39

الكفاءات المستهدفة

.توظيف المشتقات لحل مشكالت

التغيرات، التقريب ) استعمال المشتقات لدراسة خواص دالة والمنحني الممثل ليا .(...الخطي، نقطة االنعطاف،

. حساب مشتق دالة مركبة

حل معادلة تفاضمية من الشكل y ' f x، y '' f x . حيثf دالة مألوفة

. دانح راضحتجذ تا عاللح راضح أ xتجح تغز لح y ع انعذل انذ تتغز ت لح انتفاضم عثز

)تعزف انشتمح تأا يم اناس نح )f xعذ أ مطح تشزط جد ذ انشتمح أ انضزعح انهحظح أ

ك يعذل انتغز اح ضثح . نهذالنح عه انتغز ف انكح Δضتخذو انزيز . انتغز انهحظ نهذانح يعذل

:xتغز ضثح إنyتغز y

x

V

V(تزيز الثز) : xتانضثح نـ yك أ كتة يشتك .

dy

dx .و ىو المفضل عند الفيزيائيين

)':يمكن التعبير عن المشتق بعدة طرق )f x ، ( )d

f xdx

، d f

d x،

xD f، x·

.

فيمسوف ألماني،1716 - 1646( اليبنتزأيضا ) من اليبنتز غوتفريد فيمهيمم

.مكتبي، ومحامي عالم طبيعة، عالم رياضيات، دبموماسي، ، التي كان يصف بيا كل(1694 ")دالة رياضيةاليبنتز بالتعبير يرتبط اسم

.، مثل ميل المنحنى أونقطة معينة عمى المنحنىمنحنى متعمقة ب كمية يعتبر اليبنتز مع نيوتن أحد مؤسسي عمم التفاضل و التكامل و بخاصة تطوير

.لمفيوم الحديث لمبدأ انحفاظ الطاقة مفيوم التكامل و قاعدة الجداء ، كما طور

غوتفريد اليبنتز 1646 - 1716

40

O I

MJ

T

x

أولنشاط

رسمنا في الشكل الموالي المنحنيين fCو gCالممثمين لدالتين fو g

معرفتين و قابمتين لالشتقاق عمى المجال 2;3و بعض مماساتيما .

:أحسب األعداد المشتقة التالية. 1

1f 1g 2f 2g

1f g 2fg 3

1f

2

f

g

من المجالxمن أجل كل . 2 0;2نضع : 2 1h x f x

أحسب 0h 3 و

2h

.

ثاننشاط

لنصف الدائرةIJ نقطة من القوسM في الشكل المقابل،(1

المرفقة بالمعمم المركزية ; ,O I J . x قيس بالراديان لمزاوية الموجية ,OI OM

+ T و لتكن النقطة

تقاطع المستقيم OMمع المستقيم العمودي عمى OIفي I . ما ىي القيم التي تأخذىاx؟

ما ىي قيمx 0 التي يكون من أجمياIT 1 ؟IT ؟

حدد القوس الذي يشمل النقطM1 بحيث يكونIT .

عبر عن المسافةIT بداللة cosx و sin x.

;0 المعرفة عمى المجالf نعتبر الدالة(22

بـ sin

cos

xf x

x

أحسب 0f ، 4

f

و 3

f

.

أعط تفسيرا ىندسيا لـ 1باستعمال السؤال f x.

بواسطة قراءة عمى الدائرة المثمثية ضع تخمينا حول اتجاه تغير الدالةf0 عمى المجال;2

.

تحقق من صحة تخمينك باستعمال حاسبة بيانية.

أحسب 2

limx

f x

.أعط تفسيرا بيانيا لمنتيجة المحصل عمييا.

41

ثالث نشاط uو vدالتان معرفتان عمى و 0; عمى الترتيب بـ 2 1u x x x و v x x

vتعيين الدالة المركبة (1 u

: لدينا المخطط التالي v b v u a v b u a u a بين أن الدالةv uمعرفة عمى . من أجل كل عدد حقيقيaعبر بداللة ،a عن v u a .

حساب (2 u a و v b

الدالةuقابمة لالشتقاق عمى و الدالة vقابمة لالشتقاق عمى 0; .عين الدالتينu و v .

أرسم و أتمم الجدول الموالي( 310تدور النتائج إلى ) .يمكننك استعمال مجدول.

حساب (3 v u a

أنقل ثم باستعمال حاسبة بيانية أتمم الجدول الموالي:

(310تدور النتائج إلى )

v u a a 2 - 1,5 1 - 0,5 0 0,5 1 1,5 2

خمن عالقة بين u a ، v bمن جية و v u aمن جية ثانية .

42

االشتقاقية

الدالة المشتقة- العدد المشتق. 1

a و .a منIدالة معرفة عمى مجال f :تعريف hعددان حقيقيان من I 0 معh .

إذا قبمت النسبةa تقبل االشتقاق عندf نقول أن f a h f a

h

نياية محدودة لما يؤول h0 إلى .

و نرمز ليا بالرمزa عندf تسمى ىذه النياية العدد المشتق لمدالة f a .

: لدينا إذن

0limh

f a h f af a

h

أو

limx a

f x f af a

x a

x و ذلك بوضع a h

و تسمى الدالة I نقول أنيا تقبل االشتقاق عمىI منx االشتقاق عند كل عدد حقيقيfإذا قبمت الدالة :مالحظة :f x f x الدالة المشتقة لمدالة f.

مماس منحني دالة. 2

و ليكن منIدالة معرفة عمى مجال f :تعريف و خاصية Cتمثيميا البياني في معمم ; ,O I J .

االشتقاق عندf إذا قبمت0xفإن Cيقبل عند النقطة 0 0;A x f x

مماسا Tمعامل توجييو 0f xو معادلتو : 0 0 0y f x x x f x

المشتقات المتتابعة. 3

. منIدالة معرفة و قابمة لالشتقاق عمى مجال f :تعاريف

f إذا قبمت الدالة ىي األخرى االشتقاق عمى Iفإن دالتيا المشتقة f تسمى المشتقة الثانية لمدالة f و نرمز ليا

f بالرمز .إذا قبمت الدالةf ىي األخرى االشتقاق عمى Iفإن دالتيا المشتقة f تسمى المشتقة الثالثة لمدالة f fو نرمز ليا بالرمز . تسمى الدوالf ،f ،f ،...، n

f، ...المشتقات المتتابعة لمدالةf. الدالة المعرفة عمىfلتكن :مثال 0 بـ 3 1

f x xx

: نذا 2

2

13f x x

x ، 3

26f x x

x ، 4

66f x

x .

االشتقاقية و االستمرارية. 4

. فإنيا مستمرة عمى ىذا المجالI قابمة لالشتقاق عمى مجالfإذا كانت دالة :خاصية x: عكس ىذه الخاصية ليس دائما صحيحا فمثال الدالة:مالحظة x و لكن غير قابمة لالشتقاق 0 مستمرة عند

لدينا . 0عند0

lim 0x

x

بينما النسبة h

h ألن0 ال تقبل نياية عند

0

lim 1h

h

h

و 0

lim 1h

h

h

.

43

2 3 4 5

2

0 1

1

x

y

مفسرا بيانيا في كل مرة النتيجة 1 عندk وf،g أدرس قابمية اشتقاق الدوال التالية:1تمرين محمول : المحصل عميها

22 2 3f x x x ، 1g x x ، 2 1k x x x

نياية النسبة ندرسa عندfنذراصح لاتهح اشتماق دانح :طريقة f a h f a

h

يؤول لماh0 إلى.

:الحل

22

2 21 2 1 3 4 41 1 h h h hf h f

h h h

ومنو

2

0 0

1 1lim lim 4 0h h

f h fh h

h

.إذن الدالةfو لدينا1 تقبل االشتقاق عند 1 0f .

المنحني fCو ىو موازي لمحور الفواصل0 مماسا معامل توجييو1 يقبل عند النقطة ذات الفاصمة .

من أجل لدينا: 1 1 1g h g h

h h h

ومنو

0

1 1limh

g h g

h

بما أن نياية النسبة.2 غير قابمة لالشتقاق عندgإذن الدالة 1 1g h g

h

ىي

فإن معامل توجيو المستقيم AMحيث 1;0Aو Mنقطة من gC1 فاصمتيا h و ىذا يعني أن 0 إلىhيصبح كبيرا جدا لما يؤول gCيقبل عند النقطة 1;0A

. مماسا موازيا لحامل محور التراتيب

نياية النسبةإذا كانت :طريقة f a h f a

h

يؤول لماhغير منتيية فإن المنحني0 إلى fC يقبل عند

. مماسا موازيا لحامل محور التراتيبa النقطة ذات الفاصمة

0من أجلh ،

2 11 12 1

h hk h kh

h h

0h و من أجل ،

2 11 12 1

h hk h kh

h h

. 2 مساوية لـ 0 و نياية من اليسار عند2 مساوية لـ 0نالحظ أن ىذه النسبة تقبل نياية من اليمين عند و عددىا المشتق من 2 ىو1 من اليمين و من اليسار و أن عددىا المشتق من اليمين عند1 تقبل االشتقاق عندk نقول أن

النسبة )1 و بما أنيما مختمفان فيي غير قابمة لالشتقاق عند 2 ىو1اليسارعند 1 1k h k

h

0ال تقبل نياية عند .)

المنحني kCيقبل عند النقطة 1;0A 2 و2 نصفي مماسين معامال توجيييما. بـ المعرفة عمىf نعتبر الدالة:2تمرين محمول 2f x x x و ليكن fCتمثيمها البياني .

مثل عمى شاشة حاسبة بيانية المنحني. 1 fCو مماس fCعند النقطة Aذات الفاصمة 2.

عين معادلة لـ . 2 .

الحل .أنظر الشكل المقابل. 1

: و لدينا قابمة لالشتقاق عمىfالدالة. 2 2 1f x x و منو 2 3f

: بتطبيق الدستور y f a x a f a 2 معa 3 نجد 4y x .

44

المشتقات و العمميات

مشتقات دوال مألوفة. 1مجاالت قابمية االشتقاق f x f x

0 k( حيثkثابت حقيقي)

1 x 1nnx nx( n2 وn )

;0 و 0; 2

1

x 1

x

0; 1

2 x x

sin x cosx cosx sin x

المشتقات والعمميات عمى الدوال . 2 uو vدالتان قابمتان لالشتقاق عمى مجال Iمن و kعدد حقيقي .

u

v1 ( I ال تنعدم عمىvالدالة )

v uv ku u v الدالة

2

''

v

uvvu 2

v

v

u’ v + v’ u k u’ u’ + v’ المشتقة

:نتائج الدوال كثيرات الحدود قابمة لالشتقاق عمى . الدوال الناطقة قابمة لالشتقاق عمى كل مجال محتوى في مجموعة تعريفيا .

: مشتقة الدالة. 3 x u ax b

0aمع عددان حقيقيان b وa :مبرهنة .uدالة قابمة لالشتقاق عمى مجال IمنR.ليكنJ المجال المكون ax حيثx من األعداد الحقيقية bينتمي إلى I .

:الدالة ( )f x u ax bعمى لالشتقاق قابمةJ :و لدينا ' '( )f x au ax b :أمثمة

الدالةfالمعرفة عمى بـ sinf x ax b قابمة لالشتقاق عمى و لدينا : cosf x a ax b

الدالةgالمعرفة عمى بـ cosg x ax b قابمة لالشتقاق عمى و لدينا : sing x a ax b

45

عين مشتقة كل دالة من الدوال التالية المعرفة عمى:1تمرين محمول 0;I بـ :

3 213 3

2f x x x x ، 1g x x x ،

sin xh x

x

. نقوم أوال بالتعرف عمى شكميانحضاب يشتمح دانح :طريقة :الحل الدالةfقابمة لالشتقاق عمى ألنيا دالة كثير حدود و منو فيي قابمة لالشتقاق عمى Iو لدينا :

236 1

2f x x x

الدالةgقابمة لالشتقاق عمى Iألنيا جداء دالتين قابمتين لالشتقاق عمى Iو لدينا :

1 3 1

12 2

xg x x x

x x

الدالةhىي حاصل قسمة دالتين قابمتين لالشتقاق عمى و بما أن الدالة المقام :x xال تنعدم عمى I : و لديناI تقبل االشتقاق عمىhفإن الدالة

2

cos sinx x xh x

x

حيث دالة قابمة لالشتقاق عمىf لتكن:2تمرين محمول 2

1

1f x

x x

.

بـ المعرفتين عمىh وg نعتبر الدالتين g x f x و 2 1h x f x g عين الدالتينh وg بدون تعيين الدالتين و h .

:الحل من أجل كلxمن ، xينتمي إلى ومنو فالدالة gقابمة لالشتقاق عمى و لدينا :

2 2

1 1

11g x f x

x xx x

من أجل كلxمن ، 2 1x ينتمي إلى ومنو فالدالة hقابمة لالشتقاق عمى و لدينا :

2 2

1 22 2 1 2

4 2 12 1 2 1 1h x f x

x xx x

0x من أجل:3تمرين محمول و n عدد طبيعي نضع n

nf x x x بين أن الدالة

nfتقبل االشتقاق عمى 0;ثم عبر عن 1nf xبداللة nو nf x .

nxالدالة :الحل xتقبل االشتقاق عمى بينما الدالة x xتقبل االشتقاق عمى 0; و منو فالدالة

nfجداؤىما تقبل االشتقاق عمى 0; .

:لدينا 1

1

n

nf x x x

و منو 1

1

11

2

n n

nf x n x x xx

و بالتالي 1

1 31

2 2

n n n

nf x n x x x x n x x

: و نجد ىكذا 1

3

2n nf x n f x

46

2 3-1-2-3-4-5

2

3

4

5

6

-10 1

1

x

y

اتجاه تغير دالة المشتقة و اتجاه تغير دالة. 1

. منI دالة قابمة لالشتقاق عمى مجالf :(دون برهان )مبرهنة

إذا كان من أجل كلxمن I، 0f x ما عدا ممكن من أجل عدد محدود من القيم التي تنعدم الدالة f من . I متزايدة تماما عمىf أجميا، فإن الدالة

إذا كان من أجل كلxمن I، 0f x ما عدا ممكن من أجل عدد محدود من القيم التي تنعدم الدالة f من . I متناقصة تماما عمىf أجميا، فإن الدالة

إذا كان من أجل كلxمن I، 0f x فإن الدالة fثابتة عمى I.

بـ الدالة المعرفة عمىf لتكن:مالحظة 3f x x و لدينا قابمة لالشتقاق عمىfالدالة 23f x x و منو :

، منxمن أجل كل 0f x و 0 0f متزايدة تماما عمىfإذن الدالة

القيم الحدية المحمية. 2

و منI دالة معرفة عمى مجالf :تعاريف 0xعدد حقيقي من I.

القول أن 0f xقيمة حدية محمية عظمى لمدالة fيعني أنو يوجد مجال مفتوح Jمحتوى في Iو يشمل0x

J ، منx بحيث من أجل كل 0f x f x . القول أن 0f xقيمة حدية محمية صغرى لمدالة fيعني أنو يوجد مجال مفتوح Jمحتوى في Iو يشمل

0x J ، منx بحيث من أجل كل 0f x f x .

القول أن 0f x قيمة حدية محمية لـ fيعني أن 0f xقيمة حدية محمية عظمى أو صغرى .

الدالة المعرفة عمىf لتكن:مثال 6;4 بـ 3 213 9

5f x x x x

.و ليكن في الشكل المقابل تمثيميا البياني 27

35

f قيمة حدية محمية عظمى لمدالة f

و 1 1f قيمة حدية محمية صغرى لمدالة f . .I عدد حقيقي من0x و منI دالة معرفة و قابمة لالشتقاق عمى مجال مفتوحf :(دون برهان )مبرهنة

f إذا انعدمت الدالة المشتقة عند 0xمغيرة إشارتيا فإن 0f xقيمة حدية محمية لمدالة f .

0x x 0x x -0 + f x +0 - f x

0f x f x

0f x

f x

47

بـ الدالة المعرفة عمىf لتكن:1تمرين محمول 3 23 4f x x x أحسب. fأدرس اتجاه تغير. 1 1f .شكل جدول تغيرات الدالةfثم استنتج إشارتها عمى .

المعرفة عمىg أدرس اتجاه تغير الدالة1باستعمال السؤال. 2 ;0 بـ 21 43

2g x x x

x

:الحل :و لدينا قابمة لالشتقاق عمىfالدالة. 1 23 6 3 2f x x x x x . f xكثير حدود من الدرجة

و بالتالي فإشارتو من نفس إشارة2 و0الثانية جذراه 3بين الجذرين أي سالبة عمى المجال 0;2 : لدينا

3 21 1 3 1 4 0f

2 0 1 - x 0 0 إشارة f x

4 0 0

f x

من جدول التغيرات نستنتج أن 0f x عمى ; 1 و 0f x عمى 1; .

قابمة لالشتقاق عمىgالدالة. 2 ;0 و لدينا : 3 2

2 2 2

4 3 43

f xx xg x x

x x x

إذن إشارة g xىي من نفس إشارة f xعمى ;0أي سالبة عمى ; 1 و موجبة عمى 1;0 . متناقصة تماما عمىgنستنتج ىكذا أن الدالة ; 1 و متزايدة تماما عمى 1;0 .

: مختارة بشكل مناسب قارن بين العددينf بدراسة اتجاه تغير دالة:2تمرين محمول 1

0,9999980,999998

A 1 و0,999999

0,999999B

المعرفة مثال عمى f نعتبر الدالة :الحل 0; بـ 1

f x xx

عمى قابمة لالشتقاقfالدالة 0;و لدينا : 2

2 2

1 11

xf x

x x

.و بالتالي فإن إشارة f x ىي من نفس

إشارة 2 1x الذي يقبل جذرين ىما 1و منو 1 و

1 1 x + 0 - 0 + 2 1x

متناقصة تماما عمى المجالf نستنتج ىكذا أن الدالة 0;1و متزايدة تماما عمى المجال 1; نالحظ أن 0,999998A f و 0,999999B f

ينتميان إلى المجال0,999999 و 0,999998 و بما أن العددين 0;1 0,999998 مع 0,999999 فإن 0,999998 0,999999f f

Aو ىكذا فإن B

48

اشتقاق دالة مركبة

vمشتقة الدالة . 1 u

االشتقاق عمىv و قبمت الدالة منI االشتقاق عمى مجالuإذا قبمت الدالة :(دون برهان )مبرهنة u I v فإن الدالة uتقبل االشتقاق عمى Iو لدينا من أجل كل xمن I :

v u x v u x u x

بـ الدالة المعرفة عمىfلتكن :مثال 2

22 3 1f x x fنالحظ أن v u 2 حيث: 3u x x 2 و: 2 1v x x و منو 2 1f x v x u x

: بعد الحساب نجد 2 24 3 2 8 3f x x x x x

تطبيقات. 2

مشتقة الدالة x u x

تقبل االشتقاق u فإن الدالةI و كانت موجبة تماما عمى منI قابمة لالشتقاق عمى مجالuكانت الدالةإذا

: و لديناIعمى 2

uu

u

.

fنضع :البرهان u و منو f v u حيث :v x x

تقبل االشتقاق عمىvالدالة 0;و لدينا 1

2v x

x .بما أن من أجل كلxمنI ، 0u x فإن f تقبل

1: و لديناIاالشتقاق عمى

2 2

uf u

u u

مشتقة الدالة n

x u x ( n 2 عدد طبيعي يحققn )

: و لديناI تقبل االشتقاق عمىnu فإن الدالة منI قابمة لالشتقاق عمى مجالuكانت الدالة إذا 1n nu n u u .

nfنضع :البرهان u و منو f v u حيث : nv x x vالدالة 2n تقبل االشتقاق عمى و لدينا 1nv x nx .إذن الدالةfتقبل االشتقاق عمى Iولدينا :

1 1n nf nu u nu u

مشتقة الدالة

1n

xu x

( n 1 عدد طبيعي يحققn )

1 فإن الدالةI وال تنعدم عمى منI قابمة لالشتقاق عمى مجالuكانت الدالةإذا nu

I تقبل االشتقاق عمى

: و لدينا1

1n n

nu

u u

.

49

2 3-1

2

3

-1

0 1

1

x

y قابمة لالشتقاق عمىg التمثيل البياني المقابل هو لدالة:1تمرين محمول 1;3

عين بيانيا إشارة. 1 g xثم إشارة g x.

المعرفة عمىfنعتبر الدالة. 2 1;3 بـ 2

f x g x .

أحسب f x بداللة g xو g xثم استنتج إشارة f x .

:الحل يقع فوق محور الفواصل من أجلgنالحظ أن منحنى الدالة. 1 1;0 2;3x و تحتو من أجل 0;2x

و منو 0g x من أجل 1;0 2;3x و 0g x من أجل 0;2x . متناقصة تماما عمىgبما أن الدالة 1;1و متزايدة تماما عمى 1;3 و تقبل مماسا موازيا لمحور الفواصل عند النقطة فإن1ذات الفاصمة 0g x من أجل 1;1 و 0g x من أجل 1;3x و 1 0g .

معرفة و قابمة لالشتقاق عمىgالدالة. 2 1;3 2 و منو فالدالةf gمعرفة و قابمة لالشتقاق عمى 1;3

: و لدينا 2f x g x g x .باستعمال الجدول الموالي نحصل عمى إشارة f x 3 2 1 0 1 -x

+ 0 - - 0 + g x + + 0 - - g x

+ 0 - 0 + 0 - f x : عين مشتقات الدوال اآلتية:2تمرين محمول

1 . 4

2: 2 3f x x x عمى .2 .

32

1:

1g x

x عمى 1;.

3 .: ² 4h x x عمى 2; . :الحل

4fنالحظ أن. 1 u مع 22 3u x x x .الدالةuقابمة لالشتقاق عمى و لدينا 4 1u x x

34f و لدينا قابمة لالشتقاق عمىfإذن u u و منو من أجل كل xمن، 3

24 4 1 2 3f x x x x

نالحظ أن. 23

1g

u مع 2 1u x x كما أن 0u x من أجل xمن 1; .الدالةuقابمة لالشتقاق

عمى 1;و لدينا 2u x x .إذنgقابمة لالشتقاق عمى 1; و لدينا 4

3ug

u

و منو من أجل

،منxكل

4 4

2 2

3 2 6

1 1

x xg x

x x

hنالحظ أن. 3 u مع 2 4u x x .الدالةuقابمة لالشتقاق عمى 2; مع 0u x .إذنh قابمة

لالشتقاق عمى 2; و لدينا 2

uh

u

ومنو من أجل كل xمن 2; ،

2 4

xh x

x

.

50

طريقة أولر –التقريب التآلفي التقريب التآلفي. 1

. Iدالة معرفة عمى مجال مفتوح f :خاصية x حيث h بحيث من أجل كل عدد حقيقي فإنو توجد دالة I منx االشتقاق عندf إذا قبمت hينتمي إلى I

: لدينا f x h f x hf x h h مع 0

lim 0h

h

.: نكتب عندئذ0 قريب منh من أجل f x h f x hf x

يسمى f x hf x التقريب التتلفي لـ f x hمن أجل hالمرفق بالدالة0 قريب من ،f.

و منوx قابمة لالشتقاق عندf، من المعطيات لديناI منx ليكن:البرهان

0limh

f x h f xf x

h

بوضع

f x h f x

h f xh

يكون لدينا 0

lim 0h

h f x f x

إذن

f x h f xh f x

h

و منو f x h f x hf x h h .

: بوضع:الكتابة التفاضمية x x h x و y f x h f x تكتب المساواة f x h f x hf x h h كما يمي :( ) ( )y f x x x x

) و منو التقريب )y f x x عندما يكون x0 قريبا من .):نصطمح الصياغة التفاضمية التالية )

dyf x

dx أو ( )dy f x dx .

df:يستعمل ىذا الترميز في العموم الفيزيائية و بصفة عامة نكتب

dxfبدال من

و2

2

d f

dxf بدال من وىكذا

n

n

d f

dx) بدال من )nf .

طريقة أولر. 2f بمعرفةfتسمح طريقة أولر بإنشاء تمثيالت بيانية تقريبية لدالة 0 و 0( )y f x . ترتكز ىذه الطريقة عمى التقريب

: لدينا0 قريب منh بحيث من أجلfالتتلفي لمدالة 0 0 0f x h f x hf x .انطالقا من النقطة 0 0 0;A x yبحيث 0 0f x ننشئ النقطة 1 1 1;A x y ذات الفاصمة

1 0x x h و التي تنتمي إلى المستقيم الذي معامل توجييو 0f xوالمار من

0Aو بالتالي : 1 0 0y f x hf x و بما أن 0 0 0f x h f x hf x

فإن النقطة0 قريب منhمن أجل 1 1 1;A x yقريبة من fCمنحني f .بنفس الطريقة يمكن إنشاء، انطالقا من

1Aالنقطة ، 2 1 1 1;A x h f x hf x .و ىكذا يمكن عمى التوالي إنشاء النقط ;n n nA x y1 حيثn nx x h

و 1 1n n ny f x hf x 1 معn .0بربط النقطA،1A،2A، ... نحصل

. 0 أقربا إلىhو نحصل عمى أكثر دقة كمما كان. الذي يسمى الخطوةh مرتبط باختيارfعمى تمثيل بياني تقريبي لـ

51

. تتمدد عند ارتفاع دراجة الحرارة8cm كرة حديدية نصف قطرها:1تمرين محمول ؟1mmما هو تغير حجمها لما يرتفع نصف قطرها بـ . 1

ما هو تغير مساحتها في نفس الظروف ؟ . 2 :الحل

تغير حجم الكرة الحاصل بسببVلنعين. cm نصف قطرىا بـ R و ليكن3cm حجم الكرة بـ Vليكن. 1

0,1R 8 تغير نصف القطر في حالةR cm .34:لدينا

3V R و منو 2 24

3 43

dVR R

dR

24dVأي R dR 0,1 و بما أنR ( 0قريب من ) 24يمكننا أن نكتبV R R : و ىكذا نجد

24 8 0,1 80V 380 و منو يرتفع الحجم بحواليcm .

24S و منو 2cm مساحة الكرة بـ Sلتكن. 2 R8 و بالتاليdS RdR يمكننا أن نكتب

8S R R 0 من أجلR . 20و ىكذاS .220ترتفع المساحة بحواليcm .: دالة تحققf لتكن:2تمرين محمول 0 1f و f x x .

0,5hباستعمال طريقة أولر و باختيار خطوة. 1 شكل جدوال يتضمن القيم التقريبية لـ f xمن أجل x

ينتمي إلى 0;5ثم أنشئ تمثيال تقريبيا لمدالة f .عين قيمة مقربة لمعدد. 0,01 إلىجتدور النتائ 4f .0,1hباختيار خطوة جديدة . 2 عين قيمة مقربة لمعدد 4f.

نبرهن أن. 3 2

13

f x x x .تحقق أن 0 1f و f x x .أحسب 4fثم قارن النتيجة

. 0,1 و0,5 مع القيم المقربة المحصل عميها سابقا بالخطوتين لـ إليجاد قيمة مقربة :طريقة f a hنستعمل التقريب f a h f a hf a حيث h0 قريب من .

:الحل :لدينا. 1 0,5 0 0,5 0 1f f f ، 1 0,5 0,5 0,5 1 0,5 0,5 1,354f f f

لدينا 4 5,765f .

نجد باستعمال مجدول أو برنامج حاسبة بيانية . 2 4 6, 227f .

من الواضح أن. 3 0 1f كما أن 2 2 3

3 3 22

xf x x x x

x

نذا 2 19

4 4 4 13 3

f تاصتعال حاصثح جذ 4 6,333f . الحظ أ انمح انمزتح انحصم عها

ألزب ي انمح انمثطح نــ 0,1تانخطج 4f 0,5 تانخطجي انمح انمزتح انحصم عها.

52

دراسة دالة مثمثية

"جيب التمام " و " جيب " تذكير حول الدالتين . 1 الدالتان cosx xو sinx xمعرفتان عمى . من أجل كل xمن ،2x ينتمي إلى و لدينا cos 2 cosx x و sin 2 sinx x

cosx نقول أن الدالتين xو sinx x . 2 دوريتان دورىما

من أجل كل xمن ، cos cosx x و sin sinx x

"ظل " الدالة . 2

sinمعرفة بـ " tan" و التي نرمز إلييا بالرمز " ظل " الدالة :تعريف tan

cos

xx

xمن أجل كل عدد حقيقي x

يختمف عن2

k

حيث kعدد صحيح k .

يختمف عنx كل من أجل :خواص 2

k

، tan tanx x .دورية دورىا" ظل " إذن الدالة .

من أجل كل xيختمف عن 2

k

، tan tanx x . متناظر " ظل"إذن المنحني الممثل لمدالة

. بالنسبة إلى مبدأ المعمم

;0عمى المجال" ظل"من الخاصيتين السابقتين يمكن اقتصار دراسة الدالة ":ظل"دراسة الدالة 2

من أجل كلxيختمف عن 2

k

، 2 2

2

2 2

cos sin 1tan 1 tan

cos cos

x xx x

x x

بما أن tan 0x متزايدة تماما عمى كل مجال معرفة فيو" ظل" فإن الدالة .

لدينا2

lim sin 1x

x

و 2

lim cos 0x

x

و بما أن من أجل كل x0 من;2

،cos 0x فإن 2

lim nx

ta x

نستنتج أن المستقيم ذو المعادلة2

x

ظل" مستقيم مقارب لممنحني الممثل لمدالة ."

2

0 x + tan x

0 tan x

53

بـ الدالة المعرفة عمىf لتكن:تمرين محمول 2sinf x xو ليكن C تمثيمها البياني في معمم متعامد ; ,O i j

.

و أن محور التراتيب محور تناظر لممنحني دورية دورهاfبين أن الدالة. 1 C.

;0 عمى المجال fأدرس تغيرات الدالة. 22

.

أرسم المنحني. 3 C0عمى;2

3 ثم عمى ;

2 2

.

:الحل ، منxمن أجل كل. 1

22 2sin sin sinf x x x x f x و منو الدالة f

. دورية دورىا، منxمن أجل كل

2 22 2sin sin sin sinf x x x x x f x و منو الدالة f زوجية و بالتالي فإن محور التراتيب محور تناظر لممنحني C .

sinxبما أن الدالة. 2 xقابمة لالشتقاق عمى فإن الدالةfقابمة لالشتقاق عمى ( جداء دالتين) فيي إذن

;0 قابمة لالشتقاق عمى2

، منx من أجل كل: و لدينا 2sin cosf x x x

sinو بما أن العددين x و cosx0 موجبان عمى;2

sinمع 0 0و cos 02

فإن 0f x 0 عمى;

2

;0 متزايدة تماما عمى المجالfو بالتالي فالدالة2

.

2

0 x 0 + 0 f x

1

0

f x

;0 عمى المجالfنرسم في البداية المنحني الممثل لمدالة. 32

ثم باستعمال التناظر بالنسبة إلى محور التراتيب

;نرسم المنحني عمى2 2

i نقوم بانسحاب شعاعودورية دورىا f و بما أن الدالة

لرسم المنحني C عمى

3المجال;

2 2

.

لرسم:مالحظة C انسحابات نجري عمى

kمتتالية أشعتيا i

حيث kعدد صحيح ( من )

54

المقارنة بين دوال وتعيين األوضاع النسبية لمنحنياتهما

المعرفتين عمىg وfنعتبر الدالتين 0;كما يمي : 3

6

xf x x و sing x x

و ليكن fC و gCتمثيمييما البيانيين عمى الترتيب في معمم متعامد و متجانس ; ,O I J . مماس مشترك.1

بين أن لممنحنيين fC و gC مماسا مشتركا Tعند النقطة Oيطمب تعيين معادلة لو . دراسة األوضاع النسبية لممنحنيات.2 fC و gCو T

المعرفة عمى المجالuنعتبر الدالة 0; بـ sinu x x x

أدرس اتجاه تغير الدالةu

استنتج إشارة u xعمى 0;محددا وضيعة المنحني gCبالنسبية لممماس T.

المعرفة عمى المجالv نعتبر الدالة 0; بـ 3

sin6

xv x x x

أحسب v x ثم v xمن أجل xينتمي إلى 0;.

عين إشارة v xثم استنتج اتجاه تغير الدالة v .

عين إشارة v xثم استنتج اتجاه تغير الدالة v.

حدد إشارة v x.

بين أنو من أجل كلxمن 0; ،3

sin6

xx x x

حدد األوضاع النسبية لممنحنيات fC، gCو T.

أنشئ في نفس المعمم ; ,O I Jالمنحنيات fC، gCو T.

بـ المعرفة عمى fنعتبر الدالة :1تطبيق 22cos 2f x x x أدرس اتجاه تغير الدالةf عمى .

استنتج تغيرات الدالةf عمى .

قارن بين الدالتين: cosu x x و 2

: 12

xv x

المعرفة عمى nfنعتبر الدالة :2تطبيق 0, بـ 1 1

n

nf x x nx حيث 0;1n أدرس اتجاه تغير الدالةnf عمى 0,.

16/8/1705 – 21/12/1654: التالية" متباينة برنولي " أثبت صحة

جاكوب برنولي

منxمن أجل كل 0,و من أجل كل nمن ، 1 1

nx nx

طريمة

عندما يتعذر إيجاد إشارة المشتقة مباشرة يمكن دراسة اتجاه تغير

.الدالة المشتقة لتحديد إشارتيا

55

دراسة دالة صماء

بـ المعرفة عمىg نعتبر الدالة.1 22 1g x x x

أدرس اتجاه تغير الدالةg.

بين أن المعادلة 0g x تقبل حال وحيدا استنتج إشارة. يطمب تعيينوgعمى .

بـ المعرفة عمىf نعتبر الدالة.2 22 1f x x x و ليكن fCتمثيميا البياني في معمم متعامد .

نعتبر المستقيمين : 3D y x و :D y x

أدرس نيايتي الدالةfعند و عند .

بين أنو من أجل كلxمن ،

21

g xf x

x

.fاستنتج جدول تغيرات الدالة.

أحسب lim 3x

f x x

.فسر بيانيا النتيجة المحصل عمييا.

بين أن المستقيم D مستقيما مقاربا لممنحني fCعند .

أدرس وضعية fCبالنسبة إلى Dو D . أرسم fC، Dو D .

تقريب دالة بواسطة مجدول أو حاسبة بيانية

دالة تحقق fلتكن 1 0f و من أجل كل x من 0;، 1

f xx

0,01hأنجز ورقة الحساب الموالية باختيار خطوة" طريقة أولر " بإتباع . 1 ثم أكمل الجدول التالي :

f x x 0,695653 2

3 4 5

عمى المجالfأنشئ تقريبا لمنحني الدالة. 2 1;5.

أعد إنجاز نفس الجدول السابق باختيار خطوة. 3

0,001h . قارن بين النتائج المحصل عمييا مع تمكالتي تقدميا الحاسبة باستعمال الممسة

56

.مىضىع محهىل

: تمرين : تــ المعرفة fنعتبر الدالة

4 2

bf x ax

x

. عددان حقيقيانb وaمع عين أ ـ .1

fD مجموعة تعريف الدالة f . تقبل االشتقاق عمى كل مجال من f بين أن الدالةب ـ

المجموعة fD .

بحيث من أجل كل b وa عين العددينجـ ـfx D ،

7

' 02

f و 3

02

f . أحسب النيايات عند حدود المجموعة أ ـ .2

fD . برر أنو من أجل كلب ـ

fx D ، ' 0f x .

.f أنجز جدول تغيرات الدالة جـ ـنسمي . 3

fC المنحني الممثل لمدالة f في معمم متعامد ومتجانس ; ;O i j

.

1 برىن أن المستقيم ذي المعادلة أ ـ

2y x ىو مستقيم

مقارب لممنحنيfC .

أكتب معادلة لمماس المنحنيب ـfC عند النقطة ذات

. 0الفاصمة 1 ذات اإلحداثيتين برىن أن النقطة جـ ـ 1

;2 4

ىي مركز تناظر لممنحني

fC . أرسم المنحنيfC.

. جعـانيـك .ل مخحصر ح

أ ـ .1 1 12 2

; ;fD لدينا من أجل كل ـب

fx D،4 2 0x إذن الدالة الناطقة 4 2

bx

x تقبل

االشتقاق عند كل قيمة منfD؛ الدالة كثير حدود x ax تقبل االشتقاق عمى

إذن تقبل االشتقاق عند كل قيمة منfDولدينا مجموع ىاتين الدالتين ىو الدالة f ؛ إذن

تقبل االشتقاق عند كل قيمة منfالدالةfD .

ـجـ

2

4'

4 2

bf x a

x

؛

7' 0

2f 7 معناه

2a b ؛

3

02

f 3 معناه

2 2

b 3 وبالتالي نجدb 1 و

2a .

ـ أ .2 limx

f x

؛ limx

f x

؛ 12

limx

f x

؛

استعمال المبرىنة حول مشتق مجموع

. دالتين

لمحصول عمى النتائج نطبق . المبرىنات عمى النيايات

تطبيق مباشر لممعادلة المعروفة 0 0 0'y f x x x f x

. 1مع العمم أن المعامالت أعطيت في ـ جـ

اصتعها طزمح تغز انعهى ي انثذأ

O إن انثذأ ك اصتعال ؛

طزق أخز

12

limx

f x

.

ـب

2

1 12'

2 4 2f x

x

مجموع عددين موجبين

تماما إذن من أجل كلfx D ، ' 0f x .

12

x + + 'f x

f x

ـ أ. 3 limx

f x

و 1

lim 02x

f x x

المستقيم ذي المعادلة إذن1

2y xىو مستقيم مقارب لممنحني

fC .

7معادلة المماس ىي ـب 3

2 2y x .

M نقطة من fC حيث ;x y إحداثيتييا في المعمم

; ;O i j و '; 'x yإحداثيتييا في المعمم ; ;i j

Mمن OM O

1 ينتج '

2x x

1و'

4y y 1 ثم نجد 4 1

'2 4 2 4

y xx

؛ 1 1

' '2 '

y xx

1 ونبرىن أن الدالة 1:

2g x x

x ىي فردية .

2 3-1-2-3

2

3

-1

-2

-3

0 1

1

x

y

57

. مىجهمىضىع

.نثيهت

العظمى )يطمب فييا تعيين القيم المثمى (التوسع إلى أبعد حد) تمارين اإلستمثالنستخرج من دراستيا القيم الحدية وىذا يؤدي بنا إلى إنشاء دالة (أو الصغرى

. حسب المطموب مثل شراء كمية كبيرة من البضائع )نستفيد من االستمثال في الحياة االقتصادية

نريد في الموضوع المقترح استخراج روافد خشبية من جذع شجرة بدون .(بأقل ثمن. تبذير

(تكانرا) . جمرين

. h وارتفاعو x ، نريد الحصول عمى رافد مستطيل المقطع قاعدتو Dمن جذع شجرة دائري المقطع قطره h كبيرا مع 2xhفي االنحناء كمما كان المقدار (العظمى)نحصل عمى المقاومة القصوى x .

(I f 3 ىي الدالة المعرفة عمى المجال0;

2

: تــ 3 9

4f x x x .

Cالمنحني الممثل لمدالة f في معمم متعامد ; ;O i j

|| حيث يؤخذ || 2 || || 2i j cm

. أحسب .1 'f xوأنجز جدول تغيرات الدالة f . ـ أكتب معادلة .2 نـ

1tمماس المنحني Cعند النقطة O ـ ثم معادلة نـ2tمماس المنحني Cعند نقطتو A ذات

3الفاصمة

23 ؛ ثم أدرس عمى المجال

0;2

ـ بالنسبة C الوضعية النسبية لممنحني نـ1t ـ وبالنسبة نـ

2t .

أنشئ المماسين . 31tو

2tثم المنحني C . (II 1,5نضع : تطبيقD m( . Dىو قطر المقطع الدائري لجذع الشجرة )

2اشرح لماذا . 1 2 9

4x h .

. x بداللة 2xhأحسب . 2. بحيث تكون لمرافد أقصى مقاومة لالنحناء h وx إليجاد I)استعمل الجزء . 3

جىجيهات

(I1. حمل 'f x إلى جداء عاممين ثم استنتج إشارتو بسيولة .

طبق مباشرة معادلة المماس ولدراسة الوضعية ، أدرس إشارة العبارة .2 f x t x حيث y t x ىي معادلة لممماس .

(II1. استعمل مبرىنة فيثاغورس إليجاد العالقة بين x ، hو D .

من العالقة السابقة ثم قم بتعويضيا تحصل عمى 2hاستخرج . 2 2xh f x .

. لتعيين القيمة الحدية العظمى f استعمل جدول تغيرات الدالة.3

x

h D

58

. جمارين جطثيمية

ـ االشحمالية 1

fالدالة المعرفة عمى تــ 2 3f x x .: غير معدوم يكون h تحقق أنو من أجل كل أ ـ

2

1 1 2

2 4 2

f h f h

h h h

.

مبينا1 تقبل االشتقاق عندf استنتج أن الدالةب ـ ' 1f . ( 1أنظر التمرين المحمول )

fالدالة المعرفة عمى تــ f x x . . 0 ال تقبل االشتقاق عند fأثبت أن الدالة

f 1 دالة قابمة لالشتقاق عند حيث ' 1 2f ، يمر بالنقطة fعمما أن المنحني الممثل في معمم ، لمدالة

1; 3A . . Aأكتب معادلة لمماس ىذا المنحني عند النقطة

ليكنfC التمثيل البياني لمدالة f المعرفة عمى

. 0وقابمة لالشتقاق عند 2 ذو المعادلةTالمستقيم 3y x ىو المماس لممنحني ،

fC عند النقطة 0;2A . حدد (1 0fو ' 0f .

فسر ىندسيا العدد (2 2f x

x

0 من أجلx .

برر وجود (3 0

2limx

f x

x

.

، fإليك التمثيل البياني لدالة1Tو

2T مماسان لو .:حدد القيم التالية (1 0f، 1f ،

' 0f، ' 1f . أكتب معادلة لكل من المستقيمين (2

1Tو 2T .

fCالتمثيل البياني لدالة fيشمل النقطة 2;3A Tالمماس لممنحني

fCعند النقطة A والموازي لممستقيم 3ذي المعادلة 2 1 0x y .

. Tأكتب معادلة لممستقيمfCمنحني الدالة f المعرفة عمى تــ :

2 1f x x x .

0hأثبت أنو من أجل (1 لدينا : 1 1

2hf h

hh h

.

ىل العبارة (2 1 1f h

h

تقبل نياية عندما يؤول h

؟ 0إلى؛ ثم أكتب (2أعط تفسيرا ىندسيا لمجواب عن السؤال (3

معادلتي نصفي المماسين لممنحنيfC في ىذه الحالة .

f الدالة المعرفة عمى 2; تــ : 2f x x .

أحسب (1 0

2lim

h

f h

h

.

؟ 2 تقبل االشتقاق عمى يمين fىل الدالة (2. فسر ىندسيا إجابتك

Iمجال من يشمل العدد الحقيقي aو ، f دالة حيث aقابمة لالشتقاق عند 'f a l مع l .

المعرفة بـ gنعتبر الدالة f x f a

g xx a

إذا

كان x I a و g a l . . a مستمرة عند g أثبت أن الدالة أ ـ

من أجلب ـ x I a أكتب ، f xبداللة x و g x .

أحسب جـ ـ limx a

f x

ماذا تستنتج ؟ . الدالة المعرفة عمىfنعتبر الدالة

تــ :

1

f x xx

.

0hبرىن أنو من أجل (1 ،

21 2 3 32

1 1 1

f h h h

h h h

.

. 1 تقبل االشتقاق عند fبين أن الدالة (2 . 1 مستمرة عند fاستنتج أن الدالة (3

: تــ الدالة المعرفة عمى fلتكن 23 4f x x x .

. 2 مستمرة عند fتحقق من أن الدالة (1

1برىن أنو من أجل (2 1;0 0,

2 2h

،

1

3

9

2

4

5

2-1

2

3

0 1

1

x

y

T1

T2

6

10

11

7

8

59

2 63 4

hf hh

h h

.

. 2 تقبل االشتقاق عند fىل الدالة (3 ـ انمشحمات وانعمهيات عهيها 2

في كل حالة من الحاالت المقترحة أدناه ، برر أن . ثم أعط عبارة مشتقتيا تقبل االشتقاق عمى fالدالة

. عددان حقيقيان m وxمع اعتبار أ ـ 5 4 3 21

3 4 62

f x x x x x x .

ب ـ 3 22 4 6

4

x x xf x

.

جـ ـ 3 3 2 22 3 2f x mx m x m x m . د ـ 3 3 2 22 3 2f m mx m x m x m .

أحسب الدالة المشتقة لكل من الدوال التالية مبينا . مجموعة التي تجرى الحسابات عمييا

أ ـ 2

1

1

xf x

x

ب ـ.

2

2

4 3

3

x xf x

x x

.

جـ ـ 1x

f xx

.د ـ

1f x x x

x

.

، المطموب حساب الدالة 17 إلى 14من التمرين . D عمى المجال المعطى fالمشتقة لمدالة

أ ـ cosf x x x x ؛ D . ب ـ sin cosf x x x ؛ D .

جـ ـ sin x

f xx

؛ D .

أ ـ 1

sinf x

x ؛ 0;D .

ب ـ sin

cos

xf x

x ؛ ;

2 2D

.

جـ ـ cos

1 sin

xf x

x

;0 ؛ 2

D

.

أ ـ cos 35

f x x

D ؛ .

ب ـ 1

sin2

f x x

D ؛ .

جـ ـ 3 sin5

f x x x

D ؛ .

ـأ 5

2 4f x x ؛ D . ـب 4f x x ؛ 4;D .

جـ ـ 2 4f x x ؛ ;2D . . المستوي منسوب إلى معمم

f ، gو h دوال معرفة كالتالي : 2 3 4f x x x معرفة عمى .

1

1g xx

معرفة عمى .

4 6h x x x معرفة عمى 0; . برىن أن منحنيات ىذه الدوال تقبل نفس المماس عند النقطة

. 1ذات الفاصمة في كل من الحاالت التالية ، أحسب الدوال المشتقة

مبينا في كل مرة fالمتتابعة األولى ، الثانية والثالثة لمدالة. المجموعة التي تجرى عمييا الحساب

أ ـ 3 22 5 1f x x x x . ب ـ f x x x .

جـ ـ 1

2 1f x

x .

f الدالة المعرفة عمى تـ : cosf x x . f ، "f ، 'عين(أ 3

fو 4f الدوال المشتقة المتتابعة

. fلمدالة، nأعط تخمينا ، حسب قيم العدد الطبيعي غير المعدوم (ب

لعبارة nf x .

:نعتبر الدالة nf x x مع n . 1n من أجل ـ أحسب 'f xو "f x .2n من أجلـ أحسب 'f x، "f xو 3

f x .3n من أجلـ أحسب 'f x، "f x، 3

f x و 4

f x .nمن أجل كل أعط تخمينا حول أصغر قيمة لمعدد ،

p التي يكون من أجميا 0p

f x

xمن أجل كل نضع 1

f xx

و 2 1g x x

x ؛ n

fو ng الدالتان

. nالمشتقتان ذاتين الرتبة العدد الطبيعي غير المعدوم الذي من أجمو يكون nعين أصغر عدد n n

f g .

12

13

14

17

15

16

19

21

22

18

20

60

: تــ المعرفتين عمى g وfنعتبر الدالتين sinf x xو cosg x x مع .

بين أن أ ـ 2"f x f x . بين أن ب ـ 2"g x g x . : نضع b وa من أجل كل عددين حقيقيين جـ ـ

h x af x bg x بين أن 2"h x h x .

f الدالة المعرفة عمى تــ : 21f x x x .

، xتحقق أنو من أجل كل عدد حقيقي (1 21 'x f x f x .

، xاستنتج أنو من أجل كل عدد حقيقي (2 21 " ' 0x f x xf x f x .

ـ اججاه جغير دانة 3

. fفي كل من الحاالت التالية أدرس اتجاه تغير الدالة أ ـ 42 27 7f x x x .

ب ـ 2 3f x x x . جـ ـ cosf x x x .

د ـ 2 3

1

xf x

x

ـ ـ.

1 1f x

x x

f الدالة المعرفة عمى تـ:

4 3 21 1 11

12 6 2f x x x x x .

أحسب (1 'f xو "f x من أجل ، x . استنتج إشارة أ ـ( 2 'f x .

. f أنجز جدول تغيرات الدالة ب ـالشكل المقابل ىو المنحني

fC قابمة لالشتقاق عند كل قيمة fلدالة

من المجموعة 2;2 . الدالة f'من بين المنحنيات الثالث ، ما ىو الذي يمثل

؟ fالمشتقة لمدالة

fالدالة المعرفة عمى تــ : 3 22 12 1f x x x

. وعند ونيايتييا عندfأدرس تغيرات الدالة (1 تقبل قيم حدية محمية ؟ fىل الدالة (2 ؟ محدودة عمى fىل الدالة (3

fالدالة المعرفة عمى 1 تــ :

2 1

1

ax bxf x

x

. عددين حقيقيينb وaمع حيث يكون b وaاليدف من التمرين ىو إيجاد إن أمكن

1f قيمة حدية محمية عظمى معدومة .لماذا (1 ' 1 0f و 1 0f ؟ ، ثم تحقق أن الدالة المحصل عمييا b وaأوجد إذن (2

. تحقق اليدف المعرفة عمى f نعتبر الدالة 1 تـ :

2

1

1f x

x

C ىو تمثيميا البياني المرسوم عمى شاشة الحاسبة

. البيانية . fشكل جدول تغيرات الدالة .1 (مع الشرح)استنتج تغيرا ت الدالتيتن التاليتين . 2

1 2

2:

1f x

x

،

2 2

1: 2

1f x

x

fالدالة المعرفة عمى تــ : 3 3 1f x x x .

. وعند عندfعين النيايتين لمدالة (1 ؟ fأدرس تغيرات الدالة (2برىن أن المعادلة (3 0f x تقبل ثالث حمول .. لكل حل 110أعط حصرا بتقريب إلى (4

fالدالة المعرفة عمى تــ : 4 3 23 4 12 4f x x x x .

. fأنجز جدول تغيرات الدالة (1ما ىو عدد حمل المعادلة (2 0f x ؟ . 110أعط حصرا لكل حل بتقريب (3

25

23

26

24

2 3 4-1-2-3-4

2

3

4

-10 1

1

x

y 27

2 3-1-2-3

2

3

-1

-2

-3

0 1

1

x

y

2 3 4-1-2-3-4-5

2

3

-1

-2

-3

0 1

1

x

y

2 3 4-1-2-3-4-5

2

3

-1

-2

-3

0 1

1

x

y

2 1 3

28

29

31

32

30

61

n ، عدد طبيعي غير معدوم a عدد حقيقي .:، تغيرات الدالةnأدرس حسب شفعية (1 n

nf x x . أدرس النيايات لمدالة (2

nf عند و عند . ، عدد حمول المعادلة ذات a وnناقش حسب قيم (3

x ، nxالمجيول a . ـ اشحماق دانة مركثة 4

؛ المطموب الدوال المقترحة أدناه معرفة عمى . حساب الدالة المشتقة لكل منيا

(أ 3

2 2 3f x x x . (ب

422 1g x x x .

(ج 5

3 1h t t t . د)

82

1

3t u

u

.

؛ المطموب حساب الدالة 34 و 33، 32في التمارين . المعطىI المعرفة عمى المجالfالمشتقة لمدالة المقترحة

(أ 3

2

1

xf x

x

و 1;I .

(ب 3

2

3 4

xf x

x

4 و

;3

I

.

(ج

3

2

3 2

4 2

xf x

x

1 و

;2

I

.

(د 2 3

4 2 3 2f x x x و I . (أ 2sin 1f x x و I .

(ب cos2

f xx

I و .

(ج 3cosf x xو I .

(د 3tanf t t0 و;2

I

.

(أ 2 3 f x xو I .

(ب 2

2 1

2

xf x

x xI و .

(ج 2

1

tf t

t و 1;2 I .

(د cosf x x0 و;2

I

.

f' وI دالة قابمة لالشتقاق عمى مجالfلتكن . دالتيا المشتقة

ومن nأثبت أنو من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم (1xأجل كل I ، 1'n nf x nf x f x .

برىن أنو يمكن تمديد ىذه القاعدة من أجل كل عدد (2. nصحيح غير معدوم

باستعمال حاسبة بيانية مثمنا المنحنيين الذين معادلتييما

2 1y x x 21 و 1

4 4y x x .

ما ىو التخمين الذي يمكن وضعو حول المنحنيين عند (1 ؟ 1النقطة ذات الفاصمة

2 )fو gالدالتان المعرفتان عمى تـ :

2 1f x x x و 21 1

4 4g x x x .

. قابمتان لالشتقاق عمىg وfأ ـ برىن أن الدالتينب ـ أحسب 1f ، 1g، ' 1fو ' 1g .

. ج ـ برىن التخمين الموضوع سابقا fC ، ىو التمثيل البياني ، في معمم متعامد ومتجانس

تـ معرفة عمى fلمدالة 24 3f x x . برىن أن محور التراتيب ىو محور تناظر لممحني (أ

fC . أنشئ جدول تغيرات . fأحسب الدالة المشتقة لمدالة (ب

عمى المجال fالدالة 0; .2yبرىن أن المستقيم ذي المعادلة (ج x ىو مقارب

لممنحيfCبجوار .

أرسم المنحني (دfC ومستقيمو المقارب .

ـ انحمرية انحآنفي 5

في كل الحالة من 0برر التقريب التتلفي المحمي عند : الحاالت التالية

( أ 3

1 1 3x x .1 (ب 12

xx .

1 ( ج1

1x

x

sin (د. x x .

f الدالة المعرفة عمى تـ : 2f x x .

34

33

39

40

35

36

37 41

42

38

62

A

B

C

0 1

1

x

y

A

B

C

عين التقريب التتلفي لعبارة (أ 2f h من أجل h . ؛ مبينا االرتياب المرتكب 0قريب من

. 22,029أحسب ذىنيا قيمة مقربة لمعدد (بأعط تقريبا تتلفيا لعبارة f a h من أجل | |h

|3؛ مبينا االرتياب المرتكب من أجل0قريب من | 10h .1 ) 23 5 1f x x x 2 وa .

2 ) 1

2f x

x

2a و .

3 ) 2 1f x x 1 وa .في المستوي المنسوب إلى معمم متعامد ومتجانس

) نعتبر )fCمنحني دالة fقابمة لالشتقاق عند 0x فاصمة

)، وAالنقطة )Tمماس لممنحني ( )fCعند النقطة A . Bو C نقطتان من ( )fC

فاصمتاىما 0x hو

0x h عمى 0hالترتيب حيث 0 وقرب من .

Dنقطة حيث ( )BDيعامد ( )CD .أعط قيمة مقربة لمساحة الشكل (1

، (شبو مثمث قائم)BCDاليندسيبداللة

0'( )f xو h . 0.03hأحسب ىذه القيمة من أجل (2 ومعامل

)توجيو المستقيم )T 9 ىو . بدون حساب وباستعمال التقريب التتلفي ، عين العدد

: ، في كل من الحالتين التاليتين a عند fالمشتق لمدالة :أ ـ 1 2 3 tanf x x x x 0 وa .

ب ـ 2 4: 2 1 3f x x x x 1 وa .

.عمكنهث مارين ت ـ االشحمالية 1

المنحني البيانيfCالتالي ىو لدالة f قابمة لالشتقاق عمى مجموعة تعريفيا

. fعين مجموعة تعريف الدالة. 1عند كل من fبقراءة بيانية عين العدد المشتق لمدالة . 2

1

2 ، 3 - عمما أن ترتيب النقطة - 2وB9 ىو

4 .

استنتج معادالت المماسات لممنحني.4fC عند A ،Bو C .

ىل توجد مماسات أخرى لممنحني. 5fC موازية لمماسو عند

؟ Cالنقطة ىو التمثيل البياني Cفي كل حالة

. 1 فاصمتيا C نقطة من A وfلدالة؟ 1 تقبل االشتقاق عند fىل الدال (أ . عين العدد المشتق في حالة وجوده (ب

معرفة عمى المجال fالدالة 2;2 تـ : 24f x x .

fالحظ عمى شاشة الحاسبة البيانية ، منحني الدالة (1 . 0 وعند2وأعط تخميناتك عول قابمية االشتقاق عند

. برىن كل تخمين باستعمال تعريف االشتقاقية (2 قابمة fفي التمرينين أذكر إن كانت الدالة المقترحة

. 0لالشتقاق عند (أ f x x x . ب) 2f x x x .(أ | |f x x x .

(ب 2 sin1

f x xx

.

: تـ معرفة عمى المجال fالدالة 0 0f

0xومن أجل كل ، 2 1cosf x x

x .

؟ 0 تقبل االشتقاق عند fىل الدالة (1أحسب (2 'f x0 من أجلx .

47

43

44

A

B

C

D

0 1

1

x

y

A

B

C

D

48

49

50

51

A

-1

-1

-2

-3

-4

0 1

1

x

y

A

A

2-1

2

3

4

0 1

1

x

y

A

A

2-1

2

3

4

0 1

1

x

y

AA

-1

2

3

4

0 1

1

x

y

A

C

C

C

C

45

46

63

20 1

1

x

y

fC ، ىو المنحني الممثل في معمم متعامد ومتجانس : تـ المعرفة عمى fلمدالة 2| 1|f x x .

أرسم المنحني (1fC عين نقطتو A 1 ذات الفاصمة .

. 1 تقبل االشتقاق عمى يمين fبين أن الدالة( أ (2عين معادلة ، عمى اليمين ، لمماس المنحني (ب

fC عند . ، ثم أرسمو Aالنقطة

. 1 تقبل االشتقاق عمى يسار fبين أن الدالة( أ (3عين معادلة ، عمى اليسار ، لمماس المنحني (ج

fC عند . ، ثم أرسمو Aالنقطة

. 1 تقبل االشتقاق عند fىل الدالة (4fالدالة المعرفة عمى المجال 0;2 تمثيميا ،

ىو عبارة عن نصف دائرة Cالبياني. كما ىو مبين في الشكل

. 0 ال تقبل االشتقاق عندfبقراءة بيانية، برر أن الدالة (1تكون النقطة : برر أن (2 ;M x yتنتمي إلى C إذا ،

وفقط إذا ، كانت 2 21 1x y 0 وy .

أكتب عبارة f x من أجل كل 0;2x . ( .1جد بالحساب النتيجة المحصل عمييا في السؤال (3

ـ انمشحمات وانعمهيات عهيها 2

sinx: الدالة fلتكن x x . عين (1

fD مجموعة تعريف الدالة f . تقبل االشتقاق عمى المجال fبرر أن الدالة (2 0;

واحسب 'f x عمى ىذا المجال . مبينا قيمة 0 تقبل االشتقاق عند fبرىن أن الدالة (3

' 0f . عمى المجموعةf'أعط تعريف الدالة (4

fD . aو b نعتبر الدالة . عددان حقيقيانf المعرفة عمى

تـ : 3

2

3

1

x ax bf x

x ؛ نسمي

fC تمثيميا

. البياني في معمم حيث تكون لمماس المنحنيb وaىل يوجد عددان

fC ، 4معادلة 3 y x ؟ 0 عند نقطتو ذات الفاصمة

a نعتبر الدالة. عدد حقيقيf المعرفة عمى تـ : 3 23 3 f x ax x x .

قيمة حدية محمية ، f حيث تكون لمدالةaىل يوجد عدد ؟ 1xمن أجل

: المنحني ذي المعادلة Cليكن 4 3 7 0xy x y

برىن أن النقطة 2;1A تنتمي إلى C وأن ، C يقبل . يطمب تعيين معادلة لو Aمماسا عند النقطة

f ىي الدالة المعرفة عمى تـ : 3 23 3 3f x x x x

f الممثل لمدالةCعمى شاشة الحاسبة البيانية نرسم المنحني. 0 التي فاصمتياA عند النقطة Tوالمماس

. Tعين معادلة لممماس . 1. T بالنسبة لممماسCخمن عمى الشاشة وضعية المنحني.2: xتحقق أن من أجل كل عدد حقيقي.3

23 3 3f x x x x .ادرس إشارة. 4 3 3f x x ثم استنتج وضعية

. T بالنسبة لممماسCالمنحني 0a أعداد حقيقية حيث c وa ، bلتكن وليكن

P 2 القطع المكافئ ذي المعادلةy ax bx c .ليكن (1

0xعدد حقيقي ، و 0Mنقطة من Pفاصمتيا

0x عند النقطةP لممنحنيTعين معادلة لممماس

0M . . يقع فوق كل مماساتو Pبرىن أن (2 ، ذات اإلحداثيات Mعين مجموعة النقط (3 ;x y ،

. M عند النقطةPحيث يوجد مماس لممنحني

عين مجموعة تعريف الدالة (133

:1

xf x

x

ثم

. أحسب دالتيا المشتقة

استنتج الدالة المشتقة لمدالة (233

:1

xg x

x

. مبينا المجموعة التي تقام فييا الحساب

55

56

60

54

52

53

57

59

58

64

معرفة وقابمة fالشكل الموالي ىو التمثيل البياني لدالةلالشتقاق عمى 0;5

المستقيمان المرسومان في الشكل ىما المماسان لممنحني عند

16 و 1النقطتين المتين فاصمتاىما

9 .

بقراءة بيانية عين .1 1fو ' 1f . حل بيانيا في المجال.2 0;5 القيم )المتراجحات التالية

( 110المقروءة في التمثيل تعطى بالتقريب إلى(أ 0f x ب ،) ' 0f x ج ،) 1f x .

من xنقبل أنو من اجل كل عدد حقيقي. 3 0;5 : 2f x a bx x

aو bعددان حقيقيان نريد حسابيما . منxبين أنو من اجل كل عدد حقيقي- أ 0;5 ،

3

' 22

f x b x

باستعمال قيم - ب 1fو ' 1f المحصل عمييا في .b وa عين1السؤال

nعدد طبيعي غير معدوم ، و x عدد حقيقي . 1يختمف عن

21بسط المجموع (1 ... nx x x . : استنتج تبسيطا لمعبارة (2

2 11 2 3 ... nx x nx جسم يتحرك عمى المحور Ox . نضع x t

، القانون الزمني لمحركة يعطى tفاصمة الجسم عند المحظة

بالعالقة 3cos 24

x t t

.

. برىن أن التسارع متناسب مع الفاصمة

xمن أجل كل نضع 1

f xx

، nf

. fلمدالةnالمشتقة ذات الرتبة العدد الطبيعي غير المعدوم برىن ، باستعمال االستدالل بالتراجع ، أنو من أجل كل عدد

n ، طبيعي غير معدوم

1

1 !n

n

n

nf x

x

.

: تـ معرفة عمى fالدالة cosf x x x . ، أحسب xمن أجل كل عدد حقيقي (1 'f x ،

"f xو 3f x .

برىن بالتراجع أنو من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم (2n ومن أجل كل عدد حقيقي ، x ،

cos cos 12 2

n nf x x x n x n

معرفة عمى fالدالة 1;1 تـ :

2

2

1

xf x

x

.

حيث من أجل كل عدد b وaجد عددين حقيقيين (1 من المجموعة xحقيقي 1;1 ،

1 1

a bf x

x x

.

2 )n عدد طبيعي غير معدوم .: نــ باستعمال النتيجة السابقة ، أعط عبارة

nf x .

ـ اججاه جغير دانة 3

في الشكل المقابل ،fC ىو المنحني

fالممثل في معمم متعامد ومتجانس لدالةنـ ؛ والمماسان قابمة لالشتقاق عمى

fC . 0 و1، فاصمتييماB وAعند نقطتيو

بقراءة بيانية ، عين القيم (1 1f ، 0f، 1f، ' 1f، ' 0fو ' 1f .

3حل بينيا ، في المجال (2 3;

2 2

:

المعادلة (أ 0f x . المعادلة (ب ' 1 f x .المتراجحة (ج ' 4f x .

64

65

66

67

62

63

2-1

2

3

4

-1

0 1

1

x

y

2 3 4 5

2

-1

-2

-3

-4

0 1

1

x

y

61

65

f دالة معرفة عمى تقبل االشتقاق مرتين وتحقق ، :* الشرطين التاليين 0 0f ؛ ' 0 1f .

*'f (الدالة المشتقة األولى لمدالةf) متزايدة عمى 0;ومتناقصة عمى ;0 .

. fأرسم منحن لمدالة fىي الدالة المعرفة عمى 1; Iتـ :

1

1

f x x

x .

. I عمى المجالfأدرس تغيرات الدالة (1 استنتج أن المعادلة أ ـ( 2 0f x تقبل حال وحيدا

في المجال 1;2 . . لمحل110 أعط قيمة مقربة إلى ب ـ

f الدالة المعرفة عمى تـ :

4 26 8f x x x x . . عند أطراف مجموعة تعريفيا fأدرس نيايات الدالة (أ أدرس إشارة كثير الحدود (ب

2

4 2 1p x x x . f لمدالة f'عين الدالة المشتقة (ج. fأنشئ جدول تغيرات الدالة (د

fالدالة المعرفة عمى تـ 3 22 4f x x x . fأ ـ أدرس تغيرات الدالة

ىو عنصر حاد من األسفل لمدالة 6ب ـ برىن أن fعمى المجال 0; . كانىريا ب

الشكل الموالي ىو لدالة Cالتمثيل البياني

f معرفة و قابمةلالشتقاق عمى المجال

3;3 في معمم ومتجانس متعامد

; ,O I J : يحقق الشروط التالية Cالمنحني

، و يشمل النقطة Oيمر بمبدأ المعمم 3;9A يقبل ، مماسا أفقيا و يقبل المستقيم 1 التي فاصمتيا Bفي النقطة

OA كمماس عند النقطة O . ما ىو معامل توجيو المستقيم. 1 OA ؟ معرفة عمىfنفرض أن .2 3;3 تـ :

3 2f x ax bx cx d . أعداد حقيقية dو a، b ، cحيث

: بين باستعمال الشروط السابقة أن - أ 1

3a ، 1b ، 3c 0 وd

حمل -ب 'f x و استنتج اتجاه تغير الدالة f .mf الدالة المعرفة عمى 1;1 بـ :

2

2 1m

x mxf x

x

. عدد حقيقي m مع

حيث mمن أجل أي قيمة لمعدد (أ mf ال تقبل قيم حدية

محمية ؟ حيث mمن أجل أي قيمة لمعدد (ب

mf تقبل قيمتين حديتين محميتين إحداىما صغرى واألخرى عظمى ؟

A، Bو C ثالث نقط من المستوي ليست في عدد حقيقي من المجالk.استقامية 1;1 .

نسمي kG مرجح النقط المثقمة 2, 1A k ، ,B k

و ,C k . منتصف القطعةI وA، B، Cمثل النقط (1 BC .

وأنشئ النقطتين 1Gو

1G .

أ ـ برىن أنو من أجل كل (2 1;1k يكون ، :

2 1k

kAG BC

k

.

المعرفة عمى fب ـ أنشئ جدول تغيرات الدالة 1;1 تــ :

2 1

xf x

x

.

ج ـ استنتج مجموعة النقط kG لما k يمسح 1;1 .

، انقص منو R ونصف قطره O نعتبر قرصا مركزهقطاعا زاويا ;OA OB

مقدرا بالراديان ، عندما x قياسو

نمصق القطعتين OAو OB مع بعضيما نحصل عمى . h وارتفاعو rمخروط دوراني نصف قطر قاعدتو

. R وx بداللة h وrعبر عن (1

68

69

71

70

73

74

75

A B

O

h

r

R

x

B A

O R

A

B

2 3-1-2-3

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

-2

0 1

1

x

yA

B

72

66

: برىن أن حجم المخروط الدوراني معرف بالعالقة (2

3

2 2 2

24

24

RV x x x

.

عمى المجالVأدرس تغيرات الدالة أـ (3 0;2 . يكون حجم المخروط أكبر ما x من أجل أي قيمة لمعددب ـ

. Rيمكن ؟ أحسبو بداللة ABCD 1 مربع ضمعو .

Cىو الربع الدائرة ذات المركز Aونصف القطر AB ، . المرسوم داخل المربع

T نقطة من Cمختمفة عن Bو D . المماس لـC يقطع Tعند DC في M ويقطع BC في N .

xنضع DMو y BN . 2: برىن أن أ ـ( 1 2 2 2 2 2MN x y x y .

MN: برىن أن ب ـ MT TN x y . . x بداللة y مما سبق ، عبر عن جـ ـ . x بداللة MN أحسب إذن د ـ

2)fىي الدالة المعرفة عمى 0;1 تـ 2 1

1

xf x

x

. f أدرس تغيرات الدالةأ ـ التي من أجميا المسافة M ما ىي وضعية النقطة ب ـ

MN أصغر ما يمكن ؟ . ـ اشحماق دانة مركثة 4

معرفة عمى uلدالةجدول التغيرات الموالي ىو 2;3uD

2 1 0 1 2 3 x + 0 0 ـ ـ + + u x 3 2

0 0 2 1

u x

عين إشارة (1 u x.

: المعرفة كما يمي k وf، g، hنعتبر الدوال (2

2f u 3 ؛g u 1 ؛h

u ؛ k u

f،g،hعين مجموعة تعريف لكل دالة من الدوال (أ .kو

عبر عن كل من (ب f x ، g x ، h x و k x بداللة u xو u x.

f، g، hاستنتج جدول تغيرات لكل دالة من الدوال (ج .kو

المعرفة عمى fأحسب الدالة المشتقة لمدالة (1

1 تـ : 2 1

1

xf x

x

.

: استنتج الدالة المشتقة لكل من الدوال المقترحة التالية (2

1 (أ :

1

xg x

x

.ب)

4

2

1:

1

xh x

x

.

(ج2 1

:1

xu x

x

. د)

2sin 1:

sin 1

xv x

x

.

زوجة وقابمة لالشتقاق فما ىي fإذا كانت دالة (1 ؟ f'شفعية دالتيا المشتقة

فردية وقابمة لالشتقاق فما ىي gإذا كانت دالة (2 ؟ g'شفعية دالتيا المشتقة

في كل من الحاالت التالية أحسب الدالة المشتقة لمدالة f المقترحة مبينا في كل مرة المجموعة التي تجرى عمييا

. الحسابات (أ 3cos 2f x x . ج)

4

1

sin 3f x

x

.

(ب 3sin 3f x x . د) 3

1

cos 4f x

x

.

. ـ دراسة انذوال 5

: تـ المعرفة fالدالةلتكن

3 2

2

2

1

x xf x

x .

نسميfC معمم متعامد ومتجانس ليا في المنحني الممثل

; ;

O i j . استنتج أن المنحني . fأدرس تغيرات الدالة (1

fC يقبل .مستقيما مقاربا عموديا

yبين أن المستقيم ذي المعادلة (2 x ىو مقارب مائل لممنحني

fC .

77

78

80

79

81

T

A B

C D

N

M

C

76

67

أدرس وضعية المنحني (3fC بالنسبة إلى المستقيم المقارب

. لو المائل أحسب إحداثيات نقطتي تقاطع المنحني( 4

fC مع حامل .محور الفواصل

. 1 عند النقطة ذات الفاصمة أكتب معادلة لممماس (5 ثم المنحني أنشئ (6

fC . f الدالة المعرفة عمى 2 تـ :

1

2

x xf x

x

.

fCالمنحني الممثل لمدالة f في معمم . . fأدرس تغيرات الدالة (13y ذي المعادلة dأ ـ برر أن المستقيم (2 x ىو ،

مقارب مائل لممنحنيfC . نـأدرس الوضعية النسبية

fC . بالنسبة لمستقيمو المقارب المائل

ثم dب ـ أرسم fC .

أ ـ استعمل (3fCعين حسب قيم الوسيط الحقيقي ، m ،

عدد حمول المعادلة 2 1 2 0x m x m . ، عدد حمول mب ـ استنتج حسب قيم الوسيط الحقيقي

المعادلة cos 2 2 1 cos 4 1 0u m u m مع 0;2u .

:تـ المعرفة fالدالةلتكن 2

2

4 5

2 5 2

x xf x

x x .

نسمي fC معمم متعامد ومتجانس ليا في المنحني الممثل.

fعين مجموعة تعريف الدالة (1ن أجل كل ، بحيث مcو a ،bعين األعداد الحقيقية ( 2

: f من مجموعة تعريف الدالةxعدد حقيقي

2 1 2

b bf x a

x x .

أكتب معادلة لكل من ثم fأدرس تغيرات الدالة ( 3المستقيمات المقاربة لممنحني

fC . أكتب معادلة لمماس المنحني( 4

fC عند النقطة ذات . 0الفاصمة

عين إحداثيات نقطتي تقاطع المنحني( 5fC وحامل محور

. الفواصل . أرصى انح( 6

، نعتبر الدالة nمن أجل كل عدد طبيعي غير معدوم

nf المعرفة عمى بـ : 2 2n

nf x x x .أحسب نيايتي الدالة (1

nf عند و . أدرس تغيرات الدالة (2

nf ( ميز الحالتينn زوجي ثم فردي . )

نسمي (3nC المنحني الممثل لمدالة

nf في معمم متعامد . ومتجانس

1xأ ـ تحقق من أن المستقيم ذي المعادلة ىو محور تناظر لممنحني

nC .ب ـ برر أن

nC يمر من أربع نقط إحداثياتيا مستقمة عن . أحسب إحداثيات ىذه النقط . nالعدد الطبيعي

أرسم في نفس المعمم المنحنيين 1Cو

7C .

:تـ المعرفة fنعتبر الدالة 2

2

2 15

2 3

x xf x

x x

في المستوي f إلى المنحني الممثل لمدالةCيرمز المنسوب إلى معمم متعامد ومتجانس ; ;

O i j .

استنتج معادلة لكل من . fأدرس تغيرات الدالة (1 . Cالمستقيمين المقاربين لممحني

عند نقطتو ذات Cأكتب معادلة لمماس المنحني (2 . 5الفاصمة ىو محور 1xأثبت أن المستقيم ذي المعادلة (3

. Cأرسم المنحني . Cتناظر لممنحني نعتبر الدالة( 4

mf تـ المعرفة :

2

2

15

3

m

x mxf x

x mx. وسيط حقيقي m حيث

ـ أدرس تغيرات الدالة mf واستنتج المستقيمين القاربين

لمنحنيا mC .

ـ بين أنو توجد نقطة وحيدة تنتمي إلى كل المنحنياتmC . ـ ما ىو المنحني الذي يشمل النقطة ذات اإلحداثيتين 4;1

؟ (Iنعتبر الدالة g المعرفة عمى المجال 1;

: تــ 3 22 3 1g x x x و ليكن gCتمثيميا البياني في معمم .

83

85

86

84

82

68

الحظ (1 gC عمى شاشة الحاسبة البيانية ثم ضع تخمينا حول عدد جذورىا و حول

.إشارتيا

. ثم شكل جدول تغيراتياgأدرس تغيرات الدالة (2

بين أن المعادلة (3 0g x تقبل حال وحيدا .1,7 و1,6محصورا بين

، إشارةxاستنتج ، حسب قيم (4 g xعمى 1; .(IIنعتبر الدالةfالمعرفة عمى المجال 1; تــ

3

1

1

xf x

x

و ليكن fC تمثيميا البياني في معمم متعامد و متجانس ; ,O I J ( 4: الوحدةcm .)

بين أن (1 1

limx

f x

ثم أحسب limx

f x

.

.أعط تفسيرا بيانيا لمنتيجتين

منxبين أنو من كل (2 1; ،

2

3 1

g xf x

x

. ثم شكل جدول تغيراتياfاستنتج اتجاه تغير الدالة (3

عين معادلة لـ (4 مماس المنحني fC عند النقطة .0ذات الفاصمة

منxتحقق أنو من أجل كل (5 1; 1 ،

3

3

11

1

x xf x x

x

.

بعد دراسة إشارة (6 1f x x استنتج وضعية المنحني fCبالنسبة لممماس .ماذا تالحظ ؟

ارسم المستقيم (7 و المنحني fC . المعرفة عمىfنعتبر الدالة

fD تــ :

3 2

2

1

1

x xf x

x

حيث ; 1 1;1 1;fD ؛ و ليكن fCتمثيميا البياني في معمم متعامد ومتجانس ; ,O I J.

. عند أطراف مجموعة تعريفيا fأحسب نيايات الدالة (1 .استنتج المستقيمات المقاربة الموازية لمحور التراتيب

. ثم شكل جدول تغيراتياfأدرس اتجاه تغير الدالة (2أكتب معادلة لممماس (3 fC 0 عند النقطة ذات الفاصمة.

منxبين أنو من أجل كل (3fD ،

21

1

xf x x

x

بين أن المستقيم (4 1 ذو المعادلةy x مستقيما مقاربا مائال لممنحني fCعند و عند .

أدرس وضعية المنحني fC بالنسبة لممستقيم المقارب المائل .

بين أن المعادلة (5 0f x تقبل حال وحيدا في المجال 1;1 يطمب إيجاد، باستعمال حاسبة بيانية، حصر

.0,1لو سعتو

أرسم المستقيمات المقاربة و المنحني (6 fC.

من مالحظة (7 fC خمن وجود مركز تناظر لممنحني fCثم أثبت صحة أو عدم صحة تخمينك .

(I f الدالة المعرفة عمى 2 تـ :

3 3 6

2 2

x xf x

x

.

Cالمنحني الممثل لمدالة f في معمم متعامد ومتجانس . حيث من أجل b وaبرىن أنو يوجد عددان حقيقيان (1

2xكل تكون ،

21

2

bf x a x

x

.

. عند حدود مجموعة تعريفياf أدرس نيايات الدالةأ ـ( 2 . f أنشئ جدول تغيرات الدالةب ـ

(IIنسمي القطع المكافئ ذي المعادلة 21

12

y x

2xحيث . Pو Mنقطتان من و C عمى الترتيب ، ليما الفاصمة x مشتركة .PMأحسب مركبتي الشعاع (1

.

يؤول إلى xاستنتج أن ، لما أو فإن . فسر ىذه النتيجة ىندسيا . 0 تؤول إلى PMالمسافة

. C وأرسم في نفس الشكل المنحنيين (2

87

88

69

عدد حقيقي موجب تماما .f الدالة المعرفة عمى المجال 0;I تـ :

2

3

2f x x

x x

، C تمثيميا البياني في معمم .

fأ ـ أدرس نيايتي الدالة (1 عند حدود المجال I . وأدرس Cب ـ برىن أنو يوجد مستقيم مقارب مائل لممنحني

. وضعيتييما النسبية fأ ـ أدرس تغيرات الدالة (2 عمى المجال I .

fب ـ برىن أن تقبل قيمة حدية تبمغيا عند عدد حقيقي x .

3 )P نقطة من C فاصمتيا x . محتواة في المستقيم ذي Pأ ـ برىن أن مجموعة النقط

16المعادلة

9y x .

. I المجال عندما يمسح Pب ـ ما ىي مجموعة النقط .تكانىريا

f ىي الدالة المعرفة عمى المجموعة fD تــ :

21 4f x x x x .مع ; 4 0;f D؛ و C تمثيميا البياني

في معمم متعامد ومتجانس ; ;O i j

. عند fأحسب النيايتين لمدالة (1 و .2بين أن المستقيم ذي المعادلة (2 3y x ىو ،

بجوارCمستقيم مقارب لممنحني . ؟ 4 ؟ عند 0 تقبل االشتقاق عند fىل الدالة (3أحسب (4 'f x من أجل 4;0fx D . . fأنشئ جدول التغيرات لمدالة (5 . Cأرسم المستقيم المقاربة ثم المنحني (6

.تكانىريا

F دالة معرفة وقابمة لالشتقاق عمى حيث 0 0F

ومن أجل كل عدد حقيقي 2

1'

1F x

x

.

موجودة وال نريد إيجاد عبارتياFنقبل أن الدالة F x . . تمثيميا البياني في معمم متعامد ومتجانس Cنسمي

1 )G الدالة المعرفة عمى تــ : G x F x F x .

وأحسب تقبل االشتقاق عمىGأ ـ برر أن 'G x من xأجل .

ب ـ أحسب 0G واستنتج أن الدالة F فردية .2 )H الدلة المعرفة عمى المجال 0;I تــ :

1

H x F x Fx

.

وأحسب I تقبل االشتقاق عمىHأ ـ برر أن 'H x من xأجل I .

xب ـ برىن أنو من أجل كل I ، 2 1H x F .ج ـ استنتج أن lim 2 1

xF x F

. ؟ Cد ـ ماذا ينتج عن المنحني

3 )T الدالة المعرفة عمى ;2 2

: تــ

tanT x F x x . أ ـ أحسب 'T x . ماذا ينتج عن الدالةT ؟

ب ـ أحسب 1F . . عمى Fأنجز جدول تغيرات الدالة (4 ، مستقيماتو المقاربة ومماساتو عند Cأرسم المنحني (5

. 1 و1 ، 0النقط ذات الفواصل

f ىي الدالة المعرفة عمى ;2 2

: تــ

2 tan 1f t t . C تمثيميا البياني في معمم متعامد ومتجانس .

عند النقطة ذات C لممنحنيTأ ـ عين معادلة لممماس . 0الفاصمة

. T نــ بالنسبةCب ـ أدرس الوضعية النسبية لممنحني : تـ المعرفة عمى fنعتبر الدالة

2sinf x x . تمثيميا البياني في معمم متعامد Cوليكن ; ;O i j

.

. دورية ذات الدور fأ ـ برىن أن الدالة . Cب ـ برىن أن محور التراتيب ىو محور لممنحني

;0 عمى المجال fج ـ أدرس تغيرات الدالة 2

.

89

90

91

92

93

70

;0 عمى المجال fد ـ أرسم المنحني الذي يمثل الدالة2

3ثم عمى المجال 3;

2 2

.

fىي الدالة المعرفة عمى تــ : sin 3 3sinf x x x .

قارن بين (1 f x وكل من 2f x ، f x و f x .

;0 عمى fبرىن إذن أنو يكفي دراسة الدالة 2

.

، xبرىن أنو من أجل كل عدد حقيقي (2 ' 6sin sin 2f x x x .

;0 عمى fأدرس تغيرات الدالة (32

.

عمى fأرسم منحني الدالة (4 2 ;2 . : تـ المعرفة عمى fنعتبر الدالة

1

cos 2 cos2

f x x x .

تمثيميا البياني في معمم متعامد Cوليكن ; ;O i j

. . 2 دورية ذات الدور fأ ـ برىن أن الدالة (1

. Cب ـ برىن أن محور التراتيب ىو محور لممنحني . f الدالة المشتقة لمدالة f'أ ـ عين (2

، xب ـ برر أنو من أجل كل عدد حقيقي ' sin 1 2cosf x x x .

ج ـ أدرس إشارة 'f x من أجل 0;x . عمى fأ ـ أنجز جدول تغيرات لمدالة (3 0; .

عمى fب ـ أرسم المنحني الذي يمثل الدالة ; . . Cج ـ كيف يمكن استنتاج المنحني

لمدالة 0اليدف من التمرين ىو تقريب محمي بجوار tan مع كثيرات الحدود .

: تــ المعرفتين عمى g وfنعتبر الدالتين

3

3

xf x x و

32

3

xg x x .

باستعمال حاسبة بيانية أعط تخمينا حول وضعية منحنيات . tan وf، gالدوال

: الجزء األول

;0أ ـ أدرس عمى المجال (13

I

، تغيرات الدالة

: tanu x x x . tanxب ـ استنتج إشارة x عمى المجال I .

I في المجالأ ـ برر أنو يوجد عدد حقيقي وحيد (22tanحيث 2 1 .

2tanب ـ استنتج إشارة 1 2x عمى المجال I . :ج ـ أدرس تغيرات الدالة tan 2v x x x واستنتج

إشارة v x عمى المجال I . : الجزء الثاني

أدرس تغيرات الدالة (13

tan3

xx x x عمى

x ، واستنتج أنو من أجل كلIالمجال I ، 3

tan3

xx x .

برر أنو من أجل كل (1بإتباع نفس الطريقة لمسؤال (2

x I ، 32

tan3

xx x .

، برر أنو من أجل كل tanمن شفعية الدالة (3

;03

x

، 3 32

tan3 3

x xx x x .

f ىي الدالة المعرفة عمى المجموعة D لألعداد حيث xالحقيقية

4 2x k

مع k ، تــ :

tan 2f x x .

دورية ذات الدور f برىن أن الدالةأ ـ( 12

.

، D من x برىن أنو من أجل كلب ـ f x f x . في معمم متعامد f الممثل لمدالةCاستنتج أن المنحني

. ومتجانس ، متناظر بالنسبة لمبدأ المعمم

أحسب أ ـ( 2 'f x 0 من أجل;4

x

.

;0 عمى المجال f استنتج جدول تغيرات الدالةب ـ4

.

. لممنحني عند مبدأ المعمم T عين معادلة لممماسأ ـ( 3

94

96

97

95

71

; عمى T بالنسبة إلىC أدرس وضعيةب ـ4 4

.

; عمىf والمنحني الذي يمثل الدالةTأرسم (44 4

.

. Cواشرح كيف ينتج المنحني . مـسـائـم

المستوي منسوب إلى معمم متعامد ومتجانس مباشر ; ;O i j

.

متساوي الساقين ABCمثمث رأسو 1;0A محيط بالدائرة ،

. 1 ونصف القطر Oذات المركز تقع فوق المحورBالنقطة Ox ،

عمى A المسقط العمودي لمنقطةHو BC . قيسا رئيسيا موجبا مقدرا بالراديان لمزاوية ليكن

,i OB

. . Bـ عين إحداثيتي النقطة (1

. بداللة AH وBHـ عبر عن المسافتين . ABC مساحة المثمث ـ استنتج بداللة

المعرفة عمى fنعتبر الدالة (2 0; تـ : sin 1 cosf x x x .

وبرىن أنو من أجل كل fأ ـ عين الدالة المشتقة لمدالة 0;x 2' 2cos cos 1f x x x .

استنتج أنو من أجل كل 0;x ، ' 2cos 1 cos 1f x x .

ب ـ أدرس اشارة 'f x ثم أنجز جدول تغيرات الدالة ، f . التي من أجميا تكون مساحة برىن أنو توجد قيمة لمعدد (3

أكبر ما يمكن ، المطموب تحديد ىذه المساحة ABCالمثمث . ABCما ىي إذن طبيعة المثمث .

المستوي منسوب إلى معمم متعامد ومتجانس مباشر ; ;O i j

.

ذات pنعتبر النقطة اإلحداثيتين 2;1 .

pمستقيم يشمل النقطة

يقطع كل من Oxو Oy في النقطتين Aو B عمى . 1الترتيب ؛ حيث ترتيب النقطة يكون أكبر من

والذي OAB القياس بالراديان لمزاويةنضع 0يحقق

2

.

، ترتيب النقطة A، فاصمة النقطةtanأحسب بداللة (1B ثم مساحة المثمث ، OAB . المعرفة عمى fلتكن الدالة (2 0; تـ :

1

2 1 2f x xx

. fأدرس اتجاه تغير .

. تقبل قيمة حدية صغري يطمب تحديدىاfاستنتج أن الدالة. OABاستنتج مما سبق أصغر مساحة ممكنة لممثمث (3

أرسم المستقيم AB في ىذه الحالة . داخل مخروط Rنضع كرة ذات نصف القطر

حيث دوراني، قياس نصف الزاوية إلى رأسو ىي 0

2

.

. نفرض أن الكرة والمخروط الدوراني متماسان يحقق Vونقبل أن حجمو

23 1 sin

3sin 1 sin

RV

.

اليدف من التمرين ىو تعيين ارتفاع المخروط الدواراني بحيث . يكون حجمو أصغر ما يمكن

لممخروط الدوراني V والحجم hبرىن أن االرتفاع (1

: يحققان العالقة 3

2tan3

hV

.

المعرفة عمى fأدرس اتجاه تغير الدالة (2 0;1 تـ :

21

1

xf x

x x

.

أ ـ استنتج من السؤال السابق ، أنو يوجد مخروط دوراني (3تـ لو أصغر حجم ؛ نرمز

0 إلى قياس نصف الزاوية إلى حدد القيمة . رأسو

0V ألصغر حجم .

OA

B

C

H

0 1

1

x

y

OA

B

C

H

O

P

B

A

0 1

1

x

y

O

P

B

A

R O

h

98

99

100

72

ب ـ أحسب االرتفاع 0h لممخروط الدوراني الذي لو أصغر

. حجم 1في الشكل لدينا منحن ذي المعادلة

yx

مع

0x .

Aو Mنقطتان حيث 1; 1A 1 و;M xx

.

بحيث Mاليدف من التمرين ىو تعيين إن أمكن نقطة . أصغر ما يمكن AMتكون المسافة

2AM أصغر قيمة فإنAMأ ـ برر أنو إذا أخذت (1. تأخذ أصغر قيمة x ، ب ـ أحسب بداللة d x حيث 2d x AM .

0xبرىن أنو من أجل كل (2 ، 3

2'

f xd x

x

. ىي دالة كثير حدود من الدرجة الرابعة fحيث . fدراسة الدالة (3

عمى fأ ـ أدرس تغيرات الدالة 0;I . ب ـ برىن أن المعادلة 0f x تقبل حال وحيدا في

. 210 نصف قطره عين حصرا لمعدد . Iالمجال استنتج إشارة (ج f xعمى المجال I . . وأعط خالصة dاستنتج مما سبق تغيرات الدالة (4 فإن المستقيم A أقرب من النقطةMبرر أنو إذا كانت (5

AM يكون عموديا عمى مماس المنحني المعطى سابقا . Mفي نقطتو

في الفضاء المنسوب إلى معمم متعامد ومتجانس ; ; ;O i j k

، نعتبر النقط 2;0;0A ،

1; 3 ;0B و 1; 3 ;0C .

في المستوي C وA ، Bمثل النقط (1 ; ;p O i j

. . O تقايس أضالع مركزه ABCبرىن أن المثمث (2 من الفضاء المتباعدة Mأ ـ عين مجموعة النقط (3

. B وAالمسافتين لكل من النقطتين من الفضاء المتباعدة المسافتين Nب ـ عين مجموعة النقط

. C وBلكل من النقطتين من الفضاء المتباعدة Pج ـ برىن أن مجموعة النقط

ىي حامل المحور C وA، Bالمسافات لكل من النقط ;O k

.

راقميا موجب حيث يكون Dبرىن أنو توجد نقطة وحيدة (4. منتظما وأحسب إحداثياتيا ABCDالرباعي

نقطة كيفية من القطعة المستقيمة Mلتكن (5 CD . CMنضع CD

مع 0;1 .

أ ـ برىن أن

2

2

2 2 1cos

2 1AMB

.

: تـ عمى المجموعة fنعرف الدالة

2

2 2

2 2 1 11

2 1 2 1f

.

. fب ـ أدرس تغيرات الدالة التي من أجميا تكون الزاوية Mج ـ استنتج وضعية النقطة

AMB أكبر ما يمكن . ؟ AMBد ـ ما ىي القيمة ألكبر زاوية

(I f الدالة المعرفة عمى 0;1تـ :

3

1

xf x

x

.

. 0 تقبل االشتقاق عند fىل الدالة (1 . fشكل جدول تغيرات الدالة (2نسمي (3

1Cالمنحني الممثل لمدالة f في معمم متعامد ومتجانس ; ;O i j

.

لممنحنيTأكتب معادلة لممماس 1C عند النقطة ذات

1الفاصمة

2 .

O

M

A

x0 1

1

x

y

O

M

A

x

101

102

103

73

في نفس المعمم أرسم (41C ، T ثم المنحني

2C نظير 1C بالنسبة إلى محور الفواصل .نضع (5

1 2 = C Cولتكن ;M x y نقطة من Mبرىن أن . المستوي إذا وفقط إذا كان

2 2 2 0x x y y ... E نذكهش يسمى المنحني المبالبي المنحني

(cissoïde de Dioclès) .(II I النقطة ذات اإلحداثيتين 1;0 ، C الدائرة ذات

القطر OIو المماس لمدائرة C عند النقطة I . d المستقيم الذي يشمل النقطة O ومعامل توجييو العدد

. tالحقيقي d والمستقيمC نقطة تقاطع الدائرة Mعين إحداثيتي (1

Mحيث O . والمستقيم نقطة تقاطع المنحنيM'عين إحداثيتي (2

dحيث 'M O . . d وأحسب إحداثيتي نقطة تقاطع المستقيمين

نقطة بنقطة انطالقا من استنتج طريقة إلنشاء المنحني (3 . N وMالنقطتين

أنشئ المنحني(III 1) المستقيم 'IMيقطع محور التراتيب في P .

.2: أ ـ برىن أن .NM NO NI NO NI

، .2 و .OM ON ON OI OI

.

2: ب ـ استنتج أن 'NI OM NO ، 2OIو OM ON .

': ج ـ برىن أن '

'

OP OM OM

NI M N OM .

: د ـ استنتج من السؤالين ب و ج ، أن 2 3OP OI OP IN .

2OPنختار (2 3 وبالتالي يكون 2IN . أن يحل ديوكمي نــ اشرح كيف يمكن لممنحني المبالبي

x ، أنشئ حرفا aليكن مكعبا ذي الحرف : المشكل التالي . لمكعب حيث يكون حجمو ضعف حجم المكعب األول

1)g ىي الدالة المعرفة عمى 0;تـ :

cos sing x x x x . . وأنشئ جدول تغيراتيا gأ ـ أدرس تغيرات الدالة

ب ـ استنتج إشارة g x عمى 0; . المعرفة عمى fلتكن الدالة (2 0; تـ :

sin x

f xx

0 من أجلx و 0 1f .

عمى fأدرس تغيرات الدالة 0; . 0اليدف من السؤال ىو دراسة قابمية االشتقاق عند (3

. fلمدالة ، xأ ـ بين أنو من أجل كل عدد موجب

3

0 sin6

xx x .

المعرفة عمى من أجل ذلك نعتبر الدالة 0; تــ :

3

sin6

xx x x .

أحسب المشتقات المتتابعة ' x ، " xو "' x . واستنتج إشارة

وأحسب 0 تقبل االشتقاق عند fب ـ برىن أن الدالة ' 0f .

في معم متعامد f الممثل لمدالة Cأنشئ المنحني (4 . 3cmومتجانس حيث تأخذ وحدة الرسم

1 )g تــ ىي الدالة المعرفة :

0 0g و 2 1sing x x

x 0 من أجلx

. 0 تقبل االشتقاق عند gأ ـ برىن أن الممثل في معمم متعامد g ىو منحني الدالة Cب ـ

ومتجانس ; ;O i j

تحقق من أن محور الفواصل ىو . . O عند المبدأ Cمماس لممنحني

1أ ـ برىن أن (20g

k

k من أجل كل .

. عدد حقيقي موجب تماما وصغير بقدر ما نريدهب ـ 1لماذا يوجد عدد غير منتو من األعداد

k تنتمي إلى

المجال 0; مع ، k . ، ال C لممنحنيAىل صحيح أن مماس في نقطة (3

A . 104 وىذا بجوارA إال في النقطة Cيقطع

105

74

اخحيار من محعـذداخحيار من محعـذد

في كل سؤال اقتراحات موضوعة يمكن أن تكون أكثر من جممة صحيحة؛ المطموب اختيار الجمل الصحيحة

. مبررا ذلك1) fدالة قابمة لالشتقاق عمى مجال I . ، I من المجالa قيمة حدية عظمى عند f إذا قبمتأ ـ

فإن ' 0f a . إذا كانتب ـ ' 0f a فإن ، fتقبل قيمة حدية عند a . . I مستمرة عمى المجالf الدالةجـ ـ

2) fتـ ىي الدالة المعرفة 3 1f x x x . 3 المعادلةأ ـ 1 0x x تقبل حال وحيدا في .

متزايدة تماما عمى f الدالةب ـ ; . تقبل االشتقاق عمى f الدالةجـ ـ ; .، المعادلةk من أجل كل عدد حقيقي موجبد ـ f x k

. تقبل عمى األقل حال في الشكل

fCىو منحني الدالة f قابمة لالشتقاق . A وO ، ومماسين عند كل من النقطتين عمى

في كل السؤال ، بالضبط اقتراح واحد صحيح المطموب تعيينو

.: يساوي 0 عند fالعدد المشتق لمدالة (1 . 4 د ـ. 1 جـ ـ. 0 ب ـ . 2 أ ـ أ ـ (2 0 2f . ب ـ 1 0f .

جـ ـ ' 0 0f .د ـ ' 1 0f . . 2 ىي f القيمة الحدية العظمى لمدالةأ ـ (3

ب ـ ' 2 0f . . 0 ، ىي عمى fالقيمة الحدية الصغرى لمدالةجـ ـ

أ ـ (4 lim 0x

f x

. ب ـ lim 0x

f x

.جـ ـ

0limx

f x

. د ـ 0

lim 1x

f x f

.

أصحيخ أو خاطئ ؟ أصحيخ أو خاطئ ؟

f دالة قابمة لالشتقاق عمى 0; حيث . يعطى جدول تغيراتيا

0 1 x + 0 ـ 'f x

1

f x

. ميز بين الجمل الصحيحة والجمل الخاطئة مبررا ذلكمن أجل كل (1 0;1x ، 1f x . 0xالمستقيم ذو المعادلة (2 ىو مماس لمنحني الدالة f .1aإذا كان (3 فإن ، 1f a . 1 عند نقطتو ذات الفاصمةfيكون مماس منحني الدالة (4

. موازيا لحامل محور التراتيب 5)

0limx

f x

.أذكر إن كانت الجممة صحيحة أم خاطئة مبررا ذلك

المعرفة عمى fالدالة (1 0; تـ f x x x . 0غير قابمة لالشتقاق عند

2) 0

sinlim 1x

x

x .

3 المعرفة عمىfالدالة (3;

2 2I

:تـ

1 tanf x x متناقصة تماما عمى I . تـ المعرفة عمىfالدالة (4 13f x x .

المطموب التمييز بين الجمل الصحيحة والخاطئة . مبررا ذلك

إذا كان (1 ' 2 4f فإن 2

2lim 4

2x

f x f

x

g فإن الدالة قابمة لالشتقاق عمىfإذا كانت (2 :تـالمعرفة tang x f x تقبل االشتقاق عمى

;2 2

ولدينا ' ' tang x f x

tanxالمعادلة (3 xتقبل ما النياية من الحمول عمى .'إذا كان (4 'f g عمى مجال I فإن f g ىي دالة

. Iثابتة عمى المجال

106 108

110

109

2 3 4 5

2

-1

0 1

1

x

y

O

A

107