Στατικη Ασκησεις!

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ

Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΙΙ

Δοκοί, Πλαίσια, Δικτυώματα,

Γραμμές Επιρροής και Υπερστατικοί Φορείς

Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D.

Μάρτιος 2011

Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Δοκών 1

Τ.Ε.Ι. Αθήνας – Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Τριαντ. Κόκκινος

Μέρος 1ο

Διαγράμματα M, Q, N σε δοκούς



Άσκηση 1

A

m4.0

B

N/m60

A BΓ

A B

[ ]Q

[ ]M

N180

m2.0

Γ

N220AV = N200BV =

m2.0 m2.0

m3.67

Nm403.33maxM = +

Nm400+

2

1208

ql =

Nm320+

N220+

N20-

N200- N200-

Αντιδράσεις: N

N

0 6 2 (60 4) 4 180 0 200

0 4 60 180 0 220

B BA

y BA A

M V V

F V V V

´ ´ ´

´

S = - - = =

S = + - - = =

Μέγιστη ροπή:

θέση μέγιστης ροπής (μηδενισμός τέμνουσας): N

m N m

2203.67

60x = =

/ (από το Α)

maxM = (ροπή στο Α)+ (εμβαδόν διαγράμ. Q από το Α έως m3.67x = )

N m Nm1

0 220 3.67 403.332

max maxM M = + = +



Άσκηση 2

(N m

)

M(x)

1 m 1 m

(N)

Q(x)

750

0

250

500

750

x (m)

Διάγραμμα Ροπών Κάμψης

Διάγραμμα Τεμνουσών Δυνάμεων

1 m 1 m

500 N/m

500 N

500 N/m

500

250

800

0

700

500

600

400

300

100

200

1 3 42

1 2 3 4

V B= 750 NVA = 750 N

2.50.5

312.5

812.5 = Mmax

A B

x (m)



Άσκηση 3

A

m2.0

B Nm750

A BΓ

A B

[ ]Q

[ ]M

N250

m2.0

Γ

N125AV =N125BV =

Nm0

Nm250+

N125+

m2.0 m2.0 m2.0

G

N0V =Γ

N125+

N125- N125-

G

Nm500-

Nm250+

Γ G

Αντιδράσεις: δεξ. N

N

N

0 4 2 250 0 125

0 750 4 8 250 10 0 0

0 250 0 125

B BG

BA

y BA A

M V V

M V V V

F V V V V

´

´ ´

S = - + = =

S = - - + - = =

S = + + - = =

Γ Γ

Γ



Άσκηση 4

A

m1.0

B Nm125

A Γ

AB

N150

Γ

N350AV = N300BV =

0

100M = +max

350+

m2.5 m1.5

G

300-

G

Γ

G

N/m200

m1.0

Nm550AM =

200+

B

550-

200-

0

m1.0

2 8

156.25

ql / =

m1.25

Nm( )

[ ]M

N( )

[ ]Q

350+

200+

125-

93.75+

m1.0

m1.25

125-

Αντιδράσεις: δεξ. N0 2.5 1.25 (2.5 200) 125 0 300B BGM V V´ ´S = - + + = =

Nm1 150 3.25 (2.5 200) 4.5 125 0 550BA A AM M V M´ ´ ´ ´S = - + + - + = =

N0 150 2.5 200 0 350y BA AF V V V´S = + - - = =

Μέγιστη ροπή: στη θέση N N m m200 /(200 ) 1.0x = / = από το G (μηδενισμός της Q)

maxM = (ροπή στο G)+ (εμβαδόν διαγράμ. Q από το G έως m1.0x = )

N m Nm120 200 1.0 100max maxM M´ = + = +



Άσκηση 5

Εάν δίνεται το διάγραμμα καμπτικών ροπών [M] της παρακάτω δοκού, να σχεδιασθεί το αντίστοιχο διάγραμμα τεμνουσών [Q] και να προσδιορισθεί η φόρτιση από την οποία παράγεται το συγκεκριμένο διάγραμμα ροπών.

x

(kN

m)

M(x)

(m)

2 m 2 m4 m

70

40

(kN

)

Q(x)30

20

10

0

10

20

30

40

x(m)

Διάγραμμα Ροπών

Διάγραμμα Τεμνουσών

Διάγραμμα ΕλευθέρουΣώματος

2 4 6 8

20

7.5 7.5

35 35

20 kN

12.5 kN

42.5 kN

35 kN



Άσκηση 6

Εάν δίνεται το διάγραμμα καμπτικών ροπών [M] της παρακάτω δοκού, να σχεδιασθεί το αντίστοιχο διάγραμμα τεμνουσών [Q] και να προσδιορισθεί η φόρτιση από την οποία παράγεται το συγκεκριμένο διάγραμμα ροπών.

(kN

m)

M(x)

x (m)

2 m

40

(kN

)

Q(x)

30

20

10

0

10

20

30

40

Διάγραμμα Ροπών

Διάγραμμα Τεμνουσών

Διάγραμμα ΕλευθέρουΣώματος

x (m)

8070

50

20 kN

15 kN

45 kN

40 kN

2 m 2 m 2 m

20 kNm



Άσκηση 7

Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [Q] και [M] για τη δοκό AB του σχήματος.

A

m2.0

B Nm800

N200

m2.0

Γ

m2.0 m2.0 m2.0

G

Άσκηση 8

Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [Q] και [M] για τη δοκό του σχήματος. Να προσδιορι-σθεί η τιμή της μέγιστης καμπτικής ροπής maxM , καθώς και η θέση όπου εμφανίζεται.

ΒΑ

4 m

q = 100 N/m100 N

Άσκηση 9

Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [Q] και [M] για τη δοκό του σχήματος. Να προσδιορι-σθεί η τιμή και η θέση της μέγιστης καμπτικής ροπής maxM .

ΒΑ

2 m 2 m

Γ

q = 100 N/my

x

200 Nm100 N



Άσκηση 10

Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [Q] και [M] για τη δοκό του σχήματος. Να προσδιορι-σθεί η τιμή και η θέση της μέγιστης καμπτικής ροπής maxM .

BΑ

200 N

200 Nm

Γ Δ

q = 100 N/m

y

x

250 N

Ε Ζ Η

2 m 2 m 2 m 2 m 2 m 1.5 m

Άσκηση 11

Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [Q] και [M] για τη δοκό του σχήματος.

ΒΑ

150 N

Γ

q = 60 N/m

y

xG

120 Nm

1 m 1 m 1 m 1 m 1.5 m

Άσκηση 12

Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών και καμπτικών ροπών του φορέα. Να υπολο-γισθεί η μέγιστη καμπτική ροπή και να προσδιορισθεί η θέση που εμφανίζεται αυτή.

200 kN

q = 50 kN/my

x

8 m 4 m

300 kN

12 m

ΑΒ

Γ Δ



Άσκηση 13

Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών και καμπτικών ροπών του φορέα. Να υπολο-γισθεί η μέγιστη καμπτική ροπή και να προσδιορισθεί η θέση που εμφανίζεται αυτή.

BΑ

100 N700 Nm

Γ Δ

q = 200 N/m

y

x

1 m 1 m 2 m 1.5 m 1.5 m

Άσκηση 14

Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών δυνάμεων [Q] και καμπτικών ροπών [M] του φορέα. Να υπολογισθεί η τιμή και η θέση της μέγιστης θετικής καμπτικής ροπής.

A

B

kN120

Γ

m6.0 m2.0 m2.0

G

m2.0

kN/m30

Άσκηση 15

Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του φορέα.

A B

kN120

Γ

m2.0 m2.0 m4.0

G

m2.0

kN/m30

Δ

Απαντήσεις: kNm240AM = - , kNm180BM = - , m kNm7 45xM = = + ,

max kNm60M = + στη θέση m8x = .



Άσκηση 16

Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του φορέα και να προσδιορισθεί η μέγιστη θετική ροπή (τιμή και θέση).

AB

kN40

Γ

m2.0 m2.0 m4.0

G

m2.0

kN/m20

Δ

m2.0

kN160

Άσκηση 17

Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του φορέα και να προσδιορισθούν οι μέγιστες ροπές (τιμή και θέση).

AB

kN80

Γ

m2.0 m2.0 m4.0

G

m4.0

kN/m20

Δ

m2.0

kN60

Ε

kN/m20

Απαντήσεις: kNm200AM = - , kNm280BM = - , kNm80EM = - ,

max kNm190M =- στη θέση m1x = δεξιά του Α και max kNm40M = + στη θέση m2x = δεξιά του G.

Άσκηση 18

Εάν δίνεται το διάγραμμα καμπτικών ροπών [M] της δοκού AB , να σχεδιασθεί το αντίστοιχο διάγραμμα τεμνουσών [Q] και να προσδιορισθεί η φόρτιση από την οποία παράγεται το συγκεκριμένο διάγραμμα ροπών.

m3

kNm60-

A B[ ]M m1

-

Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Διαγράμματα Πλαισίων 12


Μέρος 2ο

Διαγράμματα M, Q, N σε πλαίσια



Άσκηση 19

Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [N], [Q] και [M] του παρακάτω πλαισίου.

kN100

kN30AH =

kN30

kN m20 /

kN60BV =

kN200AV =

m4

m2 m2 m4

A

ΒΓ ΔΕ

A

ΒΓ ΔΕ

30+

200-

30+

200-

kN( )

[ ]N

Αντιδράσεις στηρίξεων:

kN

kN

kN

0 30 0 30

0 2 100 4 4 30 2 (8 20) 0 60

0 100 8 20 0 200

x A A

A

y BA A

F H H

M V V

F V V V

´ ´ ´ ´

´

S = - + = =

S = - - + + = =

S = + - - = =

B B



kN100

kN30AH =

kN30

kN m20 /

kN60BV =

kN200AV =

m4

m2 m2 m4

A

ΒΓ ΔΕ

A

ΒΓ

ΔΕ

60+

20-

40+

30+

kN( )

[ ]Q

30+

100-140-

m3x =

Ζ

Μέγιστη ροπή:

Θέση της μέγιστης ροπής (δηλ. σημείο μηδενισμού της τέμνουσας):

kN

m kN m

603.0

20x = =

/ (αριστερά του Ε)

Υπολογισμός της μέγιστης ροπής:

maxM = (ροπή δεξιά του κόμβου Ε)+(εμβαδόν διαγράμ. Q από το Ε έως το Ζ)

kNm kN m kNm1

120 60 3.0 30.02

max maxM M´ = - + =-



kN100

kN30AH =

kN30

kN m20 /

kN60BV =

kN200AV =

m4

m2 m2 m4

A

ΒΓ ΔΕ

A

ΒΓ ΔΕ

120-

120+

40-

240-

kNm( )

[ ]M

m3x =

2 8 10ql / =2 8 40ql / =

2 8 10ql / =

Ζ

kNm30M = -max

Τιμές της καμπτικής ροπής στο:

μέσον του ΓΕ: kN m m kNm

kNm kNm22 20 (2 )240

120 1102 8 8

q l ´/- + = - + =-ΓΕ

μέσον του ΕΒ: kNm kN m m

kNm kNm22( 120 40) 20 (4 )

80 402 8 8

q l ´- - /+ =- + =-ΕB

μέσον του ΒΔ: kN m m kNm

kNm kNm22 20 (2 )40

20 102 8 8

q l ´/- + =- + =-BΔ



Άσκηση 20


Αντιδράσεις:

δεξ. 0 3 2 2 80 160 0 3 2 320B B B BGM V H V H´S = - + + + = - = (1)

0 2 40 2 (4 20) 6 80 160 7 2 0

7 2 880

B BA

B B

M V H

V H

´ ´ ´ ´S = + + + - - =

+ = (2)

kN80

kN20AH =

kN40

kN m20 /

kN120BV =

kN40AV =

m2

m2 m1m4

A

Β

Γ Δ

kN( )

[ ]N

m2

G

kNm160

m2

kN20BH =

20- 20-

120-

120-40-

40-A

Β

Γ ΔG



Προσθέτοντας κατά μέλη τις εξισώσεις (1) και (2) προκύπτει:

kN120BV = και kN20BH =

Επιπλέον είναι:

kN0 4 20 80 0 40y BA AF V V V´S = + - - = =

kN0 40 0 20x BA AF H H HS = - - + = =

200-

0

80-

40+

40-

A

Β

Γ ΔG

m2x =

kNm( )

[ ]M

2 8 40ql / =

40+

20-

20-

120-

40-

A

Β

ΓΔG

kN( )

[ ]Q

m2x =

E

20+

20+

40+

40-

20+

20+



Άσκηση 21


Αντιδράσεις:

δεξ. kN0 4 1.5 80 0 30BGM V V´S = - + = =B

kNm

0 2 (4 20) 6 40 1.5 80 12 0

160

BA A

A

M M V

M

´ ´ ´ ´S = - + + + - =

=

kN0 80 0 80x A AF H HS = - = =

kN0 4 20 40 0 90y BA AF V V V´S = - - + = =

Ανάλυση δυνάμεων στο λοξό μέλος

2 2sin 3 5 0.6

3 4 5cos 4 5 0.8

GBlf

f

ì = / =ïï= + = íï = / =ïî

kN80

kN30BV =

Β

G

Ε

m2 m2

m3

f

kN48 80 sinf=

Β

G

Ε

f

kN64 80 cosf=

kNcos 24BV f = kN18

sinBV f=

f

f

kN80

AH

kN40 kN m20 /

BV

AV

A

Β

Γ Δ

G

m2m2 m4 m2m2

m3

AM

Ε



kN80

kN80

kN40 kN m20 /

kN30

kN90

A

Β

Γ Δ

G

m2m2 m4 m2m2

m3

kNm160

Ε

kN( )

[ ]Q

90+

A

Β

Γ Δ

G

Ε30-

24-

24+

24+30-

10+

24-

10+

kNm( )

[ ]M

160-

A

Β

Γ Δ G

Ε

0

60+

60+

2 8 40ql / =

40+

kN( )

[ ]N

80-

A

Β

Γ Δ G

Ε

82-

18-



Άσκηση 22

Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών [N], τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] των φορέων.

Άσκηση 23


KN/m20

BD

G

m4.0

m3.0m3.0

A

m3 m3

m3

A

ΒkN100

kN100

kN100

kN100

m3 m3

A

Β

m3



Άσκηση 24

Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών δυνάμεων [N], τεμνουσών δυνάμεων [Q] και καμπτικών ροπών [M] του παρακάτω πλαισίου. Επιπλέον, να υπολογισθεί η τιμή και η θέση της μέγιστης ροπής στο ζύγωμα ΓΒ.

Άσκηση 25


m3.0

A

m8.0

B

kN/m20

m3.0

kN80

kN60

m6

m3

A

ΒΓ

kN/m20



Άσκηση 26

Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα [N], [Q] και [M] του τριαρθρωτού τόξου AGB .

Άσκηση 27


kN20

m4

G

kN20

m4 m4 m2 m2

A Β

A

m2

B

m6.0

kN60

G

m2 m2 m2

kN60



Άσκηση 28

Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών [N], τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του φορέα.

Άσκηση 29


kN m40 /

m4

Α

m5

ΓΔ

Β

m3

kN20

m4

G

kN20

m4 m4 m2 m2

A Β

kN m20 /



Άσκηση 30

Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών [N], τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του φορέα.

Άσκηση 31

Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών [N], τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του τριαρθρωτού πλαισίου.

kN90

kN m30 /

m6

m4

A

Β

Γ Δ

m4

m6 m2

G Ε

kN120

kN180

kN m20 /

m3

m4

A

Β

Γ Δ

m4

m6 m2

m3

G Ε



Άσκηση 30 (απαντήσεις) : kN90xA =- , kN60yA = , kN90xB = - , kN180yB = , m kNm3 270yM = = + ,

kNm0M =Γ , kNm400M =-ΔΓ , kNm40M =-ΔΕ , kNm360M =-ΔΒ , max kNm90M = + στη θέση m3x = δεξιά του Γ.

Άσκησης 30 (παραλλαγή) : Η ίδια άσκηση με οριζόντιο φορτίο kN60 αντί kN180 στο υποστήλωμα οδηγεί στα παρακάτω αποτελέσματα:

kN0xA = , kN90yA = , kN60xB = - , kN150yB = , m kNm3 0yM = = , kNm180M =-Γ , kNm280M =-ΔΓ , kNm40M =-ΔΕ , kNm240M =-ΔΒ ,

max kNm22.5M = + στη θέση m4.5x = δεξιά του Γ.

Άσκηση 31 (απαντήσεις) : kN0xA = , kN90yA = , kN90xB = - , kN330yB = , m kNm3 0yM = = , kNm0M =Γ , kNm600M =-ΔΓ , kNm240M =-ΔΕ , kNm360M =-ΔΒ ,

max kNm90M = + στη θέση m3x = δεξιά του Γ.

Άσκηση 32


kN90

kN m30 /

m6

m4

A

Β

Γ ΔG

m4

m6



Άσκηση 33

Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών [N], τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του πλαισίου.

Άσκηση 34

Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών [N], τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του πλαισίου.

kN60kN m20 /

m2

Α

Γ Δ

Β

kN100

m4

m2m6 m1.5 m2

kN m10 /

ΕG

kN80

kN m20 /

m2

m3

Α

m2

m8

m4

ΓΔ

Β

kN100

m2

kNm100

Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Επίπεδα Δικτυώματα 27


Μέρος 3ο

Ανάλυση Επίπεδων Δικτυωμάτων



Άσκηση 35

Να επιλυθεί το δικτύωμα του σχήματος ακολουθώντας αυστηρά τα παρακάτω βήματα:

(α) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών και εξισώσεις ροπών να προσδιορισθούν οι

δυνάμεις στα μέλη ΗΘ, ΓΘ και ΓΔ.

(β) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των κόμβων οι δυνάμεις των ράβδων που

συντρέχουν στους κόμβους Β, Κ, Ε και Ι (δηλ. ΒΕ, ΒΚ, ΚΙ, ΚΕ, ΙΘ, ΙΔ, ΙΕ και ΔΕ).

Για όλα τα μέλη να διευκρινισθεί εάν υπόκεινται σε θλίψη ή εφελκυσμό.

Λύση:

Αντιδράσεις στηρίξεων: kN30.00xA = - , kN40.00yA = , kN60.00yB =

B

m 3

G E

Z H kN15

kN20

D

m 4

kN15

kN20 kN20 kN20 kN20

m 3 m 3 m 3

Q I K

A

α

α



(α) Μέθοδος των τομών: Τομή α-α (δεξί τμήμα)

Δύναμη στο μέλος ΗΘ:

kN

0 4 3 20 6 20 9 20 4 15 9 0

4 60 120 180 60 9 60 0 30

yM N

N N

G HQ

HQ HQ

BS = ⋅ - ⋅ - ⋅ - ⋅ - ⋅ + ⋅ =

⋅ - - - - + ⋅ = = -

Δύναμη στο μέλος ΓΔ:

kN

0 4 3 20 6 20 6 0

4 60 120 6 60 0 45

yM N

N N

Q GD

GD GD

BS = - ⋅ - ⋅ - ⋅ + ⋅ =

- ⋅ - - + ⋅ = =

Δύναμη στο μέλος ΓΘ:

kN

40 20 20 20 0

5

460 60 0 0

5

y yF N

N N

GQ

GQ GQ

BS = - ⋅ - - - + =

- ⋅ - + = =

(β) Μέθοδος των κόμβων:

Κόμβος Β: προσδιορισμός μελών NBE και NBK

kN0 0 0xF N NBE BES = - = =

kN0 0 60 0 60y yF N N NBK BK BKBS = + = + = = -

Κόμβος Κ: προσδιορισμός μελών NKE και NKI

( )

kN

4 40 20 0 60 20 0

5 5

50

yF N N N

N

BK KE KE

KE

S = - - - = - - - - =

=

kN

3 30 15 0 50 15 0

5 5

15

xF N N N

N

KI KE KI

KI

S = - - + = - - + =

= -

Κόμβος Ε: προσδιορισμός μελών N IE και NDE



kN4 4

0 0 50 0 405 5

yF N N N NIE KE IE IES = + = + = =-

kN

3 30 0 50 0 0

5 5

30

xF N N N N

N

DE KE BE DE

DE

S = - + + = - + + =

=

Κόμβος Ι: προσδιορισμός μελών N IQ και N ID

( )

kN

4 40 20 0 40 20 0

5 5

25

yF N N N

N

IE ID ID

ID

S = - - - = - - - - =

=

( )

kN

3 30 0 25 15 0

5 5

30

xF N N N N

N

IQ ID KI IQ

IQ

S = - - + = - - + - =

= -

Άσκηση 36


(α) Να σημειωθούν τα μέλη με μηδενική δύναμη.

(β) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών και εξισώσεις ροπών να προσδιορισθούν οι

δυνάμεις στα μέλη ΓΔ, ΓΕ και ΖΕ.

(γ) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των κόμβων οι δυνάμεις των ράβδων που

συντρέχουν στους κόμβους Β και Ζ (δηλ. ΒΖ, ΒΗ, ΖΗ, ΖΓ και ΖΕ).




Λύση:

B

m 4 m 4 m 2 m 2 m 2 m 2

A

G

E Z H kN40

kN50 kN50

kN30

D

m 4

m 4



Αντιδράσεις στηρίξεων: kN70.00xA = - , kN25.00yA = , kN75.00yB =

Δυνάμεις ράβδων:

ΡΑΒΔΟΣ Αξονική δύναμη

α/α άκρα τιμή φορά 1 ΑΔ -304.056 θλίψη 2 ΓΔ -304.056 θλίψη 3 ΒΗ -318.198 θλίψη 4 ΓΗ -318.198 θλίψη 5 ΔΕ -40.000 θλίψη 6 ΕΖ 125.000 εφελκυσμός 7 ΖΗ 0.000 8 ΓΕ 268.328 εφελκυσμός 9 ΓΖ 223.607 εφελκυσμός 10 ΑΕ 342.527 εφελκυσμός 11 ΒΖ 270.416 εφελκυσμός



Άσκηση 37

(α) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των τομών οι δυνάμεις στα μέλη ΑΔ και ΓΕ.

(β) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των κόμβων όλες οι υπόλοιπες δυνάμεις.


Α Β

Γ

2.0 m

2.0

m

Δ

Η

30 kN

Ζ

Ε

2.0 m

1.5

m

Άσκηση 38

(α) Να σημειωθούν τα μέλη με μηδενική δύναμη. Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.

(β) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών και εξισώσεις ροπών να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΓΔ, ΔΗ και ΖΗ.

(γ) Να υπολογισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΒΙ, ΒΖ, ΔΖ και ΖΗ με τη μέθοδο των κόμβων.

Για όλες τις δυνάμεις να διευκρινισθεί εάν είναι θλιπτικές ή εφελκυστικές.

30 kN

4 m

4 m

20 kN

4 m 4 m 4 m

2 m2 m

2 m

Β

Κ

ΙΘ

Δ

Η

ΖΕΑ

Γ



Άσκηση 39

Τα φορτία των 60 kN, 90 kN και 30 kN ασκούνται στις διευθύνσεις των μελών #23, #16 και #17, αντίστοιχα. Να υπολογισθούν οι δυνάμεις σε όλα τα μέλη του δικτυώματος ακο-λουθώντας τα παρακάτω βήματα:

(α) με τη μέθοδο των τομών να βρεθούν οι δυνάμεις στα μέλη 6N και 10N , και

(β) με τη μέθοδο των κόμβων να βρεθούν οι δυνάμεις στα υπόλοιπα μέλη.

Για όλες τις απαντήσεις να διευκρινισθεί εάν το μέλος υπόκειται σε θλίψη ή εφελκυσμό.

Α ΒΓ

Δ60 kN

30 kN

90 kN

1

2

3

4

5

6

7 8 9 10 11 12

1314

15 1617

1819

2021

22

23 24

254 m

3 m 3 m 3 m 3 m 3 m 3 m

Άσκηση 40

(α) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών και εξισώσεις ροπών να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΓΔ, ΓΕ και ΖΕ.

(β) Να υπολογισθούν όλες οι δυνάμεις που συντρέχουν στους κόμβους Β και Ζ (δηλ. ΒΖ, ΒΗ, ΖΗ, ΖΓ και ΖΕ).

Για όλες τις απαντήσεις να διευκρινισθεί εάν το μέλος υπόκειται σε θλίψη ή εφελκυσμό.

75 kNA

4 m

4 m

75 kN

4 m

4 m

45 kN

60 kN

2 m 2 m 2 m 2 m

Ζ

Η

Ε

Δ

Γ

Β



Άσκηση 41

Να υπολογισθούν οι δυνάμεις ΘΗ, ΘΓ, ΓΔ και ΓΖ με τη μέθοδο των τομών Ritter, και να προσδιορισθεί εάν τα μέλη βρίσκονται σε θλίψη ή εφελκυσμό. Επιπλέον, να εντοπισθούν δύο μέλη με μηδενική ένταση.

24 kN

24 kN

Α

2 m

2 m

24 kN

2 m 2 m 2 m

Β Γ ΔΕ

Ζ

ΗΘ

Ι

Άσκηση 42

(α) Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΓΔ, ΓΕ και ΓΖ με τη μέθοδο των τομών και εξισώσεις ισορροπίας ροπών. (Υπόδειξη: να βρεθεί πρώτα η ΓΔ προκειμένου να υπο-λογισθεί η ΓΖ).

(β) Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη που καταλήγουν στο κόμβο Ζ (δηλ. ΖΔ, ΖΗ, ΖΒ, ΖΑ και ΖΕ) χρησιμοποιώντας οποιαδήποτε από τις δύο μεθόδους.

(γ) Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΔΗ, ΒΗ και ΑΕ χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των κόμβων.

Για όλες τις δυνάμεις να διευκρινισθεί εάν είναι θλιπτικές ή εφελκυστικές.

200 N

Α

100 N

100 N 100 N75 N

3 m 3 m 3 m 3 m

3 m 3 m

Β

ΓΔ

ΕΖ

Η

4 m

4 m



Άσκηση 43

Να υπολογισθούν οι δυνάμεις όλων των μελών του δικτυώματος. Να βρεθεί εάν τα μέλη υπόκεινται σε θλίψη ή εφελκυσμό.

2 m

20 kN

2 m 2 m

45° 45°60°60°A Β

Γ

Δ Ε

Ζ ΗΘ

Άσκηση 44

Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΑΔ, ΑΗ, ΘΗ και ΒΗ με τη μέθοδο των τομών.

15 kN

45 kN

60 kN

30 kN 2 m 2 m 2 m

2 m

4

m

A

Β

ΓΔ Ε

Ζ

ΗΘ



Άσκηση 45

(α) Να σημειωθούν τα μέλη με μηδενική δύναμη. Να αιτιολογηθεί η απάντησή σας.

(β) Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών να προσδιορισθεί η δύναμη στο μέλος ΔΕ. (Υπόδειξη: δεν υπάρχει λόγος να βρεθούν οι αντιδράσεις).

(γ) Να υπολογισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΑΕ και ΓΕ με τη μέθοδο των κόμβων.

Να προσδιορισθεί για κάθε μέλος εάν υπόκειται σε θλίψη ή εφελκυσμό.

25 kN

5 m

30°

20 kN

5 m

30°30°

Α

ΒΓ

Δ

E

Ζ

Η

Άσκηση 46

Να προσδιορισθούν:

(α) με τη μέθοδο των τομών οι δυνάμεις των μελών 14N και 21N ,

(β) με τη μέθοδο των κόμβων οι δυνάμεις στα μέλη 9N , 19N , 12N και 13N , και

(γ) τα μέλη με μηδενική αξονική δύναμη.

Να διευκρινισθεί για κάθε μέλος εάν υπόκειται σε θλίψη ή εφελκυσμό.

Δ

20 kN

30 kN

1 2 3 4 5 6

89 10

1112

1314

15

1618

20 21 22 23 24

30 kN

19

25

3 m 3 m3 m3 m3 m3 m

717

ΓΒΑ

Ε

4 m



Άσκηση 47

(α) Να υπολογισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΑΕ και ΑΔ χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών και εξισώσεις ισορροπίας ροπών.

(β) Να προσδιορισθούν όλα τα μέλη με μηδενική δύναμη.

(γ) Να υπολογισθούν όλες οι υπόλοιπες δυνάμεις με τη μέθοδο των κόμβων.

Για κάθε δύναμη να διευκρινισθεί εάν είναι θλιπτική ή εφελκυστική.

2 m

40 kN

1.5 m

2 m

2 m

2 m

1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m 1.5 m

20 kN 20 kN

A Β

Γ

Δ ΕΖ Η

Θ ΙΚ Λ

Μ ΝΞ Ο

Άσκηση 48

Να υπολογισθούν οι δυνάμεις όλων των μελών του δικτυώμα-τος. Να δηλωθεί εάν τα μέλη υπόκεινται σε θλίψη ή εφελκυ-σμό.

200 N

100 N

100 N 100 N75 N

3 m

4 m

3 m 3 m 3 m

3 m 3 m

4 m

Α Β

Γ Δ

ΕΖ

Η



Άσκηση 49

Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΗΔ, ΗΕ, ΗΘ και ΘΚ χρησιμο-ποιώντας μόνο τη μέθοδο των τομών Ritter. Συγκεκριμένα, να γίνουν δύο διαφορετικές τομές για τον υπολογι-σμό των δυνάμεων ΗΔ και ΗΕ, και μία τομή για τα μέλη ΗΘ και ΘΚ. Σε όλες τις περιπτώσεις να αξιοποιηθεί η εξίσωση ισορροπίας των ροπών και να βρεθούν οι παραπάνω δυνάμεις με την ίδια σειρά που εμφανίζονται στην εκφώνηση της άσκησης. Να δηλωθεί ποιές από αυτές είναι εφελκυστικές και ποιές θλιπτικές.

Άσκηση 50

(α) Να προσδιορισθούν όλα τα μέλη με μηδενική δύναμη.

(β) Να υπολογισθούν οι δυνά-μεις στα μέλη ΘΙ και ΓΘ με τη μέθοδο των τομών.

(γ) Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις σε όλα τα άλλα μέλη του δικτυώματος χρησιμοποιώντας οποια-δήποτε από τις δύο μεθό-δους, κόμβων ή τομών.

Για κάθε δύναμη να διευκρι-νισθεί εάν είναι θλιπτική ή εφελκυστική.

10 kN

2 m

1.5 m 1.5 m

2 m

2 m

10 kN

10 kN

20 kN 20 kN

A

ΒΓ

Δ

ΕΖ

Η

ΘΙ

Κ Λ

200 N

100 N 100 N120 N

200 N

4 m

4

m

4 m

3 m 3 m 3 m 3 m

2 m 4 m

Α Β

Γ

Δ

Ε Ζ Η

ΘΙ

Κ

Λ



Άσκηση 51

Το δικτύωμα του παρακάτω σχήματος ονομάζεται Wichert-truss (πήρε το όνομά του από τον Wichert E. M., 1932).

(α) Να υπολογισθούν οι αντιδράσεις και οι δυνάμεις στα μέλη ΒΘ και ΒΙ.

(β) Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΔΕ, ΗΘ και ΘΕ με τη μέθοδο των τομών και εξισώσεις ισορροπίας των ροπών.

(γ) Να υπολογισθούν οι δυνάμεις σε όλα τα μέλη που καταλήγουν στο κόμβο Ζ (δηλ., ΖΕ, ΖΙ, ΖΚ και ΖΓ) χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των κόμβων.

Για κάθε δύναμη να διευκρινισθεί εάν είναι θλιπτική ή εφελκυστική.

90 kN45 kN

12 m

12

m

12 m 6 m

6 m

12 m 12 m 6 m

Α

Β

Γ

Δ Ε Ζ

Η Θ Ι Κ

Άσκηση 52

Το δικτύωμα του σχήματος στηρίζεται με άρθρωση στον κόμβο #1 και με λοξή κύλιση στον κόμβο #6. Εάν η δύναμη kN100P = , να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη 2-4, 3-4 και 3-5 με τη μέθοδο των τομών, οι δυνάμεις στα μέλη του κόμβου #7 με τη μέθοδο των κόμβων και η αντίδραση στη κύλιση.

60

m3

3P

m3m4

m3

5

6

73

2 4

1

2P

5P

PP



Άσκηση 53


(α) Να σημειωθούν τα μέλη με μηδενική δύναμη αιτιολογώντας την απάντησή σας.

(β) Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΓΘ, ΔΖ και ΗΔ του δικτυώματος χρησι-

μοποιώντας τη μέθοδο των τομών.

(γ) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των κόμβων οι δυνάμεις στα μέλη ΑΕ, ΑΗ, ΒΘ και

ΒΖ του δικτυώματος.


(Παραλλαγή: Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις σε όλα τα μέλη του δικτυώματος.)

Άσκηση 54

Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΓΔ, ΓΕ, ΔΖ και ΕΖ του δικτυώματος χρησιμο-ποιώντας τη μέθοδο των τομών. Επιπλέον να σημειωθούν όλα τα μέλη με μηδενική δύναμη. ( Απαντήσεις: kN80xA = , kN60yA = , kN60yB = ).

kN80

kN120 Β

m3

m 4 m 4 m 4 m 4 m 4 m 4

m3

Α

Γ Δ

Ε

Ζ

Η

Γ

BA

Ε Ζ

Η Θ

kN90

kN40

Δ

m1.5

m1.5

m2.0 m2.0 m2.0 m2.0



Άσκηση 55


(α) Να σημειωθούν τα μέλη με μηδενική δύναμη αιτιολογώντας την απάντησή σας.

(β) Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΓΕ, ΔΖ, ΗΘ, ΚΜ και ΛΙ του δικτυώματος

χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών.

(γ) Να υπολογισθούν με τη μέθοδο των κόμβων οι δυνάμεις στα μέλη ΑΓ, ΑΕ, ΓΕ, ΓΔ

και ΔΕ του δικτυώματος.


(Απαντήσεις: kN100xA = , kN90yA = , kN60yB = .)

Άσκηση 56

Να προσδιορισθούν οι δυνάμεις στα μέλη ΔΖ, ΕΖ, ΕΗ, ΘΚ και ΛΜ του δικτυώματος χρη-σιμοποιώντας τη μέθοδο των τομών. Να σημειωθούν όλα τα μέλη με μηδενική δύναμη. Τέλος, να υπολογισθούν με τη μέθοδο των κόμβων οι δυνάμεις σε όλα τα μέλη του τμήμα-τος ΘΚΜΒΛΙΘ του δικτυώματος.

(Απαντήσεις: kN180xA = , kN90yA = , kN80xB =- , kN60yB = .)

kN100

kN150Α Β

m3

m 4 m 4 m 4 m 4 m 4

m3Ε

ΖΔΓ

Η

Θ

Ι

Κ

Λ

Μ

kN100

kN150Α Β

m3

m 4 m 4 m 4 m 4 m 4

m3Ε

ΖΔΓ

Η

Θ

Ι

Κ

Λ

Μ

Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Υπερστατικοί Φορείς 43


Μέρος 4ο

Υπερστατικοί Φορείς



Άσκηση 57

Να επιλυθεί ο υπερστατικός φορέας του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παρα-μορφώσεων.

(α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α, Β και Γ.

(β) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα καμπτικών ροπών του φορέα και να προσδιορισθεί η

μέγιστη τιμή και η θέση της καμπτικής ροπής.

1f 2f

L

A B

( )1 22

2AEI

ML

f f= + , ( )1 22

2BEI

ML

f f= +

( )1 22

6A

EIQ

Lf f= + , ( )1 22

6B

EIQ

Lf f= +

P

A B

2L/2L/

8APL

M = , 8

BPL

M = -

2AP

Q = , 2

BP

Q = -

q

L

A B

2

12AqL

M = , 2

12B

qLM =- ,

2AqL

Q = , 2

BqL

Q = -

Λύση: Άγνωστο μέγεθος παραμόρφωσης είναι μια αριστερόστροφη στροφή f στο Β.

kN m15 /

m2

AΒ

Γ

m12

3EI

kN120EI

m2



Δοκός ΑΒ:

( ) 22 3 15 120.5 180

12 12AB AB

EIM M EIf f⋅= + = +

( ) 24 3 15 12180

12 12BA BA

EIM M EIf f⋅= - = -

( )2

6 3 15 12 190

12 2 8AB AB

EIQ Q EIf f⋅= + = +

( )2

6 3 15 12 190

12 2 8BA BA

EIQ Q EIf f⋅= - = -

Δοκός ΒΓ:

4 120 460

4 8B B

EIM M EIG Gf f⋅= + = +

2 120 40.5 60

4 8B B

EIM M EIG Gf f⋅= - = -

2

6 120 360

4 2 8B B

EIQ Q EIG Gf f= + = +

2

6 120 360

4 2 8B B

EIQ Q EIG Gf f= - = -

Ισορροπία κόμβου Β:

( ) ( )0 0 180 60 0

60

B BA BM M M EI EI

EI

G f f

f

S = + = - + + =

=

Κόμβος Α:

kN1

90 97.58

y AB y yA Q A EI Af= = + =

kNm0.5 180 210A AB A AM M M EI Mf= = + = (αριστερόστροφα)

Κόμβος Γ:

( ) kN3

60 37.58

x B x xQ EIGG G f G= - = - - =

kNm2 120 4

304 8

BEI

M M M MG G G Gf ⋅= = - = - (αριστερόστροφα)

Ισορροπία πλαισίου:

kN0 120 0 37.5 120 82.5x x x x xF A A AGS = + - = + = =

kN0 15 12 0 97.5 180 82.5y y y y yF A G G GS = + - ⋅ = + = =



Άσκηση 58


(α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α (ροπή πακτώσεως) και Γ (αρι-

στερά, δεξιά και κάτω).

(β) Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών και ροπών του φορέα.

(γ) Να προσδιορισθούν οι μέγιστες θετικές ροπές κάμψης.

Λύση: Άγνωστο μέγεθος παραμόρφωσης είναι μια αριστερόστροφη στροφή f στο Γ. Δοκός ΑΓ:

22 20 4 80

4 12 2 3A A

EI EIM MG G

ff ⋅= + = +

24 20 4 80

4 12 3A A

EIM M EIG Gf f⋅= - = -

2

6 20 4 340

2 84A A

EI EIQ QG G

ff ⋅= + = +

2

6 20 4 340

2 84A A

EI EIQ QG G

ff ⋅= - = -

m2

G

kN m20 /

m4

m2

B

kN40

D

kN80

m2

A

E



ΑΚΡΑΙΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ ΜΟΝΟΠΑΚΤΩΝ ΚΑΙ

ΑΜΦΙΠΑΚΤΩΝ ΜΕΛΩΝ

AM

BQ

BM

AQAN BN

A B

1f 2f

L

A B

( )1 22

2AEI

ML

f f= + , ( )1 22

2BEI

ML

f f= +

( )1 22

6A

EIQ

Lf f= + , ( )1 22

6B

EIQ

Lf f= +

1f

L

A B

13

AEI

ML

f=

12

3A

EIQ

Lf= , 12

3B

EIQ

Lf=

q

L

A B

2

12AqL

M = , 2

12B

qLM =-

2AqL

Q = , 2

BqL

Q = -

P

2L/2L/

A B

3

16A

PLM =

11

16A

PQ = , 5

16B

PQ = -

Δοκός ΓΒ:

3 3 40 4 330

4 16 4B B

EI EIM MG G

ff ⋅ ⋅= + = +

2

3 11 40 3 55

16 16 24B B

EI EIQ QG G

ff ⋅= + = +

2

3 5 40 3 25

16 16 24B B

EI EIQ QG G

ff ⋅= - = -

Πρόβολος ΓΔ: (ισοστατικό τμήμα)

80 2 160M MGD GD= ⋅ =

80QGD =

Ισορροπία ροπών κόμβου Γ:

0 0

80 3 28030 160 0

3 4 3

A BM M M M

EIEI EI

G G G GD

ff f

S = + + =

æ ö æ ö÷ ÷ç ç - + + + = =-÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø



Κόμβος Α:

kN3 3 280

40 40 58 8 3

y A y yEI

A Q A AGf æ ö÷ç= = + = - + =÷ç ÷çè ø

kNm80 1 280 80

202 3 2 3 3

A A A AEI

M M M MGf æ ö÷ç= = + = - + = -÷ç ÷çè ø

(αριστερόστροφα) Κόμβος Β:

kN3 25 3 280 25

3016 2 16 3 2

x B x xEI

Q GfB B B

æ ö æ ö÷ ÷ç ç= - = - - = - - + =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

Κόμβος Γ:

kNm80 280 80 360

1203 3 3 3

A AM EI MG Gfæ ö÷ç= - = - - = - = -÷ç ÷çè ø

kN3 3 280

40 40 35 40 758 8 3

A AEI

Q QG Gf æ ö÷ç= - = - - = - - = -÷ç ÷çè ø

kNm3 3 280

30 30 70 30 404 4 3

EIM MGB GB

f æ ö÷ç= + = - + = - + = -÷ç ÷çè ø

kN3 55 3 280 55 35 55

1016 2 16 3 2 2 2

EIQ QGB GB

f æ ö÷ç= + = - + = - + =÷ç ÷çè ø

kNm160MGD =

kN80QGD =

Ισορροπία πλαισίου:

kN0 40 0 30 40 0 10x x x x xF A A ABS = + - = + - = =

kN0 4 20 80 0 155y y y yF A B BS = + - ⋅ - = =

( )0 4 20 2 40 2 4 4 80 6 0

20 160 80 620 120 480 0 740 740 0

A y xM MA B BS = - ⋅ ⋅ - ⋅ + ⋅ + ⋅ - ⋅ =

- - - + + - = - + =





Άσκηση 59

Να επιλυθεί ο υπερστατικός φορέας του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παρα-μορφώσεων ή τη μέθοδο Cross.


(β) Να υπολογισθούν οι αντιδράσεις στις στηρίξεις Α, Β και Γ του φορέα.

(γ) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα.

(δ) Να προσδιορισθούν οι μέγιστες θετικές ροπές κάμψης.

ΑΚΡΑΙΕΣ ΔΡΑΣΕΙΣ ΑΜΦΙΠΑΚΤΩΝ

ΜΕΛΩΝ

AM

BQ

BM

AQAN BN

A B

1f 2f

L

A B

( )1 22

2AEI

ML

f f= + , ( )1 22

2BEI

ML

f f= +

( )1 22

6A

EIQ

Lf f= + , ( )1 22

6B

EIQ

Lf f= +

P

A B

2L/2L/

8APL

M = , 8

BPL

M = -

2AP

Q = , 2

BP

Q = -

q

L

A B

2

12AqL

M = , 2

12B

qLM = -

2AqL

Q = , 2

BqL

Q = -

kN/m20

B

kN80

GA

EI EI

kNm180

m 6 m 6 m 6



Λύση: Άγνωστο μέγεθος παραμόρφωσης είναι μια αριστερόστροφη στροφή f στο Β. Δοκός ΑΒ:

22 20 12 80 12360

12 12 8 6AB AB

EI EIM M

ff ⋅ ⋅= + + = +

24 20 12 80 12360

12 12 8 3BA BA

EI EIM M

ff ⋅ ⋅= - - = -

2

6 20 12 80160

2 2 2412AB AB

EI EIQ Q

ff ⋅= + + = +

2

6 20 12 80160

2 2 2412BA BA

EI EIQ Q

ff ⋅= - - = -

Δοκός ΒΓ:

24 20 6 260

6 12 3B B

EI EIM MG G

ff ⋅= + = +

22 20 660

6 12 3B B

EI EIM MG G

ff ⋅= - = -

2

6 20 660

2 66B B

EI EIQ QG G

ff ⋅= + = +

2

6 20 660

2 66B B

EI EIQ QG G

ff ⋅= - = -

Ισορροπία κόμβου Β:

20 180 0 360 60 180 0

3 3

480

B BA BEI EI

M M M

EI

Gf f

f

æ ö æ ö÷ ÷ç çS = + - = - + + - =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

=

kN

0 0 160 60 024 6

280

y BA y B y

y

EI EIF Q Q G

f fB B

B

æ ö æ ö÷ ÷ç çS = + - = - + - + =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø

=

Κόμβος Α:

kN160 18024

y AB y yEI

A Q A Af= = + =

kNm360 4406

A AB A AEI

M M M Mf= = + = (αριστερόστροφα)



Κόμβος Γ:

kN60 206

y B y yEI

QGfG G G

æ ö÷ç= - = - - = -÷ç ÷çè ø

kNm60 1003

BEI

M M M MG G G Gf= = - = (αριστερόστροφα)

Ισορροπία πλαισίου: (έλεγχος ή εναλλακτικός τρόπος προσδιορισμού yB )

kN

0 20 18 80 180 20 360 80 0

280

y y y y y

y

F A B G B

B

S = + + - ⋅ - = + - - - =

=

Διαγράμματα Τεμνουσών και Ροπών



Άσκηση 60

Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα αξονικών [N], τεμνουσών [Q] και καμπτικών ροπών [M] του υπερστατικού φορέα.

Άσκηση 61

Να επιλυθεί η υπερστατική δοκός του σχήματος με τη μέθοδο των παραμορφώσεων.





Α

m12 m6

kN/m40

Β

ΓEI EI

kN m25 /

m3A

Β

Γ

m18

EI

kN100EI

m3



Άσκηση 62

Να επιλυθεί η υπερστατική δοκός του σχήματος με τη μέθοδο των παραμορφώσεων.

(α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α και Β.




Άσκηση 63

Να επιλυθεί η υπερστατική δοκός του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παρα-μορφώσεων.

(α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Β και Γ. (β) Να προσδιορισθεί η μέγιστη ροπή κάμψης. (γ) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα.

Α

m3 m12 m3

kN/m20

Β Γ Δ

m3

EI 2EI EI

m3

kN80 kN80

Α

m12 m6

kN/m40

Β

ΓEI EI



Άσκηση 64


(α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α, Β, Γ και Δ.

(β) Να προσδιορισθεί η μέγιστη ροπή κάμψης.


Άσκηση 65

Να επιλυθεί το υπερστατικό πλαίσιο του σχήματος χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των παρα-μορφώσεων.

(α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στους κόμβους 1, 2 και 3.

(β) Να σχεδιασθεί το διάγραμμα ροπών του φορέα.

kN60kN m20 /

m2

1

2 3

4

kN100

m4

20 50´20 30´1

2

320 40´

m2m6 m1.5 m2

420 50´

kN m10 /

5

EI

kN m36 /

m10

A Β

Γ Δ

m40 m10

Ε2EI EI

2EI 2EI

m10

Ζ



Άσκηση 66

Να επιλυθεί η συνεχής δοκός του σχήματος και να σχεδιασθεί το διάγραμμα καμπτικών ροπών [M] του υπερστατικού φορέα (δίδεται η απάντηση).

Α

m5 m8 m3

kN/m30

Β Γ Δ

kNm2171500EI =

m3

kN80

2EI 3EI EI

[ ]M

kNm119.89- kNm105.72-

kNm52.86+

2

2408

ql =

kNm127.20+

m4

Α

Β Γ

Δ

kNm60.06+



Άσκηση 67






Άσκηση 68


(α) Να υπολογισθούν οι καμπτικές ροπές στα σημεία Α και Β.

(β) Να σχεδιασθούν τα διαγράμματα τεμνουσών δυνάμεων και ροπών του φορέα και να

προσδιορισθεί η μέγιστη ροπή κάμψης.

2EIEI

ΓΒ

kN/m20

m 2

Α

m 6 m 2

kN180

Α

m12 m3

kN/m20

Β

ΓEI EI

kN80

m3

Ασκήσεις Στατικής ΙΙ: Γραμμές Επιρροής 58


Μέρος 5ο

Γραμμές Επιρροής



Άσκηση 69

Γραμμές επιρροής των αντιδράσεων και χαρακτηριστικών εσωτερικών εντατικών μεγεθών αμφιπροέχουσας δοκού και προβόλου.

m1.0

A

m4.0

B

γ.ε. [ ]Α

kN1P =

Γ

m2.0 m2.0

Δi

γ.ε. [ ]iQ

1

3 2/

0

1 2- /

3 4- /

1 4/1 2/

0

0

1 2- /

0

γ.ε. [ ]BM

2-

0

γ.ε. [ ]Β

1

3 2/

0

1 2- /

3 4/

0 0

3 2- /

1 2- /

γ.ε. [ ]iM

0

A

γ.ε. [ ]iQ

kN1P =

γ.ε. [ ]iM

1-

Β

0

1

i

m1.0

1

m4.0

0

0

0

γ.ε. [ ]Α

1

γ.ε. [ ]AM

4

0

1



Άσκηση 70

Για τη δοκό του σχήματος να σχεδιασθούν οι γραμμές επιρροής των αντιδράσεων στις στηρίξεις Α, Β και Γ, καθώς και των ροπών AM και BM .

A

m4.0

γ.ε. [ ]Α

kN1P =

Β

m2.0 m2.5m2.0

ΓH

γ.ε. [ ]Β

0 00

00

1

1.8

0.8-

γ.ε. [ ]BM

2-

0 00

G

1

0

γ.ε. [ ]Γ

00

1

0

γ.ε. [ ]AM0

4

0 0 0

0

1



Άσκηση 71

Για τη δοκό του σχήματος να σχεδιασθούν οι γραμμές επιρροής των διατμητικών δυνά-μεων και καμπτικών ροπών στις τομές i, j και k.

A

γ.ε. [ ]iQ

kN1P =

Β

m2.5

ΓH

γ.ε. [ ]iM

0

00

0

1-

G

0

γ.ε. [ ]jQ

000

γ.ε. [ ]jM

0 0

1

i j

m1.0 m1.0

1

m4.0 m2.0m2.0

0 00

1-1-

0

0

0

1-

00

0

m1.0

k

0

γ.ε. [ ]kQ

0

0

0

γ.ε. [ ]kM

0

0

0.4-

0

0.6

1.2-

0 0

0.8

0.6



Άσκηση 72

Για τη δοκό του σχήματος να σχεδιασθούν οι γραμμές επιρροής των διατμητικών δυνά-μεων και καμπτικών ροπών στη τομή m και των διατμητικών δυνάμεων στις αρθρώσεις G και H.

A

γ.ε. [ ]mQ

kN1P =

Β

m2.5

ΓH

γ.ε. [ ]mM

0

00

0

G

0

γ.ε. [ ]GQ

00

γ.ε. [ ]HQ

0 0

m

m1.0

0.5

m4.0 m2.0m2.0

0

0

0

0

0 0

0

0.5-

0.5

0

1

0

0

1-

0



Άσκηση 73

Για τη συνεχή δοκό του σχήματος να σχεδιασθούν οι γραμμές επιρροής:

(α) της αντίδρασης στη στήριξη Α,

(β) της αντίδρασης στη στήριξη Γ,

(γ) της τέμνουσας iQ στη τομή i,

(δ) της τέμνουσας GQ + αμέσως δεξιά της άρθρωσης G,

(ε) της καμπτικής ροπής BM στη στήριξη B, και

(στ) της καμπτικής ροπής kM στη τομή k.

m1.0

A

m4.0

B

kN1P =

m3.0

Γ

m2.0 m2.0 m2.0

G

m2.0

ΔHi k

m1.0 m1.0



m1.0

A

m4.0

B

γ.ε. [ ]Α

kN1P =

m3.0

Γ

m2.0 m2.0 m2.0

G

m2.0

ΔHi k

γ.ε. [ ]Γ

γ.ε. [ ]iQ

1

3 2/

0

1 3/

1 6- /

0

0

1 2- /

0

0

0

0

1

5 3/

5 6- /

m1.0 m1.0

3 4- /

1 4/ 1 3/1 2/

0

0

1 2- /

0

1 6- /

γ.ε. [ ]GQ +0

2 3- /

0

0

01 3/

0

1

γ.ε. [ ]BM

2-

0

00

4 3/

2 3- /

γ.ε. [ ]kM

1-

1 2/

0 0 0

Documents

Στατικη Ασκησεις!