балансировки ротора во всем диапазоне частот вращения
определяющим становится метод предварительной низкочастотной
185
балансировки. Без предварительной НЧБ не удается обеспечить выполнение
нулевого и пробных пусков ротора во всем диапазоне частот вращения из-за
очень высоких вибраций на отдельных частотах вращения, прежде всего
близких к критическим. В то же время стандартная балансировка в двух
плоскостях, как это уже указывалось выше, создает предпосылки к
возникновению неуравновешенности по третьей форме и, как результат этого,
часто вызывает недопустимую по условиям работы РБС вибрацию опор на
рабочей частоте вращения. Кроме того, выполнение НЧБ в двух плоскостях
коррекции приводит к установке в эти плоскости балансировочных грузов,
имеющих значительные массы. При дальнейшей высокочастотной
балансировке эти массы подвергаются корректировке, но осуществляется это
крайне неэффективно и требует часто нескольких пусков.
Предлагаемая расчетно-экспериментальная методика балансировки
двухопорных гибких роторов на РБС учитывает указанные недостатки и
предполагает следующие технологические этапы:
1. Расчет собственных частот и форм колебаний ротора с учетом жесткости
опор РБС.
2. Оптимизация количества и расположения плоскостей коррекции путем
численного моделирования вынужденных колебаний, обеспечивающих
качественное уравновешивание роторов по всем определяющим формам
колебаний. В число определяющих включаются все формы, частоты которых
расположены в рабочем диапазоне частот вращения, и, как минимум, одна - две
формы, частоты которых лежат выше максимальной частоты вращения.
3. Низкочастотная балансировка ротора системами грузов, распределенных
вдоль оси ротора в соответствии с первой и второй формами колебаний.
4. Испытание ротора на разгон до максимальной допустимой частоты
вращения с последующей корректировкой результатов НЧБ.
5. Выполнение пробных пусков с системами грузов, распределенных по всем
определяющим собственным формам. Измерения производятся во всем
186
диапазоне частот вращения с шагом 0,05÷0,1 от максимальной частоты
вращения.
6. Расчет балансировочных грузов методом итераций при одностороннем или,
при целесообразности, двухстороннем вращении.
7. Выполнение балансировочных пусков.
Хотя указанный порядок балансировки читателю должен быть ясен из
предыдущих разделов настоящей главы, мы сделаем некоторые пояснения.
Этапы 1 и 2 являются предварительными и выполняются в процессе
проектирования агрегата. Выполнение расчетов по п. 1 позволяет определить
характер распределения балансировочных грузов по всем определяющим
формам, а выполнение этапа по п. 2 позволяет выбрать необходимое и
достаточное количество и расположение плоскостей коррекции. Последнее до
настоящего времени вообще не выполнялось и является существенным вкладом
в совершенствование процессов проектирования роторов и балансировки.
Необходимость выполнения НЧБ (этап 3) системами грузов по двум
первым формам колебаний обосновывалось ранее в разделе, описывающем
балансировку на низкочастотных станках. Указанная балансировка
обеспечивает в значительной степени устранение дисбаланса по первым двум
формам и, как правило, гарантирует приемлемый уровень вибрации опор РБС
во всем диапазоне частот вращения, в т. ч. и на рабочей частоте вращения. Если
после разгонных испытаний ротора изменяется дисбаланс ротора как жесткого
тела, что чаще всего связано с изменением положения дисков, изменением
прогиба вала и т. д., то рекомендуется выполнить повторную низкочастотную
балансировку ротора (этап 4).
Этапы 5 и 6 являются определяющими в предлагаемой методике
балансировки и требуют наиболее полного пояснения.
Использование в качестве пробных распределенных по соответствующим
формам систем грузов является элементом метода балансировки по
собственным формам. Вместе с тем дискретность и относительно малое число
плоскостей, используемое при распределении грузов по формам, естественно,
187
не обеспечивает абсолютную ортогональность этих систем, но обеспечивает
большую степень влияния этих систем на соответствующие формы и меньшую
степень влияния на другие формы колебаний. Таким образом, систему
уравнений равновесия, полученных по результатам пробных пусков и
описывающих вибрационное состояние ротора во всем диапазоне частот
вращения с заданным шагом по частоте вращения (то, что носит название
«скоростных характеристик»), можно условно разделить на группы уравнений,
описывающих вибрационное состояние ротора в зоне каждой критической
частоты вращения, в которых значимыми являются прежде всего ДКВ по
соответствующей форме колебаний.
Естественно, что полученную переопределенную систему уравнений
нельзя решать прямыми методами, но зато итерационный метод решения такой
системы получает физическое обоснование. На каждом шаге итерации будет
предлагаться та система грузов, которая наиболее эффективна для устранения
вибрации в диапазоне той критической частоты, дисбаланс по которой при
данном состоянии ротора вызывает наибольшую вибрацию.
Подведем итог того, что мы достигаем использованием предложенного
метода. Во-первых, балансировка осуществляется методом коэффициентов
влияния со всеми его преимуществами по сравнению с методом балансировки
по формам. Во-вторых, при использовании большого количества плоскостей
коррекции резко уменьшается число пробных пусков, поскольку оно
определяется не количеством плоскостей коррекции, а числом
корректирующих систем грузов. В-третьих, использование систем грузов
одновременно с использованием итерационного метода расчета грузов
обеспечивает высокую селективность этих систем к исходному дисбалансу
ротора: используются прежде всего те плоскости коррекции, которые наиболее
эффективны при данном виде дисбаланса. Использование итерационного
метода расчета балансировочных грузов вместе с тем позволяет отойти от
достаточно субъективного выбора скоростей коррекции и осуществлять
балансировку ротора действительно во всем диапазоне частот вращения,
188
используя для этого скоростные (амплитудно-фазочастотные) характеристики,
получение которых при современном состоянии измерительной техники не
представляет каких-либо сложностей.
4.7.3. Совершенствование балансировки валопроводов
в собственных опорах
В идеальном случае балансировка в собственных опорах является
доводочной операцией, компенсирующей технологические отклонения,
допущенные при сборке турбоагрегата, незначительные эксплуатационные
расцентровки и дисбалансы, остающиеся на отдельных элементах, не
подвергавшихся балансировке, таких, например, как промежуточные вставки
валопровода.
Для турбоагрегатов, роторы турбин которых работают между первой и
второй критическими частотами, балансировка в собственных опорах - хорошо
отлаженный процесс, освоенный большинством специалистов. Вместе с тем
важно отметить, что балансировка не есть универсальный процесс устранения
вибрации, какие бы причины ее не вызывали.
Во-первых, балансировка агрегата в принципе может изменить уровень
только его оборотной вибрации. Поэтому бессмысленно пытаться уменьшить
уровень низкочастотной или, наоборот, высокочастотной вибрации путем
балансировки роторов валопровода в собственных опорах. Другое дело, что,
достигая балансировкой уменьшения оборотной составляющей вибрации,
можно в ряде случаев обеспечить приемлемый общий уровень вибрации
агрегата.
Во-вторых, при возникновении недопустимой по уровню оборотной
вибрации, особенно если вибрация зависит от режима работы агрегата, его
теплового состояния и т. д., балансировкой можно в ряде случаев
оптимизировать вибрационное состояние агрегата, обеспечив допустимый
уровень вибрации на наиболее вероятных режимах работы. Очевидно, что и в
этих случаях неуравновешенность роторов валопровода не является
189
единственной и основной причиной повышенной вибрации, хотя и играет
некоторую роль. Например, при значительной расцентровке опор агрегата в
вертикальном направлении, которая может быть вызвана изменением
теплового состояния корпусов подшипников и фундамента или кручением
ригелей, может принципиально измениться схема опирания валопровода. Одни
опоры при этом нагружаются, другие разгружаются. В предельном случае одна
из опор может полностью разгрузиться и схема опирания двух сопряженных
роторов из четырехопорной может превратиться в трехопорную. При этом
межопорное расстояние для ротора, опора которого «провалилась»,
увеличивается. Это изменяет динамические характеристики системы, в
частности собственные частоты валопровода. Кроме того, дисбалансы,
расположенные вблизи «провалившейся» опоры и ранее не оказывающие
существенного влияния на динамические прогибы ротора, оказавшись
значительно ближе к зоне максимального прогиба, могут вызвать значительные
вибрации ротора и валопровода в целом. Естественно, что в описанном случае
балансировкой валопровода на рабочем режиме можно добиться приемлемых
вибрационных показателей агрегата. Но достигнуто это будет, как правило,
ухудшением вибрационного состояния агрегата на холостом ходу. По
большому счету, гораздо целесообразней принять меры по оптимизации
центровки агрегата и устранению причин эксплуатационной расцентровки.
Вместе с тем тенденции развития турбостроения направлены на рост
единичной мощности агрегатов. Это, с одной стороны, приводит к тому, что,
как уже ранее неоднократно указывалось, валопроводы современных турбин
включают роторы, работающие вблизи второй и даже третьей собственных
частот изгибных колебаний, с другой стороны, в турбине появляется несколько
роторов, чаще всего РНД, выполненных конструктивно идентично и имеющих
близкие динамические характеристики.
В результате этого возникают два момента, с которыми необходимо
считаться при вибрационной наладке турбоагрегатов:
190
Во-первых, даже незначительные дисбалансы, внесенные в процессе
ремонта роторов, особенно вызывающие колебания по второй и третьей
формам, приводят к резкому ухудшению вибрационного состояния на рабочей
частоте вращения из-за близости ее к критическим частотам. Резкое повышение
вибрации наблюдается также при повышении частоты вращения выше рабочей,
например, при испытании автомата безопасности.
Во-вторых, поперечные колебания роторов валопровода имеют очень
значительную продольную связность. Столь высокая продольная связность
поперечных колебаний определяется прежде всего близостью всех роторов НД
на рабочей частоте вращения к собственным критическим частотам по второй и
третьей формам. Высокой продольной связности при низкой динамической
жесткости роторов благоприятствует и использование жестких соединений
роторов (жестких муфт). Зачастую максимальный уровень колебаний опор на
рабочей частоте вращения возникает не на опорах наиболее
разбалансированного ротора, а на опорах ротора, собственная частота которого
наименее удалена от рабочей частоты вращения. Это подтверждается и тем, что
ДКВ многих плоскостей коррекции на ближайшие к ним опоры, в том числе и
на опоры ротора, на котором располагаются эти плоскости коррекции, или
незначительно превосходят, или даже уступают ДКВ этих же плоскостей на
удаленные опоры (см. табл. 4.3).
Все перечисленные факторы очень усложняют вопросы виброналадки
турбоагрегатов указанного типа. Ярким примером агрегатов такого типа
является турбоагрегат К-800-240-5. Виброналадочные работы на этих агрегатах
после их выхода из ремонта сопряжены с большим количеством пусков и
остановов, с установкой больших по величине балансировочных грузов. В
конечном итоге чаще всего удается привести вибрацию опор агрегата на
рабочей частоте вращения к допустимому уровню. Но следует понимать, что
при балансировке валопровода в ограниченном количестве доступных
плоскостей компенсируется влияние исходного дисбаланса только на вибрацию
опор и только при холостом ходе и при соответствующем тепловом состоянии
191
агрегата. Использование ограниченного доступного числа плоскостей
коррекции и балансировка на одной частоте вращения, как правило, не
устраняет имеющиеся на роторах дисбалансы и вызванные ими прогибы.
Изменение динамических прогибов на рабочей частоте под воздействием
эксплуатационных параметров, таких как тепловое состояние роторов,
центровка опор, изменение крутящего момента и т. д., оказывает существенное
влияние на вибрационное состояние агрегата, делая его нестабильным,
поскольку валопровод работает вблизи критических частот вращения. Более
того, балансировка валопровода в целях устранения симметричных
составляющих вибрации опор, вызванных первой и третьей формами,
установкой симметричной пары грузов в плоскостях крайних дисков роторов
НД, т. е. в единственно доступных местах в межопорном пространстве,
является абсолютно неэффективным, поскольку такие системы имеют очень
малые значения ДКВ, определяемые тем, что плоскости коррекции зачастую
совпадают с плоскостями нечувствительности по первой и третьей формам
(см. табл. 4.3). В то же время значительные по массе симметричные системы
грузов существенно ухудшают условия прохождения первой критической
частоты вращения, а на рабочей частоте вращения увеличивают прогиб по
первой форме колебаний, компенсирующий внесенный дисбаланс по этой
форме. В результате вибрация опор балансируемого ротора на рабочей частоте
вращения изменяется незначительно, а возросший прогиб балансируемого
ротора из-за высокой продольной связности вызывает резкое увеличение
вибрации опор других роторов агрегата (см. табл. 4.3).
Вместе с тем анализ показывает, что использование всех существующих
программ балансировки при значительной продольной связности поперечных
колебаний валопровода может привести к негативным последствиям.
Балансировочные грузы, полученные в результате расчетов по критерию
«минимумов квадратов остаточных вибраций», могут быть установлены не в
местах наличия дисбалансов, а в плоскостях, имеющих максимальные
коэффициенты влияния на вибрацию того или иного подшипника.
192
Уменьшить вероятность этого можно только за счет использования в
процессе балансировки систем с относительно малым влиянием на удаленные
опоры. Исходя из результатов выполненного обобщения ДКВ для
турбоагрегата К-800-240-5 (табл. 4.3), к таким системам можно отнести прежде
всего кососимметричные системы, устанавливаемые на крайние диски роторов
НД и единичные грузы в полумуфтах.
Гораздо худшими с этой точки зрения являются единичные грузы в
крайних плоскостях коррекции и системы симметричных грузов. Кроме того,
ДКВ симметричных систем имеют существенно меньшие значения по
сравнению с другими ДКВ и, следовательно, определены со значительно
большими погрешностями. Оба эти фактора приводят к установке очень
больших по массе и неэффективных грузов.
Повысить качество балансировки и ускорить ее процесс можно, если
отказаться от использования двух последних групп ДКВ. Но отказаться от их
использования можно будет только в том случае, если предварительно
гарантировано устранение неуравновешенности отдельных роторов
валопровода по первой форме. Приведенные ранее результаты анализа
показали, что достигнуть этого можно только низкочастотной балансировкой
роторов распределенными системами. Тогда для роторов, работающих вблизи
частот второй и третьей собственных форм, вполне качественно могут быть
устранены остаточные дисбалансы по этим формам при использовании
кососимметричных систем грузов и грузов в плоскостях муфт.
Наиболее подходящим методом расчета грузов является итерационный
метод расчета грузов. Пошаговая балансировка тем более целесообразна, если
учесть, что даже обобщенные значения ДКВ пригодны только для первого шага
балансировки и требует корректировки при последующих шагах.
Использование данного метода не требует введения в расчет необоснованных
значений дисперсий, которые оказывают не только положительный
«тормозящий» эффект, ограничивая массу балансировочных грузов, но и
обладают «паразитным влиянием», внося существенные ошибки в определение
193
угла установки грузов. «Тормозящий» эффект при использовании
итерационного метода с использованием «приведенных» ДКВ уже
автоматически заложен в значения их модулей, поскольку они получены как
средние квадратичные значения, а не как математические ожидания, и,
следовательно, имеют большие значения. Кроме того, при использовании
итерационного метода расчета грузов есть возможность прекратить процесс
итерации по достижении определенного уровня вибрации в тех случаях, когда
дальнейшие расчеты не гарантируют достоверной информации об остаточном
уровне вибрации из-за погрешности принятых ДКВ (см. п. 4.1.3).
194
4.БАЛАНСИРОВКА РОТОРОВ .......................................................................... 113
4.1.Общие положения................................................................................................................................... 113
4.2.Методы и критерии балансировки жестких роторов ...................................................................... 116
4.2.1.Основные положения балансировки жестких роторов ................................................................ 116
4.2.2.Векторный метод балансировки двухопорного ротора ................................................................ 122
4.2.3.Балансировка роторов с использованием динамических коэффициентов влияния................... 131
4.3.Методы и критерии балансировки гибких роторов ........................................................................ 135
4.3.1.Особенности балансировки гибких роторов ................................................................................. 135
4.3.2.Балансировка гибких роторов методом форм ............................................................................... 139
4.3.3.Балансировка гибких роторов методом коэффициентов влияния .............................................. 146
4.4.Балансировка на низкочастотных станках ....................................................................................... 152
4.5.Балансировка на разгонно-балансировочных стендах ................................................................... 161
4.6.Балансировка валопроводов в собственных подшипниках ........................................................... 167
4.7. ...... Пути совершенствования методов балансировки гибких роторов на РБС и валопроводов в
собственных опорах .................................................................................................................................................... 171
4.7.1.Обобщение динамических коэффициентов влияния (ДКВ) ........................................................ 171
4.7.2.Совершенствование методов балансировки гибких роторов на РБС ......................................... 183
4.7.3.Совершенствование балансировки валопроводов в собственных опорах .................................. 188
195
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Den Hartog J.P. The balancing of flexible rotors // Air, Space and Instruments. –
1962. – 5 − P. 165-182.
2. French M.J. Balancing High Speed Rotors at Low Speeds // The Engineer. – 1963.
– 3. – P. 1154-1159.
3. Meldahl A. Auswuchten elastischer Rotoren – ZAMM. − 1954. − Bd 34, 8/9.
4. А. с. 1671907 СССР, МКИ5 F 05 D 5/06. Ступень осевой турбомашины
/ Костюк А.Г., Серков С.А., Чистов А.А., Урьев Е.В., Алексо А.И. //
Открытия. Изобретения. – 1991. – 31.
5. А. с. 1682604 СССР, МКИ5 F 01 D 9/02. Ступень осевой турбомашины /
Костюк А.Г., Серков С.А., Чистов А.А., Урьев Е.В., Алексо А.И. //
Открытия. Изобретения. – 1991. – 37.
6. Абалаков Б.В., Банник В.П., Резников Б.И. Монтаж и наладка
турбоагрегатов и вспомогательного оборудования машинного зала. – М.:
Энергия, 1976. – 208 с.
7. Альтшулер Л.Э., Шибер В.Л. Об уравновешивании гибких роторов на
низкооборотных балансировочных станках // Энергомашиностроение. –
1973. – 3. – С. 27-28
8. Бабаков И.М. Теория колебаний. – М.: Госиздат, 1958. – 628 с.
9. Бауман Н.Я., Яковлев М.И., Свечков И.Н. Технология производства паровых
и газовых турбин. – М.: Машиностроение, 1973. – 464 с.
10. Березкин В.В. Технология турбостроения. – Л.: Машиностроение, Ленингр.
отд-ние, 1980. – 720 с.: ил.
11. Бишоп Р., Паркинсон А. Применение балансировочных машин для
уравновешивания гибких роторов // Конструирование и технология
машиностроения. – 1972. – 2. – C. 66-84.
12. Брановский М.А., Лисицын И.С., Сивков А.П. Исследование и устранение
вибрации турбоагрегатов. – М.: Энергия, 1969. 232 с.
13. Вумер В., Пилки В. Балансировка вращающихся валов с применением
квадратичного программирования // Конструирование и технология
машиностроения. – 1981. – 4. – С. 110-113.
14. Гольдин А.С. Вибрация роторных машин. – М.: Машиностроение, 2000. –
344 с.
15. Гольдин А.С. Использование ЭЦВМ при уравновешивании турбоагрегатов //
Теория и практика балансировочной техники / Под ред.
В.А. Щепетильникова. – М.: Машиностроение, 1973. – С. 51-59.
16. Гольдин А.С. Оперативное использование ЦВМ при уравновешивании
турбоагрегатов // Электрические станции. – 1972. – 9. – С. 43-45.
17. Гольдин А.С. Оптимизация расчета уравновешивающих грузов //
Исследование и устранение вибрации турбоагрегатов. – М.: Энергия, 1972. –
С. 78-82.
18. Гольдин А.С. Устранение вибраций турбоагрегатов на тепловых
электростанциях. – М.: Энергия, 1980. – 96 с.: ил.
196
19. Гольдин А.С., Шишкин В.В. Использование комплексных балансировочных
чувствительностей при уравновешивании турбоагрегатов в собственных
подшипниках // Исследование и устранение вибрации турбоагрегатов. – М.:
Энергия, 1972. – С. 58- 63.
20. ГОСТ 25364-97. Агрегаты паротурбинные стационарные. Нормы вибрации
опор валопроводов и общие требования к проведению измерений. М.: ИПК
Издательство стандартов, 1998.
21. ГОСТ 27165-97. Агрегаты паротурбинные стационарные. Нормы вибрации
валопроводов и общие требования к проведению измерений. М.: ИПК
Издательство стандартов, 1998.
22. Гудмэн Т.П. Применение метода наименьших квадратов для вычисления
балансировочных поправок // Конструирование и технология
машиностроения. – 1964. – 3. – С. 67-75.
23. Гусаров А.А. Динамика и балансировка гибких роторов. – М.: Наука, 1990.
152 с.
24. Диментберг Ф.М. Изгибные колебания вращающихся валов. - М.: Изд. АН
СССР, 1959. – 247 с.
25. Диментберг Ф.М., Шаталов К.Т., Гусаров А.А. Колебания машин. – М.:
Машиностроение, 1964. – 308 с.
26. Достижения в балансировке роторов на разгонно-балансировочных стендах.
Перспективы развития и совершенствования методики и технологии
балансировки / С.В. Жуков, В.В. Кравчук, Т.А. Недошивина, Е.В. Урьев //
Тяжелое машиностроение. – 2002. – 2. – С. 18-20.
27. Зенкевич В.А. Уравновешивание гибких роторов распределенными
системами // Уравновешивание роторов энергетических машин / ЦИНТИЭП.
− М.: Энергия, 1962. − С. 86-99.
28. Иориш Ю.И. Виброметрия. – М.: Машиностроение, 1965. – 773 с.
29. Келленбергер В. Как следует балансировать гибкий ротор: в N или (N+2)
плоскостях? // Конструирование и технология машиностроения. – 1972. –
2. – С. 53-65.
30. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая
статистика. – М.: Высшая школа, 1973. − 198 с.
31. Костюк А.Г. Динамика и прочность турбомашин: Учебник для вузов. – 2-е
изд., перераб. и доп. – М.: МЭИ, 2000. – 480 с.
32. Костюк А.Г., Ручнов А.П., Куменко А.И. Расчет характеристик
динамической устойчивости валопроводов мощных паровых турбоагрегатов
// Теплоэнергетика. – 1987. – 8. – С. 9-12.
33. Костюк А.Г., Шатохин В.Ф., Иванов Н.Н. Расчет пороговой мощности
крупных турбоагрегатов // Теплоэнергетика. – 1974. – 3. – С. 37-42.
34. Левит М.Е., Рыженков В.М. Балансировка деталей и узлов. – М.:
Машиностроение, 1986. – 248 с.
35. Лунд Г., Тоннесен К. Теоретическое и экспериментальное исследование
многоплоскостной балансировки гибкого ротора // Конструирование и
технология машиностроения. – 1972. – 1. – С. 242-246.
197
36. Максименко А.И. Оптимальное уравновешивание роторов на
балансировочных станках // Колебания и уравновешивание роторов / Под
ред. А.А. Гусарова. – М.: Наука, 1973. – С. 94-98.
37. Методические указания по балансировке многоопорных валопроводов
турбоагрегатов на электростанциях: МУ 34-70-162-87 / Разраб. ВТИ. – М.:
СПО «Союзтехэнерго», 1988. – 125 с.
38. Молочек Е.А. Ремонт паровых турбин. – М.: Энергия, 1968. – 376 с.
39. Недошивина Т.А., Голоусов К.В., Урьев Е.В. Исследование динамических
характеристик и методов балансировки роторов, работающих вблизи второй
и третьей критических частот // Совершенствование теплотехнического
оборудования ТЭС, внедрение систем сервисного обслуживания,
диагностирования и ремонта: Мат. III Межд. науч.-практ. конф. –
Екатеринбург: ГОУ УГТУ-УПИ, 2002. – С. 181-188.
40. Недошивина Т.А., Урьев Е.В. Возможности балансировки гибких роторов на
низкооборотных станках // Сб. науч. тр. II Отчет. конф. молодых ученых
ГОУ УГТУ-УПИ. – Екатеринбург: ГОУ УГТУ-УПИ, 2002.–Ч.1. – С. 181-182.
41. Осадченко В.С. Вопросы технологии уравновешивания роторов турбомашин
// Теория и конструкция балансировочных машин / Под ред.
В.А. Щепетильникова. – М.: Машгиз, 1963. – С. 296-314.
42. Осадченко В.С. Уравновешивание сборных роторов турбомашин //
Уравновешивание машин и приборов / Под ред. В.А. Щепетильникова. – М.:
Машиностроение, 1965. – С. 243-251.
43. Основы балансировочной техники / Под ред. В.А. Щепетильникова. – М.:
Машиностроение, 1975. – Т.1. – 527 с.
44. Основы балансировочной техники /Под ред. В.А.Щепетильникова. – М.:
Машиностроение, 1975. – Т.2. – 679с.
45. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. – М.:
Физматгиз, 1960. – 193 с.
46. Пилки В., Бейли Д. Методы балансировки гибких валов при наложении
ограничений // Конструирование и технология машиностроения. – 1979. –
2. – С. 91-95.
47. Пилки В., Бэйли Д., Смит П. Расчетный метод оптимизации
уравновешивающих грузов и осевого расположения балансировочных
плоскостей вращающихся валов // Конструирование и технология
машиностроения. – 1983. – 1. – С. 52-56.
48. Разработка и внедрение метода балансировки гибких роторов на
низкочастотных балансировочных станках системами распределенных
грузов / Е.В. Урьев, Т.А. Недошивина, К.В. Голоусов, С.В. Жуков,
В.В. Кравчук // Проблемы вибрации, виброналадки, вибромониторинга и
диагностики оборудования электрических станций: Сб. докл. / Под общ. ред.
А.В. Салимона. – М.: ВТИ, 2001. – С. 31-35.
49. Расчет на прочность деталей машин: Справочник / И.А. Биргер, Б.Ф. Шорр,
Г.Б. Иосилевич и др. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Машиностроение,
1993. – 702 с.
198
50. Рунов Б.Т. Исследование и устранение вибрации паровых турбоагрегатов. –
М.: Энергоиздат, 1982. – 352 с.
51. Рунов Б.Т. Уравновешивание турбоагрегатов на электростанциях. – М.;Л.:
Госэнергоиздат, 1963. 183 с.
52. Салимон А.В., Тараканов В.М. Об уменьшении числа пробных пусков при
многоплоскостной балансировке валопроводов турбоагрегатов //
Электрические станции. – 1978. – 1. – С. 42-44.
53. Салимон А.В., Тараканов В.М., Рузский В.А. Особенности балансировки
роторов энергетических турбоагрегатов // Современные методы и средства
балансировки машин и приборов / Под ред. В.А. Щепетильникова. – М.:
Машиностроение, 1985.
54. Самаров Н.Г. Статико-динамическое уравновешивание упруго-
деформируемых роторов // Уравновешивание машин и приборов / Под ред.
В.А. Щепетильникова. – М.: Машиностроение, 1965. – С. 234-243.
55. Самаров Н.Г. Уравновешивание гибких роторов по элементам // Теория и
практика уравновешивания машин и приборов / Под ред.
В.А. Щепетильникова. – М.: Машиностроение, 1970. – С. 162-170.
56. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и
математической статистики для технических приложений. – М.: Наука, 1969.
193 с.
57. Тессаржик Д., Бэдгли Р., Андерсон В. Метод точной балансировки гибких
роторов в дискретных сечениях по коэффициентам влияния при заданных
скоростях // Конструирование и технология машиностроения. – 1972. – 1.
– С. 158-164.
58. Тессаржик, Бэдгли. Применение коэффициентов влияния для
экспериментальной оценки балансировки гибких роторов по методу
дискретных сечений при заданных скоростях и методу наименьших
квадратов // Конструирование и технология машиностроения. – 1974. – 2.
– С. 254-265.
59. Тондл А. Динамика роторов турбогенераторов. М.: Энергия, 1971. – 412 с.
60. Тоннесен Р. Экспериментальное исследование балансировки
высокоскоростного гибкого ротора // Конструирование и технология
машиностроения. – 1974. – 2. – С. 42-53.
61. Трунин Е.С. Повышение эффективности процесса балансировки
турбоагрегатов / Электрические станции. 1973. – 4. – С. 83-84.
62. Трунин Е.С., Сацук В.В. Анализ комплексных динамических коэффициентов
влияния современных турбоагрегатов // Изв. АН Казахской ССР. Сер. физ.-
мат. – 1973. – 1.
63. Трухний А.Д. Стационарные паровые турбины. – М.: Энергоатомиздат,
1990. – 640 с.
64. Урьев Е.В., Радчик И.И. Балансировка гибких роторов на станках «Диамех»
// Электрические станции. – 2003. – 3. – С. 30-34.
65. Урьев Е.В., Урьев А.В., Львов М.И. Балансировка роторов турбоагрегатов на
разгонно-балансировочном стенде // Энергомашиностроение. – 1976. – 4.
– С. 24-26.
199
66. Фертиков М.В. Совершенствование способов определения корректирующих
грузов при балансировке роторов методом коэффициентов влияния //
Совершенствование турбин и турбинного оборудования: Регион. сб. науч.
ст. – Екатеринбург: УГТУ, 1998.
67. Фридман В.М. Уравновешивание гибких валов по формам свободных
колебаний // Уравновешивание роторов энергетических машин: Сб. /
ЦИНТИЭП. – М.: Энергия, 1962. – С. 32-53.
68. Фудзисава Ф., Сиохато К. Экспериментальное исследование балансировки
многопролетного ротора при помощи метода наименьших квадратов //
Конструирование и технология машиностроения. – 1980. – 3. – С. 107-114.
69. Черч А., Планкет Р. Балансировка гибких роторов // Конструирование и
технология машиностроения. – 1961. – 4. – С. 13-20.
70. Шибер В.Л., Гольдин А.С. Использование расчетов вынужденных колебаний
турбоагрегатов для совершенствования методов балансировки // Вибрация
паровых турбоагрегатов / Под ред. Б.Т. Рунова. – М.: Энергоиздат, 1981. –
С. 70-79.
71. Шубин А.А. Уравновешивание гибких роторов без их вращения // Теория и
практика уравновешивания машин и приборов / Под ред.
В.А. Щепетильникова. – М.: Машиностроение, 1970. – С. 121-126.
72. Шульженко Н.Г., Воробьев Ю.С. Численный анализ колебаний системы
турбоагрегат – фундамент. – Киев: Наукова думка, 1991. – 232 с.
73. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. – М.: Наука, 1980. –
507 с.
38
Вопросы для самопроверки к главе 1
1. Какие колебания называются свободными? Какие колебания называются
вынужденными?
2. Какие колебания называются гармоническими? Что такое круговая (циклическая)
частота?
3. Что называется фазовым углом или фазой гармонических колебаний? Что
называется начальным фазовым углом или начальной фазой гармонических
колебаний?
4. Что понимается под сложением колебаний? Какие два предельных случая
сложения колебаний различают? Приведите примеры.
5. Что такое синхронные и несинхронные гармонические колебания? Какие
колебания являются результирующими при сложении синхронных гармонических
колебаний? Какие колебания являются результирующими при сложении
несинхронных гармонических колебаний?
6. В результате сложения каких колебаний получают колебания, называемые
биениями? Чему равна круговая частота биений?
7. Какие колебания являются результирующими при сложении гармонических
колебаний с кратными циклическими частотами?
8. Какое представление периодической функции называется разложением в ряд
Фурье? Что такое спектр частот колебания?
9. Какую форму имеет траектория результирующего движения точки при сложении
двух взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты?
10. Как называются фигуры, описываемые точкой при сложении двух взаимно
перпендикулярных колебаний?
11. Чем вызывается затухание свободных колебаний?
12. Чем вызываются вынужденные колебания? С какой частотой происходят
вынужденные колебания?
13. Чем определяется число степеней свободы?
14. В чем заключается принцип Даламбера?
15. Какие виды демпфирования существуют? Как называются силы трения,
пропорциональные скоростям? Какое направление имеют эти силы по отношению к
направлению скорости?
16. Чем определяется собственная частота системы? Чему равна собственная частота
системы без трения с одной степенью свободы? Оказывает ли трение существенное
влияние на значение собственной частоты системы?
17. Какой величиной определяется темп уменьшения амплитуды затухающих
колебаний?
18. Каков физический смысл коэффициента динамичности? Какие значения может
принимать коэффициент динамичности при значениях относительной частоты
вынуждающей силы α , равных 0, 1, ∞?
19. Какой физический смысл имеет фазовый угол 21
tgα
αβγ
−= ? Какие значения
может принимать фазовый угол γ при значениях относительной частоты
вынуждающей силы α , равных 0, 1, ∞?
20. Сколько собственных частот и собственных форм колебаний имеет система с n
степенями свободы?
21. Каков физический смысл условия ортогональности?
76
Вопросы для самопроверки к главе 2
1. В чем состоят принципиальные отличия колебаний вращающегося изотропного
вала от колебаний аналогичной балки?
2. Что представляет собой явление самоцентрирования?
3. Какая частота вращения называется критической частотой?
4. Какой ротор называется жестким, а какой – гибким?
5. Что называется прецессионным движением? Какая прецессия называется прямой,
а какая – обратной? Чем характеризуется синхронная прецессия?
6. Каким образом влияет на собственную частоту системы ротор−опоры
податливость опор?
7. Чем характерны колебания изотропного ротора на анизотропных опорах?
8. Что представляют собой траектории вынужденных колебаний вала на изотропных
и анизотропных опорах?
9. Чем объяснить появление обратной прецессии в интервале между двумя
критическими частотами?
10. Почему максимум коэффициента динамичности вращающегося вала смещается в
сторону α , больших единицы?
11. Как ведет себя прогиб вала по отношению к направлению центробежной силы,
вызванной эксцентриситетом?
12. Какое влияние оказывает гироскопический эффект на критическую частоту
вращения вала?
13. Чем характерны колебания анизотропного ротора на изотропных опорах?
14. Что называется критической скоростью второго рода?
15. Что такое валопровод? Какая схема опирания смежных роторов называется
трехопорной, а какая – четырехопорной?
16. Что представляют собой собственные частоты валопровода?
112
Вопросы для самопроверки к главе 3
1. Назовите четыре основных фактора, определяющих колебания турбоагрегата.
2. Перечислите основные причины, вызывающие вибрацию турбомашин.
3. Какие колебания носят название оборотной вибрации?
4. Почему большинство возмущающих сил, возникающих в турбоагрегате и
вызывающих вынужденные колебания турбомашин, как правило, кратны частоте
вращения валопровода?
5. Какие вибрации носят название высокочастотных? Какие из них называются
супергармоническими колебаниями?
6. Какие вибрации носят название низкочастотных? Какие из них называются
субгармоническими колебаниями?
7. Что является основной причиной вибрации агрегата с частотой вращения?
8. Оказывает ли статический прогиб равножесткого ротора влияние на его
вибрацию?
9. Охарактеризуйте неуравновешенность ротора через взаимное положение оси
вращения и главной центральной оси инерции. Что такое статическая, моментная,
динамическая, квазистатическая неуравновешенности?
10. Что такое главный вектор дисбалансов и главный момент дисбалансов ротора?
Какое минимальное количество приведенных векторов дисбалансов полностью
характеризует неуравновешенность жесткого ротора?
11. Почему для жестких упругодеформируемых роторов и для гибких роторов
определяющее значение имеют не величины главного вектора дисбалансов и главного
момента дисбалансов ротора, а характер распределения дисбалансов вдоль оси
ротора.
12. Назовите основную цель технологического процесса балансировки ротора.
13. Назовите основные дефекты, возникающие при соединении роторов в валопровод.
14. Какая вибрация характерна для роторов, имеющих неравножесткостность?
15. Какая вибрация характерна для роторов, имеющих эллиптичность шеек?
16. Какие силы являются причиной возникновения автоколебаний роторов? Назовите
основные признаки автоколебаний?
17. Каким критерием характеризуется склонность к возникновению масляной НЧВ?
Поясните влияние отдельных факторов на устойчивость к НЧВ.
18. Перечислите циркуляционные газодинамические силы, вызывающие паровую
НЧВ.
19. Объясните механизм повышения устойчивости к НЧВ с помощью
виброустойчивых уплотнений.
20. Вызывает ли расцентровка по муфтам появление возмущающих сил? Почему и в
каких случаях расцентровка по муфтам оказывает влияние на вибрацию агрегата?
194
Вопросы для самопроверки к главе 4
1. Назовите необходимые и достаточные условия полного уравновешивания
жесткого ротора.
2. Где и почему целесообразно располагать плоскости коррекции при балансировке
жесткого ротора?
3. Сколько классов точности балансировки жестких роторов устанавливает
ГОСТ 22061-76? По какому классу точности рекомендуется балансировать роторы
паровых и газовых турбин, турбокомпрессоров, турбогенераторов, крупных и
средних электродвигателей?
4. Сколько пробных пусков требуется для выполнения балансировки двухопорного
ротора векторным методом?
5. Что представляют собой векторы влияния?
6. Что представляют собой динамические коэффициенты влияния (ДКВ)?
7. Почему условие равенства нулю суммы статических моментов
неуравновешенности и корректирующих масс является необходимым, но
недостаточным для балансировки гибкого ротора?
8. Что означает полностью отбалансировать (уравновесить) гибкий ротор и
выполнимо ли это хотя бы теоретически?
9. Какие постулаты лежат в основе теории уравновешивания по формам собственных
колебаний? В чем недостатки метода балансировки по собственным формам
колебаний, какие трудности возникают при его реализации?
10. Какое следствие теоремы Ден-Гартога служит основой методов балансировки
гибких роторов по коэффициентам влияния, при которых балансировка
осуществляется на основе измерения и устранения вибрации опор в диапазоне частот
вращения от нуля до рабочей частоты вращения?
11. Почему при расчете корректирующих масс при использовании метода
балансировки по ДКВ нашел применение метод наименьших квадратов (НК)? Что
представляет собой функция качества балансировки при использовании метода НК?
12. В чем преимущество использования РБС по сравнению с низкочастотными
балансировочными станками при балансировке гибких роторов?
13. Что такое «независимые» частоты (диапазоны частот) вращения? Почему
возникает необходимость использования при балансировке по методу коэффициентов
влияния измерений, полученных на «независимых» частотах вращения?
14. Перечислите основные пути совершенствования методов балансировки гибких
роторов на РБС и валопроводов в собственных опорах.
Учебное издание
Евгений Вениаминович Урьев
ВИБРАЦИОННАЯ НАДЕЖНОСТЬ И ДИАГНОСТИКА ТУРБОМАШИН
Редактор И.В. Коршунова
ИД 06263 от 12.11.2001 г.
Подписано в печать 19.10.2000 Формат 60х84 1/16
Бумага писчая Плоская печать Усл. печ. л. 11,63
Уч.-изд. л. 8,85 Тираж 200 Заказ Цена «С»
Редакционно-издательский отдел ГОУ ВПО УГТУ-УПИ
620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19
Ризография НИЧ ГОУ ВПО УГТУ-УПИ
620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19
